Matematyka dla liceum/Wersja do druku

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania


Matematyka dla liceum




Róg strony.svg
 
 




Róg strony.svg
 
 

Spis treści



Zaczynamy

Zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Pojęcia tego nie definiujemy – jest ono pojęciem pierwotnym. Czasami, zamiast „zbiór” możemy powiedzieć „rodzina”, „przestrzeń”, czy „kolekcja”. Zbiór będziemy intuicyjnie rozumieć jako pewną całość złożoną z wielu obiektów, które będziemy nazywać elementami tego zbioru. Jeszcze bardziej obrazowo, zbiór można przedstawić jako worek, wypełniony przedmiotami, które są elementami zbioru.

Popatrzmy na przykłady:

  • zbiór ciastek,
  • zbiór liczb całkowitych nieparzystych,
  • zbiór uczniów w klasie.


Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręce cztery cukierki – jeden o smaku cytrynowym, drugi o smaku truskawkowym, trzeci o smaku jabłkowym, a czwarty o smaku waniliowym. Zbiory są oznaczane zazwyczaj dużymi literami alfabetu, np. A, B, C, D. Możemy nasz zbiór cukierków nazwać literą C (oczywiście, od słowa „cukierki”).

Element (przedmiot), który należy do pewnego zbioru, najczęściej oznaczamy małą literą, np. x, y, z. W związku z tym, oznaczmy cukierek cytrynowy jako c, truskawkowy jako t, jabłkowy jako j, a waniliowy jako w.

Jeśli element a należy do zbioru A, zapisujemy to  a \in A i czytamy „element a należy do zbioru A. Możemy zapisać, używając naszych oznaczeń, że cukierek truskawkowy t należy do naszego zbioru cukierków C jako  t \in C .

Podobnie, aby zaznaczyć, że dany element nie należy do zbioru, użyjemy zapisu  a \notin A -czyli a nie należy do zbioru A. Ponieważ nie posiadamy cukierka pomarańczowego p, cukierek p nie należy do naszego zbioru cukierków C, co zapiszemy:  p \notin C .

Aby oznaczyć, że wymieniane elementy tworzą razem zbiór (lub odwrotnie, że zbiór składa się z danych elementów), umieszczamy je w nawiasach klamrowych. Nasz zbiór C składa się z cukierka cytrynowego c, truskawkowego t, jabłkowego j i waniliowego w, więc możemy zapisać  C=\{c,t,j,w\}\ .

Liczbę elementów zbioru A oznaczamy |A|\ i nazywamy mocą zbioru A. W przykładzie z cukierkami powiemy, że moc zbioru cukierków C wynosi 4, co zapiszemy  |C| = 4\ .

Ze względu na liczbę elementów w zbiorze, wyróżniamy zbiory skończone, np. nasz zbiór cukierków, oraz zbiory nieskończone, np. zbiór liczb rzeczywistych.

Szczególnym przypadkiem zbioru jest zbiór pusty, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go  \varnothing lub  \emptyset .

Zbiory liczb[edytuj]

Wyróżniamy pewne zbiory liczb, które odgrywają istotną rolę w matematyce; do najważniejszych zaliczamy:

  • zbiór liczb naturalnych,
  • zbiór liczb całkowitych,
  • zbiór liczb wymiernych,
  • zbiór liczb niewymiernych,
  • zbiór liczb rzeczywistych.

Przyjrzymy się teraz pokrótce każdemu z nich. Przedstawionych niżej opisów nie można traktować jako definicji tych zbiorów, ale raczej jako luźne wytłumaczenie tych pojęć, które może zawierać pewne nieścisłości.

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, startując od 0 (co może trwać bardzo długo...). Zbiór liczb naturalnych jest więc zbiorem wszystkich takich liczb. Liczbą naturalną jest więc 4, 1001 i 100000000000. Liczbą naturalną nie będzie natomiast -5, czy też 2,5 lub π.

W matematyce, zbiór liczb naturalnych jest z reguły oznaczany przez  \mathbb{N} . Ponieważ początkowe liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., zbiór liczb naturalnych będzie równy

 \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} .

Należy dodać, że czasami przyjmuje się, że 0 nie należy do naturalnych.

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Co to znaczy, że liczba jest całkowita? Liczba całkowita, to liczba postaci -1, -5, 1000, czyli liczby całkowite różnią się od naturalnych tym, że mogą być ujemne. Liczbą całkowitą znowu nie będzie π, jako że π = 3,14..., więc ma jakąś niezerową część ułamkową.

Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać przez  \mathbb{Z} . Widzimy, że

 \mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} .
  • Ciekawostka
    Mała dygresja dla bardziej spostrzegawczych. Niektórzy może zarzucą, dlaczego  \mathbb{Z} , a nie  \mathbb{C} . To prawda, że w wielu podręcznikach szkolnych używa się literki C do oznaczania zbioru liczb całkowitych, jednak w rzeczywistości, większość podręczników dotyczących matematyki zawiera oznaczenie  \mathbb{Z} . Są to jednocześnie oznaczenia międzynarodowe, ponadto, używane są na uczelniach wyższych. Z podobnych względów oznaczymy zbiór liczb wymiernych literką \mathbb{Q}.

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera. Liczbami wymiernymi będą: 1, 2,  \tfrac{-3}{5} , \tfrac{10\,000}{-99\,999\,999}, czy też 2,7563. Czy będzie nią liczba π? Okazuje się, że nie - ponieważ liczba π jest na tyle skomplikowana, że nie da się jej zapisać w postaci ułamka zwykłego (ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone).

Zbiór liczb wymiernych w matematyce oznaczamy przez  \mathbb{Q} .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Jest to "uniwersalny worek", ponieważ wszystkie liczby (których będziemy używać w liceum) są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie zbiory liczb, opisane wyżej, możemy do tego "worka" włożyć. Tak więc.. przykładem może być każda liczba, jaka przyjdzie do głowy.

Czym charakteryzują się liczby rzeczywiste? Otóż posiadają one w zapisie dziesiętnym cyfry od 0 do 9, mogą posiadać znak minus i część ułamkową po przecinku, ale nic więcej. Można by zapytać: jaka liczba nie spełnia tych warunków? Istnieje, na przykład, pewien zbiór (jest on jednakże w programie uczelni wyższych) liczb zespolonych [1] (oznaczenie:  \mathbb{C} ).

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez  \mathbb{R} .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Jest to dopełnienie zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że każda liczba, która nie mogła być liczbą wymierną, będzie liczbą niewymierną (i żadna inna). Są to wszystkie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownikliczbami całkowitymi. Tu też znajdzie się liczba π i pierwiastki takie jak np. pierwiastek z trzech czy pięciu, ale nie z czterech, gdyż wynosi on 2. Z kolei, nie będą już liczbami niewymiernymi:1, 2,  \tfrac{-3}{5} , \tfrac{10\,000}{-99\,999\,999} (do niewymiernych należą te liczby rzeczywiste, które nie są wymiernymi).

Zbiór liczb niewymiernych będziemy oznaczać przez  \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} (co można tłumaczyć jako "zbiór liczb rzeczywistych  \mathbb{R} bez liczb wymiernych  \mathbb{Q} ", symbol \setminus oznacza różnicę zbiorów).

Porada Zbiory liczb wymiernych (w szkołach) zapisuje się jako  \mathbb{W} , całkowitych jako  \mathbb{C}, a niewymiernych -  \mathbb{NW}. Można też używać 'zwykłych' liter, zamiast tych z podwójną linią. - po prostu jako 'N', 'C' 'NW'

Zbiory - więcej[edytuj]


  1. Więcej o liczbach zespolonych można znaleźć np. na Wikipedii.


Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki[edytuj]

Potęga o wykładniku całkowitym[edytuj]

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

 \begin{matrix}
a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\
 & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\
\end{matrix} \mbox{ dla } n>0
 a^n=1 \mbox{ dla } n=0 \mbox{ i } a \neq 0

Pamiętajmy o tym, że  0^0 nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

  •  2^3=2 \sdot 2 \sdot  2=8
  •  3^4=3 \sdot 3 \sdot 3 \sdot 3 =81
  •  5^0=1\,

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi  a^n :

 a^{-n}=\frac{1}{a^n} \mbox{ dla } a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \mbox{ i } n \in \mathbb{N_+} .

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

  •  3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}
  •  2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}
  •  \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27
  •  (-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac{1}{16}

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

  •  a^n \sdot a^m=a^{n+m}
  •  \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
  •  \left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}
  •  (a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n
  •  \left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

  •  3^{-3} \cdot 3^3 = 3^{-3 + 3} = 3^0 = 1


  •  \frac{(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}} = (-7)^{-100-(-98)}= (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}


  •  \left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000


  •  (-5)^5 \cdot (-2)^3 = (-5)^2 \cdot (-5)^3 \cdot (-2)^3 = 25 \cdot ((-5)^3 \cdot (-2)^3) = 25 \cdot ((-5) \cdot (-2))^3 = 25 \cdot 10^3 = 25000

Pierwiastkowanie[edytuj]

Spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i n \in N, n \geq 2 oznaczany przez  \sqrt[n]{a} to liczba b \geq 0 , która spełnia zależność  b^n = a .

W  \sqrt[n]{a} liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

  • jeśli  b = \sqrt[n]{a} , to  b^n = a\ np.  4 = \sqrt[3]{64} , ponieważ 4^3 = 64;
  • ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza \sqrt[4]{-81};
  • n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. \sqrt[2]{a}, \sqrt[3]{a}, \sqrt[4]{a}, \sqrt[5]{a} itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby b^n = a, czyli:

\sqrt{9} = 3, ponieważ 3^2 = 9,
\sqrt[3]{125} = 5, ponieważ 5^3 = 125,
 \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} , ponieważ  \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako  \sqrt{a} zamiast  \sqrt[2]{a} .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

 \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

 \sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = - 3 ,
 \sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2 ,
 \sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5 .

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, oraz a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  •  \sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} ,
  •  \sqrt[n]{a \over b}={\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}} \mbox{ dla } b>0 ,
  •  \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a} ,
  •  \left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p} .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

  •  \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 6 \cdot 7 = 42 ,
  •  \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2}{5},
  •  \sqrt[3]{27^4} = \sqrt[3]{27}^4 = \sqrt[3]{3^3}^4 = 3^4 = 81 ,
  •  \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i  a \geq 0 zachodzą poniższe własności:

  •  \sqrt[n]{a^n} = a , ale
  •  \sqrt[n]{(-a)^n} = a .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego a \in \mathbb{R} zachodzi[2]:

  •  \sqrt[n]{a^n} = a

Zobaczmy na przykłady:

 \sqrt{5^2} = 5 , ale także  \sqrt{(-5)^2} = 5 , ponieważ  (-5)^2 = 25 = 5^2;
 \sqrt[3]{2^3} = 2 , ale  \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \neq 2 ;
 \sqrt[4]{8^4} = 8 , a także  \sqrt[4]{(-8)^4} = 8 ( 8^4 = (-8)^4);
 \sqrt[5]{7^5} = 7 , ale  \sqrt[5]{(-7)^5} = -7 \neq 7 .

Potęga o wykładniku wymiernym[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie  a \geq 0 i wykładniku  \mathbf{1 \over n} określamy wzorem:

 a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } a \geq 0

Popatrzmy na kilka przykładów:

  •  4^\frac{1}{2} = \sqrt{4}=2 ,
  •  25^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{25} = \sqrt[2 \cdot 2]{25} = \sqrt{\sqrt{25}} = \sqrt{5} ,
  •  27^\frac{1}{3}= \sqrt[3]{27}=3.

Nie wiemy, co oznacza  (-9)^\tfrac{1}{2} , czy też  (-27)^\tfrac{1}{3} . Co prawda   \sqrt[3]{-27} = -3 , ale wartość  (-27)^\tfrac{1}{3} pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie  a \geq 0 i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

 a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.
 a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}} \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

  •  4^\tfrac{3}{2} = \sqrt{4}^3 = 2^3 = 8 ,
  •  81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27
  •  27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  •  a^n \sdot a^m=a^{n+m} ,
  •  \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ,
  •  \left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m} ,
  •  (a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n ,
  •  \left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n} .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

  •  5^{30{,}5} \cdot 5^{-28{,}5} = 5^{30{,}5-28{,}5} = 5^2 = 25 ,
  •  \frac{16^{3{,}75}}{16^4} = 16^{3{,}75-4} = 16^{-0{,}25} = \frac{1}{16^{0{,}25}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} ,
  •  2^{\sqrt{2} - 1} \cdot 2^{3 - \sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2}} = 2^2 = 4 .

Działania na liczbach rzeczywistych[edytuj]

Kolejność wykonywania działań[edytuj]

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

 2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5
Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
 2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 5 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 25 .
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
 2 + 2 - 3 - 25 = 4 - 3 - 25 = 1 - 25 = -24.

Przykład 2.

 2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3}
Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
 2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3}
= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} .
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} =
 = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 4 \cdot 6 : 3} =
 = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 24 : 3} =
 = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8} ,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8}
= 8 + 9 + \sqrt{24 - 8}
= 8 + 9 + \sqrt{16}
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
 8 + 9 + \sqrt{16} = 8 + 9 + 4 .
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:
 8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

 2^{3+2} - \sqrt{2^{3-2} : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 2^5 -\sqrt{ 2^1 : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 32 - \sqrt{\frac{9}{4}} = 32 - \frac{3}{2} = 30{,}5

Przykład 4.

 \sqrt{(4^2 + 6^2):(2:13)} + 2 = \sqrt{(16 + 36):\frac{2}{13}} + 2
= \sqrt{52 \cdot \frac{13}{2}} + 2= 13\sqrt{2} + 2

Wzory skróconego mnożenia[edytuj]

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

  •  (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 (kwadrat sumy),
  •  (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 (kwadrat różnicy),
  •  a^2-b^2 = (a-b)(a+b) (różnica kwadratów),
  •  (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (sześcian sumy),
  •  (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 (sześcian różnicy),
  •  a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) (suma sześcianów),
  •  a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

  •  (3+5)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64 ,
  •  9^3 - 8^3 = (9-8)(9^2 + 9 \cdot 8 + 8^2) = 1 \cdot (81 + 72 + 64) = 217 ,
  •  (4+3)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3^2 + 3^3 = 64 + 144 + 108 + 27 = 343 ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 .

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 = (4-5)^3 = -1 .

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań[edytuj]

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

  •  a+b = b+a
  •  a \sdot b = b \sdot a

Czyli np.  10 + 20 = 20 + 10 , podobnie też  5 \cdot 6 = 6 \cdot 5. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ  5 - 6 = -1 \neq 6 - 5 = 1 czy też  6:2 = 3 \neq 2:6 = \frac{1}{3} .

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

a - b = a + (-b) = -b + a

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

  •  (a+b)+c = a+(b+c) ,
  •  (a \sdot b) \sdot c = a \sdot (b \sdot c) ,

czyli na przykład:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) , ponieważ
 (2+3) + 4 = 5 + 4 = 9 , a także
 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 .

Podobnie dla mnożenia:

 (3 \cdot 5) \cdot 2 = 3 \cdot (5 \cdot 2) , ponieważ
 (3 \cdot 5) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30
i  3 \cdot (5 \cdot 2) = 3 \cdot 10 = 30 .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

  •  (8 - 5) - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 8 - (5 - 2) = 8 - 3 = 5 , dosyć duża różnica.
  •   (12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2 \neq 12 : (2 : 3) = 12 : \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

  • jeśli  a+c=b+c , to  a=b (skreśliliśmy c),
  • jeśli  a \sdot c=b \sdot c i c \neq 0, to  a=b (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

  • Jeśli  a + 10 = 20 + 10 , to  a = 20 .
  • Jeśli  a \cdot 3 = 4 \cdot 3 , to  a = 4 .

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

  • prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
     a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c
  • prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
     a \cdot (b-c)=a \cdot b - a \cdot c
  • prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
     \frac{(a+b)}{c}= \frac{a}{c}+\frac{b}{c}
  • prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:
     \frac{(a-b)}{c}= \frac{a}{c}-\frac{b}{c}

Zobaczmy na kilka przykładów:

 5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25 ,
podobnie:
 (25 - 10) : 5 = 25:5 - 10:5 = 5 - 2 = 3 ,
a także:
 15 \cdot 28 = 15 \cdot (30-2) = 15 \cdot 30 - 15 \cdot 2 = 450 - 30 = 420

Ważną obserwacją jest na przykład:

 10 + 0 = 0 + 10 = 10 ,
 -5 + 0 = -5 ,
 0 + 3\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2} .

Ze względu na tę własność, mianowicie  a+0=0+a=a , liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ  a \cdot 1=1 \sdot a=a np.

 10 \cdot 1 = 10 ,
 1 \cdot 4 = 4 ,
 -3 \cdot 1 = -3 .

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi  a : 1 = a , jednak  a : 1 \neq 1 : a , np.  5 : 1 \neq 1 : 5 = \frac{1}{5}. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

 a+(-a)=0 .

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna  \mathbf\frac{1}{a} spełniająca warunek:

 a \sdot \frac{1}{a}=1 .

Liczbą odwrotną do 2 będzie \frac{1}{2}, do -10 będzie  -\frac{1}{10} , do  \frac{3}{7} będzie  \frac{7}{3} , a do  -\pi będzie  -\frac{1}{\pi}.

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

 (a \sdot b = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy  a=0 \mbox{ lub } b=0 ,

np.  2 \cdot a = 0 jedynie wtedy, gdy  a = 0 .

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.


Przypisy


  1. W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także  0^0=1 (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
  2. Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.


Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania[edytuj]

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  •  x = 1 ,
  •  t + 2 = 3 ,
  •  x + 2y = 7 ,
  •  z^2 - 5 = -1 ,
  •  a^2 + b^2 = c^2 .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania  x = 1 jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

 1 = 1 ,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np.  x = 3 . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

 3 = 1 ,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład,  t + 2 = 3 ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

 1 + 2 = 3
 3 = 3

zatem t = 1 będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania z^2 - 5 = -1 rozwiązaniem będzie  z = 2 lub  z=-2 , ponieważ:

 2^2 - 5 = -1
 -1 = -1
 (-2)^2 -5 = -1
 4-5=-1 i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie z = 3, ponieważ:

 3^2 - 5 = -1
 4 = -1 i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu  4 = -1 , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać  4 \neq -1 (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie z^2 - 5 = -1 i chcemy pokazać, że  z = 3 nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

 L = z^2 - 5 ,
 P = -1 .

Jeśli  z = 3 , to:

 L = 3^2 - 5 = 4 ,

ale

 4 \neq -1 ,

a więc:

 L \neq P .

Równanie nie jest spełnione, zatem z = 3 nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość  L = P , to równanie zostałoby spełnione przez z = 3, a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań[edytuj]

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. x + 5 = 7, to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

x = 7 - 5, czyli
x = 2

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

x + 5 - 5 = 7 - 5
x = 7 - 5.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli  2x + 5 = 6 , to  2x = 6 - 5 ,
  • jeśli  3x = x + 2 , to  3x - x = 2 ,
  • jeśli  x^2 - 2 = 3+x , to  x^2 - 2 - x = 3 .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  •  \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right. - obustronnie mnożymy przez 2
  •  3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right. - obustronnie dzielimy przez 3
  •  \frac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \frac{4}{3}\right. - obustronnie mnożymy przez \frac{4}{3}.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  •  2x + 3 = 5 (1)
  •  -x + 2 = 0 (2)
  •  100x - \frac{1}{2} = 0 (3)
  •  \frac{7x + 2}{2} = 6 (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

 2x + 3 = 5\ \ \left/{-}\ 3\right.
 2x = 5 - 3 = 2\ \ \left/{:}\ 2\right. - obustronnie dzielimy przez 2
 x = 1 , które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

 -x + 2 = 0
 -x = -2\ \ \left/{\cdot}\ (-1)\right.
 x = 2

Teraz zrobimy (3):

 100x - \frac{1}{2} = 0
 100x = \frac{1}{2}\ \ \left/{:}\ 100\right.
 x = \frac{1}{200}

Pozostał ostatni przykład:

\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.
7x+2 = 12
7x = 10\ \ \left/{:}\ 7\right.
x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • -2x + 4 \geq -3x + 5 (3)
  •  -\frac{1}{2} x + 3 \geq 5 (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla  \frac{x}{2} < 2 będziemy mieli:
 \frac{x}{2} < 2  \ /{\cdot}\ 2
 x < 2 \cdot 2 (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla  \frac{x}{-2} \leq 2 będzie:
 \frac{x}{-2} \leq 2  \ /{\cdot}\ (-2) (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)
 x \geq 2 \cdot (-2)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

 2x > 3
 2x > 3\ \ /{:}\ 2
 x > 1\frac{1}{2}

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

 5x - 2 < 2
 5x < 2 + 2 = 4\ \ /{:} 5
 x < \frac{4}{5}

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

 -2x + 4 \geq -3x + 5
 -2x + 3x \geq 5 - 4
 x \geq 1

I został ostatni przykład (4):

 -\frac{1}{2}x + 3 \geq 5
 -\frac{1}{2}x \geq 5 - 3
 -\frac{1}{2}x \geq 2\ \ /{\cdot}\ -2
 x \leq -4

Przypisy


  1. zdaniem niektórych


Podsumowanie

Zbiory 
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.
Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. A, B, czy też X, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. a, b, x.
a \in A \qquad\ - element a należy do zbioru A,
b \notin B \qquad\ -b nie należy do B,
C=\{ a, c, d, e\} \quad - wypisanie elementów zbioru C,
|C| = 4 \qquad - ilość elementów zbioru, czyli jego moc.
Zbiory liczb
\mathbb{N} \quad\ - zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)
\mathbb{Z} \quad\ - zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C
\mathbb{Q} \quad\ - zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W
\mathbb{R} \quad\ - zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)
\varnothing \quad\ - zbiór pusty.


Potęga 
Potęga o wykładniku naturalnym n:
 \begin{matrix}
a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\
 & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\
\end{matrix} ,
przy czym a^0 = 1.
Liczba 0^0 nie ma sensu liczbowego.
 a^{-n}=\frac{1}{a^n}
 a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m
Pierwiastek 
Jeśli b = \sqrt[n]{a}, to b^n=a
\sqrt[n]{a^n} = a dla nieparzystych n lub \sqrt[n]{a^n} = |a| dla n parzystych (|a| to wartość bezwzględna liczby).
Kolejność wykonywania działań 
  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
  2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)
Wzory skróconego mnożenia 
  •  (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 (kwadrat sumy)
  •  (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 (kwadrat różnicy)
  •  a^2-b^2 = (a-b)(a+b) (różnica kwadratów)
  •  (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (sześcian sumy)
  •  (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 (sześcian różnicy)
  •  a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) (suma sześcianów)
  •  a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) (różnica sześcianów)
Przekształcanie równań i nierówności 
  • Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
  • Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
  • Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od 0, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.


Ćwiczenia

Podstawy[edytuj]

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii e) bułka słodka i) głośnik
b) zwierzęta f) Jacek, Bolek i Agata j) zielone marchewki
c) kangur g) litera k) poziomka
d) kredki h) wszystkie zbiory l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10 c)  \{-25, -16, -9, -4, -1, 0, 1, 4, 9, 16, 25\}
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5 d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a)  A = \{-1, 2, 10\} d)  D = \{1, -2\} g)  G = \{\varnothing\}
b)  B = \varnothing e)  E = \{1, 5, 25, 525, 1024, 235\} h)  H = \{\{2, 9, 15\}, \{3, 4, 5\}\}
c)  C = \{5\} f)  F = \{k, l, p, q\} i)  I = \{1, \{2,\{5, 6\}\}, \{\pi, e\}\}

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) A = \{1, 2, 3\}, a = 3 e) A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}, a = 1
b) A = \{1, 2, 3\}, a = 10 f) A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}, a = \{6, 5\}
c) A = \{1, 2, 3\}, a = -2 g) A = \{-2, \{1, 2\}, \{2, 3, 4\}\}, a = -2
d) A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}, a = \{2, 3\} h) A = \{-2, \{1, 2\}, \{2, 3, 4\}\}, a = \{2, 3\}

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe[edytuj]

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a)  2 + 2 e)  1{,}234567891011121314\dots i)  \frac{1}{1-\sqrt{2}} -\sqrt{2}
b)  2 - 2 f)  \sqrt{2} - \sqrt{3} j)  (1 - \pi)(1 + \sqrt[3]{2})(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) + 3\pi
c)  (1 - 2)\cdot(1 + 2) g)  \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{2} k)  (\pi + 1)^2
d)  \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} h)  (\pi - 2)^2 - \pi^2 - 4\pi  l)  \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4^2 + 3^2}}

9. Rozwiąż równania:

a)  5x = 10 d)  -\sqrt{2}x - 3 = 4
b)  3x - 3 = 0 e)  (4-\sqrt{2})(4 + \sqrt{2})x - 16 = 5
c)  7x + 2 = - 12 f)  \frac{-2x + 10}{3} + 2 = 7

10. Rozwiąż nierówności:

a)  2x > 6 d)  \frac{2x - 1}{3} \leq 7
b)  -5x + 6 \leq 2 e)  \frac{-3x - 3}{7} > 4
c)  \frac{7}{2}x - 4 < 8 f)  (1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})x + 4 \geq 8

11. Oblicz:

a)  5 - 3\cdot 2 + 8 j)  \frac{20^2 - 19^2}{13}
b)  2 + 9:3 - 1 k)  \frac{(6-3)(36 + 18 + 9)}{8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1}
c)  7 \cdot (5 + 4) - 9 l)  3^5 \cdot 3^{-2} - (5\cdot3^2)^2 + 5^7\cdot5^{-5}
d)  (3 + 5):4 \cdot 2 + 7 m)  \frac{(6+2)(36 - 12 + 4)}{2}
e)  \frac{5 \cdot (4-3) + 15}{4} n)  \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot 2^{-90} - \frac{1}{4^{50}}
f)  ((3-5)(4+9)-9) \cdot 3 o)  999998^2 + 2 \cdot 2 \cdot 999998 + 2^2
g)  3\cdot(2+(11-1)\cdot 3) - 13 p)  \frac{99999 \cdot (10^5 + 1) + 1}{10^4}
h)  (5^2 - 3^2)^2 - 1 q)  -((-5)^2 + (-2)^2)^2 - (-5^2 + 2^2)^2
i)  \frac{(12-3)^2 - 9}{7} r)  ((50+1)^2 - (50-1)^2)(14^2 + 2 \cdot 14 + 2^2) - 14^3

Ćwiczenia na myślenie[edytuj]

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru  A = \{1, 2\} :

  •  \varnothing , zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
  •  \{1\}
  •  \{2\}
  •  \{1, 2\}
a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
  •  A = \varnothing
  •  B = \{1\}
  •  C = \{1, 2, 3\}
b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:
  • 4-elementowy
  • 5-elementowy
  • 10-elementowy
  • n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna ( p, q \in \mathbb{Q}), to liczba p + q także jest wymierna (czyli  p + q \in \mathbb{Q}).
b) jeśli liczba p jest wymierna ( p \in \mathbb{Q}) i q jest niewymierna ( q \in \mathbb{IQ}), to liczba p + q jest niewymierna ( p + q \in \mathbb{IQ}).
c) oznaczmy przez \mathbb{Q_+} zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba p \in \mathbb{Q_+},  \sqrt{p} \in \mathbb{IQ} i  q \in \mathbb{Q_+} , to (\sqrt{p}+q)^2 \in \mathbb{IQ}.

Ćwiczenia dodatkowe[edytuj]

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór  A = \{1, 2, 3\} ma taką samą liczbę elementów co  B = \{5, 6, 7\} . Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory  \mathbb{N} i  \mathbb{Z} są równoliczne
b) zbiory  \mathbb{N} i  \mathbb{Q_+} mają taką samą liczbę elementów
c) zbiory  \mathbb{Z} i  \mathbb{Q} są równoliczne
d) zbiór  (0;1) jest równoliczny z  \mathbb{R}




Logika

Logika

Zdanie[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Informacja Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego
i koniunkcja
lub alternatywa
¬, ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie)
jeżeli..., to... implikacja
wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

  • „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
  • „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.


Spójniki logiczne

Koniunkcja[edytuj]

Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:

  • „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p
  • „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q

Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez  \and . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania  p \and q (czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.

p q p ∧ q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

Alternatywa[edytuj]

Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste:

  • zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
  • i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”

połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez  \or . Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiająca wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:

p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie p „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie q „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania p ∨ q wynosi 1 ∨ 0, czyli 1. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.

Negacja[edytuj]

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako  \neg p (w zapisie odręcznym: ∼p). Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

p ¬ p
0 1
1 0

Implikacja[edytuj]

Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:

  • zdania p: „Będziesz grzeczny”
  • zdania q: „Dostaniesz czekoladę”

Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika  \implies , a w tym przypadku przez  p \implies q . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

p q p ⇒ q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

p: „pies ma osiem łap”,
q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p ⇒ q wynosi 0 ⇒ 1. Otrzymana wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.

Wartość logiczną zdania p \implies q można najprościej zapisać jako \neg p \vee q.

Równoważność[edytuj]

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez  \iff . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

p q p ⇔ q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:

p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”

Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.


Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.


Prawa rachunku zdań

Definicja
DEFINICJA

Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe np.  p \or \neg p.

Rzeczywiście zdanie  p \or \neg p jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. Innym przykładem zdania, zawsze prawdziwego jest zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad”.

Ale jak sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe? Możemy do tego wykorzystać metodę „zero-jedynkową”. Zacznijmy od przykładu podanego na samym początku, czyli zdania p \or \neg p. Najlepiej utworzyć do tego odpowiednią tabelkę i analizujemy wszystkie możliwości. W przypadku prostego zdania p mamy tylko dwie możliwości, jego wartość logiczna może wynosić albo 1 albo 0; czyli w tabelce pod p wstawiamy 1 i 0 i wyliczamy wartości logiczne poszczególnych zdań, które dodaliśmy do tabelki. Należy zauważyć, że nie można wpisać 1 dla zarówno p i ¬p, gdyż prowadzi to do sprzeczności. Podobnie, pod oba zdania nie można wpisać 0, gdyż i to prowadzi do sprzeczności. Przyjrzyjmy się możliwym przykładom umieszczonym w tabelce:

p ¬p p ∨ ¬p
1 0 1
0 1 1

Zobaczmy kolejny przykład. Udowodnimy, że zdanie  (p \implies q) \or p jest tautologią. Najpierw w pierwszej (p) i w drugiej kolumnie (q) wypisujemy wszystkie możliwości, których tym razem będzie cztery.

p q (p ⇒ q) (p ⇒ q) ∨ p
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1

Ponieważ zdanie  (p \implies q) \or p jest zawsze prawdziwe (pokazuje nam to ostatnia kolumna, po prawej stronie), możemy wywnioskować, że jest tautologią (czyli prawem rachunku zdań).

Teraz jako ciekawostka metoda dowodu nie wprost, dla tych co nie lubią rysować tabelek. Zaczynamy:

Pierwszym krokiem jest założenie, że zdanie nasze jest fałszem: Załóżmy, że

 [(p \implies q) \or p] = 0

Z definicji alternatywy wiemy, że jest ona fałszywa gdy oba jej składniki są fałszywe, czyli

 [p \implies q] = 0 \and p = 0 .

Stąd widzimy, że nasza implikacja  p \implies q jest zawsze prawdziwa, bo p jest fałszem. Zatem całe zdanie jest prawdziwe. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest tautologią.

Jak widać metoda jest szybka i może oszczędzić dużo czasu przy bardziej skomplikowanych zdaniach. Trzeba pamiętać, że jeśli nie uzyskamy sprzeczności, to otrzymaliśmy przykład kiedy zdanie jest fałszem. Zwłaszcza kiedy mamy kilka przypadków kończymy sprawdzanie pozostałych w momencie gdy w którymś z nich nie otrzymaliśmy sprzeczności.

A jak pokazać, że zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jest „politycznie poprawne”, czyli zawsze prawdziwe. Nawet intuicyjnie ciężko jest zrozumieć to zdanie, więc musimy je przerobić na zapis matematyczny. Mamy dwa zdania proste:

p: jadłem śniadanie
q: jadłem obiad.

Zdanie podrzędne „nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu” zapiszemy jako:

 \neg (p \or \neg q) ,

a zdanie „nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jako:

 \neg p \and q .

Czyli całe zdanie przybierze postać:

 \neg (p \or \neg q) \implies (\neg p \and q) .

Teraz tworzymy tabelę dla tego „logicznego giganta” i sprawdzamy wszystkie możliwości.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q ¬(p ∨ ¬q) ¬p ∧ q ¬(p ∨ ¬q) ⇒ (¬p ∧ q)
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1

A teraz metodą poznaną wcześniej, o wiele krócej:

Załóżmy, że  [\neg (p \or \neg q) \implies (\neg p \and q)] = 0 Z definicji wiemy, że implikacja jest fałszywa w jednym przypadku:  1 \implies 0 . Zatem nasza implikacja jest fałszywa gdy:

 [\neg (p \or \neg q)] = 1 \and [\neg p \and q] = 0

Zajmijmy się lewą stroną implikacji.

 [\neg (p \or \neg q)] = 1

Stąd

 [(p \or \neg q)] = 0

Alternatywa jest fałszem, gdy obydwa jej składniki są fałszywe, czyli  p = 0 \and \neg q = 0 , czyli q jest prawdą. Skoro znamy już p i q. Popatrzmy teraz na prawą stronę implikacji.

 \neg p \and q

Podstawiamy nasze p i q

 \neg 0 \and 1 = 1 \and 1 = 1

Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest zawsze prawdziwe.

No dobra, ale jak najłatwiej wypisać wszystkie możliwości, gdy zdanie składa się z wielu zmiennych np. z trzech p, q, r. Zobaczmy najpierw, jakby wyglądał początek takiej tabelki.

p q r ...
1 1 1 ...
1 1 0 ...
1 0 1 ...
1 0 0 ...
0 1 1 ...
0 1 0 ...
0 0 1 ...
0 0 0 ...

Widzimy, że mamy  8 = 2^3 możliwości. Teraz jak je wypisać? Hmm... na samej górze mamy same jedynki, pod kolumną r mamy od góry 1, 0, 1, 0, 1 itp., czyli wartości co chwilę zmieniają, pod kolumną q wartości się zmieniają co dwa, a pod kolumną p co cztery. Czyli już mamy sposób:

  • na samej górze dajemy same jedynki,
  • pod trzecią kolumną (r) zmieniamy wartości co jeden,
  • pod drugą kolumną (q) zmieniamy wartości co dwa,
  • pod pierwszą kolumną (p) zmieniamy wartości co cztery.

Sytuacja dla czterech, pięciu, czy sześciu zmiennych będzie bardzo podobna, tylko gdzieniegdzie będzie trzeba zmieniać wartość co osiem, co szesnaście itp.

Czy zdanie  \neg (p \and q \and r) \iff (\neg p \or \neg q \or \neg r) jest tautologią? Sprawdźmy.

p q r ¬p ¬q ¬r p ∧ q ∧ r ¬(p ∧ q ∧ r) ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ¬(p ∧ q ∧ r) ⇔ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ zdanie to ma zawsze wartość logiczną równą 1, więc jest prawem rachunku zdań.

A teraz szybszą metodą bez robienia tabelek. Załóżmy, że

 [ \neg (p \and q \and r) \iff ( \neg p \or \neg q \or \neg r ) ] = 0

Z definicji równoważności, są dwa przypadki kiedy jest fałszywa. Zatem musimy rozpatrzyć je obydwa. Pierwszy przypadek:

 [ \neg (p \and q \and r) ] = 1 \and [ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 0

Zajmiemy się

 [ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 0
 \neg p = 0 \and \neg q = 0 \and \neg r = 0
 p = 1 \and q = 1 \and r = 1

Sprawdzamy

 [ \neg (1 \and 1 \and 1) ] = [ \neg 1 ] = 0

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przypadku zdanie jest prawdą.

Drugi przypadek:

 [ \neg (p \and q \and r) ] = 0 \and [ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 1

Zajmijmy się:

 [ \neg (p \and q \and r) ] = 0
 [ (p \and q \and r) ] = 1
 p = 1 \and q = 1 \and r = 1

Sprawdzamy

 [ \neg 1 \or \neg 1 \or \neg 1 ] = [ 0 \or 0 \or 0 ] = 0

Zatem sprzeczność z założeniem, więc i w tym przypadku zdanie jest prawdziwe. A skoro w obydwu przypadkach zdanie jest prawdziwe, to jest to tautologia.

Prawa De Morgana[edytuj]

Na koniec przedstawimy prawa De Morgana dotyczące zaprzeczeń zdań złożonych:

  • I prawo De Morgana:
     \neg ( p \or q ) \iff \neg p \and \neg q
    (Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań)
  • II prawo De Morgana:
     \neg ( p \and q ) \iff \neg p \or \neg q
    (Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań)

Prawa te są oczywiście tautologiami. W ćwiczeniu 9 zostaniesz poproszony o udowodnienie tych praw.

Jak napisać zdanie „każdy pies ma cztery łapy” lub „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? W następnym podrozdziale dowiemy się, jak pisać zdania takiego typu, czyli zdania odnoszące się do własności pewnego zbioru. Dowiemy się, co oznacza tajemnicze słowo „kwantyfikator”...


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej  \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x^2 \geq 0 . Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać  \forall_{n \in \mathbb{Z_+}}\ n^3 > 0 (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Z_+}) . Zdanie to przeczytamy „dla każdego x należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez  \forall_x , mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez  \zeta(p) , wówczas możemy napisać:

 \forall_{p \in \mathbb{ZP}}\ \zeta(p) = 4 .

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap  \zeta(p) wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: \exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 . Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba x należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako  \exist ) nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez  \exist_x , mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

  • Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
  • Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
  • Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:

 \exist_{l \in L}\ \neg q(l) ,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez  \bigwedge_x („dla każdego x...”), a kwantyfikator szczegółowy przez  \bigvee_x („istnieje takie x, że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. \forall pochodzi od All (wszystkie), \exist od Exists (istnieje).


Podsumowanie

Zdanie 
W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Koniunkcja 
Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako  p \and q , a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.
Alternatywa 
Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez  p \or q i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.
Negacja 
Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez  \neg p , choć można spotkać także zapis  \sim p , a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Implikacja 
Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy  p \implies q . Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.
Równoważność 
Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez  p \iff q . Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.
Tautologia 
Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:
  •  \neg ( p \or q ) \iff \neg p \and \neg q (I prawo De Morgana)
  •  \neg ( p \and q ) \iff \neg p \or \neg q (II prawo De Morgana).


Kwantyfikatory 
Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:
 \forall_{x \in X}\ p(x) ,
a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.
Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:
 \exist_{x \in X}\ p(x)
i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.
W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako  \bigwedge_{x \in X} , a  \bigvee_{x \in X} jako kwantyfikator szczegółowy.


Zadania z rozwiązaniami

Zadania[edytuj]

Zad.1
Przypisz zdaniom wartość 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
a) 15 jest liczbą pierwszą
b) -3 jest liczbą naturalną
c)  \sqrt 5 jest liczbą niewymierną
d) Warszawa jest stolicą Chin
e)  \frac{10}{5}\, jest liczbą całkowitą
f) Sześciokąt foremny ma 10 przekątnych
g) Słońce jest gwiazdą

Zad.2
Podaj zaprzeczenia zdań.
a) 4>3
b) 11=11
c)  4 \sqrt 2 \geqslant 2 \sqrt 4
d) 8451 jest liczbą podzielną przez 3
e)  3^{-1}\, =  \frac{1}{3}\,
f) Warszawa jest stolicą Chin.
g) 7 jest liczbą nieujemną.

Zad.3
Uzupełnij tabelę negacji.

p -
- 1
- -

Zad.4 Które z podanych zdań mają sens logiczny?
a) 2=2
b) Polska jest krajem europejskim.
c) 6 jest małą liczbą.
d) 11-2
e) 11-2=9
f) Każdy równoległobok jest prostokątem.
g) 13 to pechowa liczba.
h) -1>-2

Zad.5
Oceń wartość logiczną zdań.
a) 15 jest liczbą pierwszą i Ziemia jest planetą.
b) Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3.
c) \sqrt {25} jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną.


Rozwiązania
Zad.1
a - 0
b - 0
c - 1
d - 0
e - 1
f - 0
g - 1

Zad.2
a - 4 \leqslant 3
b - 11\not=11
c -  4 \sqrt 2 < 2 \sqrt 4
d - 8451 nie jest liczbą podzielną przez 3
e -  3^{-1}\, \not=  \frac{1}{3}\,
f - Warszawa nie jest stolicą Chin.
g - 7 jest liczbą ujemną (lub: 7 nie jest liczbą nieujemną).

Zad.3

p ¬ p
0 1
1 0

Zad.4
Zdania: a,b,e,f,h są zdaniami o sensie logicznym. Zdania: c,d,g nie mają sensu logicznego.

Zad.5
W każdym z trzech zdań znajduje się spójnik i. Zauważmy, że spójnik i występuje w koniunkcji, więc bazujemy na tabeli koniunkcji zdań.
a) p - 15 jest liczbą pierwszą, q - Ziemia jest planetą. Zdanie p jest fałszem, zaś zdanie q jest prawdą, czyli p - 0 q - 1. Teraz odczytujemy z tabeli wartości i już wiemy, że zdanie '15 jest liczbą złożoną i Ziemia jest planetą' jest fałszywe.
b) p - Kwadrat jest prostokątem, q - Suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3. p - 1 q - 0. Zdanie: 'Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3' jest fałszywe.
c) p -  \sqrt {25} jest liczbą pierwszą, q - 5 jest liczbą nieujemną. p - 1 q - 1. Zdanie:  \sqrt {25} jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną jest prawdziwe.


Ćwiczenia

Rozgrzewka[edytuj]

1. Podaj trzy przykłady zdań, których wartość logiczna wynosi 0 i trzy zdania, których wartość logiczna wynosi 1.

2. Dane są zdania:

p: Pada deszcz
q:Janek gra na gitarze
r: Mama Janka ogląda polskie seriale
s: Ojciec Janka czyta gazetę
Zapisz zdania:
a) s=>p
b) r=>q
c) p=>r
d) q=>p


3. Które z poniższych wyrażeń jest zdaniem logicznym?

a) Jestem w sklepie. d) Krowa pije wodę.
b) Stać na rękach. e) Nie palić!
c) Jak długo szedłeś do sklepu? f) W Polsce nie ma żółwi.

4. Jak myślisz, czy poprawny jest zapis:

  •  (0 + 1) \iff 1 ,
  •  (0 \or 1) = 1  ,
  •  1 \and (1 = 1) ?

5. Wypisz wszystkie szesnaście możliwości przypisania wartości logicznych zdaniom p, q, r, s.

Podstawy[edytuj]

6. Oceń wartość logiczną zdań:

a) W sklepie spożywczym można kupić chleb. d) Liczba 6 jest dzielnikiem liczby 24.
b)  2 + 2 = 5 lub  2 + 2 = 4 . e) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru.
c)  3 = |-3| wtedy i tylko wtedy, gdy  4 > 1 . f) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną.

7. Dane są zdania:

p: w logice 1 oznacza fałsz
q: liczba 25 dzieli się przez 5

Oceń wartość logiczną:

a)  p \and q b)  p \or q c)  p \implies q d)  p \iff q

8. Oceń wartość logiczną:

a)  1 \and (1 \or 0) d)  (1 \and 1 \or 0) \and 1
b)  1 \or (0 \and 1) e)  [(0 \implies \neg 1) \and 0] \iff (0 \implies 1)
c)  (1 \implies 0) \and 1 f)  (0 \or 1) \and (1 \implies \neg 1) \and (1 \iff 0)

9. Udowodnij I prawo De Morgana i II prawo De Morgana.

10. Pokaż, że zdanie  \neg p \or q ma taką samą wartość logiczną, co zdanie  p \implies q dla dowolnych wartości logicznych zdań p i q.

11. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami:

a)  p \implies p d)  p \and q \iff [(p \iff q) \and (p \iff 1)]
b)  p \or (p \implies q) e)  (p \or q) \implies (\neg p \iff \neg q)
c)  p \or (q \and \neg p)  f)  (p \implies \neg p) \implies (\neg p \and q)

12. Jurek powiedział takie mądre zdania:

„jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz”.

Kiedy Jurek skłamie?

13. Które zdanie jest prawdziwe, które fałszywe, a które nie jest zdaniem.

a)  \exist_{x \in \mathbb{R}}\ x = 2{,}5 d)  \exist_{x \in \mathbb{Z_+}}\ x = \pi \or x = e
b)  \forall_{x \in \mathbb{R}}\ |x| \geq 0 e)  \forall_{x \in \mathbb{R}}\ \sqrt{x} \geq 0
c)  \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x = 3 f)  \forall_{x \in \mathbb{N}}\ \exist_{y \in \mathbb{R}}\ x + \pi = y + \sqrt{2}



Liczby i ich zbiory

Liczby i ich zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez K, składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi |K| = 4. Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać a \in K, ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy j \not\in K, ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób:  A \subset B lub  A \subseteq B . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy  D_8 jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

 D_8=\{1,2,4,8\}
 B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

Ponieważ wszystkie elementy w  D_8 powtarzają się także w  B , więc zbiór  D_8 \subset B . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór  D_8 jest podzbiorem  B . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w  B znajdują się także w  D_8 np.  3 \notin D_8 . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów,  A=B , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Dwa zbiory A i Brówne, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli  A \subset B ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli  B \subset A ). Tak więc:

 (A=B) \iff (A \subset B \and B \subset A).

Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\} i  B=\{1,2,\frac{5}{2},3\} , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B -  A \subset B . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A -  B \subset A . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów[edytuj]

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
     A=\{1,2,3,4,5,6,7\} ,
  • używając zapisu:
     A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8  \}

Zapis  A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \} czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8. Podobnie zapis  X=\{x: x \in \mathbb{R} \and x \in A \} możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład  X=\{ x: x \in \mathbb{R} \and x \geq 100 \} możemy zapisać jako  X=\{ x: x \geq 100 \} i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy  D_{15} jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ  D_{15}=\{1,3,5,15\} , więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
 X=\varnothing .


Działania na zbiorach

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \} .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cup B=\{1,2,3,4,5\} . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak:  A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \} . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \cap B=\{1\} . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak:  A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \} . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też  A-B .

Set difference2.svg


Jeśli  A=\{1,2,5\} i  B=\{1,3,4\} , to  A \backslash B=\{2,5\} . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako  A' lub  A^c . Dopełnienie możemy zapisać tak:  A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \} .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A:  A'=U \backslash A. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli  A=\{1,2,3\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{4,5,6,7,8,\dots\} .

Przykład.

Jeśli  A=\{2,3,5,6\} , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór  A'=\{1,4,7,8,9\} , ponieważ:

 U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
 A=\{2,3,5,6\}
 A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  •  (A \cup B)'=A' \cap B' -- I prawo De Morgana
  •  (A \cap B)'=A' \cup B' -- II prawo De Morgana
  •  A \cup B = B \cup A -- przemienność dodawania zbiorów
  •  A \cap B = B \cap A -- przemienność mnożenia zbiorów
  •  (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) -- łączność dodawania zbiorów
  •  (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) -- łączność mnożenia zbiorów
  •  A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  •  A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór  A=\{1,2,3,4\} ,  B=\{1,3,5\} ,  C=\{3,5,9\} . Obliczyć  D=A \cap (B \cup C) :

 D=A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)=
 =(\{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\}) \cup (\{1,2,3,4\} \cap \{3,5,9\})=
 =\{1,3\} \cup \{3\}=\{1,3\}

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)


Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy  \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\} .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór  \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez  \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\} , a i-ta liczba pierwsza przez  p_i np.  p_3=5 .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór  \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\} , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez  \mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\} . Łatwo zauważyć, że  \mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez  \mathbb{C} (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , gdzie  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{Q}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{Q}_- .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez  \mathbb{W} .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego  p \over q , dla  p \in \mathbb{Z} i  q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie  \mathbb{NW} .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba  \pi=3,1415\cdots, czy też  \sqrt{2}=1,4142\cdots .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez  \mathbb{R}_+ , a ujemnych przez  \mathbb{R}_- .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  •  \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
  •  \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
  •  \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np.  \frac{1}{2}=0,5~,  \frac{1}{25}=0,04~,  \frac{2}{1}=2~. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie  1 \over 3 . Na pewno pamiętamy, że  {1 \over 3} = 0,333\dots . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

 0,333\dots =x~~/ \cdot 10
 3,333\dots = 10x
 3+0,333\dots=10x , ponieważ  0,333\dots=x
 3+x=10x
 3=9x~~/:9
 {1 \over 3}=x

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest  0,123123123\dots . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa  41 \over 333 . Zobaczmy na rozwiązanie:

 0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000
 123,123123\dots=1000x , ponieważ  0,123123123\dots=x
 123+x=1000x
 123=999x~~/:999
 {123 \over 999}=x
 {41 \over 333}=x

Szukaną liczbą jest  {41 \over 333} .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że  0,999\dots = 1. Oto rozwiązanie:

 0,999\dots = x~~/ \cdot 10
 9,99\dots = 10 x , ponieważ  0,999\dots=x

Jeżeli:

 9 + 0,999\dots = 9,99\dots

to:

 9 + x = 10 x
 9 = 9x~~/:9
 1 = x

Skoro  0,999\dots = x , to:

 0,999\dots = 1

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład:  2,8 234 234 234\dots .

 2,8 234 234 234\dots = x~~/ \cdot 10
 28,234 234 234\dots = 10 x~~/ \cdot 1000
 28 234,234 234\dots = 10 000 x

Jeżeli:

 28 206 + 28,234 234 234\dots = 28 234,234 234\dots

to:

 28 206 + 10 x = 10 000 x
 28 206 = 9 990x~~/:9 990
 {28 206 \over 9 990} = x
 {1 567 \over 555} = x

Liczbę  \frac{1}{3}=0,333\dots możemy zapisać także w formie  0,(3)~. Podobnie  {41 \over 333}=0,123123123\dots możemy zapisać jako  0,(123)~, a także  4,171717\dots=4,(17)~. W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera  e=2,71828182\dots, a także liczba  1,232233222\dots~. Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.



Oś liczbowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Real number line.svg

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000,  \pi=3.1415\dots . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.


Przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1.  <-4; 7> \, - przedział domknięty
  • Przykład 2.  (-4; 7) \, - przedział otwarty
  • Przykład 3.  (-4; 7> \, - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4.  (-4; +\infty) - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.  (-\infty; 5)

Przedział domknięty[edytuj]

W podręczniku używany jest zapis  <a; b> \; oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: \langle a; b \rangle . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc  <-4; 7> \; mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy [ -50; -20] \,, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc <a; b> \, mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym <a; b> \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a \leqslant x \leqslant b .

[a; b] =\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x \leqslant b \}

Przedział liczbowy [-4; 7] \, zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty[edytuj]

  • Przykład 2. Za pomocą  (-4; 7) \, oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale  (a; b) \, znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem otwartym  (a; b) \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a < x < b \,.

 (a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}

Przedział otwarty  (-4; 7) \, na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty[edytuj]

  • Przykład 3.  (-4; 7> \, oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) (a; b> \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a < x \leqslant b .

 (a; b> =\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leqslant b \}


Przedział  (-4; 7> \, na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) [a; b) \, o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  a \leqslant x < b .

[a; b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x < b \}

Przedziały nieograniczone[edytuj]

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności --  \infty .

  • Przykład 4. Przez  (-4; +\infty) oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od  +\infty) . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez [-4; +\infty) .
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym  (a; +\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym [a; +\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

(a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}
[a; +\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant a \}

Przedział [-4; +\infty) możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5.  (-\infty; 5] oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez  (-\infty; 5) będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym  (-\infty; a) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym  (-\infty; a] nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

 (-\infty; a)=\{ x \in \mathbb{R}: x < a \}
 (-\infty; a]=\{ x \in \mathbb{R}: x \leqslant a \}

Przedział  (-\infty; 5) analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach[edytuj]

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy  A \cup B ,  A \cap B ,  A \backslash B ,  B \backslash A ,  A' \, i  B' \,, gdzie  A= [-2; 3) \,, a  B=(1; 4) \,

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:

  •  A \cup B= <-2; 4)
  •  A \cap B=(1; 3)
  •  A \backslash B=<-2; 1]
  •  B \backslash A=<3; 4)
  •  A'=(-\infty; -2) \cup <3; +\infty)
  •  B'=(-\infty; 1] \cup <4; +\infty)


Wartość bezwzględna liczby

Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
 |x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geqslant 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right. .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

  •  |4|=4
  •  |-5|=5
  •  |30-40|=|-10|=10
  •  |4-3|=|1|=1
  •  |3-\pi|=\pi-3

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności[edytuj]

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

  •  |x| \geqslant 0
  •  |x| = x
  •  |x| = \sqrt{x^2}
  •  |x \cdot y|=|x| \cdot |y|
  •  \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną[edytuj]

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

  •  |x|=a \iff (x=a \or x=-a)


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

|x+4|=2

x+4=2 \or x+4=-2

x=-2 \or x=-6

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

|x+4|+|x-2|=6

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale (-\infty; -4) i dodatnie w przedziale (-4; +\infty). Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale (-\infty; 2) i dodatnie w przedziale (2; +\infty). Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. (-\infty; -4) gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. [-4; 2) gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3. [2; +\infty) gdzie oba wyrażenia są nieujemne

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli x<(-4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


 x \in (-\infty; -4)

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

-x-4-x+2=6

x=-4

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale x \in (-\infty; -4) równanie nie ma rozwiązań.


x \in [-4; 2)

x+4-x+2=6

6=6

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale x \in [-4; 2) każda liczba spełnia równanie.


x \in [2; \infty)

x+4+x-2=6

x=2

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

x \in [-4; 2]

Przykład 3.

|x+4|-|2x+3|+3|x-1|=7


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

x+4=0 \implies x=-4

2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}

x-1=0 \implies x=1


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

x \in (-\infty; -4)

-x-4+2x+3-3x+3=7

x=-{5 \over 2}

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)

x+4+2x+3-3x+3=7

10=7

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)

x+4-2x-3-3x+3=7

x=-{3 \over 4}

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


x \in [1 ; \infty)

x+4-2x-3+3x-3=7

x={9 \over 2}

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:

x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}


To samo można zapisać w postaci:

x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

  •  |x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)
  •  |x| \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)
  •  |x| > a \iff (x < -a \or x > a)
  •  |x| \geqslant a \iff (x \leqslant -a \or x \geqslant a)

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


 |x+5| \leqslant 10 wykorzystując własność  |x| \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a) , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

 |x+5| \leqslant 10 \iff (x+5 \geqslant -10 \and x+5 \leqslant 10)
 (x \geqslant -15 \and x \leqslant 5)

Odp.  x \in [-15;5] .


Postać wykładnicza

Definicja
DEFINICJA

Postać wykładnicza jest określona wzorem:
 a \cdot 10^b\,


 a \in [1;10)


 b\in\mathbb{Z}

Postać wykładniczą (notację naukową, notację wykładniczą) stosujemy do zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb.


