Matematyka dla liceum/Trygonometria/Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

$\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$ $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ $tg(-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(-\alpha) = - ctg(\alpha)$	$\sin(90-\alpha) = \cos(\alpha)$ $\cos(90-\alpha) = \sin(\alpha)$ $tg(90-\alpha) = ctg(\alpha)$ $ctg(90-\alpha) = tg(\alpha)$	$\sin(90+\alpha) = \cos(\alpha)$ $\cos(90+\alpha) = -\sin(\alpha)$ $tg(90+\alpha) = - ctg(\alpha)$ $ctg(90+\alpha) = -tg(\alpha)$
$\sin(180-\alpha) = \sin(\alpha)$ $\cos(180-\alpha) = -\cos(\alpha)$ $tg(180-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(180-\alpha) = -ctg(\alpha)$	$\sin(180+\alpha) = -\sin(\alpha)$ $\cos(180+\alpha) = -\cos(\alpha)$ $tg(180+\alpha) = tg(\alpha)$ $ctg(180+\alpha) = ctg(\alpha)$	$\sin(270-\alpha) = -\cos(\alpha)$ $\cos(270-\alpha) = -\sin(\alpha)$ $tg(270-\alpha) = ctg(\alpha)$ $ctg(270-\alpha) = tg(\alpha)$
$\sin(270+\alpha) = -\cos(\alpha)$ $\cos(270+\alpha) = \sin(\alpha)$ $tg(270+\alpha) = -ctg(\alpha)$ $ctg(270+\alpha) = -tg(\alpha)$	$\sin(360-\alpha) = - \sin(\alpha)$ $\cos(360-\alpha) = \cos(\alpha)$ $tg(360-\alpha) = - tg(\alpha)$ $ctg(360-\alpha) = - ctg(\alpha)$

Na szczęście nie trzeba uczyć się na pamięć powyższej tabeli. Wystarczy przyswoić sobie dwa zdroworozsądkowe fakty z niej wynikające:

• gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się w cosinus i na odwrót, a tangens w cotangens i na odwrót
• o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie, gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna, to dopisujemy znak minus np.:
  $cos(270+\alpha) = sin(\alpha)$ – ponieważ cosinus w IV ćwiartce $(270+\alpha)$ jest dodatni
  $cos(90+\alpha) = -sin(\alpha)$ – ponieważ cosinus w II ćwiartce $(90+\alpha)$ jest ujemny
  $tg(180-\alpha) = -tg(\alpha)$ – ponieważ tangens w II ćwiartce $(180-\alpha)$ jest ujemny

Łatwo zapamiętać, gdzie pojawia się znak minus, używając "praktycznej poezji matematycznej":

W pierwszej ćwiartce same plusy
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus