Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Liczby i ich zbiory

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zobaczmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

Przykład 1. $\langle-4;7\rangle$ - przedział domknięty
Przykład 2. $(-4;7) \,$ - przedział otwarty
Przykład 3. $(-4;7\rangle$ - przedział lewostronnie otwarty
Przykład 4. $(-4;+\infty)$ - przedział nieograniczony
Przykład 5. $(-\infty;5)$

Spis treści

1 Przedział domknięty
2 Przedział otwarty
3 Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty
4 Przedziały nieograniczone
5 Działania na przedziałach

[edytuj] Przedział domknięty

Przykład 1. Pisząc $\langle-4; 7\rangle$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy $\langle -50; -20\rangle$ , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc $\langle a; b\rangle$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:

DEFINICJA

Przedziałem domkniętym $\langle a;b\rangle$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leqslant x \leqslant b$ .

$\langle a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x \leqslant b \}$

Przedział liczbowy $\langle -4;7\rangle$ zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

[edytuj] Przedział otwarty

Przykład 2. Za pomocą $( - 4;7)$ oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale $(a; b)$ znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.

DEFINICJA

Przedziałem otwartym $(a; b)$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x < b$ .

$(a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}$

Przedział otwarty $( - 4;7)$ na osi zaznaczymy w ten sposób:

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

[edytuj] Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty

Przykład 3. $(-4;7\rangle$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) $(a;b\rangle$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a < x \leqslant b$ .

$(a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leqslant b \}$

Przedział $(-4;7\rangle$ na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) $\langle a;b)$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a \leqslant x < b$ .

$\langle a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x < b \}$

[edytuj] Przedziały nieograniczone

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- $\infty$ .

Przykład 4. Przez $(-4;+\infty)$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od $+\infty$ ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez $\langle -4;+\infty)$ .

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym $(a;+\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym $\langle a;+\infty)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

$(a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}$

$\langle a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant a \}$

Przedział $\langle -4;+\infty)$ możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przykład 5. $(-\infty;5\rangle$ oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez $(-\infty;5)$ będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym $(-\infty;a)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym $(-\infty;a\rangle$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.