Matematyka dla liceum/Trygonometria/Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:

• $\sin x=-\frac{1}{2}$
• $\cos^2 x + \sin x=-\frac{1}{2}$
• $tg x=100$

TWIERDZENIE Równanie postaci $\sin x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a \in [-1;1]$: $x=x_0+2k\pi$ lub $x=\pi-x_0+2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ i $\sin x_0=a$ Równanie postaci $\cos x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a \in [-1;1]$: $x=x_0+2k\pi$ lub $x=-x_0+2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ i $\cos x_0=a$ Równanie postaci $tg x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań: $x=x_0+k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ i $tg x_0=a$ Równanie postaci $ctg x=a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań: $x=x_0+k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$ i $ctg x_0=a$

Przykład 1. Rozwiążmy równanie $\sin x={1 \over 2}$:

Ponieważ ${1 \over 2}=\sin \frac{\pi}{6}$, więc $x_0=\frac{\pi}{6}$

Stąd mamy:

$x=x_0+2k\pi={\pi \over 6}+2k\pi$

lub $x=\pi-x_0+2k\pi=\left(\pi - {\pi \over 6}\right)+2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x={\pi \over 6}+2k\pi$ lub $x={5\pi \over 6}+2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przykład 2. Rozwiążmy równanie $\cos x=-{\sqrt{3} \over 2}$:

$\cos x=-{\sqrt{3} \over 2}=\cos\frac{5\pi}{6}$

Zatem:

$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ lub $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Przykład 3. Rozwiążmy równanie $tg x=-1$:

$tg x=-1=tg(-{\pi \over 4})$

Zatem:

$x=-{\pi \over 4}+k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=-{\pi \over 4}+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.