Przykłady[edytuj]

Liczba Postać
wykładnicza
 1\,  1 \cdot 10^0
 10\,  1 \cdot 10^1
 300 000 000\,  3 \cdot 10^{8}
 456000000000\,  4,56 \cdot 10^{11}
 0,000000000000005\,  5 \cdot 10^{-15}
 0,0000000034\,  3,4 \cdot 10^{-10}

Jak to zapisać? (intuicyjnie)[edytuj]

Mamy np. liczbę  5400000000000\, . Piszemy teraz 5,4 razy 10 do potęgi 12. Dlaczego 12? Ponieważ liczymy ilość cyfr od 4 włącznie do końca liczby. Przy mnożeniu przecinek przesuwa się w prawo i po doliczeniu do 12 wychodzi liczba 5400000000000. Czyli liczba  5400000000000\, to jest to samo co  5,4 \cdot 10^{12} \,

Drugi przykład - liczba  0,0000004\, . Robimy podobnie jak w powyższym przykładzie. Zapisujemy 4 razy 10 do potęgi -7, ponieważ od 4 do ostatniego przecinka przed ostatnim zerem jest 7 cyfr. Teraz jednak zapisujemy -7, ponieważ jest to 'mała liczba'. Czyli liczba  0.0000004\, jest tym samym co  4 \cdot 10^{-7}\,

Przybliżenia liczbowe[edytuj]

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba  2 \over 3 wynosi  0,66666~66666\dots , w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy  \pi=3,14159~26535~89793~23846\dots . Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy  \pi \approx 3,14 . Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład  \pi \approx 3,1415 , a z nadmiarem  \pi \approx 3,1416 .

Błąd przybliżenia[edytuj]

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy przybliżenie tej liczby od naszej liczby:  x-x_0 , gdzie  x jest przybliżeniem liczby  x_0 .

Przykład 4. Dla liczby  0,334 , przybliżeniem tej liczby może być  0,36 . Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił  0,36-0,334=0,026 .

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z nadmiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z niedomiarem.

Zaokrąglanie liczb[edytuj]

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

  1. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
  2. natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 6. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.


Obliczenia procentowe[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Jeden procent to setna część całości, jest to inny zapis ułamka o mianowniku 100.

Zobaczymy teraz kilka przykładów.

Przykład 1. Oblicz 17% liczby 50.

17\% \cdot 50=\frac{17}{100} \cdot 50=\frac{17}{2}


Przykład 2. Jaki procentem liczby 25 jest liczba 7?

Zapiszmy równanie, które brzmi: x procent z 25 wynosi 7

x \cdot 25 = 7

Rozwiążmy i zapiszmy x w postaci procentów, tzn. w formie /100

x = \frac{7}{25}
x = \frac{28}{100}

Odpowiedź: liczba 7 to 28% z liczby 25


Przykład 3. Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie powiększono o 50%. Po tych dwóch podwyżkach cena towaru wynosiła 225 zł. Ile wynosiła pierwotna cena towaru?

Oznaczmy przez x pierwotną cenę towaru.
Po pierwszej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/5, czyli wynosi:
 x+\frac{1}{5}x \;=\;\frac{6}{5}x
Po drugiej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/2, więc wynosiła:
 \frac{6}{5}x + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{6}{5}x\right) \;= \;\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}x \;=\; \frac{9}{5}x
Wiemy też, że  \frac{9}{5}x=225
Otrzymujemy  x=125


Przykład 4.

Oblicz liczbę znając jej procent. 6% pewnej liczby wynosi 42.

Chcesz obliczyć 100%, czyli szukaną liczbę x. Można spróbować obliczyć ile wynosi 1% tej liczby, po czym pomnożyć to przez 100 - uzyskamy wtedy 100%.

 \tfrac{6}{100}x=42

Dzielimy przez 6 obustronnie:

 \tfrac{6}{100}x  = 42 \quad |:6
 \tfrac{1}{100}x=7 \quad \ | \cdot 100
 x=700

Przykład 5.

Sylwia za ubezpieczenie swojego czerwonego skutera zapłaciła w Towarzystwie Ubezpieczeniowym 92,00 PLN. Powiedziała przy tym, że ma zniżkę 10% za bezszkodową jazdę w zeszłym roku, oraz 5% za kontynuowanie ubezpieczenia. Piotr wie, że Sylwia nie ma już 18 lat i nie obowiązuje jej zwyżka(10%) za wiek, choć sam będzie musiał ją zapłacić. Ile w tym samym Towarzystwie Ubezpieczeniowym powinien zapłacić Piotr przy takich warunkach, uwzględniając brak dyskryminacji płci?


Najpierw musimy ustalić jaka jest kwota bazowa. W tym celu policzymy procent sumy jaki zapłaciła Sylwia  100%-10%-5%=90%-5%=85%
Znając procent tej liczby obliczymy ją, oznaczając przez x
 \frac{85}{100}x=92


 \frac{85}{100}x ||:85 = 92 ||:85


 \frac{1}{100}x=\frac{92}{85}


 1x=\frac{92*100}{85}


 x~=108,23


Teraz musimy doliczyć zwyżkę Piotra(10%):  \frac{92*100}{85}+\frac{92*100}{85}\left(\frac{10}{100}\right) =\frac{92*100}{85}\left(1+\frac{110}{100}\right) =\frac{92*100}{85}\left(\frac{110}{100}\right) =\frac{92*110}{85}=\frac{10120}{85}


Co wynosi ok. 119,06 (PLN).


Podsumowanie[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • prawa rachunku zdań
    • czym jest zbiór, a także wyznaczać jego sumę, iloczyn i różnicę
    • czym jest zbiór liczb rzeczywistych, a także znać jego podzbiory
    • prawa dotyczące działań arytmetycznych
    • czym jest potęga o wykładniku wymiernym, a także znać prawa działań na potęgach
    • czym jest oś liczbowa
    • czym jest przedział, zaznaczać go na osi i wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów
    • definicję wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną
    • przybliżać i zaokrąglać liczby, a także wiedzieć czym jest błąd przybliżenia
    • czym jest procent, a także jak wykonuje się obliczenia procentowe
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • wyznaczać dopełnienie zbioru i przedziałów
    • stosować prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeń
    • rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną


Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

Zadania dodatkowe[edytuj]

1*. Pokaż, że "zbiór wszystkich zbiorów" nie tworzy zbioru. Wskazówka: Niech Z - "zbiór wszystkich zbiorów" będzie zbiorem. Rozważ jego podzbiór (jest on zbiorem) W=\{x\in Z: x\not\in W\}




Funkcje i ich własności

Funkcje i ich własności[edytuj]

Pojęcie funkcji[edytuj]

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

  • Przykład 1
    Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak  f\colon S_{angielski} \to S_{polski} , gdzie  S_{angielski} to zbiór angielskich słówek i analogicznie  S_{polski} - zbiór polskich słówek.
  • Przykład 2
    Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.
  • Przykład 3
    Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru S_{angielski}(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z S_{polski}(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

Definicja
DEFINICJA

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez  f \colon X \to Y .

Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną .

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest S_{angielski}, a przeciwdziedziną S_{polski}.

Definicja
DEFINICJA

Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych –  X=\mathbb{Z} , a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych –  Y=\mathbb{Z} .

 f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}

Przykład 5.

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest  X=\{-1,0,1,2,3\} a przeciwdziedziną jest zbiór  Y=\{0,1,3,4,5,6,9\} . Zbiorem wartości tej funkcji jest  ZW_f=\{0,1,4,9\} , są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotem pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że:  f(-1)=1 , f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4 i  f(3)=9 . Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.


Przykład 6.

Graf funkcji 1.png

Dziedziną funkcji jest zbiór  X=\{1,2,3,4,5\} , a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości ZW tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.


Przykład 7.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf niebędący funkcją.png

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.


Sposoby określania funkcji[edytuj]

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

  • opisu słownego
  • tabelki
  • wzoru
  • grafu
  • zbioru par uporządkowanych
  • wykresu

Przykład 1. Mamy daną funkcję określoną opisem słownym: „Dane są zbiory X=\{-1,0,1,2,3\} i Y=\{0,1,4,9\}, wówczas każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy kwadrat tej liczby.”

  • funkcję tę możemy przedstawić w postaci tabelki:
x -1 0 1 2 3
y 1 0 1 4 9
  • za pomocą wzoru:
     y=x^2 \mbox{ dla } x \in \{-1,0,1,2,3\}
    używa się także zapisu  f(x)=x^2 , a także  f \colon x \mapsto x^2
  • używając do tego grafu

Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png

  • zbioru par uporządkowanych:
     \{ (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9) \}
  • wykresu:

Wykres y=x^2 (x=-1,0,1,2,3).png

Przykład 2. Opiszmy funkcję y = \frac{2}{5}x-1, gdzie x \in \mathbb{R} za pomocą różnych metod.

  • Opis słowny:
    Każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy różnicę iloczynu tej liczby z \frac{2}{5} i jedynki.
  • Za pomocą wzoru:
    Wzór już mamy w przykładzie: y = \frac{2}{5}x-1.
    Możemy także zapisać: g(x) = \frac{2}{5}x - 1, czy też g \colon x \mapsto \frac{2}{5}x - 1.
  • W postaci tabeli:
    Ponieważ w tabelce nie możemy umieścić wszystkich liczb, możemy co najwyżej wybrać niektóre z nich. Tabelka może wyglądać tak:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2
  • Rysując wykres funkcji

Wykres y=0.4x-1.png

  • Używając zbioru par uporządkowanych:
    Nie możemy wypisać wszystkich uporządkowanych par. Podobnie jak to było w przypadku tabelki wypiszemy tylko niektóre:
    ..., (-2,-1.8), ..., (-1,-1.4), ..., (0,-1), ..., (1,-0.6), ..., (2,-0.2), ...
  • Raczej ciężko by było przedstawić tę funkcję w postaci grafu, musielibyśmy podobnie się „nakropkować”, jak w poprzednim przykładzie, dlatego ten sposób pominiemy.


Dziedzina funkcji

Własności funkcji[edytuj]

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

  • dziedzina funkcji
  • zbiór wartości funkcji
  • miejsca zerowe funkcji
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
  • monotoniczność
  • najmniejsza i największa wartość funkcji
  • różnowartościowość
  • parzystość
  • nieparzystość
  • okresowość
  • wartości funkcji

Dziedzina funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez  D_f .

Wyznaczanie dziedziny funkcji[edytuj]

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

  • dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
  • liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
  • liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

f(x) = \frac{x^2}{x+2}

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

  1. Jest to po prostu ułamek \frac{a}{b}, dlatego mianownik (czyli b) ma być różny od zera
  2. Zauważamy, że a = x^2. Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku x \in \mathbb{R}
  3. Patrzymy na mianownik. Mamy b=x+2. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że b \neq 0, czyli x+2 \neq 0 \implies x \neq -2.
  4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy x \neq -2, zatem dziedziną będzie D_f = R \backslash \{-2\} .

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}

I znowu banał...

  1. Mamy ułamek \frac{a}{b}, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
  2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy a = c^2. Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
    • No i mamy c = \sqrt{x-3}. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku x-3) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x x - 3 \geq 0 i po prostym przekształceniu otrzymujemy x \geq 3
  3. Teraz patrzymy na mianownik b = d \cdot e \cdot f, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własność mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie d \cdot e \cdot f = 0 \iff d = 0 \or e=0 \or f=0. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
    • d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0
    • e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3
    • f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4
    Zatem  x \neq 0 ,  x \neq 3 ,  x \neq 4. Ponadto, aby wyrażenie \sqrt{x} miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem x \geq 0.
  4. I podsumowujemy:  x \geq 3, x \geq 0,  x \neq 0 ,  x \neq 3 ,  x \neq 4. Zatem  D_f = (3;+\infty) \backslash \{0,4\} .

Suma przedziałów (1).png

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji  f(x) = \frac{1}{x} . Wyrażenie  \frac{1}{x} ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy  x \neq 0 , ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że  D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\} .

Przykład 2.  f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)} Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest równy 0, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

 (x-1)(x-2)=0
z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:
 x-1=0 \mbox{ lub } x-2=0
 x=1 \mbox{ lub } x=2

Czyli  D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\} .

Przykład 3.  f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}} Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli  x-2>0 \Rightarrow x>2, a wtedy  D_f=(2;+\infty) .

Przykład 4.  f(x)=\frac{1}{x^2+4} Mianownik musi być różny od zera, wobec czego  x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4 . Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze x^2 \geq 0), więc x^2 nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy  D_f=\mathbb{R} .


Zbiór wartości funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych elementów zbioru Y, którym zostały przyporządkowane elementy ze zbioru X. Zbiór wartości funkcji f będziemy oznaczać przez  ZW_f .

 ZW_f=\left\{ y \colon \exist_{x \in D_f}\ y=f(x) \right\}

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Przy wyznaczaniu zbioru wartości funkcji niejednokrotnie warto wykonać szkic funkcji. To prawie nic nie kosztuje, ale możemy na tym wiele zyskać. Poza tym osoba sprawdzająca rozwiązanie naszego zadania może uznać rysunek jako pewnego rodzaju dowód. Dlatego w większości podawanych przez nas przykładów będziemy rysować wykres funkcji, który w znacznej mierze może nam ułatwić znalezienie zbioru wartości funkcji, a sprawdzającym być może umili życie. Oczywiście nie należy popadać w skrajność, czasami spokojnie można pominąć rysunek, gdy rozwiązanie widać już na pierwszy rzut oka.

Zobaczmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Mamy funkcję  f(x)=10 . Niezależnie, jakibyśmy wybrali x i tak f(x) będzie równe 10. Dlatego też  ZW_f=\{ 10 \} .

Wykres y=10.png

Przykład 2. Mamy funkcję  f(x)=x^2 . Wiemy, że funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne, ponadto dla każdego  y \geq 0 znajdziemy taki x, że  f(x)=y np. gdy weźmiemy  x=\sqrt{y} , wtedy  x^2=(\sqrt{y})^2=y . Tak więc  ZW_f=[0;+\infty) . Nasze rozumowanie potwierdza rysunek.

Wykres y=x^2.png

Przykład 3. Wyznaczmy zbiór wartości funkcji  y = 2 - \sqrt{2-2x} .

Pomyślmy... pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby nigdy nie będzie ujemny, co najwyżej równy zero. Zatem najmniejsza wartość \sqrt{a} wynosi zero, gdzie  a = 2 - 2x . Potem już dla większych a pierwiastek także staje się coraz większy np. dla \sqrt{400}=20 < \sqrt{10000}=100. Zatem \sqrt{a} dojdzie bardzo wysoko, bo aż do +\infty, czyli ZW_{\sqrt{x}} = [0;+\infty). Ponadto od liczby 2 odejmujemy ten pierwiastek, zatem wszystko nam pójdzie „do góry nogami” przez znak „-” (czyli otrzymamy (-\infty;0]), a następnie pójdzie o dwa „do góry” otrzymując (-\infty;2]. Zatem ZW = (-\infty;2].

Jednak nie zawsze dopadnie nas natchnienie, wtedy musimy to zrobić w standardowy sposób:

  • Wyznaczamy dziedzinę. Liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna, zatem otrzymujemy nierówność 2 - 2x \geq 0 . Wykonując kilka przekształceń otrzymujemy x \leq 1.
  • Rysujemy wykres funkcji uwzględniając dziedzinę. Sporządźmy w tym celu najpierw tabelkę:
x -2 -1 0 1
y 2-\sqrt{6} 0 2-\sqrt{2} 2

Zatem wykres będzie podobny do tego:

Wykres y=2-sqrt(2-2x).png

  • otrzymujemy, że ZW = (-\infty;2]


Miejsca zerowe funkcji

Definicja
DEFINICJA

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli f(x)=0].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

  • Przykład 1

Funkcja  f(x)=x+2 ma jedno miejsce zerowe dla x=-2. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie  f(x)=0 :

 x+2=0
 x=-2

Wykres y=x+2.png

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

  • Przykład 2

Funkcja  f(x)=x+3 , gdzie  D_f=(-2;+\infty) nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie: Wykres y=x+3 (x=(-2;+oo)).png

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

 \begin{cases} x+3=0 \\
x \in (-2;+\infty)
\end{cases} \iff \begin{cases} x=-3 \\
x \in (-2;+\infty)
\end{cases} \iff x \in \emptyset


  • Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = 2(x - 2)(x + 3) .

 f(x) = 0 \iff 2(x - 2)(x + 3) = 0
możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy
 (x-2)(x+3) = 0 \iff (x - 2 = 0 \or x + 3 = 0) \iff (x = 2 \or x=-3)

Zatem  f(x) = 0 \iff x \in \{-3, 2\}.


  • Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których f(x) = 0, a  f(x) = 9 - x^2 . Czyli:

 f(x) = 0 \iff 9 - x^2=0
 x^2 - 9 = 0
Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia  (x-a)(x+a) = x^2 - a^2 otrzymujemy:
 (x-3)(x+3) = 0 , czyli  x-3 = 0 lub  x+3 = 0 .

Zatem  f(x) = 0 , gdy  x = 3 lub  x = -3 .

  • Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = \left|x+1\right| + |x-3| - 4.

Dla x<-1 (czyli x+1<0), funkcję f można wyrażać jako f(x)= -(x+1)+(-(x-3))-4 = -2x-2. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze \{x: x<-1\}.

Dla x>3 (czyli x-3>0), funkcję f można wyrażać jako f(x)= (x+1)+(x-3)-4 = 2x-6. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze \{x: x>3\}.

Dla  -1\le x \le 3 (czyli x+1\ge 0 i  x-3 \le 0. funkcja f(x)  =(x+1)+(-(x-3))-4 = 0 jest stała z wartością 0.

Zatem  f(x) = 0 , gdy  -1\le x \le 3 .


Monotoniczność funkcji oznacza, że funkcja jest:

  • rosnąca
  • malejąca
  • nierosnąca
  • niemalejąca
  • stała.

Monotoniczność funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja  f\colon X \to Y jest rosnąca w zbiorze  A \subset X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x_1 i x_2 należących do zbioru A i  x_1 < x_2 wynika  f(x_1) < f(x_2) .

 x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze  A \subset X , tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

 f(x_1) \leq f(x_2) , dla  x_1 < x_2

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja  f\colon X \to Y jest malejąca w zbiorze  A \subset X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x_1 i x_2 należących do zbioru A i  x_1 < x_2 wynika  f(x_1) > f(x_2) .

 x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze  A \subset X . Mamy wtedy:

 f(x_1) \geq f(x_2) , dla  x_1 < x_2

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.


Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji  y=x^2 .

Wykres y=x^2.png

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

  • jest rosnąca dla  x > 0
  • jest malejąca dla  x < 0


Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla  x \in [-4; 4] (czyli  D_f = [-4; 4] ).

Wykres funkcji 1.png

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

  • rośnie w przedziałach  (-4; -2) oraz  (-1; 2)
  • maleje w przedziałach  (-2; -1) oraz  (2; 4)


Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa  f(x) = \frac{4-x}{2} . Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

Wykres y=(4-x) div 2.png

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich  x \in \mathbb{R} .

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

Funkcja niemalejąca.png

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x  f(x) \geq f(x_0) , gdzie  x_0 jest dowolną liczbą mniejszą od x.


Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

Funkcja nierosnąca.png

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja f(x)=2x+3 jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego x_{1} < x_{2} zachodzi f(x_{1}) < f(x_{2}).

Wykresfunkcji.jpg

Weźmy więc dowolne x_{1} < x_{2} i rozwiązmy nierówność f(x_{1}) < f(x_{2}).

f(x_{1}) = 2 \cdot x_{1} + 3 = 2x_{1} + 3

f(x_{2}) = 2 \cdot x_{2} + 3 = 2x_{2} + 3

2x_{1} + 3 < 2x_{2} + 3

2x_{1} + 3 - 2x_{2} - 3 < 0

2x_{1} - 2x_{2} < 0

2 \cdot (x_{1} - x_{2}) < 0

Z założenia mamy, że x_{1} < x_{2} \implies x_{1} - x_{2} < 0, czyli wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) i dowolnej liczby ujemnej jest ujemny. Czyli nierówność f(x_{1})< f(x_{2}) spełniona jest zawsze, co należało dowieść.


Najmniejsza i największa wartość funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja  f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość największą  y_0=f(x_0) dla pewnego  x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  x \in X zachodzi nierówność  f(x) \leq f(x_0) .

Definicja
DEFINICJA

Funkcja  f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość najmniejszą  y_0=f(x_0) dla pewnego  x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  x \in X zachodzi nierówność  f(x) \geq f(x_0) .

Przykład 1. Funkcja  y=x^2 przyjmuje wartość najmniejszą  y_0=0 (dla  x_0=0 ).

Wykres y=x^2.png

Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np.  A = [1\frac{1}{2};2] możemy taką znaleźć. W przedziale A będzie to  y_{max} = 4 dla  x = 2 , natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie  y_{min} = \left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}, dla  x = 1\frac{1}{2} .

Przykład 2.

Największa wartości funkcji  y = 2-\sqrt{2-2x} wynosi  y_0 = 2 dla  x_0 = 1

Wykres y=2-sqrt(2-2x).png

Wartością najmniejszą w przedziale  B = [-2;1) będzie  y_0 = f(-2) = 2 - \sqrt{2-2\cdot(-2)} = 2 - \sqrt{6} . Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale B i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do 1.

Przykład 3.

Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla  x \in [-4;4] :

Wykres funkcji 1.png

Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą  y_{max} = 3 dla  x_1 = 2 . Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest  y_{min} = -3 dla  x_2 = -4 .

Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie „górki” i jedną „dolinę” położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest położone najwyżej, natomiast „dolina” miejsce, które jest położone najniżej. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji. Formalnie ekstremum funkcji definiuje się jako punkt, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą.

Przykład 4.

Funkcja  y = 10 posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest  y_{min} = 10 dla  x \in \mathbb{R} . Wartością najwyższą jest także  y_{max} = 10 i także dla  x \in \mathbb{R} .

Wykres y=10.png

W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.

Przykład 5.

Wykres y=0.4x-1.png

Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąć sobie przedział  A = [0;5] , wówczas wartością największą będzie 1 (dla  x =5 ), a najmniejszą -1 (dla  x = 0 ).


Inne własności funkcji

Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna.

Różnowartościowość funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja  f: X \rightarrow Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

 \forall_{x_1, x_2 \in X \and x_1 \neq x_2} f(x_1) \neq f(x_2)

Przykład 1. Funkcja  f(x)=x jest różnowartościowa, co łatwo zauważyć na wykresie. Żadne dwa punkty należące do wykresu, nie są na tej samej wysokości (nie mają takiej samej współrzędnej y).

Wykres y=x.png

Różnowartościowość tej funkcji wynika także z tego, że jest to funkcja rosnąca.

Przykład 2. Poniższa funkcja także jest różnowartościowa.

Funkcja różnowartościowa.png

Zauważmy, że jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca, to jest także różnowartościowa.

Przykład 3. Poniższa funkcja nie jest różnowartościowa. Możemy zauważyć, że dla argumentów  x = 1 oraz  x = -1 przyjmuje ona taką samą wartość równą 1.

Wykres y=x^2.png

Nieróżnowartościowość funkcji jest związana z istnieniem ekstremum, w którym funkcja zmienia swą monotoniczność z malejącej na rosnącą.

Parzystość i nieparzystość funkcji[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi  f(x)=f(-x) .

 \forall x \in D_f: -x \in D_f \and f(x)=f(-x)

Przykład 1. Funkcja  f(x)=x^2 jest parzysta, ponieważ  f(x)=x^2=(-1)^2x^2=(-x)^2=f(-x) i  x \in D_f \mbox{ oraz } -x \in D_f , zatem spełnia warunki określone w definicji.

Zobaczmy teraz na wykres:

Wykres y=x^2.png

Zauważmy, że funkcja jest parzysta jeśli jest symetryczna względem osi OY.

Przykład 2. Funkcja  f(x) = |x| jest parzysta, ze względu na to, że zachodzi  f(x) = |x| = |-x| = f(-x) . Poza tym widzimy symetrię na wykresie funkcji.

Wykres y=abs(x).png

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równość  -f(x)=f(-x) .

 \forall x \in D_f: -x \in D_f \and -f(x)=f(-x)

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem punktu (0,0).


Przykład 3. Funkcja  f(x)=3x jest nieparzysta, ponieważ  -f(x)=-3x=3(-x)=f(-x)

Wykres y=3x.png

Przykład 4. Funkcja  f(x) = x^3 jest nieparzysta.

Wykres y=x^3.png

Zachodzi  -f(x) = -x^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = f(-x) .

Okresowość[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję f nazywamy okresową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczby x+T oraz x-T również należą do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi  f(x+T)=f(x) . Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji, a najmniejsza istniejąca taka liczba to okres podstawowy.

 \exist_{T \neq 0} \forall_{x \in D_f} (x+T) \in D_f \and  (x-T) \in D_f \and\ f(x+T)=f(x)

Przykład 5.

Poniższa funkcja jest okresowa:

Funkcja okresowa.png

Okres podstawowy tej funkcji wynosi 2, ponieważ f(x) = f(x+2).


Przykład 6.

Funkcja  y=\sin{x} jest funkcją okresową. Okres tej funkcji wynosi  2 \pi .

Wykres sin w radianach.png


Przekształcanie wykresów funkcji

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy:

  • symetrię względem osi OX - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x)
  • symetrię względem osi OY - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x)
  • symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x)
  • translacja (przesunięcie) o wektor \vec u = [a,b] - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b
  • nałożenie wartości bezwzględnej
  • zmiana skali

Symetria względem osi OX[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OX będzie miał wzór y=-f(x).

Wykres y=f(x), y=-f(x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 w symetrii względem osi OX.
y=-f(x)=-(3x+5)= -3x-5.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) w symetrii względem osi OX.
y=-f(x)=-(2log3(x+2))=-2log3(x+2).

Symetria względem osi OY[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OY będzie miał wzór y=f(-x).

Wykres y=f(x), y=f(-x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=3x+5 po przekształceniu przez symetrię względem osi OY.
y=f(-x)=3(-x)+5= -3x+5

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2log3(x+2) po przekształceniu przez symetrię względem osi OY.
y=f(-x)=2log3(-x+2)

Symetria względem środka układu współrzędnych[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x')=-f(-x), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

Wykres y=f(x), y=-f(-x).png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)= -x3 po przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych- So.
y=-f(-x)=-(-(-x)3)=-x3.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=2xpo przekształceniu przez symetrię środkową względem środka układu współrzędnych - So.
y=-f(-x)=-2(-x)=-2-x=-\left(\frac{1}{2}\right)^x .

Translacja[edytuj]

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor  \vec u=[a,b] to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor  \vec u=[a,b] , to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor  \vec u=[a,b] będzie miał wzór y=f(x-a)+b.

Wykres y=f(x), y=f(x-a)+b.png

Przykład 1. Zapisz wzór funkcji f(x)=2x2 po przekształceniu przez translację o wektor  \vec u=[3,-2] .
y=f(x-a)+b= 2(x-3)2-2.

Przykład 2. Zapisz wzór funkcji f(x)=log(x+2)-3 po przekształceniu przez translację o wektor  \vec u=[-3,5] .
y=f(x-a)+b=log(x+3+2)+5-3=log(x+5)+2.

Nałożenie wartości bezwzględnej[edytuj]

Wykres funkcji  y = f(|x|) tworzymy poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Wykres funkcji  y = |f(x)| tworzymy poprzez przełożenie części funkcji znajdującej się pod osią OX nad nią.

Absolute.png


Podsumowanie[edytuj]

Funkcja to sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

  • grafu
  • wykresu
  • wzoru
  • tabelki
  • opisu słownego

Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich argumentów zmiennej (np. x), dla której funkcja ma sens.

