Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Zadania z rozwiązaniami

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka dla liceum
Podsumowanie	Spis treści	Ćwiczenia

Spis treści

1 Zadania z rozwiązaniami
- 1.1 Elementy kombinatoryki - przykłady
  - 1.1.1 Rozgrzewka
  - 1.1.2 Podstawa
- 1.2 Elementy statystyki opisowej - przykłady
  - 1.2.1 Rozgrzewka

[edytuj] Zadania z rozwiązaniami

[edytuj] Elementy kombinatoryki - przykłady

[edytuj] Rozgrzewka

Zad.1 Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

W zadaniu jest ukryty dodatkowy warunek - w uzyskanej liczbie pierwszą cyfrą nie może być 0 (0354 nie jest poprawna).

Pierwszą cyfrę możemy wybrać spośród 6-1= 5 elementów, ponieważ ignorujemy zero. Pozostaje 5 elementów, na tyle sposobów możemy wybrać drugą cyfrę. Odpada 1 element, trzecią wybieramy spośród 4 elementów i ostatnią spośród 3 elementów. Ilość możliwości wynosi:

$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 300$

Zad.2 (wariacja) Na ile sposobów czterech pasażerów może wsiąść do pociągu, jeśli każdy wybiera losowy wagon spośród sześciu?

Przydzielamy numer wagonu każdemu pasażerowi. Poprawna jest możliwość, że ten sam numer przypadnie wszystkim pasażerom. Jest to więc wybranie 4 wagonów spośród 6, przy czym mogą się one powtarzać. Można to przetłumaczyć na 'język kombinatoryki': na ile sposobów można wybrać ciąg 4 elementów (wagonów) ze zbioru 6-elementowego.

Jest to więc ilość wszystkich wariacji 4-wyrazowych (z powtórzeniami) zbioru 6-elementowego:

$\bar V^4_6 = 6^4 = 1296$

[edytuj] Podstawa

Zad.1 (permutacja) W kolejce stoi 5 osób, oznaczmy je: A, B, C, D, E. Na ile sposobów można przestawić osoby, tak aby między osobami A i B stała jedna inna osoba?

Przykładowy ciąg spełniający warunki zadania to: A, C, B, D, E.

1. Osoby A i B mogą stać na pozycjach oznaczonych x poniżej, możliwe są 3 poprawne ustawienia:

x _ x _ _

_ x _ x _

_ _ x _ x

2. Na ile sposobów możemy rozmieścić osoby A i B na odpowiednich (x) miejscach? Permutacji 2 elementowych jest: 2! = 2.

3. Na ile sposobów możemy rozmieścić osoby na pozostałych 'pustych miejscach'? Jest to permutacja 3 elementów: 3! = 6 sposoby.

Osoby można przestawić na $3 \cdot 2 \cdot 6 = 36$ sposobów.

Zad. 2 (kombinacja) W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów mozna wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne?

Zacznijmy od tego, jakie kule mogą nam się trafić, aby spełnione były warunki zadania. Są 2 przypadki, rozpatrzymy je oddzielnie (i zsumujemy wyniki):

2 czarne oraz inna kula
3 czarne kule

Przypadek 1.

Wybieramy 2 czarne kule spośród zbioru 6 kul czarnych oraz 1 kulę innego koloru spośród 14 pozostałych:

$C^2_6 \cdot C^1_{14} = 15 \cdot 14 = 210$

Przypadek 2.

Wybieramy 3 kule spośród 6 czarnych kul:

$C^3_6 = 20$

Razem mamy 20+210 = 230 sposobów.

Zad. 3 Ile różnych słów (mających sens lub nie) można ułożyć przez przestawienie liter w wyrazie "matematyka"?

Treść można przedstawić jako "na ile sposobów można ułożyć 10-wyrazowy ciąg mając 10 elementów", należy jednak odjąć powtórzenia. Możemy przecież zamienić litery 'm' w wyrazie matematyka, uzyskując ten sam wyraz ponownie.

Nasze rozwiązanie zmniejszy się o te powtórzenia (gdy wyraz się nie zmienia). Możemy zamienić: 2! razy literę m, ponownie 2! razy literę t oraz na 3! sposoby literę a. Podzielimy rozwiązanie (permutacja 10 elementów: 10!) przez ilości powtórzeń.

