Spis treści

1 Funkcje trygonometryczne

[edytuj] Funkcje trygonometryczne

[edytuj] Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Funkcje trygonometryczne są głównymi pojęciami trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych:

sinus (czyt. sinus), symbol: sin
cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos
tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan
cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, cot, ctn
secans (czyt. sekans), symbol: sec,
cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc

Argumentami funkcji trygonometrycznych mogą być:

kąt skierowany
liczba rzeczywista

DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Sinusem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do przeciwprostokątnej

$\sin\alpha = {a \over c}$

Cosinusem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ do przeciwprostokątnej

$\cos\alpha = {b \over c}$

Tangensem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$ do przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$

$tg\alpha = {a \over b}$

Cotangensem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$ do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $\alpha$

$ctg\alpha = {b \over a}$ lub $ctg\alpha = {1 \over tg\alpha}$

Secansem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej przy kącie $\alpha$

$\sec\alpha = {c \over b}$ lub $\sec\alpha = { 1 \over \cos\alpha}$

Cosecansem kąta ostrego $\alpha$ nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta $\alpha$

$\csc\alpha = {c \over a}$ lub $\csc\alpha = {1 \over \sin\alpha}$

[edytuj] Miara łukowa kąta

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^\circ$ . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^\circ$ :

$\frac{L}{\mbox{Ob}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

ponieważ $\mbox{Ob}=2\pi r$ , otrzymujemy:

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

zatem:

$L=\frac{2\pi \cdot 60^\circ r}{360^\circ}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) r$

Jak łatwo zauważyć wartość $\left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^\circ$ . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt $\varphi_\circ$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=\left(\frac{2\pi \varphi_\circ}{360^\circ}\right) r=\left(\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}\right) r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt $\varphi_\circ$ jest wyrażony w stopniach, $\varphi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$\varphi=\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast $\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}$ pisze się po prostu $\frac{\pi}{2}$ .

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $\alpha$ . Wówczas wykorzystując zależność $\alpha=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ}$ otrzymujemy zależność:

$L=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} r=\alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

$\frac{L}{r}=\alpha$

DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi $\alpha$ , który wyznacza ten łuk:

$\alpha=\frac{L}{r}$

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^\circ$ , a w radianach $\frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ}\mbox{ rad}=2\pi\mbox{ rad}$ . Zatem:

$2\pi\mbox{ rad}=360^\circ$

$\pi\mbox{ rad}=180^\circ$

$\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}=90^\circ$

$\frac{\pi}{3}\mbox{ rad}=60^\circ$

$\frac{\pi}{4}\mbox{ rad}=45^\circ$

$\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}=30^\circ$

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

$\mbox{radiany}=\frac{\mbox{stopnie} \cdot \pi}{180^\circ}$

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

$\mbox{stopnie}=\frac{\mbox{radiany} \cdot 180^\circ}{\pi}$

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a) $30^\circ$

b) $45^\circ$

c) $150^\circ$

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^\circ$

$x$ - $30^\circ$

czyli:

$\frac{2\pi}{x}=\frac{360^\circ}{30^\circ}$

$x=\frac{2\pi \cdot 30^\circ}{360^\circ}$

$x=\frac{\pi}{6}$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{30^\circ \pi}{180^\circ}$

$x=\frac{\pi}{6}$

b) $x=\frac{45^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}$

c) $x=\frac{150^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}$

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a) $\frac{\pi}{10}$

b) $\frac{2\pi}{3}$

b) $\frac{9\pi}{5}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^\circ$

$\frac{\pi}{10}$ - $x$

zatem:

$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{10}}=\frac{360^\circ}{x}$

$20=\frac{360^\circ}{x}$

$20x=360^\circ$

$x=18^\circ$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{\frac{\pi}{10} \cdot 180^\circ}{\pi}=18^\circ$

b) $x=\frac{\frac{2\pi}{3} \cdot 180^\circ}{\pi}=120^\circ$

c) $x=\frac{\frac{9\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi}=36^\circ \cdot 9=324^\circ$

[edytuj] Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

[edytuj] Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta $\alpha$ jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.


Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu $\overrightarrow {AOB}$ na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

[edytuj] Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

DEFINICJA

{{{1}}}

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P(3,1)$ . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P(3,1)$ :

$\sin\alpha={y \over r}={1 \over \sqrt{1^2+3^2}}={1 \over \sqrt{10}}={\sqrt{10} \over 10}$
$\cos\alpha={x \over r}={3 \over \sqrt{1^2+3^2}}={3 \over \sqrt{10}}={3\sqrt{10} \over 10}$
$tg \alpha={y \over x}={1 \over 3}$
$ctg \alpha={x \over y}={3 \over 1}=3$

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-3,4)$ . Wyznaczmy $\sin \alpha$ , $\cos \alpha$ , $tg \alpha$ , $ctg \alpha$ .