Wyznaczając dziedzinę należy pamiętać o tym, że: w mianowniku nie może być 0, a pod pierwiastkiem nie może znajdować się liczba ujemna.

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Miejsce zerowe funkcji jest to punkt przecięcia wykresu z osią X.


Funkcja rosnąca

Funkcję  f\colon X \to R nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów  x_1\, ,  x_2\,  \in  X\, zachodzi:

 x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)

Funkcja malejąca

Funkcję  f\colon X \to R nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów  x_1\, ,  x_2\,  \in  X\, zachodzi:

 x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)

Funkcja stała

Funkcja jest stała, gdy dla każdego x:  f(x)=c\,


Funkcja niemalejąca

Dla dowolnych argumentów  x_1 , x_2\, :

 x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leqslant(x_2)\,

Funkcja nierosnąca

Dla dowolnych argumentów  x_1 , x_2\, :

 x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geqslant(x_2)\,


Największa wartość funkcji

Funkcja  f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość największą  y_0=f(x_0)\, dla pewnego  x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  x \in X zachodzi nierówność  f(x) \leq f(x_0)

Najmniejsza wartość funkcji

Funkcja  f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość najmniejszą  y_0=f(x_0)\, dla pewnego  x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  x \in X zachodzi nierówność  f(x) \geq f(x_0)


Inne własności funkcji

  • funkcja różnowartościowa
  • funkcja parzysta
  • funkcja nieparzysta
  • okresowa

Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji  y=f(x)\,

  • przesuwanie wykresu o wektor (translacja) \vec u = [p,q]  wzór -  y = f(x-p)+q\,
  • symetria względem osi OX - wzór  y = -f(x)\,
  • symetria względem osi OY - wzór  y = f(-x)\,
  • symetria względem układu współrzędnych - wzór  y = -f(-x)\,
  • nałożenie wartości bezwzględnej
  • zmiana skali

Powinieneś umieć[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • powiedzieć czym jest funkcja, a także wykres funkcji
    • wyznaczyć dziedzinę funkcji
    • podać jaki jest zbiór wartości funkcji
    • wyznaczyć miejsce zerowe funkcji
    • wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale
    • podać monotoniczność funkcji
    • przesunąć wykres funkcji (translacja)
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • powiedzieć czym jest funkcja różnowartościowa
    • funkcja parzysta, nieparzysta i okresowa
    • przekształcać wykres funkcji przez zmianę skali i przez symetrię


1.Wykresem funkcji może być:

a.odcinek
b.punkt
c.prosta prostopadła do osi OX.

Odpowiedź: a -> TAK b -> TAK; c -> NIE.

2.Dana jest funkcja f(x)=(x-2)/x-2. Wobec tego:

a.dziedziną funkcji f jest przedział <2, +nieskończoność),
b.miejscem zerowym funkcji f jest lczba 2,
c.istnieje argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 0.

Odpowiedź: a -> NIE; b -> NIE; c -> NIE. Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Ćwiczenia


Funkcja liniowa

Funkcja liniowa[edytuj]

Wstęp[edytuj]

Co zawiera dział
Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa oraz jej wykres. Jak się rozwiązuje równania liniowe. Jak rozwiązać nierówność. Przypadek dwóch niewiadomych w równości liniowej. Układ równań i jakimi metodami można go rozwiązać. Zastosowanie macierzy w rozwiązywaniu układu równań. Jak poradzić sobie z parametrem w równaniu. W zadaniach pojawią się przykłady zadań tekstowych i sposób ich zapisu w postaci funkcji liniowej.


Zakres programowy

a) wykres funkcji liniowej,
b) wzór funkcji liniowej pozyskany z zadanych własności,
c) rozwiązanie równania i nierówności liniowej z jedną niewiadomą,
d) określenie liczby rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą,
e) rozwiązanie zadań tekstowych prowadzących do równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą,
f) rozwiązanie algebraicznie i graficznie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi,
g) rozwiązanie zadania tekstowego prowadzącego do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi


Z zakresu programowego odeszło:

h) (R) rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi,
i) (R) rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z parametrem (w tym określenie liczby rozwiązań układu w zależności od parametru)

Informacje bazowe[edytuj]

Definicja

Definicja
DEFINICJA

Funkcję  \mathbf{f(x)=ax+b}\ , gdzie  a,b,x \in \mathbb{R} nazywamy funkcją liniową.

Funkcja liniowa f, zapis:

f(x)=ax+b \,  lub  y=ax+b\,   lub też   f\!\!: y=ax+b\,

gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym, b wyrazem stałym.


Przykładowe funkcje liniowe

  •  y = -4x+1 \,
  •  y = x \,
  •  f(x)=6 \,   - funkcja stała
  •  f(x)=\frac{3}{2}x
  •  f(x)=5x+7 \,


Przykłady
Podać wzór funkcji liniowej na podstawie własności

  • Funkcja f przecina oś OX w punkcie -3, czyli (-3,0), natomiast oś OY w punkcie 3, czyli (0, 3). Znajdź wzór tej funkcji.
y = ax+b\,,
Za x i y podstawiamy współrzędne podanych punktów (x,y):
0 = -3a + b \qquad \; 3 = 0\cdot a + b,
Z ostatniego równania 3=b otrzymujemy b, podstawiamy do poprzedniego otrzymując 0 = -3a+3, obliczamy a.
Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji:  f(x)=x+3\,


Wykres funkcji liniowej[edytuj]

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć współrzędne dowolnych dwóch punktów tej funkcji i poprowadzić przez nie prostą.

Linear functions2.PNG

Prosta, która jest wykresem funkcji y=ax+b, nachylona jest do osi OX pod takim kątem, że

a = tg \alpha \qquad \alpha \in (0, \tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2}, \pi)
gdzie: a to współczynnik przy x, \alpha to kąt między prostą a osią OX

Kąt nachylenia prostej.PNG

Prosta przecina oś OY w punkcie (0,b) oraz oś OX w punkcie (-b/a, 0) – można to łatwo wyznaczyć z jej wzoru, y=ax+b (podstawiając 0 za y lub za x).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Wykresem funkcji liniowej  f(x)=ax jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych o współczynniku kierunkowym a.

Wykresem funkcji liniowej  f(x)=ax+b jest prosta przechodząca przez punkt (0;b) o współczynniku kierunkowym a.

Własności funkcji liniowej[edytuj]

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.

Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z  x_0= -\tfrac{b}{a}

Monotoniczność funkcji liniowej

  •  a>0\, funkcja rosnąca
  •  a<0\, funkcja malejąca
  •  a=0\, funkcja stała

Przykład
Funkcja y=-3x+1 jest malejąca.

Parzystość
Funkcja jest parzysta, gdy  a=0\, (funkcja stała).
Funkcja jest nieparzysta, gdy  b=0\, (przechodzi przez środek układu wsp.) i a\neq 0.

Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeśli a\neq 0, w przeciwnym wypadku nie jest różnowartościowa (jest stała i zawsze przyjmuje tę samą wartość).

Okresowość
 a\neq 0\, funkcja nie jest okresowa.
 a=0\, funkcja jest okresowa (stała), jej okresem jest każda liczba R.

Wykresy dwóch funkcji
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być:

  • równoległe, gdy a_1 = a_2 – oba współczynniki są równe
  • prostopadłe, gdy a_1 = \tfrac{-1}{a_2}

Przykład
Wykresy funkcji: f(x)=3x+1 i g(x)=3x-7 są liniami równoległymi do siebie.


Równanie liniowe z jedną niewiadomą[edytuj]

Przykładem równania liniowego może być:

  • 2x + 3 = 5
  • -x + 2 = 0
  •  \tfrac{7x + 2}{2} = 6

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

Definicja
DEFINICJA

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci  ax+b=0\, ,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

  • przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
  • wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

  • Aby rozwiązać równanie  2x+3=5\,,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
2x = 5-3\,  czyli  2x = 2\,
Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli
2x = 2 \quad / :2\,
x = 1\,,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

  • jeśli   2x + 5 \;=\; 6 ,  to   2x \;=\; 6 - 5 ,
  • jeśli   x - 4 \;=\; 2 ,   to   x \;=\; 2 + 4 .

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " /\cdot 4 " lub np. " \,/: 3 ".

  •  \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right. - obustronnie mnożymy przez 2
  •  3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right. - obustronnie dzielimy przez 3
  •  \tfrac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \tfrac{4}{3}\right. - obustronnie mnożymy przez ułamek \tfrac{4}{3}.

Przykłady

  • Równanie -x + 2 = 0\,
 -x \,=\,0 -2
 -x = -2\ \; /{\cdot}\ (-1)
 x\,=\,2
  • Równanie  \tfrac{7x + 2}{2} = 6
Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.
\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.
7x+2\,=\,12
7x = 10\ \; /{:}\ 7
x = \tfrac{10}{7}

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

  • jeśli a \neq 0, to istnieje jedno rozwiązanie x = -\frac{b}{a},
  • jeśli a=0 \;\mbox{i}\; b=0\,, to równanie przyjmie postać 0=0\,. Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
  • jeśli a=0 \;\mbox{i}\; b\neq 0, wówczas równanie może wyglądać np. tak: 0 = 3, co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Zacznijmy od kilku przykładów:

  • 2x > 3 \,
  • 5x - 2 < 2\,
  • -2x + 4 \geq -3x + 5
  •  -\tfrac{1}{2} x + 3 \geq 5

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. ax + b > 0\,, gdzie niewiadomą jest x.
Inne postacie: ax + b \geq 0, \; ax + b < 0 \;\mbox{lub}\; ax + b \leq 0.

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od   2x > 3 \, :

 2x > 3 \quad /{:}\ 2
 x > 1\frac{1}{2}
Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.
Odp.  x \in \left(1\frac{1}{2}; +\infty\right).

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu   -2x + 4 \geq -3x + 5\, :

 -2x + 3x \geq 5 - 4
 x \geq 1
Odp.  x \in \langle1; +\infty) .

Rozwiążmy teraz nierówność  -5x - 2 < 2 \, :

 -5x < 2 + 2 \,
 -5x < 4 \quad /{:} (-5)\,
 x > -\frac{4}{5} - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.
Odp.  x \in \left(-\frac{4}{5}; \infty\right) .

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

3 < 4 \quad /\cdot (-2)
{\color{Red}-6 < -8 } \,  - fałsz, brakuje zmienionego znaku
-6 > -8 \,  - prawda, zmieniony znak na '>'.

Równanie z parametrem (R)[edytuj]

Dla jakich wartości parametru p funkcja y=2px+4-p jest malejąca oraz nieparzysta?

Musimy ustalić warunki, które musi spełniać to równanie, aby założenia z zadania były spełnione .

  1. a<0 aby funkcja była malejąca
  2. Wykres funkcji musi przechodzić przez punkt (0,0) aby funkcja była nieparzysta. W przypadku funkcji nieparzystej f(x)=ax+b zachodzi b=0, zatem w naszym przypadku zachodzi 4-p=0
  • 
\left\{\begin{matrix}
2p<0 \\
4-p=0
\end{matrix}
 \right.

Mamy:

  • 
\left\{\begin{matrix}
p<0 \\
p=4
\end{matrix}
 \right.

Teraz musimy złączyć oba te warunki, aby otrzymać wynik.


Układ równań z dwiema niewiadomymi[edytuj]

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:

  • 
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y \\
x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.
  • 
\left\{\begin{matrix}
-3x - 6y + 4 = 0 \\
5x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.

Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.

Metoda podstawiania[edytuj]

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y x (1.2), czyli:

y = x - 5 \!

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

 2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!
 2x + 1 = 3x - 15 \!

i otrzymujemy:

 x= 16\,

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

 y = 16 - 5 = 11\, .

Odp.  x = 16\, i  y = 11\,

Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

2x + 1 = 3y\,
2x = 3y - 1\ \ /{:} 2
x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

 \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y
 \frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y
 \frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}
 \frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \quad \ /{\cdot} 2
 y = 11 .

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

 x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16 .

Odp.  x = 16 i  y = 11 .

Drugi układ

\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
5x-5=y
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-3x-6(5x-5)+4=0 \\
y=5x-5
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-3x-30x+30+4=0 \\
y=5x-5
\end{matrix}
 \right.

-33x=-34 \quad /:(-33)\,

 x= \frac{34}{33}\,

y=5 \cdot \frac{34}{33}-5\,

y= \frac{170}{33}-5\,

y= \frac{5}{33}\,

 x= \frac{34}{33}\,
Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

Metoda przeciwnych współczynników[edytuj]

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

x - 5 = y \quad /{\cdot} (-2)
-2x + 10 = -2y \ .

Teraz należy wstawić to do układu:


\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
-2x + 10 = -2y & (1.2)
\end{matrix}
 \right.

i dodać stronami:

 2x + (-2x) +11 =3y + (-2y) \
 11 = y \

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

 x - 5 = 11 \
 x = 16 \

Odp.  x = 16 i  y = 11 .

Drugi przykład:

  • 
\left\{\begin{matrix}
-3x - 6y + 4 = 0 \\
5x - 5 = y
\end{matrix}
 \right.

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.



\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
   5x-5-y=0  \quad /\cdot (-6) 
\end{matrix}
 \right.

Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.



\left\{\begin{matrix}
-3x-6y+4=0 \\
-30x+30+6y=0
\end{matrix}
 \right.

Teraz rozwiązujemy.


 -3x-6y+4-30x+30+6y=0\,


Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:


 -33x+34=0\,


Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.


 -33x=-34 \quad / : (-33)\,


Ostatecznie x wynosi:


 x=\frac{34}{33}

Podstawiamy x i wyliczamy.


 5\cdot\frac{34}{33}-5=y\,

 \frac{170}{33}-5=y


Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.


 y=\frac{5}{33}

Odpowiedź  x=\frac{34}{33} i  y=\frac{5}{33}

Metoda graficzna[edytuj]

Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Zróbmy taki przykład


\left\{\begin{matrix}
x+y=4 \\
2x+3y=12
\end{matrix}
 \right.

Przekształcamy układ to postaci kierunkowej


\left\{\begin{matrix}
y=-x+4 \\
y=4-\frac{2}{3}x
\end{matrix}
 \right.

Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:

\left\{\begin{matrix}
x=0 \\
y=4
\end{matrix}
 \right.

Metoda wyznacznikowa[edytuj]


\left\{\begin{matrix}
a_1x+b_1y=c_1 \\
a_2x+b_2y=c_2
\end{matrix}
 \right.


W=\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2&b_2 \end{bmatrix}= a_1b_2 - a_2b_1


W_x=\begin{bmatrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix}=c_1b_2 - c_2b_1


W_y=\begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{bmatrix}=a_1c_2 - a_2c_1

Jeśli  W \neq 0, to układ równań ma jedno rozwiązanie  x= \frac{W_x}{W} i  y= \frac {W_y}{W} .

Jeśli  W = 0\, i  W_x = 0\, i W_y = 0\, to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeśli  W=0\, i W_x  \neq  0  \vee W_y \neq 0 to układ równań jest sprzeczny.

Przykład

\left\{\begin{matrix}
2x+5y=16 \\
5x+y=17
\end{matrix}
 \right.

 W=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5&1 \end{bmatrix}= 2\cdot 1 - 5 \cdot 5 = 2-25 = -23

 W_x=\begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 17 & 1 \end{bmatrix}=16 \cdot 1 - 17 \cdot 5 = 16-85=-69

 W_y=\begin{bmatrix} 2 & 16 \\ 5 & 17 \end{bmatrix}=2 \cdot 17-5 \cdot 16=34-80=-46

 x= \frac{W_x}{W} = \frac{-69}{-23} = 3\,

 y= \frac{W_y}{W} = \frac{-46}{-23}=2\,


Do zrobienia W przygotowaniu:
  • napisać, co to jest układ zależny, niezależny i sprzeczny
  • parametr


Podsumowanie[edytuj]

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą jest
  • równanie postaci   ax + b = 0 (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami (lub parametrami).
Równanie liniowe rozwiązujemy następująco
  • przeniesienie niewiadomej na jedną stronę, a liczb (bądź parametrów) na drugą,
  • wymnożenie lub podzielenie obu stron przez wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x (np.   3x=9 \,\rightarrow \; x=3),
  • przy przenoszeniu liczby na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.
Rozwiązania równania liniowego
  • a\neq 0   - równanie ma jedno rozwiązanie (np. 0=3x+1)
  • a=0, b=0 \,  - równanie jest tożsamościowe (np. 0=0)
  • a=0, b\neq 0  - równanie jest sprzeczne (brak miejsc zerowych) (np. 0=2)
Układ równań linowych

Metody:

  • podstawiania - polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego
  • przeciwnych współczynników - polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości.
  • graficzna - polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie zaznaczeniu prostych na układzie współrzędnych i odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.
  • wyznaczniki - polega na wyznaczeniu wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzenie analizy rozwiązań układu równań.


Zadania z rozwiązaniami[edytuj]

Zad.1 Wyznacz miejsce zerowe funkcji  y=3x+5\,

Rozwiązanie

 y=3x+5\,

 0=3x+5\,

 -3x=5 \quad / : (-3)\,

 x= \frac {-5}{3}\,


Zad.2 Napisz wzór prostej prostopadłej do prostej y=-4x+3\, i przechodzącej przez punkt A(1,2).

Rozwiązanie

a \cdot a_1=-1 \quad /: a_1\,
a= \frac {-1}{a_1}\,

y=-4x+3\,

a \cdot (-4)=-1\,
-4a=-1 \quad /: (-4)\,
a= \frac{1}{4}\,


 A(x=1,y=2)\,
 2= \frac {1}{4} \cdot 1 +b
 2= \frac{1}{4}+b
 2- \frac{1}{4}=b
 \frac{7}{4}=b
 y=\frac{1}{4} x+ \frac {7}{4}


Zad.3 Janek kupił dwa chleby i trzy oranżady płacąc 13 zł. Drugiego dnia za trzy chleby i cztery oranżady zapłacił 5 zł więcej, niż poprzedniego dnia. Ile kosztuje jeden chleb i jedna oranżada?

Rozwiązanie (metoda przeciwnych współczynników)

x - chleb
y - oranżada


\left\{\begin{matrix}
2x+3y=13 / \cdot (-3) \\
3x+4y=18 / \cdot  2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-6x-9y=-39 \\
6x+8y=36
\end{matrix}
 \right.

 -6x-9y+6x+8y=-39+36\,

 -y=-3 \quad /:(-1)\,

 y=3\,

2x+3\cdot3=13\,

2x+9=13\,

2x=13-9\,

2x=4\quad /:2

 x=2\,

Odpowiedź: Chleb kosztuje 2 zł, a oranżada 3 zł.


Zad.4 Rozwiąż układ równań


\left\{\begin{matrix}
x+2y-z=-4 \\
2y+z=2\\
2y=-2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
2y+x-z=-4 \\
z=2-2y \\
2y=-2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
2y+x-(2-2y)=-4 \\
z=2-2y \\
2y=-2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
-2+x-2+2y=-4 \\
z=2-(-2) \\
2y=-2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
x=-4+2+2+2 \\
z=4 \\
2y=-2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
x=2 \\ 
z=4 \\ 
2y=-2 \quad /:2
\end{matrix}
 \right.


\left\{\begin{matrix}
x=2 \\
y=-1 \\
z=4
\end{matrix}
 \right.


  1. Na przejechanie 60 km samochód zużywa 4,8 litra benzyny
    1. ile kilometrów przejedzie samochód, mając w baku 12,8 litra benzyny?
    2. ile litrów benzyny potrzebuje ten samochód na przejechanie 255 km?
    3. podaj wzór wyrażający zużycie paliwa w litrach w zależności od liczby x\, przebytych przez samochód kilometrów.


Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

Wiadomości wstępne[edytuj]

Co to jest funkcja kwadratowa? Czasem do opisu liczbowego nie wystarcza nam funkcja liniowa - np. gdy chcemy opisać pole powierzchni pewnego kwadratu, będzie ono wyrażone wzorem x2. Druga potęga iksa znajduje się właśnie we wzorze funkcji kwadratowej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcję określoną wzorem  f(x)=ax^2+bx+c\ ,
gdzie  a,b,c,x \in \mathbb{R} \mbox{ i } a \neq 0
nazywamy funkcją kwadratową.

Wyrażenie  ax^2+bx+c\ , gdzie a\ne 0, jest nazywane trójmianem kwadratowym.

Przykłady[edytuj]

  •  f(x)=2x^2+3x+4\ \quad - tutaj: a = 2,\; b = 3,\; c = 4\
  •  f(x)=x^2+3x-5\ \quad - tutaj: a = 1,\; b = 3,\; c = -5\
  •  f(x)=-x^2+4\ \quad - teraz: a = -1,\; b = 0,\; c = 4\
  •  f(x)=x^2\ \quad - wreszcie tutaj: a = 1,\; b = 0,\; c = 0\ .

Przykład 'z treścią':

Powierzchnia pewnego lokalu ma kształt kwadratu, cena za 1m2 wynosi 7zł, dodatkowo do ceny należy doliczyć opłatę 150zł. Zapisz wzór na cenę lokalu, jeżeli długość boku kwadratu wynosi x.
Odp: Cenę y można obliczyć ze wzoru:   y=7\cdot x^2+150\,.

Wykres funkcji kwadratowej[edytuj]

Wykresem funkcji kwadratowej jest linia nazywana parabolą. Poniżej wykres funkcji  f(x)=x^2

Wykres y=x^2.png

Wyróżnik trójmianu kwadratowego (delta)[edytuj]

Charakterystyczną cechą wyróżnika jest to, że jego wartość określa, czy funkcja przecina oś OX - a jeśli przecina, to w ilu miejscach (1 lub 2). Stosowany jest więc głównie przy znajdowaniu miejsc zerowych.

  • oznacza się symbolem greckiej litery alfabetu \Delta (Delta)
  • oblicza się go ze wzoru:  \Delta~= b^2 - 4ac


Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej[edytuj]

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji  y = x^{2} \, dla kilku kolejnych argumentów.


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 y=x^{2} 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

X^2.jpg

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji   y = -x^{2} \,

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 y=-x^{2} -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

-x^2.jpg

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji  y=x^2 , symetrycznie względem osi OX.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej[edytuj]

Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:
y = a(x - p)^{2} + q\,

  • gdzie:  p = \tfrac{-b}{2a} ,  natomiast  q = \tfrac{-\Delta}{4a},
  • wartości  p i q  nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli  W(X_{w},\; Y_{w}),  czyli  Xw = p,  Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje   f(x) = 2x^{2} - 4x + 7  i   f(x) = 2(x-1)^{2} + 5  są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.

Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykres y=ax^2  przesunąć o wektor [p,\,q].

Porada Porada
Wzór funkcji a(x-p)2+q można postrzegać jako funkcję ax2 przesuniętą o wektor [-p; q] -> z funkcji a(x-3)2-4 można wyczytać, że jest to funkcja ax2 przesunięta o wektor [3; -4]. Dla P bierzemy przeciwną wartość!

Dowód (informacje dodatkowe)

Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:
ax^2+bx+c = a(x-p)^2 + q
ax^2+bx+c = a(x^2-2xp+p^2) + q
ax^2+bx+c = ax^2 - 2apx + ap^2 + q
\color{Red}b\color{Black}x+\color{Blue}c\color{Black} = \color{Red}- 2ap\color{Black}x + \color{Blue}ap^2 + q
Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x2 nie występuje), B=-2ap (czyli wyraz przy x), C=ap^2+q (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:
\begin{cases} b = -2ap \\ c = ap^2 + q \end{cases}
\begin{cases} p = \frac{-b}{2a} \\ q = c - ap^2  \end{cases}
q = c - a\left (\frac{-b}{2a}\right )^2 \quad \quad q = c - \frac{b^2}{4a}
q = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a} \quad \quad \quad \quad q = \frac{4ac - b^2}{4a}
q = \frac{-(-4ac+b^2)}{4a} \quad \quad q = -\frac{b^2-4ac}{4a}
q = -\frac{\Delta}{4a}

Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:

  • znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q
  • obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
  • największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.

Przykłady[edytuj]

Uwaga!

Zanim zaczniesz czytać dalej, przypomnij sobie informacje z działu Przekształcanie wykresu funkcji.

  • Przykład 1. (rysowanie wykresu)

Rozpatrzmy funkcję  y=(x-4)^2+2 . Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:

1. Współczynnik kierunkowy a jest równy 1. Funkcja ma więc ramiona skierowane ku górze (gdyż a>0).

2. Współczynnik p jest równy 4. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 4 jednostki w prawą stronę układu współrzędnych.

3. Współczynnik q jest równy 2. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 2 jednostki w górę układu współrzędnych.

Punkty 2. i 3. oznaczają to samo, co: funkcję należy przesunąć o wektor [4, 2].

Biorąc pod uwagę trzy powyższe warunki, konstruujemy wykres funkcji, który wygląda następująco:

(x-4)^2+2.jpg

  • Przykład 2. (rysowanie wykresu)

Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję  y=-x^{2}-10x-19 oraz narysuj jej wykres.

Wypiszmy współczynniki a, b i c z tego równania:

a = -1, b = -10, c = - 19. Współczynnik kierunkowy a jest ujemny, więc ramiona będą skierowane w dół. Obliczmy teraz wartości p oraz q.

 p = \tfrac{- b}{2a}

 p = \tfrac{- (-10)}{2 \cdot (-1)} = -5


 q = \tfrac{-\Delta~}{4a}

Żeby obliczyć q musimy najpierw policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (Deltę).

 \Delta~ = b^{2} - 4ac

 \Delta~ = (-10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 24


 q = \tfrac{-24}{4 \cdot (-1)} = 6

Teraz wprowadzamy wartości p i q do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:

 y = -(x-(-5))^{2} + 6

 y = -(x+5)^{2} + 6


Mając współrzędne p i q wierzchołka paraboli, rysujemy wykres:

-(x+5)^2+6.jpg

  • Przykład 3. (maksimum)

Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy a<0 ramiona są skierowane do dołu (wierzchołek jest najwyższym punktem - funkcja osiąga w nim więc maksimum), natomiast gdy a>0, ramiona są skierowane do góry (wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że a < 0. Funkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), więc są to jednocześnie współrzędne wierzchołka, otrzymujemy x_w oraz y_w (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:

 y = a(x-3)^{2} + 4

Pozostaje nam nieokreślona wartość a. Musi być ona ujemna, jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy za a, zmieni to jedynie wygląd ramion wykresu, jednak wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne a'.

 y = -4(x-3)^{2} + 4

Zapiszmy jeszcze funkcję w postaci ogólnej.

 y = -4 * (x^2 - 6x + 9) + 4
 y = -4x^2 + 24x - 36 + 4
 y = -4x^2 + 24x - 32

Jako, że a mogliśmy obrać dowolne (ujemne), możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).

  • Przykład 4. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji  f(x)=x^2-3x-10 w przedziale <-1, 3>.

Będziemy musieli policzyć 3 wartości - współrzędną y wierzchołka paraboli (o ile czyli wartość x należy do przedziału!) oraz wartości funkcji z krańców podanego przedziału, które to policzymy na poczatku:

f(-1) = -6

f(3) = -10

Współrzędna x wierzchołka (czyli p):

p=\frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5

x=1.5 należy do przedziału <-1, 3> (gdyby tak nie było, wierzchołek leżałby poza rozpatrywanym przedziałem, wówczas już nas nie interesuje).

Ponieważ a>0 (a = 1), funkcja osiąga w punkcie wierzchołka minimum, o czym zaraz się przekonamy.

Porada

Alternatywną metodę znalezienia wartości q jest, mając obliczoną wartość p wierzchołka, obliczenie wartości funkcji dla p, czyli  q\,=\,f(p).

