Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Elementy kombinatoryki[edytuj]

Porada Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m.in. obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania).

Silnia[edytuj]

Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. 1*2*3*4*5, możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

Definicja
DEFINICJA

Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla  n=0 lub  n=1 wynosi ona 1, natomiast dla  n \ge 2 jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.

n! = \begin{cases} 1 , \quad \mbox{ gdy } n=0 \mbox{ lub } n=1\\
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n , \quad \mbox{ gdy } n \ge 2\end{cases}

Przykłady:

  1. 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24


  1. \frac{5!}{6!} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}


  1. 3! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 6! = 720


  1. \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1) \cdot (n+2)}{n!} = (n+1) \cdot (n+2)

Permutacje[edytuj]

Jeśli, mając liczbę 1243, zechcemy zamienić miejscami niektóre cyfry, możemy otrzymać np. 4321 lub 1432 lub 3214. Każda z nich jest permutacją zbioru cyfr \{1,2,3,4\}.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg utworzony ze wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru  P_{n}\,=\,n! .

Przykłady:

P_2 = 2! = 1 \cdot 2 = 2

P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że mamy zbiór składający się z 4 elementów: a, b, c oraz d. Ile możemy ułożyć permutacji? Pierwszy element permutacji wybieramy spośród liter a, b, c i d. Mamy więc 4 możliwości. Gdy już wybierzemy, zostaną nam 3 litery i spośród nich wybierzemy drugi element. Dla każdego wybranego pierwszego elementu drugi możemy wybrać na 3 możliwości. Możemy takich par stworzyć 3*4=12. Dla każdej z 12 par, trzeci element wybierzemy z pozostałych 2 liter, czyli na 2 możliwości, dzięki czemu możemy uzyskać 24 trójki (2*3*4). Zostaje nam jedna litera, która będzie czwartym elementem (tak więc 1 możliwość). Mamy więc 1*2*3*4=24 opcji ułożenia permutacji z 4 liter.

W przypadku, w którym zbiór składałby się z trzech elementów i tymi elementami byłyby a, b oraz c:

P_3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6

1. abc    2. acb

3. bac    4. bca

5. cab    6. cba

Wariacje z powtórzeniami[edytuj]

Ułóżmy dowolną 3-cyfrową liczbę, mając do dyspozycji cyfry 1,2,3,4,5. Może to być np. 134, 325, 222. Wszystkie one są 3-wyrazowymi wariacjami zbioru 5-elementowego.

Definicja
DEFINICJA

Wariacją z powtórzeniami nazywamy ciąg o długości k, którego wyrazy pochodzą z n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich wariacji danego zbioru obliczamy ze wzoru W^k_n = n^k .

Przykłady:

W^2_3 = 3^2 = 9

W^5_4 = 4^5 = 1024

W^{100}_1 = 1^{100} = 1

Wyjaśnienie:

Policzmy, ile można stworzyć wariacji k=2 elementowych ze zbioru n=4 elementów, np. {a,b,c,d}. Pierwszym elementem ciągu (wariacji) może być dowolna z liter a,b,c,d. Są więc 4 możliwości, dla każdej z nich możemy wybrać drugi element, także z liter a,b,c,d. Dla każdego z 4 możliwych pierwszych elementów mamy 4 możliwości wybrania drugiego elementu, razem 4*4=16 możliwych wariacji (z powtórzeniami). Wg wzoru: W^2_4\,=\,4^2\,=\,16 .

1. aa     2. ab     3. ac     4. ad

5. ba     6. bb     7. bc     8. bd

Itd.

Wariacje bez powtórzeń[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Wariacją bez powtórzeń nazywamy ciąg k wyrazów, nie powtarzających się, które są elementami danego zbioru o liczności n. Ilość wszystkich wariacji obliczamy ze wzoru V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} .

Przykład:

V^2_3 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = 6

Tzn. mając zbiór n=3 elementowy, np. {a,b,c}, możemy uzyskać 6 wariacji o długości k=2:

1. ab     2. ac

3. ba     4. bc

5. ca     6. cb

Symbol Newtona[edytuj]

Ciekawostka
Czy wiesz, że...
Hw-newton.jpg
Isaac Newton - matematyk, fizyk, astronom i filozof angielski. Zasłynął odkryciami w fizyce. Był także współtwórcą rachunku różniczkowego i całkowego.
Definicja
DEFINICJA

Symbol Newtona {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\ ,\;\; \mbox{gdzie}\;\; n,k \in \mathbb{N}\;\; \mbox{i}\;\; n \ge k.

Symbol {n \choose k} czytamy n po k lub n nad k.

Warto zapamiętać, że:

  1. {n \choose 0} = 1
  2. {n \choose 1} = n
  3. {n \choose n} = 1
  4. {n \choose n-1} = n
  5. {n \choose k} = {n \choose n-k}
  6. Pewna równość dla symboli Newtona
{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}

Ciekawostka:
Wyżej wymienione równanie jest wykorzystane w trójkącie Pascala. Obliczamy k-tą liczbę w n-tym wierszu jako wartość {n \choose k}. Zauważmy, że każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących "boki" trójkąta).

Pascal triangle.png

Kombinacje[edytuj]

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia.

Definicja
DEFINICJA

Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór:   C_n^k = {n \choose k} .

Przykład:
W urnie znajduje się biała, czarna i niebieska kula (zbiór {b,c,n}). Losujemy z niej 2 kule. W ten sposób uzyskujemy k=2 elementową kombinację zbioru n=3 elementowego. Wszystkich takich kombinacji jest
C_3^2\,=\,{3 \choose 2}\,=\,\frac{3!}{2!(3-2)!}\,=\,3

Istotnie, możemy wylosować tylko
1. białą i czarną,
2. białą i niebieską,
3. czarną i niebieską.


> Rozwiązane zadania


Pojęcie prawdopodobieństwa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych

Przykład 1 Zakładając, że wylosowanie każdej karty jest tak samo możliwe (tak samo prawdopodobne), obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania asa. W talii kart do gry są 52 karty, w tym 4 asy, zatem z 52 kart cztery sprzyjają naszemu zdarzeniu. Prawdopodobieństwo wylosowania asa jest równe  \frac {4}{52} czyli  \frac{1}{13} .


Definicja
DEFINICJA

Doświadczeniem losowym nazywamy, takie doświadczenie, które można powtarzać wielokrotnie w jednakowych lub zbliżonych warunkach i którego wyniku nie można przewidzieć.

Przykład 2 Doświadczeniem losowym może być rzut kostką czy rzut monetą.


Definicja
DEFINICJA

Zdarzenie elementarne to najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie da się rozłożyć na zdarzenia prostsze

Przykład 3 Zdarzenie elementarne: rzut kostką dwójki, rzut monetą orła, wyciągnięcie z talii kart asa pik.


Definicja
DEFINICJA

Zdarzeniem losowym nazywamy każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykład 4 Wyrzucenie orła jak i wyrzucenie reszki jest zdarzeniem losowym. Wyrzucenie orła O i reszki R zapisujemy jako zbiór zdarzeń w postaci A={O,R}.


Definicja
DEFINICJA

Zbiór zdarzeń elementarnych to wszystkie możliwe wyniki zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń elementarnych zapisujemy grecką literą  \Omega\, (Omega).

Przykład 5 Wszystkie możliwe zdarzenia elementarne przy rzucie kostką to: 1,2,3,4,5,6.
Czyli zapis matematyczny będzie taki: \Omega\, = {1,2,3,4,5,6}

Oznaczenia[edytuj]

 \varnothing - zdarzenie niemożliwe np. zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie sumy oczek mniejszej niż 3 w rzucie trzema kostkami.
 \Omega\, - zdarzenie pewne np. otrzymanie sumy oczek mniejszej niż 19 w rzucie trzema kostkami do gry.

Zdarzenia są zbiorami, dlatego możemy dokonywać rachunków zgodnych z działaniami na zbiorach.
A \subset B - zdarzenie A pociąga zdarzenie B
A  \cup B - suma zdarzeń A i B
A  \cap  B - iloczyn zdarzeń A i B
A \ B - różnica zdarzeń A i B
A' - zdarzenie przeciwne do zdarzenia A
A=B - zdarzenia A i B są identyczne wtedy gdy A \subset B i B \subset A


Elementy statystyki opisowej[edytuj]

Statystyka - wstęp[edytuj]

Statystyka zajmuje się badaniem cech danego zbioru obiektów, tj. populacji.

