Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

• Przykład 1. $[-4; 7] \,$ - przedział domknięty
• Przykład 2. $(-4; 7) \,$ - przedział otwarty
• Przykład 3. $(-4; 7] \,$ - przedział lewostronnie otwarty
• Przykład 4. $(-4; +\infty)$ - przedział nieograniczony
• Przykład 5. $(-\infty; 5)$

Przedział domknięty

W podręczniku używany jest zapis $[a; b] \;$ oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: $\langle a; b \rangle$. Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

• Przykład 1. Pisząc $[-4; 7] \;$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy $[ -50; -20] \,$, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc $[a; b] \,$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:

DEFINICJA Przedziałem domkniętym $[a; b] \,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leqslant x \leqslant b$. $[a; b] =\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x \leqslant b \}$

Przedział liczbowy $[-4; 7] \,$ zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty

• Przykład 2. Za pomocą $(-4; 7) \,$ oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale $(a; b) \,$ znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.

DEFINICJA Przedziałem otwartym $(a; b) \,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x < b \,$. $(a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}$

Przedział otwarty $(-4; 7) \,$ na osi zaznaczymy w ten sposób:

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty

• Przykład 3. $(-4; 7] \,$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:

DEFINICJA Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) $(a; b] \,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x \leqslant b$. $(a; b] =\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leqslant b \}$

Przedział $(-4; 7] \,$ na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

DEFINICJA Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) $[a; b) \,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leqslant x < b$. $[a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x < b \}$

Przedziały nieograniczone

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- $\infty$.

• Przykład 4. Przez $(-4; +\infty)$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od $+\infty)$. Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez $[-4; +\infty)$.

DEFINICJA Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym $(a; +\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym $[a; +\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a. $(a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}$ $[a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant a \}$

Przedział $[-4; +\infty)$ możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

• Przykład 5. $(-\infty; 5]$ oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez $(-\infty; 5)$ będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

DEFINICJA Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym $(-\infty; a)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym $(-\infty; a]$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a. $(-\infty; a)=\{ x \in \mathbb{R}: x < a \}$ $(-\infty; a]=\{ x \in \mathbb{R}: x \leqslant a \}$

Przedział $(-\infty; 5)$ analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Działania na przedziałach

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.

• Przykład 6

Wyznaczmy $A \cup B$, $A \cap B$, $A \backslash B$, $B \backslash A$, $A' \,$ i $B' \,$, gdzie $A= [-2; 3) \,$, a $B=(1; 4) \,$

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Z rysunku widzimy, że:

• $A \cup B= [-2; 4)$
• $A \cap B=(1; 3)$
• $A \backslash B=[-2; 1]$
• $B \backslash A=[3; 4)$
• $A'=(-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$
• $B'=(-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$