Obliczamy y wierzchołka (czyli q), korzystając z wartości p=1,5.

f( \frac{3}{2} ) = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot ( \frac{3}{2} ) - 10 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 10 = -\frac{49}{4}

Uzyskaliśmy więc: wartość -6 dla x=-1, wartość -10 dla x=3 oraz wartość -\tfrac{49}{4} dla x=1,5. Jak nie trudno się domyśleć, największa wartość będzie szukanym maksimum, najmniejsza - minimum.

Podsumowując, funkcja osiąga minimum dla x= 1,5 oraz maksimum dla x=-1 (biorąc pod uwagę przedzialał <-1, 3>).

Porada

Przy braku pewności co do obliczeń, zawsze można posłużyć się szkicem wykresu funkcji.

  • Przykład 5. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x)=-x^2-4x+12 w przedziale <-5, 3>.

Analogiczy przypadek jak powyżej.
Badamy wartość funkcji na krańcach przedziałów:

f(-5)=-(-5)^2 - 4 \cdot (-5) + 12 = -25 + 20 + 12 = 7

f(3)=-(3)^2-4 \cdot 3 + 12 = -9 - 12 + 12 = -9

Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

p=\frac{-b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2

Wierzchołek paraboli należy do przedziału. Ponieważ a<0, funkcja osiąga w jego punkcie maksimum (ramiona są skierowane do dołu, wierzchołek jest najwyższym punktem).

f(-2) = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16

Funkcja osiąga minimum w punkcie x=3 oraz maksimum w punkcie x = -2.

Porada

Gdyby punkt wierzchołka nie należał do podanego przedziału, funkcja osiągałaby wartości największe i najmniejsze na jego krańcach.

Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Współrzędną x_{w} można wyznaczyć ze wzoru: x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} (średnia arytmetyczna), gdzie x_{1} i x_{2} są miejscami zerowymi funkcji (pierwiastkami). Jest to wynikiem tego, że wierzchołek leży zawsze w połowie ich odległości.

Współrzędne ekstemum paraboli (wierzchołka) można też łatwo obliczyć za pomocą pochodnej, jednakże rachunek różniczkowy i całkowy nie jest w podstawie programowej liceum.



Równania kwadratowe

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy  ax^2 + bx + c  o współczynnikach rzeczywistych, a\not=0.

1. Jeżeli  \Delta~> 0, to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\;\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

2. Jeżeli  \Delta~= 0, to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

x_0=\frac{-b}{2a}

3. Jeżeli  \Delta~< 0, to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

a\left (x-p\right )^2 + q = 0

 a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \quad : a

 \left (x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni (4a^2 > 0). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy \Delta < 0 , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy \Delta = 0 , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
 \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = 0     / Pierwiastkujemy obustronnie
 x = \frac{-b}{2a}
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).
3. Gdy \Delta > 0 , otrzymujemy:
 \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{\Delta}{4a^2}    / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z   \sqrt{x^2} = |x|
|x+\frac{b}{2a}| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
Przypadek 1: dla x+\frac{b}{2a} > 0 - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
x_{1}+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{b}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta} - b}{2a} \; = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Przypadek 2: dla x+\frac{b}{2a} < 0 - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
-x_{2}-\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
więc, dla \Delta > 0 rozwiązaniami są  x_{1} = \tfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}   oraz   x_{2} = \tfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

Równania kwadratowe - w skrócie[edytuj]

Wzory na miejsca zerowe
  • dla  \Delta>0  2 miejsca zerowe:  x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},
  • dla  \Delta=0   1 miejsce zerowe:   x_0=\tfrac{-b}{2a},
  • dla  \Delta<0   miejsca zerowe nie istnieją.
Metoda wyłączania wspólnego czynnika
  • równanie postaci np.    x^2 + x = 0
  • przekształcamy do    x(x+1) = 0, po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
  • np.  x^2+6x+9 = 0 \; \; \rightarrow \;\;(x+3)^2 = 0
  • np.  x^2-9 = 0 \; \; \rightarrow \; \;(x+3)(x-3) = 0
Równanie dwukwadratowe
  • równanie postaci   ax^4 + bx^2 + c \,=\, 0  rozwiązujemy metodą podstawiania,
  • przy założeniu   t = x^2   rozwiązujemy   at^2 + bt + c \;=\; 0,
  • uzyskane pierwiastki  t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4},  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratowe[edytuj]

Rozwiąż równania:

  • Przykład 1.  x^{2}-3x-4=0
  • Przykład 2.  x^{2}-4=0
  • Przykład 3.  x^{2}-6x+9=0
  • Przykład 4.  x^{2}-2x=3x+5
  • Przykład 5.  -x^{2}-2x=0
  • Przykład 6.  x^{2}-5x+22=0
  • Przykład 7.  x^{4}-3x^{2}-4=0 (równanie dwukwadratowe)
  • Przykład 8.  x^{2}+6x-7=0
  • Przykład 9.  x^2-4|x|-12=0 (równanie z modułem)

  • Przykład 1

x^{2} - 3x - 4 = 0

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  a = 1,\; b = -3,\; c = -4.

 \Delta~= b^2 - 4ac

\Delta~ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

\Delta~ = 25

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_1=\frac{3-5}{2} \;= -1

x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_2=\frac{3+5}{2} \; =4

Równanie ma więc dwa rozwiązania:  x_{1}=-1\   i   x_{2}=4\ .


  • Przykład 2

 x^{2}-4=0

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  a=1, b=0, c=-4.  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 a^{2} - b^{2} = (a-b) \cdot (a+b)\

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian  x^2-4 = 0  na postać iloczynową:

 (x-2) \cdot (x+2) = 0\

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.


  • Przykład 3

 x^{2}-6x + 9 = 0

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

a = 1, \; b=-6, \; c=9

 \Delta~= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9

 \Delta~= 36 - 36 \; =0

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{-b}{2a}

x_{0} = \frac{-(-6)}{2} \; =3

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

 (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\

Przyrównujemy w myślach    x^{2}-6x + 9 = 0   i   a^{2} - 2ab + b^{2}\ ...
 (x-3)^2 = x^2 - 2*1*3 + 3^2

Otrzymujemy:

 (x-3)^{2} = 0\

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).


  • Przykład 4

 x^{2}-2x = 3x + 5

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

 x^{2}-5x - 5 = 0

a = 1, \; b=-5, \; c=-5

 \Delta~= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \; = 45

x_{1}=\tfrac{-(-5)-\sqrt{45}}{2}

x_{1}=\tfrac{5-3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

x_{2}=\tfrac{-(-5)+\sqrt{45}}{2}

x_{2}=\tfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

Rozwiązaniami tego równania są liczby    x_{1}=\tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}, \; \; \; x_{2}=\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}


  • Przykład 5

 -x^{2}-2x=0

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

 (-x^{2}-2x)=0\

 x(-x-2)=0\

Powyższe równanie zachodzi gdy:
 x= 0   lub    -x-2 = 0

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.


  • Przykład 6

 x^{2}-5x+22=0

Policzmy deltę:

a = 1, b=-5, c=22

 \Delta~= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22

 \Delta~= 25 - 88 \; = -63

Wystarczy zauważyć, że   \Delta~<0  - równanie nie ma więc rozwiązań.


  • Przykład 7

 x^{4}-3x^{2}-4=0

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

 t = x^{2}\

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

 t^{2}-3t-4=0\

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki   t_{1}\   oraz   t_{2}\ .

 \Delta~= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \; = 25

t_{1}=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2} \; = -1

t_{2}=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2} \; = 4

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

 t = x^{2}\

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

 -1 = x^{2}\

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

 x^{2}+1=0\

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ \Delta~<0 Zauważmy, że samo równanie    -1 = x^{2}\   jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

 4 = x^{2}\

 x^{2}-4=0\

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy    (x-2)(x+2)=0\

Równanie ma dwa rozwiązania: x_{1} = 2 i x_{2} = -2 (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków x_{1} i x_{2} dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia  t = x^{2}\ można dodać warunek  t \ge 0 . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.


  • Przykład 8 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^{2}+6x-7=0

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

 x^{2}+6x-7=0 (*)     - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

 (x+3)^2 = 0 (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: (x+3)^2 = x^2+6x+9. Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać  x^{2}+6x-7, to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę":    (x+3)^2 - 16

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy x^{2}+6x-7=0. Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać:   x^{2}+6x-7 = (x+3)^2 - 16.
Teraz po kolei liczymy:

 (x+3)^2 - 16 = 0

 (x+3)^2 = 16     / Pierwiastkujemy obustronnie

 \sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{16}

 \sqrt{(x+3)^2} = 4

Korzystamy z własności:    \sqrt{x^2} = |x| ,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Porada

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory.

 |x+3| = 4

 x_{1} = -7, \; \; x_{2} = 1

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)


  • Przykład 9 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

x^2 - 4|x| - 12 \;=\; 0

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy x \ge 0 i drugi, gdy  x < 0.

1 przypadek dla x \ge 0

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
x^2 - 4x - 12 = 0
Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem x \ge 0.
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64
x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2
x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia x \ge 0, więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla  x < 0\,

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
x^2 + 4x - 12 = 0
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64
x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6
x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2
Teraz x_{2} nie spełnia naszego założenia x<0, odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:  x_{1} = 6   i  x_{2} = -6.


Nierówności kwadratowe

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na
  • obliczeniu miejsc zerowych,
  • narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
  • wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.
Dla nierówności dwukwadratowych
  • rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. t=x^2),
  • uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy x^2. Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
  • np.   t \in (4; 5) \; \rightarrow \; t>4, \, t<5 \; \rightarrow \; x^2>4, \, x^2<5     i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe[edytuj]

  • Przykład 1.  x^2 - 2x - 15 > 0
  • Przykład 2.  -x^2- 4x + 45 \ge 0
  • Przykład 3.  x^2 - 5x + 8 < 0
  • Przykład 4.  -x^2 - 6x - 10 < 0
  • Przykład 5.  x^4 - 13x^2 + 36 > 0
  • Przykład 6.  x^2 + 4x - 12 < 0



  • Przykład 1

x^2 - 2x - 15 > 0

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64

x_{1} = \frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2} = -3

x_{2} = \frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2} = 5

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach (\Delta>0), wcześniej obliczonych:

Nierownosc1.jpg

Porada

Pamiętaj, że wykres ma na celu tylko ułatwienie znalezienia rozwiązań nierówności. Dlatego nie musi być dokładny.

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

 x \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-\infty - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.


  • Przykład 2

 -x^2 - 4x + 45 \ge 0

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (45) = 16 + 180 = 196

x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{-2} = \frac{4-14}{-2} = 5

x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{-2} = \frac{4+14}{-2} = -9

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Nierownosc2.jpg

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

 x\in <-9, 5>

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność  f(x) \ge 0.


  • Przykład 3

 x^2 - 5x + 8 < 0

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7

\Delta < 0\ - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Wykres3.PNG

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

 x \in \varnothing


  • Przykład 4

 -x^2 - 6x - 10 < 0

\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 36 - 40 = -4

\Delta < 0\ - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Wykres4.PNG

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

 x \in R


  • Przykład 5 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^4 - 13x^2 + 36 \,>\, 0

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

t = x^2; \;\; t \ge 0

t^2 - 13t + 36 \,>\, 0

\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25

\sqrt{\Delta} = 5

t_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4

t_{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9

Porada

UWAGA!

To, że policzyliśmy wartości t_{1}  i  t_{2} nie oznacza, że już w tym miejscu korzystamy z założenia t=x^{2} w taki sposób, w jaki używaliśmy go przy równaniach, bowiem jeśli tak to zrobimy, to otrzymane wyniki będą nieprawidłowe! Właśnie tutaj ukazuje się nam różnica pomiędzy równaniami i nierównościami dwukwadratowymi!

Szkicujemy wykres funkcji t^2 - 13t + 36 > 0 i zaznaczamy część dodatnią:

Wykres5.PNG

Rozwiązaniem jest:

t \in (-\infty, 4) \cup (9, +\infty)

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

 t < 4\  lub   t > 9\

Podstawiamy  t = x^2  i rozwiązujemy dwie nierówności:

 x^2 < 4\  lub   x^2 > 9\

1.    x^2 < 4\

 (x-2)(x+2) < 0\
 x \in (-2,2) (pomijamy rysowanie wykresu)

2.    x^2 > 9\

 (x-3)(x+3) > 0\
 x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

 x \in (-\infty, -3) \cup (-2,2) \cup (3, +\infty)

Porada

Jeśli nie potrafisz odczytać takiego wyniku w pamięci, możesz narysować oś liczbową, zaznaczyć na niej przedziały, a następnie rozwiązanie odczytać z rysunku.


  • Przykład 6 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 x^2 + 4x - 12 < 0

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64

\sqrt{\Delta} = 8

x_{1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6

x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

(x-(x_{1}))(x-x_{2}) < 0

(x+6)(x-2) < 0

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

  1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
  2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-2 < 0 \end{cases} lub \begin{cases} x+6 < 0 \\ x-2 > 0 \end{cases}

czyli

\begin{cases} x > -6 \\ x < 2 \end{cases} lub \begin{cases} x < -6 \\ x > 2 \end{cases}

Rozwiązaniem pierwszego układu jest x \in (-6,2) , natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

x \in (-6,2)

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.



Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy ax^2 + bx + c o współczynnikach rzeczywistych, gdzie x_{1} i x_{2} są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli  \Delta~> 0, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

y=a(x-x_1)(x-x_2)

2. Jeżeli  \Delta~= 0, to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

y=a(x-x_0)^2

3. Jeżeli  \Delta~< 0, to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
 a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a} = 0
Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
 a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2}] = 0
Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
 a[(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^2] = 0
I stosujemy wzór a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
 a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})
 a(x+\frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}) (x+\frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a})
 a(x+\frac{-(-b + \sqrt{\Delta})}{2a}) (x+\frac{-(-b - \sqrt{\Delta})}{2a})
 a(x-\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) (x-\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a})
Gdy \Delta < 0 to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.


Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

y=2(x-3)(x+4)

y=(x-9)(x+4)

y=(x-3)^2

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowa[edytuj]

  • Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

  • Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:x^2+4x-5=0

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36

\sqrt{\Delta} = 6

x_{1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5

x_{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1

\Delta > 0\ więc korzystamy ze wzoru: y=a(x-x_1)(x-x_2). Widzimy, że a = 1.

1 \cdot (x-(-5))(x-1)=0

(x+5)(x-1)=0\

  • Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie:2x^2 - 4x + 2 = 0

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

x_{0} = \frac{4}{4} = 1

\Delta = 0\ - korzystamy więc ze wzoru: y=a(x-x_0)^2. a jest równe 2.

2(x-1)^2 = 0

  • Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

(x-(-3))(x-7)=0

(x+3)(x-7)=0

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

x^2-7x+3x-21=0

x^2-4x-21=0

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).


Wzory Viete'a[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeżeli równanie kwadratowe ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) ma rozwiązania x_{1}, x_{2} \ , to:
x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dowód

\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}


\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(-b-\sqrt{\Delta})\cdot(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2-\Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

  • Przykład 1. Nie rozwiązując równania, znajdź miejsca zerowe funkcji  y=x^{2}+5x+6

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

x_{1} + x_{2} = \frac{-5}{1} = -5

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{6}{1} = 6

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc x_{1} = -2 i x_{2} = -3

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

  • Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je, aby uzyskać:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

  • a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco: (x_{1}+x_{2})^2 Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

(\frac{-b}{a})^2

  • b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

x_{1}^2 + x_{2}^2

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

(x_{1} + x_{2})^2\

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

x_{1}^2 + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element 2x_{1}x_{2}. Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

(x_{1} + x_{2})^2\ - 2x_{1}x_{2}

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})

  • c) Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: \frac{1}{x_{1}^2} + \frac{1}{x_{2}^2}

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez x_{2}^2)

\frac{1}{x_{1}^2} = \frac{1 \cdot x_{2}^2}{x_{1}^2 \cdot x_{2}^2} = \frac{x_{2}^2}{              x_{2}^2 x_{1}^2}

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez x_{1}^2:

\frac{1}{x_{2}^2} = \frac{1 \cdot x_{1}^2}{x_{2}^2 \cdot x_{1}^2} = \frac{x_{1}^2}{x_{2}^2              x_{1}^2}

Porada Sprowadzanie do wspólnego mianownika takich wyrażeń będzie jeszcze dokładnie omawiane przy wyrażeniach wymiernych.

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} + \frac{x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{x_{1}^2 + x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = \frac{(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: 
\frac{(\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{c}{a}}{(\frac{c}{a})^2}

  • d) Kwadrat różnicy: (x_{1} - x_{2})^2

(x_{1} - x_{2})^2 = x_{1}^2 - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 4x_{1}x_{2}

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

(\frac{-b}{a})^2 - 4 \cdot \frac{c}{a}

  • e) Suma sześcianów: x_{1}^3 + x_{2}^3

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:


(x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 - x_{1}x_{2} + x_{2}^2) = (x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 + x_{2}^2- x_{1}x_{2}) =

=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - x_{1}x_{2}) = (x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 3x_{1}x_{2})\

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy:

(-\frac{b}{a})((-\frac{b}{a})^2 - 3 \cdot \frac{c}{a})


Równania i nierówności z parametrem

  • Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-m \cdot x + 2=0 ma dwa różne miejsca zerowe?
  • Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-(m-2)\cdot x+4=0 ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie (m^2-1)x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0 ma jedno miejsce zerowe?
  • Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0 jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?
  • Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x^2 + (m-3) \cdot x + m-2 = 0 osiąga minimum?
  • Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m)x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania ujemne?
  • Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m) \cdot x^2 - 2m \cdot x + m + 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
  • Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji  \left | x^2-6x+5 \right | = m w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
  • Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-4m \cdot x+4m^2 - 1=0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

  • Przykład 1

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-mx+2=0 ma dwa różne miejsca zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a = 1, b = -m, c = 2

Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy \Delta > 0 . Policzmy więc deltę:

\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = m^2 - 8

Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy \Delta > 0 to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:

m^2 - 8 > 0

(m-\sqrt{8})\cdot(m+\sqrt{8}) > 0 pomijamy szkicowanie wykresu, nierówność rozwiązujemy pamięciowo

m_{1} = -\sqrt{8}, m_{2} = \sqrt{8}

m \in (-\infty, -\sqrt{8}) \cup ({\sqrt{8}, +\infty})

Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.

Porada W tym miejscu warto zwrócić uwagę na dokładnie ułożoną treść zadania - mamy policzyć kiedy równanie ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy \Delta = 0 przyjmuje się, że funkcja ma dwa miejsca zerowe takie same . Gdybyśmy więc mieli obliczyć dla jakiej wartości parametru m funkcja ma dwa miejsca zerowe musielibyśmy postawić założenie \Delta \ge 0 , a nie \Delta > 0 . Jednak gdy mamy obliczyć kiedy funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe to stawiamy założenie \Delta = 0, co jest swoistym paradoksem. Należy więc zawsze dokładnie czytać treść zadania.

  • Przykład 2

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2 - (m-2) \cdot x + 4=0 ma jedno miejsce zerowe?

Wypiszmy współczynniki:

a=1, b =-(m-2), c=4

Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy \Delta = 0. Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.

\Delta = [-(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = [-m+2]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 -4m + 4 - 16 = m^2 - 4m -12

Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania m^2 - 4m -12

\Delta_{m} = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64

\sqrt{\Delta_{m}} = 8

m_{1} = \frac{4 - 8}{2} = -2

m_{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla  m = -2 lub m = 6. Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.


  • Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie (m^2-1) \cdot x^2+(m+1) \cdot x+1 = 0 ma jedno miejsce zerowe?

Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy m \neq 1 i m \neq -1.

Porada Bardzo ważne jest to, że nie wolno liczyć delty jeśli nie wiemy czy mamy do czynienia z funkcją liniową czy kwadratową - jest to wtedy błąd rzeczowy. Dlatego gdy parametr występuje przy wartości x^2 trzeba rozważyć kilka przypadków!

Pierwszy przypadek dla m= -1

[(-1)^2-1] \cdot x^2 + (-1+1) \cdot x + 1 = 0

0x^2 + 0x + 1 = 0

1 = 0

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.

Drugi przypadek dla m=1

[1^2 -1] \cdot x^2 + 2x + 1 = 0

0x^2 + 2x + 1 = 0

2x = -1

x = -\frac{1}{2}

Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla m = 1.

Trzeci przypadek dla m \neq 1 i m \neq -1. Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.

 \Delta = (m+1)^2 - 4 \cdot (m^2 -1) \cdot 1 = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 + 4 = -3m^2 + 2m + 5

Znowu mamy równanie kwadratowe.

\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64

\sqrt{\Delta_{m}} = 8

m_{1} = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac {5}{3}

m_{2} = \frac{-2 + 8}{-6} = -1

Jak widać -1 odpada na mocy założenia "m \neq 1 i m \neq -1". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.

Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla m=1 i m=\frac{5}{3}.


  • Przykład 4

Dla jakiej wartości parametru m nierówność m \cdot x^2 + (m+3) \cdot x - m + 1 < 0 jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?

Znowu mamy parametr przy x^2. Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):

Wykres6.PNG

Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.

1 przypadek m=0

0x^2 + 3x - 0 + 1 < 0

3x < -1

x < -\frac{1}{3}

Nierówność jest spełniona tylko dla x < -\frac{1}{3} , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli \Delta musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:

\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}

1. a < 0 \iff m < 0

2. \Delta < 0

\Delta = (m+3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-m + 1)

m^2 + 6m + 9 - 4m \cdot (-m + 1) < 0

m^2 + 6m + 9 + 4m^2 - 4m < 0

5m^2 + 2m + 9 < 0

\Delta_{m} = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 4 - 180 = -176

Delta jest zawsze dodatnia (a > 0 i \Delta_{m} < 0). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.

m \in \varnothing


  • Przykład 5

Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x^2 + (m-3) \cdot x + m - 2 = 0 osiąga minimum?

Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:

\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_{1}^2+x_{2}^2 - min \end{cases}

Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.

\Delta = (m-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-2) = m^2 - 6m + 9 - 4m + 8 = m^2 - 10m + 17

\Delta_{m} = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 32

m_{1} = \frac{10 - 4\sqrt{2}}{2} = 5 - 2\sqrt{2}

m_{1} = \frac{10 + 4\sqrt{2}}{2} = 5 + 2\sqrt{2}

m \in (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}> \cup <{5 + 2\sqrt{2}, +\infty})

W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:

(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} = (\frac{-b}{a})^2 - 2 \cdot (\frac{c}{a})

Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:

f(m) = (\frac{-m+3}{1})^2 - 2 \cdot (\frac{m-2}{1})

f(m) = m^2 - 6m + 9 - 2m + 4 = m^2 - 8m + 13\

Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:

f_{min} = m_{w} = \frac{8}{2} = 4

Punkt m=4 \notin (-\infty, 5 - 2\sqrt{2}) \cup ({5 + 2\sqrt{2}, +\infty}). Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:

f(5 - 2\sqrt{2}) = (5 - 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 - 2\sqrt{2}) + 13 = 25 - 20\sqrt{2} + 8 - 40 + 16\sqrt{2} + 13 = 6 -4\sqrt{2}

f(5 + 2\sqrt{2}) = (5 + 2\sqrt{2})^2 - 8 \cdot (5 + 2\sqrt{2}) + 13 = 25 + 20\sqrt{2} + 8 - 40 - 16\sqrt{2} + 13 = 6 + 4\sqrt{2}

Funkcja osiąga minimum dla  m = 5 - 2\sqrt{2}


  • Przykład 6

Dla jakiej wartości parametru m równanie (1-m)x^2 - 2mx + m+2 = 0 ma dwa różne rozwiązania ujemne?

Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.

Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które może mieć maksimum 1 rozwiązanie.

a \neq 0

Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:

\Delta > 0

Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. -3 \cdot -5 = 15), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. -3 + (-5) = -8). Mamy więc:

 x_{1} + x_{2} < 0 i  x_{1} \cdot x_{2} > 0

Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:

\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0  \\ x_{1} + x_{2} < 0 \\ x_{1}\cdot x_{2}>0 \end{cases}

1. a \neq 0 \iff m \neq 1 - można odgadnąć pamięciowo.

2. \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot (1-m) \cdot (m+2) = 4m^2 - 4 (-m + 2 -m^2) = 4m^2 +4m -8 + 4m^2 = 8m^2 + 4m - 8 = 2m^2 +m - 2

\Delta > 0 \iff 2m^2 +m - 2 > 0

\Delta_{m} = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1+16 = 17

m_{1} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}

m_{2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}

m \in (-\infty, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17}) \cup (-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{17}, +\infty)

3. \frac{-b}{a} < 0

\frac{2m}{1-m} < 0

Porada Podaną nierówność można rozwiązać poprzez zamianę ilorazu na iloczyn. Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu. Taka technika będzie jeszcze omawiana przy okazji funkcji homograficznej/wymiernej.

\frac{2m}{1-m} < 0 \iff 2m(1-m) < 0

2m(1-m) < 0

m_{1} = 0

m_{2} = 1

m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

4. \frac{c}{a} > 0

\frac{m+2}{1-m} > 0 \iff (m+2)(1-m) > 0

m_{1} = -2

m_{2} = 1

m \in (-2, 1)

Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)

Przedzialy.PNG

Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:

(-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})

który jest rozwiązaniem całego zadania.

m \in (-2, -\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{17})


  • Przykład 7

Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.

Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:

\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:

\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases}


  • Przykład 8

Ustal liczbę rozwiązań funkcji  |x^2-6x+5| = m w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.

Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:

\begin{matrix} \underbrace{ |x^2-6x+5| =} \\ f(x) \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ m } \\ g(x) \end{matrix}

Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).

\Delta = 16

x_{1} = 1

x_{2} = 5

p = 3

q = -4

Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):

Bezwzgl.PNG

Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.

q' = 4

Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:

Bezwzgl2.PNG

Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:

0 rozwiązań dla m \in (-\infty, 0)

2 rozwiązańia dla m = 0

4 rozwiązania dla m \in (0, 4)

3 rozwiązania dla m = 4

2 rozwiązania dla m \in (4, +\infty)

Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:

Wykres7.PNG


  • Przykład 9

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^2-4mx+4m^2-1=0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?

Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że \Delta > 0 aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) ((x_{w} \in (-3,1)). Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:

Wykres8.PNG

Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:

Wykres9.PNG

Czyli inaczej f(-3)>0 i f(1)>0.W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:

\begin{cases} \Delta > 0 \\ x_{w} \in (-3,1) \\ f(-3) > 0 \\f(1) > 0 \end{cases}

1. \Delta > 0

\Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2-1) = 16m^2 - 16m^2 + 4 = 4

\Delta = 4 , czyli jest zawsze większa od 0. \Delta \in R

2. x_{w} \in (-3, 1)

\frac{-b}{2a} \in (-3, 1)

-3 < \frac{-b}{2a} < 1

\begin{cases} \frac{-b}{2a} > -3 \\ \frac{-b}{2a}<1 \end{cases}

Porada W tym miejscu nierówność podwójna, w celu uzyskania większej czytelności, została zapisana jako koniunkcja dwóch nierówności.

a) \frac{-b}{2a} > -3

\frac{4m}{2} > -3

2m > -3

m > -1.5

b) \frac{-b}{2a} < 1

2m < 1

m < \frac{1}{2}

m \in (-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})

3. f(-3) > 0

f(x) = x^2 - 4mx+ 4m^2 - 1

f(-3) = (-3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-3) + 4m^2 - 1 =  9 + 12m + 4m^2 - 1 = 4m^2 + 12m + 8

4m^2 + 12m + 8 > 0

\Delta = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 144 - 128 = 16

m_{1} = \frac{-12 - 4}{8} = -2

m_{2} = \frac{-12 + 4}{8} = -1

m \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)

4. f(1) > 0

f(1) = 1^2 - 4m + 4m^2 - 1 = 4m^2 - 4m

4m^2 - 4m > 0

4m(m-1) > 0

m_{1} = 0

m_{2} = 1

m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział m \in (-1, 0) (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).


