Matematyka dla liceum/Trygonometria/Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

DEFINICJA Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta $\alpha$ jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

DEFINICJA Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu $\overrightarrow {AOB}$ na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

DEFINICJA {{{1}}}

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta $\alpha$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P(3,1)$. Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P(3,1)$:

• $\sin\alpha={y \over r}={1 \over \sqrt{1^2+3^2}}={1 \over \sqrt{10}}={\sqrt{10} \over 10}$
• $\cos\alpha={x \over r}={3 \over \sqrt{1^2+3^2}}={3 \over \sqrt{10}}={3\sqrt{10} \over 10}$
• $tg \alpha={y \over x}={1 \over 3}$
• $ctg \alpha={x \over y}={3 \over 1}=3$

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-3,4)$. Wyznaczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $tg \alpha$, $ctg \alpha$.

• $\sin\alpha={4 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={4 \over \sqrt{25}}={4 \over 5}$
• $\cos\alpha={-3 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={-3 \over \sqrt{25}}=-{3 \over 5}$
• $tg \alpha={4 \over -3}=-{4 \over 3}$
• $ctg \alpha={-3 \over 4}=-{3 \over 4}$

Przykład 3.

Kąt $\alpha$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P(-2,-4)$. Obliczmy $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $tg \alpha$, $ctg \alpha$.

• $\sin\alpha={-4 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{2 \sqrt{5} \over 5}$
• $\cos\alpha={-2 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{\sqrt{5} \over 5}$
• $tg \alpha={-4 \over -2}=2$
• $ctg \alpha={-2 \over -4}={1 \over 2}$