Matematyka dla liceum/Stereometria/Wielościany w zadaniach

Wielościany w zadaniach

Graniastosłupy

(przekątne)
Zad. Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu, którego bok ma długości a, natomiast kąt rozwarty ma miarę 120^o. Wysokość bryły wynosi $a\sqrt{3}$. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

dane: wysokość $H=a\sqrt{3}$, boki podstawy a, kąt w podstawie 120.

Przekątne graniastosłupa są podobne do przekątnych podstawy, jedynie, łączą one wierzchołek dolnej i górnej podstawy. Znajdują się więc 'nad' przekątnymi rombu, nachylone pod pewnym kątem, jak na rysunku pierwszym. Podstawą jest romb (rysunek drugi) o kątach wynoszących 120 oraz 60 stopni (z: suma kątów przy boku wynosi 180), przez co romb dzieli się na trójkąty 30-60-90, ADS.

Plik:Prism lozenge diagonals.png

Znajdujemy długości przekątnych podstawy - z własności trójkąta 30-60-90.

$|AD| = 2|DS| \qquad |AS| = \sqrt{3}|DS| = \frac{\sqrt{3}|AD|}{2}$

po obliczeniach: $f=a, \; e=a\sqrt{3}$

Aby znaleźć długości przekątnych bryły, rozpatrzymy trójkąty tworzone przez nie z krawędzią boczną i przekątnymi podstawy.

Wykorzystujemy przekątne podstawy w trójkątach z d₁ i d₂. Z tw. Pitagorasa obliczamy przekątne graniastosłupa.

$d_1^{\;2} = (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{3})^2 \qquad d_2^{\;2} = (a\sqrt{3})^2 + a^2$

$d_1 = a\sqrt{6} \qquad d_2 = 2a$

---