Podsumowanie[edytuj]

  • f(x)=ax^2+bx+c, \;\; x\in\mathbb{R} \quad - funkcja kwadratowa w postaci ogólnej. Dodatkowo a\ne0.
  •  \Delta\,= b^2 - 4ac    - Delta (inaczej: wyróżnik kwadratowy)
  • Parabola     - nazwa wykresu funkcji kwadratowej (przypomina 'wzniesienie' lub też 'dolinę')
    • Dla a > 0 ramiona paraboli są skierowane ku górze.
    • Dla a < 0 ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.
    • (Dla a = 0 funkcja jest funkcją liniową)
  • Wierzchołek paraboli - ma współrzędne (xw, yw) lub (p, q):
p=\frac{-b}{2a}   oraz   q=\frac{-\Delta}{4a}  (p, q to odpowiednio x, y wierzchołka).
wierzchołek jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum (minimum lub maksimum, w zależności, jak są skierowane ramiona).
  • Miejsca zerowe (pierwiastki) - ich ilość zależy od wartości delty \Delta\,:
    • Dla \Delta\,>0  są 2 miejsca zerowe równe x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\; x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
    • Dla \Delta\,=0  jest 1 miejsce zerowe, powyższe wzory sprowadzają się do x_0=\frac{-b}{2a}
    • Dla \Delta\,<0  nie ma miejsc zerowych
  • Postać iloczynowa - zawiera w swoim zapisie wartości pierwiastków, w zależności od delty \Delta\,:
    • Dla \Delta\,> 0  postać z dwoma pierwiastkami  y=a(x-x_1)(x-x_2)\,
    • Dla \Delta\,= 0  powyższy wzór można zapisać jako  y=a(x-x_0)^2\,
    • Dla \Delta\,< 0  nie istnieje postać iloczynowa
  • Postać kanoniczna - zawiera w swoim zapisie wartości współrzędnych wierzchołka paraboli:
y = a(x - p)^2 + q \quad \mbox{czyli} \quad y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}
zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji - wystarczy wykres  y = ax^2\,  przesunąć o wektor  [ p,\, q ].

Rozszerzone

  • Wzory Viete'a
x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a} \qquad x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Dodatkowe

  • Współczynnik c to miejsce przecięcia się funkcji z osią OY.
  • Wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie odległości pomiędzy miejscami zerowymi, x1 i x2.



Zadania z rozwiązaniami

Miejsca zerowe[edytuj]

  1. Wyznaczanie miejsc zerowych.
  2. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała określoną ilość miejsc zerowych.
  3. (R) Wyznaczanie wartości parametru, aby funkcja miała pierwiastki spełniające dane warunki.

Zad. (miejsca zerowe, delta) 
Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x)=2x^2+3x-2\,

Dane: a=2, b=3, c=-2

Znalezienie miejsc zerowych jest tym samym, co rozwiązanie równania f(x)=0\,, czyli  2x^2+3x-2 = 0\,

Obliczamy wartość \Delta~, po czym obliczamy wartości pierwiastków x1 i x2. W tym przypadku \Delta=25\,, a pierwiastkami są liczby x_1=-2,\;x_2=\tfrac{1}{2}.


Zad. (parametr, liczba miejsc zerowych) 
Wyznacz wartości współczynnika b, dla których funkcja f(x)=x^2+bx+9  posiada conajmniej jedno miejsce zerowe.

Określmy warunek z zadania: dla delty mniejszej niż 0 funkcja nie posiada miejsc zerowych, dla pozostałych wartości posiada jedno lub dwa miejsca. Musi zachodzić więc \Delta\ge 0.

Po podstawieniu, otrzymujemy nierówność b^2-36 \ge 0\,.

Po narysowaniu uproszczonego wykresu, uzyskujemy rozwiązanie b\in  (-\infty, -6] \cup [6, +\infty ), to które spełnia warunek zadania.

Postać kanoniczna i wykresy funkcji[edytuj]

  1. Rysowanie wykresu.

x2+5x-6=0

Właściwości funkcji[edytuj]

  1. Zbiór wartości - wykres.
  2. Przedziały monotoniczności - wykres.
  3. Wyznaczanie wzoru funkcji z wykresu.
  4. Punkt przecięcia z osią OY.
  5. Określ zbiór wartości dla funkcji w danym przedziale.
  6. Znajdź minimum i maksimum funkcji w danym przedziale.
  7. (R) Szkicowanie wykresu funkcji.

Wierzchołek paraboli[edytuj]

  1. Wierzchołek paraboli.
  2. Najmniejsza (największa) wartość funkcji (R - z parametrem).
  3. Zadania optymalizacyjne.
  4. (R) Parametr.

Równania[edytuj]

  1. Znajdowanie rozwiązań równania.
  2. (R) Określanie liczby rozwiązań równania w zależności od wartości parametru.
  3. (R) Określanie liczby rozwiązań równania z wartością bezwzględną.
  4. (R) Układ równań.
  5. (R) Wyznaczanie wartości parametru, dla którego zbiorem rozwiązań jest R / dziedziną funkcji jest R

Zad. (R)(liczba rozwiązań, wart. bezwzględna) 
Określ liczbę rozwiązań równania |x^2-2x-1|=m\,  w zależności od wartości parametru m.

Zadanie należy rozwiązać graficznie, dlatego też zaczniemy od rysowania funkcji f(x)=|x2-2x-1|, znajdujemy miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli (p, q). Miejscami zerowymi są 1-\sqrt{2}\; \mbox{oraz} \;1+\sqrt{2}, natomiast wierzchołkiem paraboli jest W(1, -2). Rysujemy wykres, odbijając wartości ujemne na dodatnią oś Y (wierzchołek będzie w punkcie (1, 2) po odbiciu).

Aby odczytać, ile funkcja ma w danym przedziale rozwiązań, możemy poprowadzić w dowolnym miejscu prostą równoległą do osi Ox, będzie to y=m. W danym miejscu ma tyle rozwiązań, ile razy się przecina z wykresem (np. prosta pokrywająca się z osią Ox, y=0 (dla m=0) ma 2 rozwiązania).

Otrzymujemy: dla m<0 jest 0 rozwiązań,   dla m\in (2,+\infty)\cup\{0\} są 2 rozwiązania,   dla m=2 są 3 rozwiązania,   dla m\in(0,2) są 4 rozwiązania.


Zad. (R)(parametr dla dziedziny R) 
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych,  f(x)=\frac{5x}{\sqrt{(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1}}.

Na dziedzinę wpływają następujące rzeczy: mianownik ułamka musi być różny od zera, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Razem daje to warunek:

(m-3)x^2-2(m+1) + m + 1 > 0\,

Znajdujemy wartości m, dla których zachodzi powyższa nierówność - jak w zwykłej nierówności kwadratowej z parametrem.

Nierówności[edytuj]

F(x)=pierwiastek x^2+(k+2)x+2x+1

Wzory Viete'a[edytuj]

  1. (R) Obliczanie wyrażeń zawierających pierwiastki równania.

Zad. (R)(przekształcenia wzorów Vietea) 
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji g(m)=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2},  gdzie x1 i x2 są dwoma miejscami zerowymi funkcji f(x)=\;x^2+(m-1)x + m^2 + 3m -4\,.

Próbujemy przekształcić postać funkcji g(m), aby zawierała w sobie bezpośrednio wzory Viete'a:

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_2+x_1}{x_1x_2} = \frac{\tfrac{-b}{a}}{\tfrac{c}{a}}
g(m)=\frac{-b}{c}\;=\;\frac{-(m-1)}{m^2+3m-4}= -\frac{1}{m+4}

Określamy dziedzinę funkcji g, biorąc pod uwagę mianownik m2+3m-4 = (m-1)(m+4) (branie tylko m+4 ze skróconej wersji byłoby błędem), D_g = R\setminus\{-4,1\}


Ćwiczenia - funkcja kwadratowa[edytuj]

Zad. Podaj wszystkie właściwości funkcji kwadratowej określonej wzorem:

 y=2x^2-4x-6\,

 y=-x^2+2x+8\,

 y=3x^2-4,5x-3\,

 y=-x^2+2x+3\,

 y=0,5x^2+x-4\,

 y=-x^2+0,5x+1,5\,


Właściwości funkcji kwadratowej (dla pomocy)

1) Dziedzina funkcji
2) Punkty przecięcia z osią oy
3) Punkty przecięcia z osią ox
4) Miejsca zerowe funkcji
5) Współrzędne wierzchołka
6) Wykres
7) Oś symetrii
8) Zbiór wartości
9) Przedziały monotoniczności
10) Wartości dodatnie
11) Wartości ujemne
12) Wartości nieujemne
13) Najmniejsza i największa wartość
14) Postać kanoniczna
15) Postać iloczynowa




Wielomiany

Wiadomości wstępne

Jednomian[edytuj]

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

Definicja
DEFINICJA

Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

  • 4\;
  • x\;
  • 2a\;
  • 3abc\;
  • 4b^3\;
  • \tfrac{5}{7}a^2

Wielomiany[edytuj]

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu x możemy dodać 2a otrzymując x + 2a. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

  •  x^3 + y^2 + z^3\, ,
  •  \frac{4}{3}x^7 + x^5 + x,
  •  a^2 + 2ab + b^2\, ,

a takie coś nazywamy wielomianami.

Definicja
DEFINICJA

Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np.  -a^2 + b^2 + 4c + d będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian  3x + 2y będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian  4x^2 + 3x + 1 będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj]

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako W(x), P(x), Q(x) np.:

  •  W(x) = x^2 + 2x - 1\, ,
  •  P(x) = 2x - 1\, ,
  •  Q(x) = 2x^{123} - 2x^{122} + 2x^{121} - \dots + 2x^3 - 2x^2 + 2x^1 - 2 .

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja W określona wzorem  W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_1x^1+a_0 , gdzie  a_n \neq 0 nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby a_0, a_1, a_2, ..., a_n nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie W(x) = 6x^3 + 4x^2 + 3x + 2 współczynnikami będą a_3 = 6, a_2 = 4, a_1 = 3 i a_0 = 2.

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie 2x^3 + x? Odpowiedź wydaje się prosta, a_{23} = 0, ponieważ 2x^3 + x = 0x^{23} + 2x^3 + x.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że a_n \neq 0 np.  P(x) = 3x^6 + x^2 + 1 jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian  Q(x) = 0x^{100} + 23x + 1 jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ a_1 = 23 i a_{100} = 0.

Zauważmy, że funkcja stała f(x) = a jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa f(x) = ax + b,\ a \neq 0 jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa g(x) = ax^2 + bx + c,\ a \neq 0 jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu[edytuj]

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

  • W_1(x)=10x^3 + 5x^2 + 7x + 10,
  • W_2(x)=x^{50} + 2x^{21} + 4x,
  • W_3(x)=x+1.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

  • P_1(x)=10 + 7x + 5x^2 + 10x^3
  • P_2(x)=4x + 2x^{21} + x^{50}
  • P_3(x)=1+x

Równość wielomianów[edytuj]

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich x zachodzi P(x) = Q(x), a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany  A(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x oraz  B(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x są równe, ale  C(x)=9x^5 + 4x^2 + x oraz  D(x)=10x^5 + 4x^2 + x nie są równe. Podobnie wielomian W(x) = x^4 + x jest równy wielomianowi P(x) = \frac{2x + 2x^4}{2}, ale nie jest równy wielomianowi P(x) = 2x^4 + 2x . Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian P(x) = \frac{2x^3}{x^2} nie jest równy wielomianowi  Q(x) = 2x \,.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.


Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów[edytuj]

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20
B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11

A(x)+B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20+13x^5+7x^4+x^3+11=17x^5+7x^4+2x^3+2x^2+8x+31

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

A(x)+B(x)=B(x)+A(x) - przemienność

(A(x)+B(x))+C(x)=A(x)+(B(x)+C(x)) - łączność

Odejmowanie wielomianów[edytuj]

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20
B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11

A(x)-B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20-(13x^5+7x^4+x^3+11)=-9x^5-7x^4+2x^2+8x+9

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

A(x)-B(x) \neq B(x)-A(x)

(A(x)-B(x))-C(x) \neq A(x)-(B(x)-C(x))

Ćwiczenia[edytuj]

1) Dodaj wielomiany

  • A(x)=6x^3+13x^2+20x oraz B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10
  • C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7 oraz D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4

2) Odejmij wielomiany

  • A(x)=6x^3+13x^2+20x oraz B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10
  • C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7 oraz D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4

3) W(x)=4x^6+9x^4+8x^3+5x^2+x+1 \mbox{ i } P(x)=3x^6+x^5+2x^4+2x^2+3x+10 Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

  • W(x)+Q(x)=P(x)
  • W(x)-Q(x)=P(x)


Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów:

A(x)=x^4+4x^2-x+2\,

B(x)=x^4+x^3+10\,

A(x) \cdot B(x)=(x^4+4x^2-x+2)(x^4+x^3+10)=\,

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego:

x^4 \cdot x^4+x^4 \cdot x^3+x^4 \cdot 10+4x^2 \cdot x^4 +4x^2 \cdot x^3+4x^2 \cdot 10-x \cdot x^4-x \cdot x^3-x \cdot 10 + 2 \cdot x^4+ 2 \cdot x^3+ 2 \cdot 10=

x^8+x^7+10x^4+4x^6+4x^5+40x^2-x^5-x^4-10x+2x^4+2x^3+20=\,

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy otrzymany wielomian:

x^8+x^7+4x^6+3x^5+11x^4+2x^3+40x^2-10x+20\,


Dzielenie wielomianów

Wykonamy dzielenie wielomianu (x³-2x²-2x-3) przez (x-3) za pomocą metody podobnej do pisemnego dzielenia liczb.

Przykład Opis
(x³-2x²-2x-3):(x-3)=x²+x+1

-x³+3x²
-------------
     x²-2x-3
    -x²+3x
    ---------
         x-3
        -x+3
        -----
         = =
1. x³:x=x²
2. x²·x=x³ - przepisujemy ze zmienionym znakiem
3. x²·(-3)=(-3x²) - przepisujemy ze zmien. znakiem
4. -2x²+3x²=x²
5. -2x i -3 przepisujemy
6. x²:x=x
7. x·x=x² - przepisujemy ze zmienionym znakiem
8. x·(-3)=(-3x) - przepisujemy ze zmien. znakiem
9. -2x+3x=x
10. -3 przepisujemy
11. x:x=1
12. 1·x=x - przepisujemy ze zmienionym znakiem
13. 1·(-3)=(-3) - przepisujemy ze zmien. znakiem
14. -x+x=0; -3+3=0; = =

Wynik:

(x³-2x²-2x-3) = (x-3)*(x²+x+1)

Dodatek:

(x³ -2x²..):(..)=..

-x³ +3x²
-------
    ^^(-2x²+3x²)=x²


(dzielna):(dzielnik)=wynik

Schemat, jak wykonać dzielenie (uwaga: jednomian to np. -2x² lub np. 7)

  1. Nad kreską: dzielimy pierwszy jednomian z dzielnej przez pierwszy z dzielnika i wpisujemy w wynik, następnie wynik mnożymy po kolei przez jednomiany z dzielnika i zapisujemy ze zmienionym znakiem poniżej (nad kreską).
  2. Dodajemy do siebie oba wielomiany nad kreską, jak w ramce "dodatek", zapisując wynik pod kreską; pod kreską uzyskujemy nową dzielną.
  3. Nad kolejnymi kreskami: bierzemy pierwszy jednomian z nowej dzielnej (spod kreski) i znowu dzielimy przez pierwszy z dzielnika, dopisując do wyniku, po czym mnożymy wynik przez... tak jak w punkcie 1. i 2. dopóki w dzielnej jest niewiadoma x.
  • W razie gdyby na końcu została jakaś reszta (tzn. dzielna bez x), zapisujemy w wyniku: (iloraz)(dzielnik)+(reszta)
  • Ważne: zawsze bierzemy jednomian ze znakiem, nie można pomylić i zamiast np. -x³ wziąć x³ bez minusa!

Zamiast dzielenia możemy zastosować o wiele prostszy schemat Hornera.


Rozkład wielomianów stopnia trzeciego na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias[edytuj]

Przykład: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)

Niech: P(x)=x^2-3x-4=0

 \Delta~ = 9 + 16 = 25  \sqrt{\Delta~} = 5

 x_{1}~ = \frac {3-5}{2} = \frac {(-2)}{2} = (-1)  x_{2}~ = \frac {3+5}{2} = \frac {8}{2} = 4

P(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)

Zatem: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x+1)(x-4) 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów[edytuj]

Przykład:

W(x)=x^3-5x^2+2x-10=(x^3-5x^2)+(2x-10)=x^2(x - 5)+2(x - 5)=(x-5)(x^2+2)

Q(x)=2x^3-8x^2+x-4=(2x^3-8x^2)+(x-4)=2x^2(x - 4)+(x - 4)=(x-4)(2x^2+1)

Zastosowanie twierdzenia Bézouta[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy W(x)=(x-p)Q(x) + C, gdzie C jest pewną stałą, a Q(x) - wielomianem. Podstawiając x=p dostajemy W(p)=(p-p)Q(p)+C=C, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p. Odwrotnie, niech W(x)=(x-p)P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W(p)=(p-p)P(p)=0, co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

W(x)=x^3-x^2-14x+24

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

W((-4))=(-4)^3-(-4)^2-14\cdot(-4)+24=(-64)-16+56+24=0

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x^2-5x+6)

Niech:  P(x)=x^2-5x+6. Dokonujemy rozkładu P(x).

P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ostatecznie W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)


Równania wielomianowe

Na początek definicja.

Definicja
DEFINICJA

Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

  •  4x + 1 = 0
  •  3x^2 + 2x - 5 = 0
  •  x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 - 1 = 0

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich x \in \mathbb{R}, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

  • ze wzorów skróconego mnożenia
  • z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
  • z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
  • metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie
Twierdzenie Bézout

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli  a = \tfrac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z} jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu  W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 , to p dzieli a_0 i q dzieli a_n.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia[edytuj]

 x^3-6x^2+9x=0\,

Wyciągamy x przed nawias
 x(x^2-6x+9)=0\,

Zauważmy, że wyrażenie  x^2-6x+9\, można zapisać korzystając ze wzoru  (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\, , czyli:

 x(x-3)^2=0\,

Teraz przyrównujemy:
 x=0 \vee x-3=0\,

 x=0 \vee x=3\,

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.


Wiadomości wstępne

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady[edytuj]

x^2 + 2 > 0, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. x^2 < 4, której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). x^2 < 0, której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania[edytuj]

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

  • Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.
  • Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
  • Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.
  • Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.
  • Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.
  • Formułujemy odpowiedź.


Przykładowo, rozwiążmy nierówność: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 > -\sqrt{20}x - 1

  • Możemy ją przekształcić do postaci: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 > 0 i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 = x^4 + \sqrt{20}x^3 + x^2 + x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)
  • Pierwsze wyrażenie (x^2 + 1) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż \Delta < 0).
  • \Delta drugiego wyrażenia wynosi 16 (\sqrt{20}^2 - 4), a jego miejscami zerowymi są liczby \frac{\sqrt{20} + 4}{2} i \frac{\sqrt{20} - 4}{2}. Wyrażenie to ma więc postać:
  • x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})

A cała nierówność ma postać:

(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

  x^2 + 1 x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2} x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2} cała lewa strona nierówności
 x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) + - - +
 x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2} + 0 - 0
 x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2}) + + - -
 x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2} + + 0 0
 x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) + + + +

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy  x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty) Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z parametrem Matematyka dla liceum/Wielomiany/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Wielomiany/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

1) Uporządkuj malejąco wielomiany:

  • W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}
  • W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}

2) Uporządkuj rosnąco wielomiany:

  • W(x) = 10x^4+7x^9+x+10+13x^{13}
  • W(x) = 11x^{20}+4x^5+4x^6+21x^{11}

3) Czy poniższe wielomiany są równe:

  • A(x) = 41x^5+7x^2+x oraz B(x) = 7x^2+41x^5+x
  • C(x) = x^7+4x^3+x^9+x oraz D(x) = 2x^7+4x^3+x^9+x
  • C(x) = 11x^2+x+10 oraz D(x) = 11x^3+x^2+10

4) Dla jakich wartości parametru a i b poniższe wielomiany są równe:

  • A(x) = ax^6+10x^4+x+1 oraz B(x) = 7x^6+bx^4+x+1
  • C(x) = (a+1)x^7+(b-3)x^5+5 oraz D(x) = 11x^7+(b-3)x^5+5




Funkcje wymierne

Wykres funkcji wymiernej[edytuj]

Wykres funkcji  f(x)=\frac{1}{x}\,

Wymierna.png


Jest to przykładowy wykres funkcji wymiernej. Taki wykres nazywamy - hiperbolą.

Własności

1. Dziedzina - D_f = R \backslash \{0\}
2. Zbiór wartości - Zw = R \backslash \{0\}
3. Miejsca zerowe - brak
4. Funkcja jest malejąca w przedziałach ( -\infty;0)(0;\infty)

Proste zbliżające się do prostych poziomej (y=0) i do prostej pionowej (x=0) nazywamy asymptotami.


Do zrobienia W przygotowaniu:
Dodać treści.

Funkcje wymierne[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie algebraiczne zapisane w postaci  W \over V (ilorazu dwóch wielomianów), gdzie V nie jest wielomianem zerowym.

Definicja
DEFINICJA

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci  f(x)=\frac{W(x)}{V(x)} , gdzie W(x) i V(x) są wielomianami oraz V(x) nie jest wielomianem zerowym.


Działania na wyrażeniach wymiernych[edytuj]

W tym rozdziale przedstawimy niektóre metody przekształcania wyrażeń wymiernych. Będą to:

  • skracanie
  • rozszerzanie
  • sprowadzanie wyrażeń wymiernych do wspólnego mianownika
  • dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Jak widzimy, są to te same przekształcenia, jakie wykonujemy na zwykłych ułamkach (liczbach wymiernych). Jedyną różnicą jest to, że wszystkie operacje zamiast na liczbach, wykonujemy na wielomianach.

Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych[edytuj]

Jeżeli w liczbie wymiernej zapisanej w postaci ułamka zwykłego pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, wartość liczby wymiernej nie ulegnie zmianie:

\frac{2}{3}=\frac{2 \cdot {\color{Blue}7}}{3 {\color{Blue}\cdot 7}}=\frac{14}{21}

Jest to rozszerzanie ułamka. To samo możemy zrobić z wyrażeniem wymiernym - pomnożyć licznik i mianownik przez ten sam wielomian.

Przykład 1.

\frac{x-1}{x+4}=\frac{(x-1)\cdot {\color{Blue}(x+1)}}{(x+4)\cdot {\color{Blue}(x+1)}}=\frac{x^2-1}{x^2+x+4x+4}=\frac{x^2-1}{x^2+5x+4}
Otrzymane wyrażenie zazwyczaj jest równoważne poprzedniemu (w powyższym przykładzie nie dzieje się tak dla x=-1) - jego wartość po podstawieniu dowolnej wartości x będzie taka sama jak w pierwotnym wyrażeniu.



Odwrotnością rozszerzania jest skracanie: jeżeli w liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego występuje ten sam czynnik, możemy przez niego skrócić nasze wyrażenie:

Przykład 2.

Czynniki, które skracamy, zaznaczone są niebieskim kolorem:
a) \frac{(x^2+4){\color{Blue}(x^2-5x+2)}}{(x-1){\color{Blue}(x^2-5x+2)}}=\frac{x^2+4}{x-1}
b) \frac{(x^3+x-5){\color{Blue}(x+2)x^2}}{{\color{Blue}(x+2)}(x^3-1) {\color{Blue}x^2}}=\frac{x^3+x-5}{x^3-1}
c) \frac{x^3(x+4)}{x^4}=\frac{{\color{Blue}x^3}(x+4)}{{\color{Blue}x^3} \cdot x}=\frac{x+4}{x}

Analizując powyższe przykłady może się nasunąć pytanie: co zrobić, jeśli w liczniku i mianowniku żaden wielomian się nie powtarza? Czy w takim przypadku skrócenie wyrażenia wymiernego także jest możliwe?
Okazuje się, że czasami takie wyrażenia wymierne możemy skrócić. Pomaga nam w tym rozłożenie wielomianów na czynniki ( patrz [[../../Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki/]]).

Przykład 3.

Skrócimy wyrażenie
\frac{x^2-4}{x^2+x-6}
Najpierw rozkładamy wielomiany w liczniku i w mianowniku na czynniki.
Licznik rozkładamy wykorzystując wzory skróconego mnożenia:
x^2-4 = (x+2)(x-2)
Znajdujemy pierwiastki wielomianu w mianowniku i zamieniamy go na postać iloczynową:
x^2+x-6
\Delta = (-1)^2-4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 + 24 = 25 \quad \sqrt{\Delta}=5
x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3 \quad x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2
x^2+x-6 = (x+3)(x-2)
Po rozłożeniu licznika i mianownika skracamy nasze wyrażenie:
\frac{x^2-4}{x^2+x-6}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-2)}=\frac{x+2}{x+3}
Oto kolejny przykład, z wielomianami wyższych stopni:
\frac{x^3+3x^2-4x-12}{3x^4-6x^3}=\frac{x^2(x+3)-4(x+3)}{3x^3(x-2)}=\frac{(x^2-4)(x+3)}{3x^3(x-2)}=\frac{(x-2)(x+2)(x+3)}{3x^3(x-2)}
=\frac{(x+2)(x+3)}{3x^3}


Jeśli po rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki możliwie najniższego stopnia żaden z nich się nie powtarza, oznacza to, że nie można skrócić danego wyrażenia.

Przykład 4.

\frac{x^2-x-6}{x^4-4}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x^2-2)(x^2+2)}=\frac{(x-3)(x+2)}{(x- \sqrt 2)(x+ \sqrt 2)(x^2 + 2)}
Tych wielomianów nie możemy dalej rozkładać. Żaden czynnik nie powtarza się w liczniku i w mianowniku. Nie możemy skrócić tego ułamka.

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych[edytuj]

Wynikiem dodawania lub odejmowania wyrażeń wymiernych powinno być także wyrażenie wymierne. Kiedy obydwa mają równe mianowniki, postępujemy analogicznie jak w przypadku zwykłych ułamków:

  1. Wielomian w mianowniku pozostawiamy bez zmian
  2. Dodajemy (odejmujemy) wielomiany w liczniku

Przykład 5.

Tak dodajemy ułamki o jednakowym mianowniku:
\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3+2}{7}=\frac{5}{7}
A tak wyrażenia wymierne o jednakowym mianowniku:
\frac{x^2-3x}{x-4}+\frac{2x-5}{x-4}=\frac{x^2-3x+2x-5}{x-4}=
\frac{x^2-x-5}{x-4}
Odejmujemy analogicznie:
\frac{x^3+2x^2-5x+6}{x^2-1}-\frac{3x^3-4x+4}{x^2-1}=\frac{x^3+2x^2-5x+6-(3x^3-4x+4)}{x^2-1}=
\frac{x^3+2x^2-5x+6{\color{Red}-}3x^3{\color{Red}+}4x{\color{Red}-}4}{x^2-1}=
Przy odejmowaniu należy uważać na znaki. Minus przed nawiasem zamienia je na przeciwne. Zaznaczono to czerwonym kolorem. Teraz możemy uporządkować nasz wielomian w liczniku:
\frac{x^3+2x^2-5x+6-3x^3+4x-4}{x^2-1}=\frac{-2x^3+2x^2-x+2}{x^2-1}

Co zrobić, jeżeli wielomiany w mianowniku nie są równe? Sprowadzić wyrażenia wymierne do jednego mianownika:

Przykład 6.

