Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy  \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\} .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez  \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\} , a i-ta liczba pierwsza przez  p_i np.  p_3=5 .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór  \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\} , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez  \mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\} . Łatwo zauważyć, że  \mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez  \mathbb{C} (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , gdzie  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Q}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{Q}_- .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez  \mathbb{W} .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , dla  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie  \mathbb{NW} .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba  \pi=3,1415\cdots, czy też  \sqrt{2}=1,4142\cdots .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{R}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{R}_- .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
  •  \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np.  \frac{1}{2}=0,5~,  \frac{1}{25}=0,04~,  \frac{2}{1}=2~. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie  1 \over 3 . Na pewno pamiętamy, że  {1 \over 3} = 0,333\dots . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

 0,333\dots =x~~/ \cdot 10
 3,333\dots = 10x
 3+0,333\dots=10x , ponieważ  0,333\dots=x
 3+x=10x
 3=9x~~/:9
 {1 \over 3}=x

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest  0,123123123\dots . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa  41 \over 333 . Zobaczmy na rozwiązanie:

 0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000
 123,123123\dots=1000x , ponieważ  0,123123123\dots=x
 123+x=1000x
 123=999x~~/:999
 {123 \over 999}=x
 {41 \over 333}=x

Szukaną liczbą jest  {41 \over 333} .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że  0,999\dots = 1. Oto rozwiązanie:

 0,999\dots = x~~/ \cdot 10
 9,99\dots = 10 x , ponieważ  0,999\dots=x

Jeżeli:

 9 + 0,999\dots = 9,99\dots

to:

 9 + x = 10 x
 9 = 9x~~/:9
 1 = x

Skoro  0,999\dots = x , to:

 0,999\dots = 1

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład:  2,8 234 234 234\dots .

 2,8 234 234 234\dots = x~~/ \cdot 10
 28,234 234 234\dots = 10 x~~/ \cdot 1000
 28 234,234 234\dots = 10 000 x

Jeżeli:

 28 206 + 28,234 234 234\dots = 28 234,234 234\dots

to:

 28 206 + 10 x = 10 000 x
 28 206 = 9 990x~~/:9 990
 {28 206 \over 9 990} = x
 {1 567 \over 555} = x

Liczbę  \frac{1}{3}=0,333\dots możemy zapisać także w formie  0,(3)~. Podobnie  {41 \over 333}=0,123123123\dots możemy zapisać jako  0,(123)~, a także  4,171717\dots=4,(17)~. W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera  e=2,71828182\dots, a także liczba  1,232233222\dots~. Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.