Matematyka dla liceum/Planimetria

Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach.

Podział czworokątów:

• wklęsłe
• wypukłe: trapezoidy, deltoidy, trapezy, równoległoboki, romby, prostokąty, kwadraty.

Klasyfikacja czworokątów:

Charakterystyka czworokątów

Deltoid

DEFINICJA Deltoid jest to czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z jego przekątnych.

P = 1/2 |DB| * |AC|

Trapez

DEFINICJA Trapez jest to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

• Wysokością trapezu nazywamy odcinek zawarty między prostymi zawierającymi jego podstawy i prostopadły do nich.

Równoległobok

DEFINICJA Równoległobok jest to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który spełnia chociaż jeden z warunków:

1. Przeciwległe boki są równoległe
2. Przeciwległe boki są tej samej długości
3. Przekątne dzielą się na połowy
4. Przeciwległe kąty są równe
5. Suma miar kątów przylegających do każdego boku jest równa 180^o

• Obwód równoległoboku= 2a + 2b
• Pole równoległoboku = a* h = a * b * sin α

Romb

DEFINICJA Romb jest to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.

Własności rombu:

• AB, BC, DC, AD = a – boki rombu
• AC = d1 oraz BD = d2 – przekątne rombu
• d1 , d2 – długości przekątnych rombu
• h – długość wysokości rombu
• r – długość promienia okręgu wpisanego w romb
• kąt alfa – miara kąta ostrego, jaki tworzą boki rombu

W czworokącie tym przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.

Miejsce przecięcia przekątnych (d1 i d2, które przecinają się pod kątem prostym) jest środkiem okręgu wpisanego.

Promień (r) jest połową jego wysokości (h).

Wzory:

Pole rombu

• P = a*h
• P = (d1*d2) / 2
• P = 2a * r
• P = a2 * sin alfa

Obwód rombu = 4a

Prostokąt

DEFINICJA Prostokąt jest to czworokąt, którego wszystkie kąty są równe (i wynoszą 90°).

Kwadrat

DEFINICJA Kwadrat jest to czworokąt, którego wszystkie kąty i boki są równe.

Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu wyznacza:

• środek okręgu opisanego na kwadracie, którego promień R jest równy połowie długości przekątnej kwadratu
• Środek okręgu wpisanego w kwadrat, którego promień r jest równy połowie długości boku (a) kwadratu.

Pole kwadratu:

• P = a²
• P = ½ d²
• P = R²
• P= (2r)²

Długość przekątnej kwadratu: a pierwiastek z 2

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie: R= ½ d = ${\operatorname{a}\sqrt(2)\over\operatorname{2}}$

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat: r = ½ a

Do zrobienia: Dodanie rysunków i większej ilości własności czworokątów

Matematyka dla liceum/Planimetria/Jednokładność Według legendy, starożytny mędrzec Tales z Miletu potrafił za pomocą cienia wyznaczyć wysokość piramid i drzew.

Tales z Miletu (ok.640-546 p.n.e) jest uważany za jednego z siedmiu najwybitniejszych mędrców starożytnych. Był nie tylko filozofem, ale także matematykiem i astronomem. Oprócz twierdzenia omawianego w tym rozdziale odkrył także, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. W wielu krajach właśnie to twierdzenie nazywane jest twierdzeniem Talesa.

Twierdzenie
Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Dla kąta z wierzchołkiem w punkcie A, jak na rysunku, zachodzi zaleźność:

$\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

Po drobnym przekształceniu otrzymujemy:

$\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}$ oraz $\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}$ a także $\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}$.

Często spotykaną nieścisłością jest formułowanie twierdzenia Talesa w postaci twierdzenia: $\frac{|AD|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|BC|}$, ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

Czy legenda była prawdziwa?

