Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru

[edytuj] Pojęcie zbioru

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

zbiór książek,
zbiór ciasteczek,
zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez $K$ , składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,

„Matematyka dla liceum”,

„C++ w 24 godziny”,

„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi $|K| = 4$ . Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać $a \in K$ , ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy $j \not\in K$ , ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

[edytuj] Zawieranie i równość zbiorów

DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: $A \subset B$ lub $A \subseteq B$ . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

„Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
„Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
„Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy $D_8$ jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

$D_8=\{1,2,4,8\}$

$B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Ponieważ wszystkie elementy w $D_8$ powtarzają się także w $B$ , więc zbiór $D_8 \subset B$ . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór $D_8$ jest podzbiorem $B$ . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w $B$ znajdują się także w $D_8$ np. $3 \notin D_8$ . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, $A=B$ , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

DEFINICJA

Dwa zbiory A i B są równe, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli $A \subset B$ ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli $B \subset A$ ). Tak więc:

$(A=B) \iff (A \subset B \and B \subset A).$

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\}$ i $B=\{1,2,\frac{5}{2},3\}$ , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - $A \subset B$ . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - $B \subset A$ . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

[edytuj] Definiowanie zbiorów

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

słownie:

zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
wypisując wszystkie elementy:

$A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ,
używając zapisu:

$A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \}$

Zapis $A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \}$ czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8”. Podobnie zapis $X=\{x: x \in \mathbb{R} \and x \in A \}$ możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład $X=\{ x: x \in \mathbb{R} \and x \geq 100 \}$ możemy zapisać jako $X=\{ x: x \geq 100 \}$ i obydwa będą oznaczały to samo.