Wynikiem jest: $\frac {10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} = 151200$

Zad. 4 Na ile sposobów może usiąść przy okrągłym stole 6 osób, tak aby osoby A i B siedziały na przeciwko siebie?

Aby osoba A była na przeciwko B, musi być w ustawieniu typu

A _ _ B _ _

Osoby siedzą przy okrągłym stole, więc pewne ustawienia mogą powtarzać się jako 'cyklicznie przesunięte', np. A C D B E F osoby tutaj mają takich samych sąsiadów, co przy ustawieniu B E F A C D, jest to więc to samo ustawienie.

Uwaga: powyższa własność znika, jeśli, np. krzesła byłyby ponumerowane - wtedy poza sąsiadami ma znaczenie numer krzesła.

W pewnym miejscu siada A. Po jego prawej ręce usiądzie jedna z 4 osób (C,D,E,F). Na prawo od tej osoby usiądzie już jedna z 3 osób. Kolejna będzie osoba B (na przeciwko A), następnie jedna z 2 pozostałych osób oraz 1 ostatnia osoba.

Uwaga: Czy możemy zamienić miejscami osoby A i B, żeby uzyskać więcej możliwości? Okazuje się, że nie - mielibyśmy powtórzone sytuacje (są one cyklicznym przesunięciem już istniejących i policzonych).

Ilość możliwości to: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

Zad. 5 Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25?

Jakie to są przypadki, że liczba jest podzielna przez 25? Kończy się cyframi: 00, 25, 50 lub 75. Tylko dwie z nich możemy uzyskać w tym zadaniu, 25 i 50 -rozpatrzmy je oddzielnie.

Liczba z końcówką 25: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 3 cyfr (bez 2, 5, 0), następną spośród 3 cyfr (bez 2, 5 i bez pierwszej), potem spośród 2 cyfr oraz 1 następną, po której następuje końcówka 25.

Liczba z końcówką 50: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 4 cyfr (bez 0, 5), drugą spośród 3 pozostałych, następną spośród 2 oraz 1 ostatnią, przed końcówką 50.

Wynik: $3\cdot 3\cdot 2\cdot 1 + 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 42$

Zad.6 Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były conajwyżej 2 piki.

Możliwości wylosowania 3 kart spełniających warunki:

losujemy 2 spośród 13 (piki) oraz losujemy 1 spośród 39 (pozostałe),
lub losujemy 1 spośród 13 oraz losujemy 2 spośród 39 (pik + dwie jakieś),
lub nie mamy żadnych pików oraz losujemy 3 spośród 39 (co spełnia warunek 'nie więcej niż 2 piki').

$C^2_{13} \cdot C^1_{39} + C^1_{13} \cdot C^2_{39} + C^3_{39}$

[edytuj] Elementy statystyki opisowej - przykłady

[edytuj] Rozgrzewka

Zad.1 Tomek rzucił podczas meczu koszykówki 6 piłek za 2 punkty oraz dwie za 3 punkty. Ile zyskał średnio punktów na rzut? Ile wynosi mediana wśród uzyskanych punktów?

Średnia

Mamy wartości oraz ich liczebność, użyjemy wzoru:
$\bar x = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2}{n_1 + n_2}$
Oczywiście było n₁=6 piłek za x₁=2 punkty oraz n₂=2 piłki za x₂=3 punkty.

$\bar x = \frac{2\cdot 6 + 3\cdot 2}{6+2} \,=\, 2,25$

Mediana

Oddał razem n=8 rzutów, liczymy medianę dla n parzystego, czyli średnią dwóch środkowych wartości w ciągu.

Stwórzmy ciąg niemalejący naszych wartości: 2 2 2 2 2 2 3 3

$Me = \tfrac{2+2}{2} \,=\, 2$

« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 »

Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Zadania z rozwiązaniami

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Zadania z rozwiązaniami

[edytuj] Elementy kombinatoryki - przykłady

[edytuj] Rozgrzewka

[edytuj] Podstawa

[edytuj] Elementy statystyki opisowej - przykłady

[edytuj] Rozgrzewka

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia