Matematyka dla liceum/Trygonometria/Własności funkcji trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych

Znak funkcji trygonometrycznej

Funkcja	I	II	III	IV
$sin\alpha$	+	+	-	-
$cos\alpha$	+	-	-	+
$tg\alpha$	+	-	+	-
$ctg\alpha$	+	-	+	-

Czy wiesz, że... Powyższe znaki funkcji trygonometrycznych można nauczyć się stosując prosty wierszyk: "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". (inna wersja pierwszego zdania: W pierwszej ćwiartce same plusy, ...)

Parzystość i nieparzystość

Funkcja $\cos\alpha$ jest parzysta, czyli zachodzi:

$\cos\alpha=\cos(-\alpha)$

Natomiast funkcje $\sin\alpha$, $tg\alpha$ i $ctg\alpha$ są nieparzyste, czyli:

$-\sin\alpha=\sin(-\alpha)$

$-tg\alpha=tg(-\alpha)$

$-ctg\alpha=ctg(-\alpha)$

Okresowość

Dla funkcji trygonometrycznych $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $tg\alpha$, $ctg\alpha$, gdzie $\alpha$ jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:

$sin(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\sin\alpha$

$cos(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\cos\alpha$

$tg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=tg\alpha$

$ctg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=ctg\alpha$

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\$
• $tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
• $ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• $tg\alpha \cdot ctg\alpha=1$