Z uwagi na to, że jej liczebność może być znaczna i uniemożliwiać przeprowadzenie badania, zwykle trzeba ograniczyć się do podzbioru o mniejszej ilości, zwanego próbą.

Do przedstawienia danych można użyć jednej z trzech form: tabelki, diagramu lub wykresu. Można także wyróżnić dwa szczególne diagramy:

  • histogram liczebności – oparty jest na tabelce zawierającej: (na co wskazuje nazwa – "liczebność") poszczególne 'wyniki pomiaru' oraz 'liczebność danego wyniku' (np. rodzaje ocen i ilość każdej z nich).
  • histogram częstości – podobny, jednak zamiast liczebności występują częstości względne – liczebność jest zastąpiona jej stosunkiem do łącznej liczby wyników (np. ilość 3, gdy suma wyników wynosi 10, w przypadku tego diagramu zapisana jest jako 3/10).

Szereg rozdzielczy[edytuj]

Gdy liczba danych jest znaczna, można dokonać ich klasyfikacji, polegającej na określeniu klas, na które zostaną podzielone nasze dane. Wówczas klasy –czyli wyznaczone przedziały - będą w przybliżeniu reprezentować zgromadzone wartości. Jedną z metod klasyfikacji danych jest: określenie ilości klas, wyznaczenie długości każdej klasy, stworzenie klas i przyporządkowaniu im wartości.
1. liczba klas  K= 1 + 3,3 \cdot \log n \,

n – ilość danych

2. długość klasy   L=\frac{x_{max}-x_{min}}{K}

x_{max},\, x_{min} – największa i najmniejsza wartość

3. Tworzymy K przedziałów długości L, lewostronnie domkniętych i prawostronnie otwartych, tak aby pokryły wszystkie wartości.
4. Obliczamy liczebność klas (ile wartości należy do każdej klasy).

Dane przedstawione w postaci klas i ich liczebności nazywa się szeregiem rozdzielczym.
Można przyjąć, że histogram liczebności jest również przedstawieniem szeregu rozdzielczego (o jednowartościowych klasach).

Średnia[edytuj]

  • Gdy dane zawierają jedynie wartości, obliczamy średnią arytmetyczną:
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + ...+ x_n}{n}
  • W przypadku danych zawierających wartości wraz z wagami, obliczamy średnią ważoną:
Sw = \frac{x_1w_1+x_2w_2+... +x_k w_k}{w_1+w_2+... +w_k}
w_i\,   -waga i-tej wartości
  • Średnią dla danych zawierających wartości i ich liczebność obliczamy jako średnią ważoną, podstawiając w miejscu wag liczebość danej wartości:
\bar x =\frac{x_1n_1 + x_2n_2+... +x_k n_k}{n_1+n_2+... +n_k}
n_i\,   -liczebność i-tej wartości
  • Średnią dla szeregu rozdzielczego liczymy również jako średnią ważoną, używając \dot x_i - środka i-tej klasy w miejscach wag:
\bar x = \frac{\dot x_1 n_1+ \dot x_2 n_2 + ... + \dot x_k n_k}{n_1+n_2+... + n_k}
\dot x_i   -środek i-tej klasy (tzn połowa z sumy wartości lewego i prawego końca i-tej klasy)

Mediana[edytuj]

Jeśli spróbujemy znaleźć wartość cechy najbardziej 'przeciętnej’, konkretnie – wartość środkowego elementu, będziemy szukać właśnie mediany.