Wykonamy działanie:
\frac{x+2}{x-1} + \frac{x+5}{x+3}
Wspólnym mianownikiem dla obydwu wyrażeń będzie iloczyn ich mianowników: (x-1)(x+3). Aby go uzyskać, odpowiednio rozszerzamy ułamki:
\frac{x+2}{\color{Blue}x-1} + \frac{x+5}{\color{Red}x+3}=\frac{(x+2)\color{Red}(x+3)}{{\color{Blue}(x-1)}\color{Red}(x+3)} + \frac{{\color{Blue} (x-1)}(x+5)}{{\color{Blue}(x-1)}\color{Red}(x+3)}
Teraz możemy liczniki dodać do siebie:
\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+3)}=\frac{(x+2)(x+3)+(x-1)(x+5)}{(x-1)(x+3)}=
=\frac{x^2+2x+3x+6+x^2-x+5x-5}{(x-1)(x+3)}=\frac{2x^2+9x+1}{(x-1)(x+3)}
Kolejny przykład:
\frac{x+2}{x^2}+\frac{4}{x(x-1)}
Wspólnym mianownikiem możemy uczynić x^2 \cdot x(x-1), ale zauważmy, że może nim być też wielomian niższego stopnia, x^2(x-1):
\frac{x+2}{x^2}+\frac{4}{x(x-1)}=\frac{(x+2)(x-1)}{x^2(x-1)}+\frac{4 \cdot x}{x(x-1) \cdot x}=\frac{x^2+2x-x-2}{x^2(x-1)}+
\frac{4x}{x^2(x-1)}=
=\frac{x^2+x-2+4x}{x^2(x-1)}=\frac{x^2+5x-2}{x^2(x-1)}
Na koniec przykład, w którym dodamy do siebie 3 wyrażenia wymierne:
\frac{4}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{4(x-1)(x+2)}{x(x-1)(x+2)}+\frac{2x(x+2)}{x(x-1)(x+2)}+
\frac{3x(x-1)}{x(x-1)(x+2)}=\frac{4(x-1)(x+2)+2x(x+2)+3x(x-1)}{x(x-1)(x+2)}
Pozostaje powymnażać nawiasy w liczniku i uporządkować otrzymany wielomian. Zostawiamy to jako ćwiczenie.

Rozłożenie wielomianów mniej rachunków[edytuj]

W bardziej rozbudowanych przykładach nieumiejętne przekształcanie wyrażeń wymiernych może doprowadzić do bardzo długich i żmudnych rachunków. Aby ich uniknąć, warto stosować następującą zasadę:

Porada

Przed wykonaniem działań na wyrażeniach wymiernych rozłóż wszystkie wielomiany w mianownikach.

Kosztować to będzie trochę pracy, ale zyskujemy niższy stopień wielomianów i prostsze obliczenia w póżniejszej fazie. Oto przykład:

Przykład 7.

Dodajmy wyrażenia
\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}
Najpierw za wspólny mianownik przyjmujemy iloczyn mianowników:
\frac{\color{Blue}(x+3)(x^2+x-6)}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}+\frac{\color{Red}(x^2-3x-4)(x^2-x-2)}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}=
\frac{{\color{Blue}x^3+x^2-6x+3x^2+3x-18}+{\color{Red}x^4-x^3-2x^2-3x^3+3x^2+6x-4x^2+4x+8}}{(x^2-x-2)(x^2+x-6)}
W liczniku mamy 15 składników. A jak wyglądać będą obliczenia, gdy zaczniemy od rozłożenia mianowników?
\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}=\frac{x+3}{(x-2)(x+1)}+\frac{x^2-3x-5}{(x+3)(x-2)}
Widzimy teraz, że za wspólny mianownik możemy przyjąć (x+3)(x-2)(x+1)
\frac{x+3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-3x-5}{x^2+x-6}=\frac{x+3}{(x-2)(x+1)}+\frac{x^2-3x-5}{(x+3)(x-2)}=
\frac{\color{Blue}(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-2)(x+1)}+\frac{\color{Red}(x^2-3x-5)(x+1)}{(x+3)(x-2)(x+1)}=
=\frac{{\color{Blue} x^2+6x+9}+ {\color{Red}x^3-3x^2-5x+x^2-3x-5}}{(x+3)(x-2)(x+1)}=
\frac{x^3-x^2-2x+4}{(x+3)(x-2)(x+1)}
Wielomiany w liczniku i mianowniku są teraz stopnia trzeciego (zamiast czwartego, jak poprzednio) i łatwo przekonać się, że nie skrócimy górnego wielomianu z dolnym (górny wielomian jest różny od zera dla x równego -3,2 bądź -1).
Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Wielomian otrzymany w mianowniku w tym przykładzie: (x+3)(x-2)(x+1) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością wielomianów x^2-x-2

i x^2+x-6. Czy dostrzegasz analogię do najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb naturalnych? Czy umiałbyś znaleźć definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności dla wielomianów?


Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie równań powiązanych z funkcją homograficzną Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie równań powiązanych z funkcją homograficzną Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie nierówności powiązanych z funkcją homograficzną Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie równań wymiernych Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych z wartością bezwzględną Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych z parametrem Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Zadania z rozwiązaniami Matematyka dla liceum/Funkcje wymierne/Ćwiczenia


Trygonometria

Funkcje trygonometryczne[edytuj]

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego[edytuj]

Funkcje trygonometryczne są głównymi pojęciami trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych:

  • sinus (czyt. sinus), symbol: sin
  • cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos
  • tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan
  • cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, cot, ctn
  • secans (czyt. sekans), symbol: sec,
  • cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc

Argumentami funkcji trygonometrycznych mogą być:

  • kąt skierowany
  • liczba rzeczywista
Definicja
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Trojkat prostokatny.png

Sinusem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \alpha do przeciwprostokątnej

\sin\alpha = {a \over c}

Cosinusem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha do przeciwprostokątnej

\cos\alpha = {b \over c}

Tangensem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \alpha do przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha

tg\alpha = {a \over b}

Cotangensem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \alpha

ctg\alpha = {b \over a}     lub    ctg\alpha = {1 \over tg\alpha}

Secansem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha

\sec\alpha = {c \over b}     lub     \sec\alpha = { 1 \over \cos\alpha}

Cosecansem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta \alpha

\csc\alpha = {c \over a}     lub     \csc\alpha = {1 \over \sin\alpha}

Miara łukowa kąta[edytuj]

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił  60^\circ . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do  360^\circ :

 \frac{L}{\mbox{Ob}}=\frac{60^\circ}{360^\circ}

ponieważ  \mbox{Ob}=2\pi r , otrzymujemy:

 \frac{L}{2\pi r}=\frac{60^\circ}{360^\circ}

zatem:

 L=\frac{2\pi \cdot 60^\circ r}{360^\circ}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) r

Jak łatwo zauważyć wartość  \left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right) nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta  60^\circ . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt  \varphi_\circ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

 L=\left(\frac{2\pi \varphi_\circ}{360^\circ}\right) r=\left(\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}\right) r

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt  \varphi_\circ jest wyrażony w stopniach,  \varphi w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

 \varphi=\frac{\pi \varphi_\circ}{180^\circ}

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast  \frac{\pi}{2}\mbox{ rad} pisze się po prostu  \frac{\pi}{2} .

Radian definition.png

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi  \alpha . Wówczas wykorzystując zależność  \alpha=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} otrzymujemy zależność:

 L=\frac{\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} r=\alpha r

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

 \frac{L}{r}=\alpha
Definicja
DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi \alpha, który wyznacza ten łuk:

 \alpha=\frac{L}{r}

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi  360^\circ , a w radianach  \frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ}\mbox{ rad}=2\pi\mbox{ rad}. Zatem:

  •  2\pi\mbox{ rad}=360^\circ
  •  \pi\mbox{ rad}=180^\circ
  •  \frac{\pi}{2}\mbox{ rad}=90^\circ
  •  \frac{\pi}{3}\mbox{ rad}=60^\circ
  •  \frac{\pi}{4}\mbox{ rad}=45^\circ
  •  \frac{\pi}{6}\mbox{ rad}=30^\circ

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

 \mbox{radiany}=\frac{\mbox{stopnie} \cdot \pi}{180^\circ}

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

 \mbox{stopnie}=\frac{\mbox{radiany} \cdot 180^\circ}{\pi}

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a)  30^\circ
b)  45^\circ
c)  150^\circ

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
 2\pi -  360^\circ
 x -  30^\circ
czyli:
 \frac{2\pi}{x}=\frac{360^\circ}{30^\circ}
 x=\frac{2\pi \cdot 30^\circ}{360^\circ}
 x=\frac{\pi}{6}
II sposób, wykorzystując wzór:
 x=\frac{30^\circ \pi}{180^\circ}
 x=\frac{\pi}{6}
b)  x=\frac{45^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}
c)  x=\frac{150^\circ \pi}{180^\circ}=\frac{5\pi}{6}

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a)  \frac{\pi}{10}
b)  \frac{2\pi}{3}
b)  \frac{9\pi}{5}

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
 2\pi -  360^\circ
 \frac{\pi}{10} -  x
zatem:
 \frac{2\pi}{\frac{\pi}{10}}=\frac{360^\circ}{x}
 20=\frac{360^\circ}{x}
 20x=360^\circ
 x=18^\circ
II sposób, wykorzystując wzór:
 x=\frac{\frac{\pi}{10} \cdot 180^\circ}{\pi}=18^\circ
b)  x=\frac{\frac{2\pi}{3} \cdot 180^\circ}{\pi}=120^\circ
c)  x=\frac{\frac{9\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi}=36^\circ \cdot 9=324^\circ


Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego[edytuj]

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Positive angle; alfa; blue-red.svg

Ramieniem początkowym kąta  \alpha jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

Definicja
DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

XOY plus.png
XOY minus.png
Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.
Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu  \overrightarrow {AOB} na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Kat skier AOB LK.png Kat skier AOB LK va.png

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej.

Kat skier w ukladzie oxy.png

Sinusem kąta skierowanego \alpha nazywamy stosunek rzędnej (y) do promienia (r)

\sin\alpha = {y \over r}={y \over \sqrt{x^2+y^2}}

Cosinusem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek odciętej (x) do promienia (r)

\cos\alpha = {x \over r}={x \over \sqrt{x^2+y^2}}

Tangensem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek rzędnej (y) do odciętej (x)

tg\alpha = {y \over x}

Cotangensem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek odciętej (x) do rzędnej (y)

ctg\alpha = {x \over y}     lub    ctg\alpha = {1 \over \tan\alpha}
Secansem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek promienia (r) do odciętej (x)
\sec\alpha = {r \over x}     lub     \sec\alpha = { 1 \over \cos\alpha}
Cosecansem kąta ostrego \alpha nazywamy stosunek promienia (r) do rzędnej (y)
\csc\alpha = {r \over y}     lub     \csc\alpha = {1 \over \sin\alpha}

Przykład 1.

Kąt w położeniu standardowym, P(3,1).png

Niech ramię początkowe kąta \alpha pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt  P(3,1) . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu P(3,1):

  •  \sin\alpha={y \over r}={1 \over \sqrt{1^2+3^2}}={1 \over \sqrt{10}}={\sqrt{10} \over 10}
  •  \cos\alpha={x \over r}={3 \over \sqrt{1^2+3^2}}={3 \over \sqrt{10}}={3\sqrt{10} \over 10}
  •  tg \alpha={y \over x}={1 \over 3}
  •  ctg \alpha={x \over y}={3 \over 1}=3

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt w położeniu standardowym, P(-3,4).png

Kąt  \alpha znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt  P(-3,4) . Wyznaczmy  \sin \alpha ,  \cos \alpha ,  tg \alpha ,  ctg \alpha .

  •  \sin\alpha={4 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={4 \over \sqrt{25}}={4 \over 5}
  •  \cos\alpha={-3 \over \sqrt{(-3)^2+4^2}}={-3 \over \sqrt{25}}=-{3 \over 5}
  •  tg \alpha={4 \over -3}=-{4 \over 3}
  •  ctg \alpha={-3 \over 4}=-{3 \over 4}

Przykład 3.

Kąt w położeniu standardowym, P(-2,-4).png

Kąt  \alpha znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt  P(-2,-4) . Obliczmy  \sin \alpha ,  \cos \alpha ,  tg \alpha ,  ctg \alpha .

  •  \sin\alpha={-4 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{2 \sqrt{5} \over 5}
  •  \cos\alpha={-2 \over \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{\sqrt{5} \over 5}
  •  tg \alpha={-4 \over -2}=2
  •  ctg \alpha={-2 \over -4}={1 \over 2}


Własności funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Znak funkcji trygonometrycznej[edytuj]

Funkcja I II III IV
 sin\alpha + + - -
 cos\alpha + - - +
 tg\alpha + - + -
 ctg\alpha + - + -
Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Powyższe znaki funkcji trygonometrycznych można nauczyć się stosując prosty wierszyk: "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". (inna wersja pierwszego zdania: W pierwszej ćwiartce same plusy, ...)

Parzystość i nieparzystość[edytuj]

Funkcja  \cos\alpha jest parzysta, czyli zachodzi:

 \cos\alpha=\cos(-\alpha)

Natomiast funkcje  \sin\alpha ,  tg\alpha i  ctg\alpha są nieparzyste, czyli:

 -\sin\alpha=\sin(-\alpha)
 -tg\alpha=tg(-\alpha)
 -ctg\alpha=ctg(-\alpha)

Okresowość[edytuj]

Dla funkcji trygonometrycznych  \sin\alpha ,  \cos\alpha ,  tg\alpha ,  ctg\alpha , gdzie  \alpha jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:

 sin(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\sin\alpha
 cos(k \cdot 360^\circ + \alpha)=\cos\alpha
 tg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=tg\alpha
 ctg(k \cdot 180^\circ + \alpha)=ctg\alpha

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi[edytuj]

  •  \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\
  •  tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
  •  ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
  •  tg\alpha \cdot ctg\alpha=1


Wykresy funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą, funkcji cosinus cosinusoidą, funkcji tangens tangensoidą, a funkcji cotangens cotangensoidą.

Na podstawie wykresu poszczególnych funkcji trygonometrycznych można oszacować cechy tej funkcji:

Wykres sin w radianach.png

Sinusoida

  •   D_f=\mathbb{R}
  •  ZW_f= [-1; 1] \,
  •  T = 2\pi\
  •  f(x) = 0 dla  x = k\pi\ gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • nieparzystość
  • okresowość


Wykres cos w radianach.png

Cosinusoida

  •   D_f=\mathbb{R}
  •  ZW_f= [-1; 1] \,
  •  T = 2\pi\
  •  f(x) = 0 dla  x = \frac{\pi}{2}+k\pi gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • parzystość
  • okresowość

Wykres tan w radianach.png

Tangensoida

  •   D_f= \mathbb{R} \backslash \{ \frac{\pi}{2} + k \pi \} gdzie  k \in \mathbb{Z}
  •  ZW_f= \mathbb{R}
  •  T = \pi\
  •  f(x) = 0 dla  x = k\pi gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • asymptoty pionowe  x = \frac{\pi}{2} + k\pi  gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • nieparzystość
  • okresowość


Wykres cot w radianach.png

Cotangensoida

  •   D_f= \mathbb{R} \backslash \{ k\pi \} gdzie  k \in \mathbb{Z}
  •  ZW_f= \mathbb{R}
  •  T = \pi\
  •  f(x) = 0 dla  x = \frac{\pi}{2}+ k\pi gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • asymptoty pionowe  x = k\pi  gdzie  k \in \mathbb{Z}
  • nieparzystość
  • okresowość

Szkicowanie wykresu funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Szkicowanie zaczynamy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na osi OY wartości:

  • w przypadku sinusa i cosinusa: od -1 do 1,
  • w przypadku tagensa i cotangensa od -4 do 4.

Natomiast na osi OX wartości od -\pi do 3\pi. Zakładam, że będziesz rysował wykres na kartce w kratkę, więc zalecam byś przyjął jako jednostkę na osi Y 2 kratki. Wykonując podziałkę na osi X nanieś ją w następujący sposób:

  • większymi kreskami co kratkę, będą to wartości rosnące co \frac{\pi}{6}
  • mniejszymi kreskami co półtorej kratki, będą to wartości rosnące co \frac{\pi}{4}

Gdy mamy tak przygotowany wykres możemy przystąpić to nanoszenia punktów przez które wiemy, że funkcja będzie na pewno przechodziła (z tabeli), a następnie korzystając z wzorów redukcyjnych możemy je zaznaczyć dla dowolnego kąta.

Tak zaznaczone punkty łączymy płynną linią i gotowe.

Uwaga! W przypadku kreślenia wykresu funkcji tangens i cotangens należy zaznaczyć asymptotę linią przerywaną.


Tożsamości trygonometryczne[edytuj]

Podstawowe tożsamości trygonometryczne[edytuj]

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1




Dowód prawdziwości \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1:[edytuj]

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c}\right )^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1 ponieważ

 a^2 + b^2 = c^2   \Big/ \cdot \frac{1}{c^2}

\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}

\frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1

Dowód prawdziwości tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[edytuj]

tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{ \frac{a}{c} }{ \frac{b}{c} } = 
\frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a}{b}

Dowód prawdziwości ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[edytuj]

ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{ \frac{b}{c} }{ \frac{a}{c} } = 
\frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b}{a}

Dowód prawdziwości tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1[edytuj]

tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

Pozostałe tożsamości trygonometryczne[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Funkcje sumy i różnicy kątów[edytuj]

 \sin ( \alpha + \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta + cos\alpha\cdot\sin\beta

 \sin ( \alpha - \beta ) = \sin\alpha\cdot\cos\beta - cos\alpha\cdot\sin\beta

 \cos ( \alpha + \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta - sin\alpha\cdot\sin\beta

 \cos ( \alpha - \beta ) = \cos\alpha\cdot\cos\beta + sin\alpha\cdot\sin\beta


 tg (\alpha + \beta) =  \frac{ tg\alpha + tg\beta }{ 1-tg\alpha \cdot tg\beta }    ,     jeżeli     \cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha + \beta)\neq \;0

 tg (\alpha - \beta) =  \frac{ tg\alpha - tg\beta }{ 1+tg\alpha \cdot tg\beta }    ,     jeżeli     \cos\alpha \neq \; 0 \land \cos\beta \neq \; 0 \land \cos (\alpha - \beta) \neq \; 0

 ctg (\alpha + \beta) =  \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta - 1 }{ ctg\alpha + ctg\beta }    ,     jeżeli     \sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha + \beta) \neq \; 0

 ctg (\alpha - \beta) =  \frac{ ctg\alpha \cdot ctg\beta + 1 }{ ctg\beta - ctg\alpha }    ,     jeżeli     \sin\alpha \neq \; 0 \land \sin\beta \neq \; 0 \land \sin (\alpha - \beta) \neq \; 0

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Dla dowolnych kątów o miarach \alpha i \beta

 \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

 \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

 \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

 \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Funkcje kąta podwójnego[edytuj]

 \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

 \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha

 tg 2\alpha = \frac{ 2tg\alpha }{ 1-tg^2 \alpha },     jeżeli     \cos\alpha \neq \; 0 \land \cos 2\alpha \neq \; 0


 ctg 2\alpha = \frac{ ctg^2 \alpha - 1 }{ 2ctg\alpha },     jeżeli     \sin 2\alpha \neq \; 0


Wzory redukcyjne[edytuj]

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)
\cos(-\alpha) =  \cos(\alpha)
tg(-\alpha) = - tg(\alpha)
ctg(-\alpha) = - ctg(\alpha)
\sin(90-\alpha) = \cos(\alpha)
\cos(90-\alpha) = \sin(\alpha)
tg(90-\alpha) = ctg(\alpha)
ctg(90-\alpha) = tg(\alpha)
\sin(90+\alpha) =  \cos(\alpha)
\cos(90+\alpha) =  -\sin(\alpha)
tg(90+\alpha) = - ctg(\alpha)
ctg(90+\alpha) =  -tg(\alpha)
\sin(180-\alpha) =  \sin(\alpha)
\cos(180-\alpha) =  -\cos(\alpha)
tg(180-\alpha) = - tg(\alpha)
ctg(180-\alpha) =  -ctg(\alpha)
\sin(180+\alpha) =  -\sin(\alpha)
\cos(180+\alpha) =  -\cos(\alpha)
tg(180+\alpha) =  tg(\alpha)
ctg(180+\alpha) =  ctg(\alpha)
\sin(270-\alpha) =  -\cos(\alpha)
\cos(270-\alpha) =  -\sin(\alpha)
tg(270-\alpha) =  ctg(\alpha)
ctg(270-\alpha) =  tg(\alpha)
\sin(270+\alpha) =  -\cos(\alpha)
\cos(270+\alpha) =  \sin(\alpha)
tg(270+\alpha) =  -ctg(\alpha)
ctg(270+\alpha) =  -tg(\alpha)
\sin(360-\alpha) = - \sin(\alpha)
\cos(360-\alpha) =  \cos(\alpha)
tg(360-\alpha) = - tg(\alpha)
ctg(360-\alpha) = - ctg(\alpha)

Na szczęście nie trzeba uczyć się na pamięć powyższej tabeli. Wystarczy przyswoić sobie dwa zdroworozsądkowe fakty z niej wynikające:

  • gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się w cosinus i na odwrót, a tangens w cotangens i na odwrót
  • o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie, gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna, to dopisujemy znak minus np.:
    cos(270+\alpha) =  sin(\alpha) – ponieważ cosinus w IV ćwiartce (270+\alpha) jest dodatni
    cos(90+\alpha) =  -sin(\alpha) – ponieważ cosinus w II ćwiartce (90+\alpha) jest ujemny
    tg(180-\alpha) =  -tg(\alpha) – ponieważ tangens w II ćwiartce (180-\alpha) jest ujemny

Łatwo zapamiętać, gdzie pojawia się znak minus, używając "praktycznej poezji matematycznej":

W pierwszej ćwiartce same plusy
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus


Równania trygonometryczne[edytuj]

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:

  •  \sin x=-\frac{1}{2}
  •  \cos^2 x + \sin x=-\frac{1}{2}
  •  tg x=100


Twierdzenie
TWIERDZENIE

Równanie postaci  \sin x=a ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że  a \in [-1;1] :

  •  x=x_0+2k\pi
  • lub  x=\pi-x_0+2k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z} i  \sin x_0=a


Równanie postaci  \cos x=a ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że  a \in [-1;1] :

  •  x=x_0+2k\pi
  • lub  x=-x_0+2k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z} i  \cos x_0=a


Równanie postaci  tg x=a ma nieskończenie wiele rozwiązań:

  •  x=x_0+k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z} i  tg x_0=a


Równanie postaci  ctg x=a ma nieskończenie wiele rozwiązań:

  •  x=x_0+k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z} i  ctg x_0=a

Przykład 1. Rozwiążmy równanie  \sin x={1 \over 2} :

Ponieważ  {1 \over 2}=\sin \frac{\pi}{6} , więc  x_0=\frac{\pi}{6}
Stąd mamy:
 x=x_0+2k\pi={\pi \over 6}+2k\pi
lub  x=\pi-x_0+2k\pi=\left(\pi - {\pi \over 6}\right)+2k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z}

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci:  x={\pi \over 6}+2k\pi lub  x={5\pi \over 6}+2k\pi ,  k \in \mathbb{Z} .

Przykład 2. Rozwiążmy równanie  \cos x=-{\sqrt{3} \over 2} :

 \cos x=-{\sqrt{3} \over 2}=\cos\frac{7\pi}{6}
Zatem:
 x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi lub  x=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z}

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci:  x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi lub  x=-\frac{7\pi}{6}+2k\pi ,  k \in \mathbb{Z} .

Przykład 3. Rozwiążmy równanie  tg x=-1 :

 tg x=-1=tg(-{\pi \over 4})
Zatem:
 x=-{\pi \over 4}+k\pi , gdzie  k \in \mathbb{Z}

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci:  x=-{\pi \over 4}+k\pi ,  k \in \mathbb{Z} .


Nierówności trygonometryczne[edytuj]

Przykładami nierówności trygonometrycznych mogą być:

  •  \sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}
  •  \sin^2 x - \cos x+2<0
  •  tg x + ctg x >1

Przykład 1. Rozwiążmy graficznie nierówność:  \sin x > \frac{1}{2} w przedziale  [0;2\pi] .

Nierownosc sinx-0.5, x=-0;2pi-.png

Z wykresu możemy odczytać, że sinus przyjmuje wartości większe od  \frac{1}{2} dla  x \in \left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right] .

Odp. Nierówność  \sin x > \frac{1}{2} w przedziale  [0;2\pi] jest spełniona dla  x \in \left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right] .


Ćwiczenia[edytuj]

Ćw.1

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach:

a. 5,12,13

b. 7,24,25




Ciągi liczbowe

Pojęcie ciągu[edytuj]

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem nazywamy funkcję, która jest określona dla kolejnych liczb całkowitych dodatnich.

Jeśli są to wszystkie liczby całkowite dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym.

Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję a(x) i wiemy, że jest ciągiem, to dziedzina funkcji a zawiera się w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli  D_a \subset \mathbb{Z}_+ . Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony, wówczas a(1), a(2), a(3), a(4), ... jest zdefiniowane, zatem  D_a = \mathbb{Z}_+ .

Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie a(1), a(2), a(3), ..., a(n), czyli  D_a = \{1, 2, 3, \dots, n \} .

Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. a(100) jest zdefiniowane, wówczas a(99) będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie a(98) także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast czy a(101) jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy  a_1 zamiast  a(1) ,  a_2 zamiast  a(2) ,  a_3 zamiast  a(3) itd. W ogólności zamiast  a(n) napiszemy  a_n .

 a_1 ,  a_{10} , czy też  a_n są nazywane wyrazami ciągu.  a_1 to pierwszy wyraz ciągu,  a_5 to piąty wyraz ciągu, a a_k to k-ty wyraz ciągu itd.

Pisząc  (a_n) mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy  a_1 ,  a_2 ,  a_3 , ...,  a_n , ..., a nie tylko jeden wyraz  a_n .

Zamiast a może być dowolna inna litera.

Popatrzmy na kolejny przykład ciągu:  a_1 = 1 ,  a_2 = 4 ,  a_3 = 2 ,  a_4 = 10 . Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że wartościami tego ciągu są liczby np. 10 dla wyrazu  a_4 . Ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem liczbowym, jeśli wartości tego ciągu są liczbami.

Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśki, Mietka czy Maryśki do liczb nie zakwalifikujemy.

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy przykład ciągu nieskończonego  (b_n) , w którym zachodzi:

 b_n = 2 \cdot n

O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest ciągiem liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:

 b_1 = 2 \cdot 1 = 2 ,  b_2 = 2 \cdot 2 = 4 ,  b_3 = 2 \cdot 3 = 6 .

Ciąg ten możemy zapisać także jako:

 (b_n) = (2, 4, 6, 8, \dots) .


Kolejnym przykładem ciągu liczbowego jest  (c_n) , gdzie

 c_n = 2(n-4) \mbox{ dla } 1 \leq n \leq 8.

Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:

 c_1 = 2\cdot (1-4) = -6 ,  c_2 = 2 \cdot (2-4) = -4 ,  c_3 = 2 \cdot (3-4) = -2 ,  c_4 =  2 \cdot (4-4) = 0 ,  c_5 =  2 \cdot (5-4) = 2 , c_6 =  2 \cdot (6-4) = 4 ,  c_7 =  2 \cdot (7-4) = 6 ,  c_8 = 2 \cdot (8-4) = 8 .

Jak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:

Wykres ciągu c n=2(n-4) dla 1 leq n leq 8.png

Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych, w przeciwieństwie do zbioru liczb rzeczywistych nie jest wszędzie gęsty.


Monotoniczność ciągu[edytuj]

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

 (a_n) = (5, 10, 30, 50, 90, 100, 1000, 10000)\

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli  5 < 10 < 30 < 50 < \dots < 10000 . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli  a_{n} < a_{n+1}\ , a to możemy zapisać jako:


 a_{n+1} - a_{n} > 0\
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n > 0\,

Podobnie ciąg:

 (b_n) = (1000, 999, 998, 997, 996, 995, 994, \dots)

będzie ciągiem malejącym, ponieważ  1000 > 999 > 998 > 997 > \dots . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli  a_n > a_{n+1}\ , czyli:


 a_{n+1} - a_{n} < 0\
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n < 0\,

Zobaczmy kolejny przykład:

 (c_n) = (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots) .

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np.  c_2 = c_3 = 2\ . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:


 a_{n+1} - a_{n} \geqslant 0
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n \geqslant 0\,

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

 (d_n) = (16, 16, 16, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 2, 2, 2, \dots)

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:


 a_{n+1} - a_{n} \leqslant 0
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby  n \in \N_+ \, spełniona jest nierówność  a_{n+1} - a_n \leqslant 0\,


 (e_n) = (-5, -5, -5, -5, \dots) Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
Definicja
DEFINICJA

Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

 (f_n) = (1, -10, 203, -50, 30, 40, -80, 100, \dots)

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.


Ciąg arytmetyczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

  •  (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots)
  •  (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \dots)
  •  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots)
  •  (d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, \dots)

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu  (c_n) o 10. W  (a_n) już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy  (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ  a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 i  a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że  a_{n+1} to pewien wyraz,  a_{n} to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica  a_{n+1} - a_{n} będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

 r = a_{n+1} - a_n
(różnica ciągu)

Wzór ogólny[edytuj]

Powróćmy do ciągu  (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz  c_1 = 3 , a różnica ciągu wynosi  r = 23 - 13 = 10 . Ponieważ  r = c_2 - c_1 = 10 , więc  c_2 = c_1 + 10 , podobnie  c_3 - c_2 = 10 \implies c_3 = c_2 + 10 ,  c_4 - c_3 = 10 \implies c_4 = c_3 + 10 itd. Więc zrobimy tak:

 c_1 = 3
 c_2 = c_1 + 10 = 3 + 10
 c_3 = c_2 + 10 = (3 + 10) + 10 = 3 + 2 \cdot 10
 c_4 = c_3 + 10 = (3 + 2 \cdot 10) + 10 = 3 + 3 \cdot 10
 c_5 = c_4 + 10 = (3 + 3 \cdot 10) + 10 = 3 + 4 \cdot 10
 c_6 = c_5 + 10 = (3 + 4 \cdot 10) + 10 = 3 + 5 \cdot 10
...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór c_n = 3 + (n-1) \cdot 10 .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu  (a_n) , gdzie wiemy ile wynosi  a_1 i znamy różnicę ciągu  r . Czyli:

 a_1 jest dane
 a_2 = a_1 + r
 a_3 = a_2 + r = (a_1 + r) + r = a_1 + 2r
 a_4 = a_3 + r = (a_1 + 2r) + r = a_1 + 3r
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

 a_n = a_1 + (n-1)r
(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że a_{n-1} = a_1 + (n - 2)r oraz a_{n+1} = a_1 + nr. Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: a_1 + nr + a_1 + (n-2)r = 2a_1 + nr + nr - 2r = 2a_1 + 2nr - 2r Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: 2(a_1 + nr -r) = 2(a_1 + r[n- 1]) = 2a_n

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego  (a_n) zachodzi:


 a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \mbox{dla} \quad n \in \mathbb{N}_+ \backslash \{1\}

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica  r > 0 ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica  r = 0 ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica  r < 0 .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla r > 0 ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

Definicja
DEFINICJA

 ({a_{n}}) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: \forall_{{b, c} \in N}  b < c \Leftrightarrow a_b < a_c

Załóżmy więc, że \, r > 0 oraz: \,b < c , zbadajmy różnicę \,a_c - a_b: \,
a_c - a_b = \; a_1 + (c - 1)r - (a_1 + (b - 1)r) \; = a_1 + cr - r - a_1 - br + r = cr - br = r(c - b)

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c-b jest dodatnia(b<c). Zatem a_c - a_b > 0\,, co oznacza, że ciąg jest rosnący.


Ciąg geometryczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

  •  (a_n) = (1, 2, 4, 8, 16, \dots)
  •  (b_n) = (2, 6, 18, 54, 162, \dots)
  •  (c_n) = (100, 20, 4, \frac{4}{5}, \frac{4}{25}, \dots)
  •  (d_n) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, \dots)

Popatrzmy na ciąg  (a_n) . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście  \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{16}{8} = \dots = 2 . Podobnie w ciągu  (b_n) mamy  \frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = \dots = 3 . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym  {a_{n+1} \over a_{n}} jest stałe.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz  \frac{a_{n+1}}{a_n} nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

 q = \frac{a_{n+1}}{a_n}
(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być q\neq 0 w przeciwnym wypadku a_2=a_3=0 i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

 a_{n+1} = a_n \cdot q ...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny[edytuj]

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element a_1, a także iloraz q i wiemy, że zachodzi  a_{n+1} = a_n \cdot q . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

  •  a_1
  •  a_2 = a_1 \cdot q
  •  a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2
  •  a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3
  •  a_5 = a_4 \cdot q = (a_1 \cdot q^3) \cdot q = a_1 \cdot q^4
  • ...

Widzimy, że a_n jest postaci  a_1 \cdot q^{pewna\ liczba} , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym  (a_n) także zachodzi:


 a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}
Twierdzenie
TWIERDZENIE

Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) a_1>0 \and q>1, to (an) jest ciągiem rosnącym;
2) a_1>0 \and q \in (0,1), to (an) jest ciągiem malejącym;
3) a_1<0 \and q>1, to (an) jest ciągiem malejącym;
4) a_1<0 \and q \in (0,1), to (an) jest ciągiem rosnącym;
5) q<0, to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.


Sumy częściowe[edytuj]

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być  a_1 + a_2 , czy też  a_2 + a_4 + a_6 dla pewnego ciągu  (a_n) .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu  (a_n) zdefiniowanego wzorem  a_n = 2 \cdot |n-3| . Mamy  a_1 = 2 \cdot |1-3| = 2 \cdot 2 = 4 ,  a_2 = 2 \cdot |2-3| = 2 ,  a_3 = 2 \cdot |3-3| = 0 ,  a_4 = 2 \cdot |4-3| = 2 , czyli:

 a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4 + 2 + 0 + 2 = 8

Podobnie policzmy sumę wyrazów  c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51}  + c_{1001} ciągu arytmetycznego  (c_n) , gdzie  c_1 = 10 , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

 c_2 = 10 + (2-1)\cdot(-3) = 7
 c_{10} = 10 + (10-1)\cdot(-3) = -17
 c_{30} = 10 + 29 \cdot (-3) = -77
 c_{51} = 10 + 50 \cdot (-3) = -140
 c_{1001} = 10 + 1000 \cdot (-3) = -2990

Zatem suma  c_2 + c_{10} + c_{30} + c_{51}  + c_{1001} = 7 - 17 - 77 - 140 - 2990 = -3217 .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli  a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_n z reguły oznaczamy jako  S_n . Kilka przykładów ...:

 S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5
 S_3 = a_1 + a_2 + a_3
 S_{50} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{50}
 S_{1} = a_1

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

 a_3 + a_4 + a_5 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - (a_1 + a_2) = S_5 - S_2
 a_5 + a_6 + a_7 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7) - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = S_7 - S_4
 a_{50} + a_{51} + a_{52} + \dots + a_{100} = 
(a_1 + a_2 + \dots + a_{49} + a_{50} + \dots + a_{100}) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{49}) = S_{100} - S_{49}

W ogólności suma  a_{k} + a_{k+1} + \dots + a_{n} = (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k + a_n) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}) = S_n - S_{k-1} .

Suma częściowa ciągu arytmetycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

 S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę  S_{10} = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 . Widzimy, że n = 10 i ponadto  a_1 = 1 i  a_{10} = 10 . Zatem S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1+10}{2} \cdot 10 = 55 .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli  a_1 = 1 , a n-tą liczbą jest  a_n =  n . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

 S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2} ,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu  (t_n) , gdzie t_1 = 10 i  r = 4 . Wiemy, że  n = 31 , ale nie znamy wartości  t_{31} , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

 t_{31} = 10 + (31-1) \cdot 4 = 10 + 120 = 130

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

S_n = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_{31} = \frac{t_1 + t_{31}}{2} \cdot 31 =
 = \frac{10 + 130}{2} \cdot 31 = 2170 .

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n,  a_1 i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że  a_n = a_1 + (n-1)\cdot r. Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

 S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{a_1 + a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n

Po drobnym przekształceniach mamy:

 S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}
(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór  S_n =  \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że  S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n , a ponieważ (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, więc  a_k = a_1 + (k-1)\cdot r . Z tych dwóch zależności wynika, że:

 S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = [a_1 + (1-1) \cdot r] + [a_1 + (2-1) \cdot r] + \dots + [a_1 + (n-1) \cdot r] ,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

 S_n = [a_1 + (n-1) \cdot r] + [a_1 + (n-2) \cdot r] + \dots + [a_1 + (2-1) \cdot r] + [a_1 + (1-1) \cdot r]

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

S_n =  [a_1 + (1-1) \cdot r]  +  [a_1 + (2-1) \cdot r]  +  [a_1 + (3-1) \cdot r]  +  \dots  +  [a_1 + (n-1) \cdot r]
 +  S_n  =  [a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [a_1 + (n-2) \cdot r]  +  [a_1 + (n-3) \cdot r]  +  \dots  +  [a_1 + (n-n) \cdot r]
 2S_n  =  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]  +  \dots  +  [2a_1 + (n-1) \cdot r]

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

 2S_n = [2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n

Po podzieleniu przez dwa mamy:

 S_n = \frac{[2a_1 + (n-1) \cdot r] \cdot n}{2}

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

  1. dla ilorazu q = 1:
     S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = n \cdot a_1
  2. dla ilorazu q \neq 1
     S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli  S_{100} = 2 + 2 + 2 + 2 + \dots + 2 . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc  S_{100} = 100 \cdot 2 = 200 , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ  q = 1 , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując  S_{100} = n \cdot a_1 = 100 \cdot 2 = 200 .


Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu  (b_n) , gdzie:

 b_1 = 11 ,
 \frac{b_{k+1}}{b_k} = 3 \mbox{ dla } k \in \mathbb{Z}_+ .

Ponieważ  q = 3 , więc wykorzystamy wzór dla  q \neq 1 :

 S_4 = a_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q} = 11 \cdot \frac{1-3^4}{1-3} = 11 \cdot \frac{-80}{-2} = 440 .


Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę  S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 64 . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że  a_1 = 1 , ponadto  q = 2 . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że  a_n = 1 \cdot 2^{n-1} , a z sumy do policzenia, że  a_n = 64 . Więc  a_n = 2^{n-1} = 64 = 2^6 , czyli n-1=6 \implies n=7. Ponieważ  q = 2 \neq 1 , więc wykorzystamy wzór drugi:

 S_7 = a_1 \cdot \frac{1-q^7}{1-q} = 1 \cdot \frac{1-2^7}{1-2} = \frac{-127}{-1} = 127 .


Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu  (s_n) zdefiniowanego wzorem:

 s_k = 11 \cdot (-10)^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+ .

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

 a_k = a_1 \cdot q^{k-1} \mbox { dla } k \in \mathbb{Z}_+

Zauważmy, że gdybyśmy jako a_1 podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg  (s_n) . Zatem musi zachodzić s_1 = 11, a  q = -10 . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ  q \neq 0 mamy:

 S_{9} = 11 \cdot \frac{1-(-10)^{9}}{1-(-10)} = \frac{1-(-10)^{9}}{1} = (10)^{9} + 1


Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

 c_k = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2k}

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

 c_1 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 0} = 2
 c_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
 c_3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{2 \cdot 2} = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}
...

Zatem widzimy, że  c_1 = 2 , a  q = \frac{c_2}{c_1} = \frac{c_3}{c_2} = \dots = \frac{1}{4} . Otrzymujemy:

 S_{10} = 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{1-\left(\frac{1}{4}\right)} 
= 2 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}}{\frac{3}{4}}
= 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot (1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10})
= \frac{8}{3} \cdot \left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\right]

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu  (d_n) , w którym d_1 = 3 i  q = 5 . Ponieważ  q \neq 1 możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

 S_n = d_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 3 \cdot \frac{1-5^n}{1-5}
= 3 \cdot \frac{(-1) \cdot (5^n-1)}{(-1) \cdot 4} = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4} .

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

 d_k = 3 \cdot 5^{k-1}
 S_n = d_1 + d_2 + d_3 + \dots + d_n
= 3 + 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^{(n-1)} .


Teza:

 S_n = 3 \cdot \frac{5^n-1}{4}


Dowód:

Sumę  S_n = 3 + 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^{(n-1)} możemy wymnożyć przez  q = 5 :

 5 S_n = 3 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 3 \cdot 5^n

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:

S_n =  3  +  3 \cdot 5^1  +  3 \cdot 5^2  +  3 \cdot 5^3  +  \dots  +  3 \cdot 5^{(n-1)}
 - 5S_n =  3 \cdot 5^1  +  3 \cdot 5^2  +  3 \cdot 5^3  +  \dots  +  3 \cdot 5^{(n-1)}  +  3 \cdot 5^{n}
 -4S_n  =  3  +  0  +  0  +  0  +  0  +  0  -  3 \cdot 5^{n}


Czyli -4S_n = 3 - 3 \cdot 5^{n} = 3(1 - 5^{n}) , po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

 S_n = 3 \cdot \frac{1 - 5^{n}}{-4} = 3 \cdot \frac{5^{n} - 1}{4} ,

a co chcieliśmy udowodnić.


Przykłady ciągów[edytuj]

Ciąg harmoniczny[edytuj]

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako  (h_n) , to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

 h_k = \frac{1}{k} .

Czyli na przykład  a_{10} = \frac{1}{10} ,  a_{13} = \frac{1}{13} , a  a_1 = 1 itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku  1:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\dots .

Liczby harmoniczne[edytuj]

 H_n , czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

 H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots \frac{1}{n} .

Zobaczmy kilka przykładów:

 H_1 = 1
 H_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}
 H_5 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}

Oznaczenie  H_n jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy  H_n , to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego[edytuj]

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez  (F_n) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \dots) . Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

 F_1 = 1
 F_2 = 1
 F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n>2


Gdy  F_6 = 8 i  F_7 = 13 , wówczas  F_8 = F_7 + F_6 = 13 + 8 = 21 . Podobnie, gdy wiemy, że:

 F_{44} = 701408733
 F_{45} = 1134903170 ,

wtedy:

 F_{46} = F_{45} + F_{44} = 1134903170 + 701408733 = 1836311903 .


Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

 F_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 + \sqrt 5}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt 5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^n (wzór Bineta)


Rekurencja[edytuj]

Ze wzorami opisywanymi rekurencyjnie spotkaliśmy się już wcześniej. Na przykład, wiemy, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 zachodzi:

 a_{n+1} = a_n + 5 ,

czyli każdy wyraz ciągu jest większy o 5 od poprzedniego. Podobnie wiemy, że w ciągu geometrycznym o ilorazie q=7 zachodzi:

 a_{n+1} = a_n \cdot 7 .

Podobnie, gdy powiemy, że w kolejce pierwszy przy kasie stoi Józek, za Józkiem stoi Maryśka, za Maryśką stoi Krzysiek, a za Krzyśkiem Kaśka, także się posłużymy rekurencją, nazywaną także rekursją.

Ciężko podać konkretną definicję rekurencji. Jest to pewien sposób określania pewnych zależności na podstawie innych. Innym przykładem rekurencji jest czynność sprzątania zabawek:

chwyć zabawkę, schowaj ją do szafy i sprzątaj dalej... (aż nie posprzątasz)

czy też liczenia od 100 do 0:

mamy 100. odejmujemy 1 i mamy 99 i liczymy dalej, tym razem od 99 do 0.

Zobaczmy kilka przykładów ciągów określonych rekurencyjnie:

  • ciąg arytmetyczny  (a_n) określony wzorem:
     a_n = \left\{\begin{matrix}
3 & \mbox{ dla } n = 1 \\
a_{n-1} + 2 & \mbox{ dla } n > 1
\end{matrix}\right.

W tym przypadku widzimy na przykład, że:


a_{5} = a_4 + 2 = (a_3 + 2) + 2 = ((a_2 + 2) + 2) + 2 = (((a_1 + 2) + 2) + 2) + 2 = (((3 + 2) + 2) + 2) + 2 = 11 . Wiedząc, że  a_1 = 3 i  r = 2 i korzystając, ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy wynik  a_5 = 3 + (5-1) \cdot 2 = 11 , dochodzimy, do takiego samego wyniku.

  • ciąg geometryczny  (b_n) , gdzie:
     a_1 = 10
     a_{n+1} = a_n \cdot 6 \mbox{ dla } n \geq 1

W tym przypadku widzimy, że n-ty wyraz jest 6 razy większy od poprzedniego. Ze wzoru rekurencyjnego możemy wyliczyć, że:

 a_3 = a_2 \cdot 6 = (a_1 \cdot 6) \cdot 6 = (10 \cdot 6) \cdot 6 = 360 .

W poprzednim rozdziale widzieliśmy nieco skomplikowany ciąg nazywany, który jest zdefiniowany wzorem:

  •  F_1 = 1
     F_2 = 1
     F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \mbox{ dla } n > 2.

Policzmy teraz  F_5 :

 F_5 = F_4 + F_3 = (F_3 + F_2) + (F_1 + F_2) = ((F_2 + F_1) + 1) + (1 + 1) = ((1 + 1) + 1) + (1 + 1) = 5 .

Powinniśmy już pamiętać, że ciąg zdefiniowany wzorem:

 a_1 = x
 a_{n+1} = a_{n} + r \mbox{ dla } n \geq 1 ,

posiada postać zwartą, czyli bez rekurencji, w postaci:

 a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \mbox{ dla } n \geq 1 . (Jak pamiętamy, jest to ciąg arytmetyczny.)

Natomiast postać zwarta ciągu geometrycznego zdefiniowanego wzorem:

 a_1 = x
 a_{n+1} = a_n \cdot q \mbox{ dla } n \geq 1

będzie postaci:

 a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \mbox{ dla } n \geq 1,

a co już zresztą wiemy.

Indukcja matematyczna[edytuj]

Indukcja matematyczna to jeden ze sposobów dowodzenia pewnych twierdzeń. Pokazujemy, że dane twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości początkowej (np. dla 10), a następnie uzasadniamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla większych wartości (np. dla 11, 12, 13 itd.), korzystając z prawdziwości twierdzenie dla mniejszych wartości (czyli np. uzasadniamy, że dla 11 twierdzenie jest prawdziwe, wykorzystując do tego 10). Teoretyczne podstawy już znamy (przynajmniej teoretycznie), to przejdźmy do praktyki.

Udowodnijmy za pomocą indukcji, że jeśli dodamy sto jedynek, to otrzymamy liczbę sto. Zauważmy, że dodając k jedynek (np. k=30), najpierw dodajemy k-1 jedynek (np. k-1=30-1=29), a potem jeszcze jedną, czyli:

 S_1 = 1
 S_k = S_{k-1} + 1 np.  S_{30} = S_{29} + 1

Z tego co jest napisane wyżej o indukcji, wynika, że najpierw musimy uzasadnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej początkowej wartości, więc weźmy jedynkę:

 S_1 = 1 . Dodając jedną jedynkę otrzymujemy po prostu 1, czyli wszystko OK.

Możemy jeszcze sprawdzić dla dwójki:

 S_2 = 1 + 1 = 2 i znowu się zgadza.

Czyli pewnie wzór będzie się zgadzał dla wszystkich liczb  i \in \{1, 2, ..., 10\} , czy też nawet dla  i \in \{1, 2, ..., k\} (dla pewnego określonego k np. równego 50), co zapiszemy:

 S_i = i \mbox{ dla } i \in \{1, 2, ..., k\} (nasze założenie)

Czy wzór będzie się zgadzał dla  i = k + 1 ? Sprawdźmy:

 S_i = S_{k+1} = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}S_k} + 1 (skorzystaliśmy ze wzoru  S_{i} = S_{i-1} + 1 ).

Wiemy z założenia przedstawionego ciut wyżej, że  {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}S_k = k} , zatem:

 S_{k+1} = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6} k} + 1 = k + 1 .

Czyli do zbioru dla którego nasze twierdzenie jest prawdziwe  \{1, 2, ..., k\} możemy wepchać następną liczbę, czyli k+1. I tak dokładając 2, 3, 4 i następne liczby dochodzimy aż do 100. Zatem udowodniliśmy to twierdzenie. Już jesteśmy pewni, że jeśli dodamy sto jedynek otrzymamy liczbę sto!

Podsumujmy w skrócie, co zrobiliśmy. Otóż wykonaliśmy poniższe kroki:

  1. Pokazaliśmy, że jest prawdziwe dla 1.
  2. Założyliśmy, że w takim razie będzie prawdziwe dla 1, 2, 3, ..., k.
  3. Pokazaliśmy, że skoro jest prawdziwe od 1 do k, więc musi być także prawdziwe dla k + 1.
  4. Stwierdziliśmy, że musi być prawdziwe dla wszystkich n, czyli także 100.


Teraz udowodnijmy, że  1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} .

Najpierw musimy sprawdzić dla n=1:
 L = 1 , ponieważ dodaliśmy tylko jedną liczbę -- 1.
 P = \frac{1\cdot(1+1)}{2} = 1 .
Zgadza się,  L = P .

Czyli teraz możemy stworzyć odpowiednie założenie.

Założenie indukcyjne dla n = k:
 {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}} .

I pokażemy, że skoro dla k jest prawdziwe to będzie także dla  k + 1 , ale najpierw postawmy tę tezę.

Teza indukcyjna:
 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k+1)[(k+1) + 1]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}

No i w końcu przedstawimy dowód.

Dowód tezy indukcyjnej:
 L = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}1 + 2 + 3 + \dots + k} + (k+1) = {\color[rgb]{0.0,0.0,0.6}\frac{k(k+1)}{2}} + (k+1)
 = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+2)(k+1)}{2}
 P = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
Czyli L = P.

Ponieważ stwierdziliśmy, że wzór jest prawdziwy dla n=1, a także z prawdziwości wzoru dla  n = k wynika prawdziwość wzoru dla  n = k + 1 , więc dzięki zasadzie indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego całkowitego n \geq 1.


Definicja
DEFINICJA

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) - co oznaczamy \lim_{n \to \infty} a_n=g lub a_n\rightarrow g dla n\rightarrow\infty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \varepsilon prawie wszystkie wyrazy ciągu (a_n) znajdują się w odległości mniejszej niż \varepsilon od g.

Definicja
DEFINICJA

Liczba g jest granicą ciągu (a_n) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej \varepsilon istnieje taka liczba \delta, że dla każdej liczby naturalnej n> \delta zachodzi nierówność |a_n-g|<\varepsilon.
Zapis symboliczny:\lim_{n \to \infty} a_n=g\Leftrightarrow \forall_{\varepsilon>0} \exist_\delta \forall_{n>\delta} |a_n-g|<\varepsilon


Do zrobienia W przygotowaniu:
  • Ilustracje obrazujące granicę ciągu
  • Przykłady


Procent składany[edytuj]

Procent składany przydaje się do łatwego obliczenia wartość lokat po zadanej liczbie okresów kiedy naliczane jest oprocentowanie.

Ogólny wzór na procent składany ma postać:

w_n = w_0{(1+{p \over 100%})}^n,

gdzie

  • w_n - kwota końcowa
  • w_0 - kwota wpłacona na początku
  • p - oprocentowanie
  • n - liczba okresów kiedy będą naliczane odsetki

Jeżeli konto ma kapitalizację roczną, to n równe jest ilości lat w których oszczędzamy. Jeśli kapitalizacja następuje trzy razy w roku (czyli co 4 miesiące), to procent musimy podzielić na trzy, a liczba kapitalizacji (n) w ciągu roku wynosi wtedy 3, w ciągu dwóch lat 6, a np. w ciągu 16 miesięcy n=4 (bo 4 razy występuje okres 4 miesięcy).

Przykład[edytuj]

Załóżmy, że mamy 5 000 zł i chcemy je oddać do banku, gdzie oprocentowanie roczne wynosi 4,52%. Bank nalicza odsetki co dwa miesiące. Jaki będzie stan konta po dwóch latach, zakładając że nie wpłacamy ani wypłacamy żadnych pieniędzy?

Zauważmy, że kapitalizacja następuje co dwa miesiące, więc w roku tych kapitalizacji będzie sześć. W ciągu dwóch lat liczba kapitalizacji wyniesie dwanaście. Oprócz tego oprocentowanie roczne, wynoszące 4,52% (9,04% w skali 2 lat) musimy podzielić przez liczbę kapitalizacji. W tym przypadku wynosi ono: 4,52% / 6 = 0,753%. Zgodnie ze wzorem:

w_n = 5000\cdot{(1+{0,753 \over 100})}^{12} = 5000\cdot{1,00753}^{12} = 5000\cdot{1.09419} = 5470,98


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Podsumowanie Oblicz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego: a_1=2 \quad q=5

\begin{matrix}
a_2=a_1\cdot q\\
a_2=10\\
\\
a_3=a2\cdot q\\
a_3=50\\
\\
a_4=a3\cdot q\\
a_4=250\\

\end{matrix}


Odp. 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego a_1=2 \;i\; q=5 \;\mbox{to: }\; 2,10,50,250


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ćwiczenia


Planimetria

Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach.

Podział czworokątów:

  • wklęsłe
  • wypukłe: trapezoidy, deltoidy, trapezy, równoległoboki, romby, prostokąty, kwadraty.

Klasyfikacja czworokątów:

Czworokąty wypukłe.png

Charakterystyka czworokątów[edytuj]

Deltoid[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Deltoid jest to czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z jego przekątnych.

Deltoid2.png

P = 1/2 |DB| * |AC| Ob = 2a + 2b P=1/2 d1⋅d2 P = a • b • sinα

Trapez[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Trapez jest to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

  • Wysokością trapezu nazywamy odcinek zawarty między prostymi zawierającymi jego podstawy i prostopadły do nich.

Trapezoid.svg

Równoległobok[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równoległobok jest to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który spełnia chociaż jeden z warunków:

  1. Przeciwległe boki są równoległe oraz są tej samej długości
  2. Przekątne dzielą się na połowy
  3. Przeciwległe kąty są równe
  4. Suma miar kątów przylegających do każdego boku jest równa 180o
  • Obwód równoległoboku= 2a + 2b
  • Pole równoległoboku = a* h = a * b * sin α

Równoległobok.png

Romb[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Romb jest to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.

Romb3.png

Własności rombu:

  • AB, BC, DC, AD = a – boki rombu
  • AC = d1 oraz BD = d2 – przekątne rombu
  • d1 , d2 – długości przekątnych rombu
  • h – długość wysokości rombu
  • r – długość promienia okręgu wpisanego w romb
  • kąt alfa – miara kąta ostrego, jaki tworzą boki rombu

W czworokącie tym przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.

Miejsce przecięcia przekątnych (d1 i d2, które przecinają się pod kątem prostym) jest środkiem okręgu wpisanego.

Promień (r) jest połową jego wysokości (h).

Wzory:

Pole rombu

  • P = a*h
  • P = (d1*d2) / 2
  • P = 2a * r
  • P = a2 * sin alfa

Obwód rombu = 4a

Prostokąt[