Matematyka dla liceum/Logika/Zdanie

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Zdanie

DEFINICJA W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

• „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
• „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
• „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
• „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.