  • Gdy dane zawierają jedynie wartości, medianą jest środkowy element w ciągu, uporządkowanym niemalejąco (1 3 5...), lub średnia dwóch środkowych elementów w ciągu:
Me = x_{(n+1)/2}\quad - dla nieparzystego n
lub
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2} \quad - dla parzystego n
Zamiast wzorów wystarczy zapamiętać "medianą jest środkowa wartość w ciągu (uporządkowanym niemalejącym)", a jeśli n jest parzyste: "medianą jest średnia dwóch środkowych w ciągu".
Pozostaje znaleźć w ciągu medianę - jako wartość na pozycji Me.
  • Jeśli dane zawierają wartości wraz z ich liczebnością – postępujemy podobnie, jednak uwzględniamy w ciągu liczebność wyników (np. 1 3 5 5 7 7 7).
  • W przypadku szeregu rozdzielczego:
1. oblicza się dla kolejnych klas liczebność skumulowaną  f_i  (jest to suma liczebności od 1. do i-tej klasy),
2. określa się pozycję mediany wg wzoru (zmienionego): P_{Me} = \tfrac{n}{2} oraz okreśa, w której klasie ta pozycja się znajduje,
3. szacuje się medianę wg wzoru
Me \approx x_{Me}+ \frac{\tfrac{n}{2} - f_{(Me-1)}}{n_{Me}} L
x_{Me}\,  – lewy koniec tej klasy, do której należy mediana
f_{(Me-1)}\,  - liczebność skumulowana klasy poprzedzającej klasę z medianą
n_{Me}\,  –liczebność klasy ‘z medianą’
L\,  –długość klasy ‘z medianą’
Alternatywą jest użycie wzoru
Me \approx y_{Me} - \frac{\tfrac{n}{2} - (f-f_{Me})}{n_{Me}} L
y_{Me}\,  – analogicznie, prawy koniec klasy
f_{Me},\,f  – liczebność skumulowana klasy 'z medianą' oraz klasy ostatniej (tzn. f = n)

Odchylenie standardowe[edytuj]

Jest to wartość przybliżająca jak bardzo wartości odbiegają od średniej. Używanym terminem jest również wariancja, jest to odchylenie stand. do kwadratu. Brane pod uwagę będą różnice pomiędzy kolejnymi wartościami xi i średnią, podniesione do kwadratu, tzn. \left (x_1-\bar x \right ) ^2.

Wariancja jest średnią arytmetyczną tychże kwadratów różnic pomiędzy wartościami a średnią. Obliczyć ją można z odchylenia (podnosząc je do kwadratu), wobec czego ograniczymy się do wzoru dla tej drugiej wartości. Oznaczamy jako s^2.

Odchylenie standardowe

  • Dla danych zawierających tylko wartości lub wartości i ich liczności – używamy wzoru na średnią arytmetyczną kwadratów różnic, znajdującą się pod pierwiastkiem. W pierwszym przypadku, za n_i podstawiamy 1.
s = \sqrt{\frac{(x_1-\bar x)^2\ n_1 +...+ (x_k-\bar x)^2\ n_k}{n}}
n_i\,   -liczność danej klasy
\bar x   -średnia
  • W przypadku danych w postaci szerego rozdzielczego – używamy powyższego wzoru, w miejsce wartości x_i\, wstawiając środki klas  \dot x_i
s = \sqrt{\frac{(\dot x_1-\bar x)^2\ n_1 +...+ (\dot x_k-\bar x)^2\ n_k}{n}}
\dot x_i   -środek i-tej klasy


> Rozwiązane zadania


Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Prawdopodobieństwo warunkowe Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Prawdopodobieństwo całkowite

Definicja
DEFINICJA

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli  P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Zdarzenia, które nie są niezależne, nazywamy zależnymi.

Jeśli zdarzenie A i B są niezależne, to pary zdarzeń: A i B', A' i B, A' i B' też są niezależne.

Zdarzenia  A_1, A_2,...,A_n są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych k (k \leqslant n) zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.


Definicja
DEFINICJA

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach nazywanych sukcesem i porażką. Poszczególne doświadczenia w schemacie Bernoulliego nazywamy próbami Bernoulliego:
  P_n(k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

prawdopodobieństwo sukcesu to p

prawdopodobieństwo porażki to q,  q=1-p


Podsumowanie[edytuj]

Elementy kombinatoryki[edytuj]

Silnia
  • 0!=1,\;\;1! = 1
  • n!\,=\,1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ...  \cdot n\ ,\;\;\mbox{dla}\;\; n \ge 2
Permutacja (n-elementowego zbioru)
  • n-elementowy ciąg (ważna kolejność),
  • elementy nie mogą się powtarzać.
Wariacja z powtórzeniami
  • k-wyrazowy ciąg,
  • elementy mogą się powtarzać.
Wariacja bez powtórzeń
  • podobnie, choć jak nazwa mówi, elementy nie mogą się powtarzać.
Kombinacja
  • k-elementowy podzbiór, zbioru n-elementowego. W zbiorach nie występuje kolejność elementów! Elementy nie mogą się powtarzać.
Symbol Newtona
  • {n \choose k} = \frac{n!}{k!\ (n-k)!}


Zadania z rozwiązaniami[edytuj]

Elementy kombinatoryki - przykłady[edytuj]

Rozgrzewka[edytuj]

Zad.1 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

W zadaniu jest ukryty dodatkowy warunek - w uzyskanej liczbie pierwszą cyfrą nie może być 0 (0354 nie jest poprawna).