$\sin\alpha={4 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={4 \over \sqrt{25}}={4 \over 5}$
$\cos\alpha={-3 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={-3 \over \sqrt{25}}=-{3 \over 5}$
$tg \alpha={4 \over -3}=-{4 \over 3}$
$ctg \alpha={-3 \over 4}=-{3 \over 4}$

Przykład 3.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-2,-4)$ . Obliczmy $\sin \alpha$ , $\cos \alpha$ , $tg \alpha$ , $ctg \alpha$ .

$\sin\alpha={-4 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{2 \sqrt{5} \over 5}$
$\cos\alpha={-2 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{\sqrt{5} \over 5}$
$tg \alpha={-4 \over -2}=2$
$ctg \alpha={-2 \over -4}={1 \over 2}$

[edytuj] Własności funkcji trygonometrycznych

[edytuj] Znak funkcji trygonometrycznej

Funkcja	I	II	III	IV
$sin\alpha$	+	+	-	-
$cos\alpha$	+	-	-	+
$tg\alpha$	+	-	+	-
$ctg\alpha$	+	-	+	-

Czy wiesz, że...

Powyższe znaki funkcji trygonometrycznych można nauczyć się stosując prosty wierszyk: "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". (inna wersja pierwszego zdania: W pierwszej ćwiartce same plusy, ...)

[edytuj] Parzystość i nieparzystość

Funkcja $\cos\alpha$ jest parzysta, czyli zachodzi:

$\cos\alpha=\cos(-\alpha)$

Natomiast funkcje $\sin\alpha$ , $tg\alpha$ i $ctg\alpha$ są nieparzyste, czyli:

$-\sin\alpha=\sin(-\alpha)$

$-tg\alpha=tg(-\alpha)$

$-ctg\alpha=ctg(-\alpha)$

[edytuj] Okresowość

Dla funkcji trygonometrycznych $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $tg\alpha$ , $ctg\alpha$ , gdzie $\alpha$ jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:

$sin(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\sin\alpha$

$cos(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$

$tg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=tg\alpha$

$ctg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=ctg\alpha$

[edytuj] Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\$
$tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
$ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$tg\alpha \cdot ctg\alpha=1$

[edytuj] Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą, funkcji cosinus cosinusoidą, funkcji tangens tangensoidą, a funkcji cotangens cotangensoidą.

Na podstawie wykresu poszczególnych funkcji trygonometrycznych można oszacować cechy tej funkcji:

Sinusoida

$D_f=\mathbb{R}$
$ZW_f= [-1; 1] \,$
$T = 2\pi\$
$f(x) = 0$ dla $x = k\pi\$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

Cosinusoida

$D_f=\mathbb{R}$
$ZW_f= [-1; 1] \,$
$T = 2\pi\$
$f(x) = 0$ dla $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
parzystość
okresowość

Tangensoida

$D_f= \mathbb{R} \backslash \{ \frac{\pi}{2} + k \pi \}$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
$ZW_f= \mathbb{R}$
$T = \pi\$
$f(x) = 0$ dla $x = k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
asymptoty pionowe $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

Cotangensoida

$D_f= \mathbb{R} \backslash \{ k\pi \}$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
$ZW_f= \mathbb{R}$
$T = \pi\$
$f(x) = 0$ dla $x = \frac{\pi}{2}+ k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
asymptoty pionowe $x = k\pi$ gdzie $k \in \mathbb{Z}$
nieparzystość
okresowość

[edytuj] Szkicowanie wykresu funkcji trygonometrycznych

Szkicowanie zaczynamy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na osi OY wartości:

w przypadku sinusa i cosinusa: od -1 do 1,
w przypadku tagensa i cotangensa od -4 do 4.

Natomiast na osi OX wartości od $-\pi$ do $3\pi$ . Zakładam, że będziesz rysował wykres na kartce w kratkę, więc zalecam byś przyjął jako jednostkę na osi Y 2 kratki. Wykonując podziałkę na osi X nanieś ją w następujący sposób:

większymi kreskami co kratkę, będą to wartości rosnące co $\frac{\pi}{6}$
mniejszymi kreskami co półtorej kratki, będą to wartości rosnące co $\frac{\pi}{4}$

Gdy mamy tak przygotowany wykres możemy przystąpić to nanoszenia punktów przez które wiemy, że funkcja będzie na pewno przechodziła (z tabeli), a następnie korzystając z wzorów redukcyjnych możemy je zaznaczyć dla dowolnego kąta.

Tak zaznaczone punkty łączymy płynną linią i gotowe.