Przyjmijmy więc sytuację ciepłego, bezchmurnego dnia. Egipcjanie mają wyciąć drzewo do konstrukcji łodzi. Jednak nikt nie pokwapi się ścinać drzew by potem sprawdzić czy są wystarczająco długie by zrobić z nich odpowiednie deski, brakuje też odważnych by wdrapać się na wierzchołek. Jednak wiemy przecież, że Słońce jest daleko od ziemi, dlatego równie szybko jak Tales możemy stwierdzić, iż traktuje ono wszystkie przedmioty jednakowo: czyli przyjąć można, że promienie słoneczne biegną równolegle, a co za tym idzie - padają na przedmioty pod tym samym kątem. Z pomocą twierdzenia Talesa możemy zmierzyć rzeczy duże przy pomocy rzeczy małych. Nie zapomnijmy bowiem, że starożytni nie mieli ujednoliconej jednostki miary - wg pomiarów wysokość piramidy Cheopsa wynosiła np. ponad 80 talesów (Tales w pomiarach często używał siebie jako "mniejszego przedmiotu"). Biorąc krótki przedmiot, np. kij o znanej długości "A", stawiamy go pionowo i mierzymy jego cień "B", oraz cień "C" rzucany przez drzewo. Z twierdzenia szybko ustalimy iż wysokość drzewa "D" określa wzór:

${D}=\frac{A}{B}\cdot {C}$

Możemy też uprościć sobie zadanie - jak Tales, i doczekać chwili, w której jego cień "B" będzie równy jego wysokości. Zgodnie z twierdzeniem Talesa w tym samym czasie cień "C" drzewa będzie równy jego wysokości "D". Według tego rozumowania wystarczyło tylko, właśnie w tym momencie, zmierzyć długość cienia na odcinku "C" by poznać wysokość drzewa.

Twierdzenie Sinusów (Snelliusa)

TWIERDZENIE W każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwległego jest wielkością stałą dla danego trojkąta i równą długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R\,$

przy czym R jest promieniem okręgu opisanego na naszym trójkącie.

Wzór cosinusów, twierdzenie Carnota

Twierdzenie to jest uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa.

TWIERDZENIE W dowolnym trójkącie kwadrat długości trzeciego boku równy jest sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,$

Oczywiście, gdy którykolwiek z kątów wynosiłby 90°, wtedy otrzymamy twierdzenie Pitagorasa (cosinus kąta prostego wynosi 0).

DEFINICJA Wektorem nazywamy parę uporządkowanych punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora, a drugi jego końcem. Kierunkiem wektora $\vec{AB}$. nazywamy prostą, na której leżą punkty A i B. Zwrotem wektora $\vec{AB}$. nazywamy zwrot półprostej AB. Wektor o początku A i końcu B oznacza się: $\vec{AB}$. Wektory oznacza się też małymi literami np.: $\vec a, \vec b, \vec c ...$. Długość (wartość) wektora $\vec{AB}$ jest to odległość między punktami A i B, oznacza się ją symbolem $|\vec{AB}|$ (nie może być ujemna) Jeżeli A = B to wektor $\vec{AB}$ nazywamy wektorem zerowym.

Do obliczenia współrzędnych wektora $\vec{AB}$ można posłużyć się wzorem $\vec{AB} = [ x_B - x_A , y_B - y_A ]$

Długość wektora $\vec{AB}$ liczy się ze wzoru $|\vec{AB}| = \sqrt{ (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 }$ lub $\vec a = [p, q] \Rightarrow \; |\vec a| = \sqrt{ p^2 + q^2 }$

Działania na wektorach

Suma wektorów $\vec a$ i $\vec b$

Aby dodać do siebie dwa wektory należy obrać sobie dowolny punkt O, będący początkiem wektora równego do wektora $\vec a$, a koniec tego wektora za początek wektora równego do wektora $\vec b$. Wektor, którego początek znajduje się w punkcie O a koniec znajduje się na końcu drugiego wektora nazywamy sumą wektorów $\vec a$ i $\vec b$

Sumę wektorów $\vec a$ i $\vec b$ można obliczyć dodając do siebie odpowiednie współrzędne wektorów.

$\vec a = [a_1, a_2]$ i $\vec b = [b_1, b_2] \Longrightarrow \vec a + \vec b = [a_1 + b_1, a_2 + b_2]$.

Wzor na srodek wektora : S=(Ax+Bx/2,Ay+By/2)

Matematyka dla liceum/Planimetria/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Planimetria/Zadania z rozwiązaniami Matematyka dla liceum/Planimetria/Ćwiczenia