Pierwszą cyfrę możemy wybrać spośród   6-1= 5   elementów, ponieważ ignorujemy zero. Pozostaje 5 elementów, na tyle sposobów możemy wybrać drugą cyfrę. Odpada 1 element, trzecią wybieramy spośród 4 elementów i ostatnią spośród 3 elementów. Ilość możliwości wynosi:

5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300


Zad.2 (wariacja) Na ile sposobów czterech pasażerów może wsiąść do pociągu, jeśli każdy wybiera losowy wagon spośród sześciu?

Przydzielamy numer wagonu każdemu pasażerowi. Poprawna jest możliwość, że ten sam numer przypadnie wszystkim pasażerom. Jest to więc wybranie 4 wagonów spośród 6, przy czym mogą się one powtarzać. Można to przetłumaczyć na 'język kombinatoryki': na ile sposobów można wybrać ciąg 4 elementów (wagonów) ze zbioru 6-elementowego.

Jest to więc ilość wszystkich wariacji 4-wyrazowych (z powtórzeniami) zbioru 6-elementowego:

 \bar W^4_6 = 6^4 = 1296


Podstawa[edytuj]

Zad.1 (permutacja) W kolejce stoi 5 osób, oznaczmy je: A, B, C, D, E. Na ile sposobów można przestawić osoby, tak aby między osobami A i B stała jedna inna osoba?

Przykładowy ciąg spełniający warunki zadania to: A, C, B, D, E.

1. Osoby A i B mogą stać na pozycjach oznaczonych x poniżej, możliwe są 3 poprawne ustawienia:
x _ x _ _
_ x _ x _
_ _ x _ x
2. Na ile sposobów możemy rozmieścić osoby A i B na odpowiednich (x) miejscach? Permutacji 2 elementowych jest: 2! = 2.
3. Na ile sposobów możemy rozmieścić osoby na pozostałych 'pustych miejscach'? Jest to permutacja 3 elementów: 3! = 6   sposoby.

Osoby można przestawić na 3 \cdot 2 \cdot 6 = 36  sposobów.


Zad. 2 (kombinacja) W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów mozna wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne?

Zacznijmy od tego, jakie kule mogą nam się trafić, aby spełnione były warunki zadania. Są 2 przypadki, rozpatrzymy je oddzielnie (i zsumujemy wyniki):

  1. 2 czarne oraz inna kula
  2. 3 czarne kule

Przypadek 1.

Wybieramy 2 czarne kule spośród zbioru 6 kul czarnych oraz 1 kulę innego koloru spośród 14 pozostałych:
 C^2_6 \cdot C^1_{14} = 15 \cdot 14 = 210

Przypadek 2.

Wybieramy 3 kule spośród 6 czarnych kul:
 C^3_6 = 20

Razem mamy 20+210 = 230 sposobów.


Zad. 3 Ile różnych słów (mających sens lub nie) można ułożyć przez przestawienie liter w wyrazie "matematyka"?

Treść można przedstawić jako "na ile sposobów można ułożyć 10-wyrazowy ciąg mając 10 elementów", należy jednak odjąć powtórzenia. Możemy przecież zamienić litery 'm' w wyrazie matematyka, uzyskując ten sam wyraz ponownie.

Nasze rozwiązanie zmniejszy się o te powtórzenia (gdy wyraz się nie zmienia). Możemy zamienić: 2! razy literę m, ponownie 2! razy literę t oraz na 3! sposoby literę a. Podzielimy rozwiązanie (permutacja 10 elementów: 10!) przez ilości powtórzeń.

Wynikiem jest:    \frac {10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} = 151200


Zad. 4 Na ile sposobów może usiąść przy okrągłym stole 6 osób, tak aby osoby A i B siedziały na przeciwko siebie?

Aby osoba A była na przeciwko B, musi być w ustawieniu typu

A _ _ B _ _

Osoby siedzą przy okrągłym stole, więc pewne ustawienia mogą powtarzać się jako 'cyklicznie przesunięte', np.   A C D B E F   osoby tutaj mają takich samych sąsiadów, co przy ustawieniu   B E F A C D,  jest to więc to samo ustawienie.

Uwaga: powyższa własność znika, jeśli, np. krzesła byłyby ponumerowane - wtedy poza sąsiadami ma znaczenie numer krzesła.

W pewnym miejscu siada A. Po jego prawej ręce usiądzie jedna z 4 osób (C,D,E,F). Na prawo od tej osoby usiądzie już jedna z 3 osób. Kolejna będzie osoba B (na przeciwko A), następnie jedna z 2 pozostałych osób oraz 1 ostatnia osoba.

Uwaga: Czy możemy zamienić miejscami osoby A i B, żeby uzyskać więcej możliwości? Okazuje się, że nie - mielibyśmy powtórzone sytuacje (są one cyklicznym przesunięciem już istniejących i policzonych).

Ilość możliwości to: 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24


Zad. 5 Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25?

Jakie to są przypadki, że liczba jest podzielna przez 25? Kończy się cyframi: 00, 25, 50 lub 75. Tylko dwie z nich możemy uzyskać w tym zadaniu, 25 i 50 -rozpatrzmy je oddzielnie.

  1. Liczba z końcówką 25: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 3 cyfr (bez 2, 5, 0), następną spośród 3 cyfr (bez 2, 5 i bez tej, która była już wybrana), potem spośród 2 cyfr oraz 1 następną, po której następuje końcówka 25.
  1. Liczba z końcówką 50: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 4 cyfr (bez 0, 5), drugą spośród 3 pozostałych, następną spośród 2 oraz 1 ostatnią, przed końcówką 50.

Wynik: 3\cdot 3\cdot 2\cdot 1 + 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 42


Zad.6 Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były conajwyżej 2 piki.

Możliwości wylosowania 3 kart spełniających warunki:

  • losujemy 2 spośród 13 (piki) oraz losujemy 1 spośród 39 (pozostałe),
  • lub losujemy 1 spośród 13 oraz losujemy 2 spośród 39 (pik + dwie jakieś),
  • lub nie mamy żadnych pików oraz losujemy 3 spośród 39 (co spełnia warunek 'nie więcej niż 2 piki').

C^2_{13} \cdot C^1_{39} + C^1_{13} \cdot C^2_{39} + C^3_{39} =21814

Elementy statystyki opisowej - przykłady[edytuj]

Rozgrzewka[edytuj]

Zad.1 Tomek rzucił podczas meczu koszykówki 6 piłek za 2 punkty oraz dwie za 3 punkty. Ile zyskał średnio punktów na rzut? Ile wynosi mediana wśród uzyskanych punktów?

Średnia

Mamy wartości oraz ich liczebność, użyjemy wzoru:
\bar x = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2}{n_1 + n_2}
Oczywiście było  n1=6  piłek za  x1=2  punkty oraz  n2=2  piłki za  x2=3  punkty.

\bar x = \frac{2\cdot 6 + 3\cdot 2}{6+2} \,=\, 2,25

Mediana

Oddał razem  n=8  rzutów, liczymy medianę dla n parzystego, czyli średnią dwóch środkowych wartości w ciągu.

Stwórzmy ciąg niemalejący naszych wartości: 2 2 2 2 2 2 3 3

Me = \tfrac{2+2}{2} \,=\, 2



W woreczku mamy siedemnaście barwnych kulek w czterech kolorach. W każdym kolorze są co najmniej dwie kulki, w żadnym z kolorów nie ma tej samej liczby kulek. Najwięcej jest kulek zielonych.

Tomek ma za zadanie wyciągnąć z woreczka na ślepo (z zamkniętymi oczyma) tyle i tylko tyle kulek, aby być pewnym, że będzie miał w ręku co najmniej dwie kulki jednego z kolorów i co najmniej jedną kulkę jakiegoś innego koloru.

Ile kulek musi wyciągnąć Tomek aby być pewnym wyniku?