Uwaga! W przypadku kreślenia wykresu funkcji tangens i cotangens należy zaznaczyć asymptotę linią przerywaną.

[edytuj] Tożsamości trygonometryczne

[edytuj] Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

[edytuj] Dowód prawdziwości $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ :

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c}\right )^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ ponieważ

$a^2 + b^2 = c^2 \Big/ \cdot \frac{1}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}$

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

[edytuj] Dowód prawdziwości $tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ \frac{a}{c} }{ \frac{b}{c} } = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b}$

[edytuj] Dowód prawdziwości $ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{ \frac{b}{c} }{ \frac{a}{c} } = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a}$

[edytuj] Dowód prawdziwości $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$

[edytuj] Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

[edytuj] Funkcje sumy i różnicy kątów

$\sin ( \alpha + \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\sin ( \alpha - \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta - cos\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha + \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - sin\alpha\cdot\sin\beta$

$\cos ( \alpha - \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta + sin\alpha\cdot\sin\beta$

$tg (\alpha + \beta) = \frac{ tg\alpha + tg\beta }{ 1-tg\alpha \cdot tg\beta }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha + \beta)\neq \;0$

$tg (\alpha - \beta) = \frac{ tg\alpha - tg\beta }{ 1+tg\alpha \cdot tg\beta }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha - \beta) \neq \; 0$

$ctg (\alpha + \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1 }{ ctg\alpha + ctg\beta }$ , jeżeli $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha + \beta) \neq \; 0$

$ctg (\alpha - \beta) = \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1 }{ ctg\beta - ctg\alpha }$ , jeżeli $\sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha - \beta) \neq \; 0$

[edytuj] Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych kątów o miarach $\alpha$ i $\beta$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

[edytuj] Funkcje kąta podwójnego

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$tg 2\alpha = \frac{ 2tg\alpha }{ 1-tg^2 \alpha }$ , jeżeli $\cos\alpha \neq \; 0 \land \cos 2\alpha \neq \; 0$

$ctg 2\alpha = \frac{ ctg^2 \alpha - 1 }{ 2ctg\alpha }$ , jeżeli $\sin 2\alpha \neq \; 0$

[edytuj] Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

$\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$ $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ $tg(-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(-\alpha) = - ctg(\alpha)$	$\sin(90-\alpha) = \cos(\alpha)$ $\cos(90-\alpha) = \sin(\alpha)$ $tg(90-\alpha) = ctg(\alpha)$ $ctg(90-\alpha) = tg(\alpha)$	$\sin(90+\alpha) = \cos(\alpha)$ $\cos(90+\alpha) = -\sin(\alpha)$ $tg(90+\alpha) = - ctg(\alpha)$ $ctg(90+\alpha) = -tg(\alpha)$
$\sin(180-\alpha) = \sin(\alpha)$ $\cos(180-\alpha) = -\cos(\alpha)$ $tg(180-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(180-\alpha) = -ctg(\alpha)$	$\sin(180+\alpha) = -\sin(\alpha)$ $\cos(180+\alpha) = -\cos(\alpha)$ $tg(180+\alpha) = tg(\alpha)$ $ctg(180+\alpha) = ctg(\alpha)$	$\sin(270-\alpha) = -\cos(\alpha)$ $\cos(270-\alpha) = -\sin(\alpha)$ $tg(270-\alpha) = ctg(\alpha)$ $ctg(270-\alpha) = tg(\alpha)$
$\sin(270+\alpha) = -\cos(\alpha)$ $\cos(270+\alpha) = \sin(\alpha)$ $tg(270+\alpha) = -ctg(\alpha)$ $ctg(270+\alpha) = -tg(\alpha)$	$\sin(360-\alpha) = - \sin(\alpha)$ $\cos(360-\alpha) = \cos(\alpha)$ $tg(360-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(360-\alpha) = - ctg(\alpha)$

Na szczęście nie trzeba uczyć się na pamięć powyższej tabeli. Wystarczy przyswoić sobie dwa zdroworozsądkowe fakty z niej wynikające:

gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się w cosinus i na odwrót, a tangens w cotangens i na odwrót
o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie, gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna, to dopisujemy znak minus np.:
$cos(270+\alpha) = sin(\alpha)$ – ponieważ cosinus w IV ćwiartce $(270+\alpha)$ jest dodatni
$cos(90+\alpha) = -sin(\alpha)$ – ponieważ cosinus w II ćwiartce $(90+\alpha)$ jest ujemny
$tg(180-\alpha) = -tg(\alpha)$ – ponieważ tangens w II ćwiartce $(180-\alpha)$ jest ujemny

Łatwo zapamiętać, gdzie pojawia się znak minus, używając "praktycznej poezji matematycznej":

W pierwszej ćwiartce same plusy
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus

[edytuj] Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być: