Matematyka dla liceum/Planimetria/Twierdzenie cosinusów

Wzór cosinusów, twierdzenie Carnota

Twierdzenie to jest uogólnionym twierdzeniem Pitagorasa.

TWIERDZENIE W dowolnym trójkącie kwadrat długości trzeciego boku równy jest sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta\,$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\,$

Oczywiście, gdy którykolwiek z kątów wynosiłby 90°, wtedy otrzymamy twierdzenie Pitagorasa (cosinus kąta prostego wynosi 0).