Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane

Twierdzenie o przekątnych równoległoboku

Suma podwojonych kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów przekątnych tego równoległoboku.

• Założenia:
  • $\angle BAD = \angle BCD = \alpha$
  • $\angle ADC = \angle ABC = \beta$

• Teza:
  • $d_1^{\;2}+d_2^{\;2}=2a^2+2b^2$

• Dowód:

1. W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie: $2\alpha + 2\beta = 360 \iff \beta = 180 - \alpha$
2. Wyliczamy przekątną $d_{1}=|BD|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\alpha$)
   $d_{1}^{\;2}=a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha$
3. Wyliczamy przekątną $d_{2}=|AC|$ z twierdzenia cosinusów (dla kąta $\beta$)
   $d_{2}^{\;2}=a^2+b^2-2ab\cdot \cos(180-\alpha)$
   $cos(180-\alpha)=-cos\alpha \;\; \Rightarrow \;\; d_{2}^{2}=a^2+b^2+2ab\cdot \cos\alpha$
4. Dodajemy do siebie dwie przekątne
   $d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;a^2+b^2-2ab\cdot \cos\alpha + a^2+b^2+2ab\cdot \cos\alpha$
5. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci
   $d_1^{\;2}+d_2^{\;2}\;=\;2a^2+2b^2$

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu

Założenia

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

• $|AB|=a$
• $|CD|=b$

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:

$|AK|=\frac{|AC|}{2}$

$|BL|=\frac{|BD|}{2}$

Teza

$|KL|=\frac{a-b}{2}$

Dowód

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia: $|AM|=\frac{|AD|}{2}$

$|BN|=\frac{|BC|}{2}$

$|KL|=|ML|-|MK|$

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:$\triangle ABD$ i $\triangle ADC$

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy $\frac{b}{2}$, ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|=\frac{|AD|}{2}$  i  $|AK|=\frac{|AC|}{2}$

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

$\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|MK|}{|DC|} \iff \frac{1}{2}=\frac{|MK|}{|DC|} \iff |MK|=\frac{|DC|}{2}$

$|DC|=b \quad \Rightarrow \quad |MK|=\frac{b}{2}$

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy $\frac{a}{2}$, ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

$|AM|=\frac{|AD|}{2}$  i  $|DL|=\frac{|DB|}{2}$

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:

$\frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|ML|}{|AB|} \iff \frac{1}{2}=\frac{|ML|}{|AB|} \iff |ML|=\frac{|AB|}{2}$

$|AB|=a \quad \Rightarrow \quad |ML|=\frac{a}{2}$

Wniosek ostateczny:

$|ML|=\frac{a}{2} \; \and \; |MK|=\frac{b}{2} \iff |KL| = |ML|-|MK|=\frac{a-b}{2}$

$|KL|=\frac{a-b}{2}$