Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^\circ$. Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^\circ$:

$\frac{L}{\mbox{Ob}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

ponieważ $\mbox{Ob}=2\pi r$, otrzymujemy:

$\frac{L}{2\pi r}=\frac{60^\circ}{360^\circ}$

zatem:

$L=\frac{2\pi \cdot 60^\circ r}{360^\circ}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) r$

Jak łatwo zauważyć wartość $\left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^\circ$. W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt $\varphi_\circ$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=\left(\frac{2\pi \varphi_\circ}{360^\circ}\right) r=\left(\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}\right) r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt $\varphi_\circ$ jest wyrażony w stopniach, $\varphi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$\varphi=\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast $\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}$ pisze się po prostu $\frac{\pi}{2}$.

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $\alpha$. Wówczas wykorzystując zależność $\alpha=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ}$ otrzymujemy zależność:

$L=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} r=\alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

$\frac{L}{r}=\alpha$

DEFINICJA Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi $\alpha$, który wyznacza ten łuk: $\alpha=\frac{L}{r}$ Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^\circ$, a w radianach $\frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ}\mbox{ rad}=2\pi\mbox{ rad}$. Zatem:

• $2\pi\mbox{ rad}=360^\circ$

• $\pi\mbox{ rad}=180^\circ$

• $\frac{\pi}{2}\mbox{ rad}=90^\circ$

• $\frac{\pi}{3}\mbox{ rad}=60^\circ$

• $\frac{\pi}{4}\mbox{ rad}=45^\circ$

• $\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}=30^\circ$

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

$\mbox{radiany}=\frac{\mbox{stopnie} \cdot \pi}{180^\circ}$

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

$\mbox{stopnie}=\frac{\mbox{radiany} \cdot 180^\circ}{\pi}$

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a) $30^\circ$

b) $45^\circ$

c) $150^\circ$

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^\circ$

$x$ - $30^\circ$

czyli:

$\frac{2\pi}{x}=\frac{360^\circ}{30^\circ}$

$x=\frac{2\pi \cdot 30^\circ}{360^\circ}$

$x=\frac{\pi}{6}$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{30^\circ \pi}{180^\circ}$

$x=\frac{\pi}{6}$

b) $x=\frac{45^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}$

c) $x=\frac{150^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}$

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a) $\frac{\pi}{10}$

b) $\frac{2\pi}{3}$

b) $\frac{9\pi}{5}$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:

$2\pi$ - $360^\circ$

$\frac{\pi}{10}$ - $x$

zatem:

$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{10}}=\frac{360^\circ}{x}$

$20=\frac{360^\circ}{x}$

$20x=360^\circ$

$x=18^\circ$

II sposób, wykorzystując wzór:

$x=\frac{\frac{\pi}{10} \cdot 180^\circ}{\pi}=18^\circ$

b) $x=\frac{\frac{2\pi}{3} \cdot 180^\circ}{\pi}=120^\circ$

c) $x=\frac{\frac{9\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi}=36^\circ \cdot 9=324^\circ$