Matematyka dla liceum/Wersja do druku

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Jest to wersja do druku podręcznika Matematyka dla liceum.
  • Jeśli widzisz tę informację to nie drukuj niczego! Kliknij na link Wersja do druku aby pozbyć się tej ramki, paska nawigacyjnego i innych niepotrzebnych elementów.
  • Kliknij Odśwież tę stronę przed wydrukowaniem, by wczytać najnowsze zmiany.
  • Więcej informacji o książkach do druku znajdziesz na stronie Wikibooks:Podręczniki do druku.


Matematyka dla liceum

Aktualna, edytowalna wersja tego podręcznika jest dostępna w Wikibooks, bibliotece wolnych podręczników pod adresem
http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum

Całość tekstu jest objęta licencją GNU Free Documentation License.



Róg strony.svg
 
 


Spis treści



Zaczynamy


Zbiory

[edytuj] Pojęcie zbioru

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Pojęcia tego nie definiujemy – jest ono pojęciem pierwotnym. Czasami, zamiast „zbiór” możemy powiedzieć „rodzina”, „przestrzeń”, czy „kolekcja”. Zbiór będziemy intuicyjnie rozumieć jako pewną całość złożoną z wielu obiektów, które będziemy nazywać elementami tego zbioru. Jeszcze bardziej obrazowo, zbiór można przedstawić jako worek, wypełniony przedmiotami, które są elementami zbioru.

Popatrzmy na przykłady:

  • zbiór ciastek,
  • zbiór liczb całkowitych nieparzystych,
  • zbiór uczniów w klasie.


Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręce cztery cukierki – jeden o smaku cytrynowym, drugi o smaku truskawkowym, trzeci o smaku jabłkowym, a czwarty o smaku waniliowym. Zbiory są oznaczane zazwyczaj dużymi literami alfabetu, np. A, B, C, D. Możemy nasz zbiór cukierków nazwać literą C (oczywiście, od słowa „cukierki”).

Element (przedmiot), który należy do pewnego zbioru, najczęściej oznaczamy małą literą, np. x, y, z. W związku z tym, oznaczmy cukierek cytrynowy jako c, truskawkowy jako t, jabłkowy jako j, a waniliowy jako w.

Jeśli element a należy do zbioru A, zapisujemy to a \in A i czytamy „element a należy do zbioru A”. Możemy zapisać, używając naszych oznaczeń, że cukierek truskawkowy t należy do naszego zbioru cukierków C jako t \in C .

Podobnie, aby zaznaczyć, że dany element nie należy do zbioru, użyjemy zapisu a \notin A -czyli a nie należy do zbioru A. Ponieważ nie posiadamy cukierka pomarańczowego p, cukierek p nie należy do naszego zbioru cukierków C, co zapiszemy: p \notin C .

Aby oznaczyć, że wymieniane elementy tworzą razem zbiór (lub odwrotnie, że zbiór składa się z danych elementów), umieszczamy je w nawiasach klamrowych. Nasz zbiór C składa się z cukierka cytrynowego c, truskawkowego t, jabłkowego j i waniliowego w, więc możemy zapisać C=\{c,t,j,w\}\ .

Liczbę elementów zbioru A oznaczamy |A|\ i nazywamy mocą zbioru A. W przykładzie z cukierkami powiemy, że moc zbioru cukierków C wynosi 4, co zapiszemy |C| = 4\ .

Ze względu na liczbę elementów w zbiorze, wyróżniamy zbiory skończone, np. nasz zbiór cukierków, oraz zbiory nieskończone, np. zbiór liczb rzeczywistych.

Szczególnym przypadkiem zbioru jest zbiór pusty, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go \varnothing lub \emptyset .

[edytuj] Zbiory liczb

Wyróżniamy pewne zbiory liczb, które odgrywają istotną rolę w matematyce; do najważniejszych zaliczamy:

  • zbiór liczb naturalnych,
  • zbiór liczb całkowitych,
  • zbiór liczb wymiernych,
  • zbiór liczb niewymiernych,
  • zbiór liczb rzeczywistych.

Przyjrzymy się teraz pokrótce każdemu z nich. Przedstawionych niżej opisów nie można traktować jako definicji tych zbiorów, ale raczej jako luźne wytłumaczenie tych pojęć, które może zawierać pewne nieścisłości.

[edytuj] Zbiór liczb naturalnych

Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, startując od 0 (co może trwać bardzo długo...). Zbiór liczb naturalnych jest więc zbiorem wszystkich takich liczb. Liczbą naturalną jest więc 4, 1001 i 100000000000. Liczbą naturalną nie będzie natomiast -5, czy też 2,5 lub π.

W matematyce, zbiór liczb naturalnych jest z reguły oznaczany przez \mathbb{N} . Ponieważ początkowe liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., zbiór liczb naturalnych będzie równy

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} .

Należy dodać, że czasami przyjmuje się, że 0 nie należy do naturalnych.

[edytuj] Zbiór liczb całkowitych

Co to znaczy, że liczba jest całkowita? Liczba całkowita, to liczba postaci -1, -5, 1000, czyli liczby całkowite różnią się od naturalnych tym, że mogą być ujemne. Liczbą całkowitą znowu nie będzie π, jako że π = 3,14..., więc ma jakąś niezerową część ułamkową.

Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać przez \mathbb{Z} . Widzimy, że

\mathbb{Z} = \{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\} .
  • Ciekawostka
    Mała dygresja dla bardziej spostrzegawczych. Niektórzy może zarzucą, dlaczego \mathbb{Z} , a nie \mathbb{C} . To prawda, że w wielu podręcznikach szkolnych używa się literki C do oznaczania zbioru liczb całkowitych, jednak w rzeczywistości, większość podręczników dotyczących matematyki zawiera oznaczenie \mathbb{Z} . Są to jednocześnie oznaczenia międzynarodowe, ponadto, używane są na uczelniach wyższych. Z podobnych względów oznaczymy zbiór liczb wymiernych literką \mathbb{Q}.

[edytuj] Zbiór liczb wymiernych

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera. Liczbami wymiernymi będą: 1, 2, \tfrac{-3}{5} , \tfrac{10\,000}{-99\,999\,999}, czy też 2,7563. Czy będzie nią liczba π? Okazuje się, że nie - ponieważ liczba π jest na tyle skomplikowana, że nie da się jej zapisać w postaci ułamka zwykłego (ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone).

Zbiór liczb wymiernych w matematyce oznaczamy przez \mathbb{Q} .

[edytuj] Zbiór liczb rzeczywistych

Jest to "uniwersalny worek", ponieważ wszystkie liczby (których będziemy używać w liceum) są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie zbiory liczb, opisane wyżej, możemy do tego "worka" włożyć. Tak więc.. przykładem może być każda liczba, jaka przyjdzie do głowy.

Czym charakteryzują się liczby rzeczywiste? Otóż posiadają one w zapisie dziesiętnym cyfry od 0 do 9, mogą posiadać znak minus i część ułamkową po przecinku, ale nic więcej. Można by zapytać: jaka liczba nie spełnia tych warunków? Istnieje, na przykład, pewien zbiór (jest on jednakże w programie uczelni wyższych) liczb zespolonych [1] (oznaczenie: \mathbb{C} ).

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez \mathbb{R} .

[edytuj] Zbiór liczb niewymiernych

Jest to dopełnienie zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że każda liczba, która nie mogła być liczbą wymierną, będzie liczbą niewymierną (i żadna inna). Są to wszystkie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Tu też znajdzie się liczba π i pierwiastki takie jak np. pierwiatek z trzech czy pięciu, ale nie z czterech, gdyż wynosi on 2. Z kolei, nie będą już liczbami niewymiernymi:1, 2, \tfrac{-3}{5} , \tfrac{10\,000}{-99\,999\,999} (do niewymiernych należą te liczby rzeczywiste, które nie są wymiernymi).

Zbiór liczb niewymiernych będziemy oznaczać przez \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} (co można tłumaczyć jako "zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R} bez liczb wymiernych \mathbb{Q} ", symbol \setminus oznacza różnicę zbiorów).

[edytuj] Zbiory - więcej


  1. ↑ Więcej o liczbach zespolonych można znaleźć np. na Wikipedii.


Działania arytmetyczne

[edytuj] Potęgi i pierwiastki

[edytuj] Potęga o wykładniku całkowitym

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Definicja
 DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\ \end{matrix} \mbox{ dla } n>0
a^0=1 \mbox{ dla } n=0 \mbox{ i } a \neq 0

Pamiętajmy o tym, że 00 nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

  • 2^3=2 \sdot 2 \sdot 2=8
  • 3^4=3 \sdot 3 \sdot 3 \sdot 3 =81
  • 5^0=1\,

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

Definicja
 DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi an:

a^{-n}=\frac{1}{a^n} \mbox{ dla } a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \mbox{ i } n \in \mathbb{N_+} .

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

  • 3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}
  • 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}
  • \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27
  • (-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac{1}{16}

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
 TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

  • a^n \sdot a^m=a^{n+m}
  • \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
  • \left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}
  • (a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n
  • \left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

  • 3^{-3} \cdot 3^3 = 3^{-3 + 3} = 3^0 = 1


  • \frac{(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}} = (-7)^{-100-(-98)}= (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}


  • \left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000


  • (-5)^5 \cdot (-2)^3 = (-5)^2 \cdot (-5)^3 \cdot (-2)^3 = 25 \cdot ((-5)^3 \cdot (-2)^3) = 25 \cdot ((-5) \cdot (-2))^3 = 25 \cdot 10^3 = 25000

[edytuj] Pierwiastkowanie

Spójrzmy na definicję:

Definicja
 DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i n \in N, n \geq 2 oznaczany przez \sqrt[n]{a} to liczba b \geq 0 , która spełnia zależność bn = a.

W \sqrt[n]{a} liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

  • jeśli b = \sqrt[n]{a} , to b^n = a\ np. 4 = \sqrt[3]{64} , ponieważ 43 = 64;
  • ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza \sqrt[4]{-81};
  • n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. \sqrt[2]{a}, \sqrt[3]{a}, \sqrt[4]{a}, \sqrt[5]{a} itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby bn = a, czyli:

\sqrt{9} = 3, ponieważ 32 = 9,
\sqrt[3]{125} = 5, ponieważ 53 = 125,
\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} , ponieważ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako \sqrt{a} zamiast \sqrt[2]{a} .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} dla a nieujemnego i n nieparzystego

Na przykład:

\sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = - 3 ,
\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2 ,
\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5 .

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Twierdzenie
 TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  • \sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} ,
  • \sqrt[n]{a \over b}={\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}} \mbox{ dla } b>0 ,
  • \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a} ,
  • \left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p} .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

  • \sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 6 \cdot 7 = 42 ,
  • \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2}{5},
  • \sqrt[3]{27^4} = \sqrt[3]{27}^4 = \sqrt[3]{3^3}^4 = 3^4 = 81 ,
  • \sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i a \geq 0 zachodzą poniższe własności:

  • \sqrt{a^n} = a , ale
  • \sqrt{(-a)^n} = a .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego a \in \mathbb{R} zachodzi[2]:

  • \sqrt[n]{a^n} = a

Zobaczmy na przykłady:

\sqrt{5^2} = 5 , ale także \sqrt{(-5)^2} = 5 , ponieważ ( − 5)2 = 25 = 52;
\sqrt[3]{2^3} = 2 , ale \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \neq 2 ;
\sqrt[4]{8^4} = 8 , a także \sqrt[4]{(-8)^4} = 8 (84 = ( − 8)4);
\sqrt[5]{7^5} = 7 , ale \sqrt[5]{(-7)^5} = -7 \neq 7 .

[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym

Definicja
 DEFINICJA

Potęgę o podstawie a \geq 0 i wykładniku \mathbf{1 \over n} określamy wzorem:

a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } a \geq 0

Popatrzmy na kilka przykładów:

  • 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4}=2 ,
  • 25^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{25} = \sqrt[2 \cdot 2]{25} = \sqrt{\sqrt{25}} = \sqrt{5} ,
  • 27^\frac{1}{3}= \sqrt[3]{27}=3.

Nie wiemy, co oznacza (-9)^\tfrac{1}{2} , czy też (-27)^\tfrac{1}{3} . Co prawda \sqrt[3]{-27} = -3 , ale wartość (-27)^\tfrac{1}{3} pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja
 DEFINICJA

Potęgę o podstawie a \geq 0 i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.
a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}} \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

  • 4^\tfrac{3}{2} = \sqrt{4}^3 = 2^3 = 8 ,
  • 81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27
  • 27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
 TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  • a^n \sdot a^m=a^{n+m} ,
  • \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ,
  • \left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m} ,
  • (a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n ,
  • \left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n} .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

  • 5^{30{,}5} \cdot 5^{-28{,}5} = 5^{30{,}5-28{,}5} = 5^2 = 25 ,
  • \frac{16^{3{,}75}}{16^4} = 16^{3{,}75-4} = 16^{-0{,}25} = \frac{1}{16^{0{,}25}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2} ,
  • 2^{\sqrt{2} - 1} \cdot 2^{3 - \sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2}} = 2^2 = 4 .

[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych

[edytuj] Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5
Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenie i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 5 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 25 .
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
2 + 2 − 3 − 25 = 4 − 3 − 25 = 1 − 25 = − 24.

Przykład 2.

2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3}
Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3} = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} .
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} =
= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 4 \cdot 6 : 3} =
= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 24 : 3} =
= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8} ,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{24 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{16}
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
8 + 9 + \sqrt{16} = 8 + 9 + 4 .
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:
8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

2^{3+2} - \sqrt{2^{3-2} : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 2^5 -\sqrt{ 2^1 : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 32 - \sqrt{\frac{9}{4}} = 32 - \frac{3}{2} = 30{,}5

Przykład 4.

\sqrt{(4^2 + 6^2):(2:13)} + 2 = \sqrt{(16 + 36):\frac{2}{13}} + 2 = \sqrt{52 \cdot \frac{13}{2}} + 2= 13\sqrt{2} + 2

[edytuj] Wzory skróconego mnożenia

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (kwadrat sumy),
  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (kwadrat różnicy),
  • a2 − b2 = (a − b)(a + b) (różnica kwadratów),
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (sześcian sumy),
  • (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (sześcian różnicy),
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) (suma sześcianów),
  • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

  • (3+5)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64 ,
  • 9^3 - 8^3 = (9-8)(9^2 + 9 \cdot 8 + 8^2) = 1 \cdot (81 + 72 + 64) = 217 ,
  • (4+3)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3^2 + 3^3 = 64 + 144 + 108 + 27 = 343 ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 .

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 = (4-5)^3 = -1 .

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

[edytuj] Różne prawa na działaniach

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

  • a + b = b + a
  • a \sdot b = b \sdot a

Czyli np. 10 + 20 = 20 + 10, podobnie też 5 \cdot 6 = 6 \cdot 5. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ 5 - 6 = -1 \neq 6 - 5 = 1 czy też 6:2 = 3 \neq 2:6 = \frac{1}{3} .

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

  • (a + b) + c = a + (b + c),
  • (a \sdot b) \sdot c = a \sdot (b \sdot c) ,

czyli na przykład:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), ponieważ
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9, a także
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9.

Podobnie dla mnożenia:

(3 \cdot 5) \cdot 2 = 3 \cdot (5 \cdot 2) , ponieważ
(3 \cdot 5) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30
i 3 \cdot (5 \cdot 2) = 3 \cdot 10 = 30 .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

  • (8 - 5) - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 8 - (5 - 2) = 8 - 3 = 5 , dosyć duża różnica.
  • (12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2 \neq 12 : (2 : 3) = 12 : \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18 , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

  • jeśli a + c = b + c, to a = b (skreśliliśmy c),
  • jeśli a \sdot c=b \sdot c i c \neq 0, to a = b (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

  • Jeśli a + 10 = 20 + 10, to a = 20.
  • Jeśli a \cdot 3 = 4 \cdot 3 , to a = 4.

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

  • prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
    a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c
  • prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
    a \cdot (b-c)=a \cdot b - a \cdot c
  • prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
    \frac{(a+b)}{c}= \frac{a}{c}+\frac{b}{c}
  • prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:
    \frac{(a-b)}{c}= \frac{a}{c}-\frac{b}{c}

Zobaczmy na kilka przykładów:

5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25 ,
podobnie:
(25 − 10):5 = 25:5 − 10:5 = 5 − 2 = 3,
a także:
15 \cdot 28 = 15 \cdot (30-2) = 15 \cdot 30 - 15 \cdot 2 = 450 - 30 = 420

Ważną obserwacją jest na przykład:

10 + 0 = 0 + 10 = 10,
− 5 + 0 = − 5,
0 + 3\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2} .

Ze względu na tę własność, mianowicie a + 0 = 0 + a = a, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ a \cdot 1=1 \sdot a=a np.

10 \cdot 1 = 10 ,
1 \cdot 4 = 4 ,
-3 \cdot 1 = -3 .

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi a:1 = a, jednak a : 1 \neq 1 : a , np. 5 : 1 \neq 1 : 5 = \frac{1}{5}. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

a + ( − a) = 0.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna \mathbf\frac{1}{a} spełniająca warunek:

a \sdot \frac{1}{a}=1 .

Liczbą odwrotną do 2 będzie \frac{1}{2}, do -10 będzie -\frac{1}{10} , do \frac{3}{7} będzie \frac{7}{3} , a do − π będzie -\frac{1}{\pi}.

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

(a \sdot b = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0 lub b = 0,

np. 2 \cdot a = 0 jedynie wtedy, gdy a = 0.

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.


Przypisy

  1. ↑ W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także 00 = 1 (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
  2. ↑ Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.


Rozwiązywanie równań i nierówności

[edytuj] Równania

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  • x = 1,
  • t + 2 = 3,
  • x + 2y = 7,
  • z2 − 5 = − 1,
  • a2 + b2 = c2.

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania x = 1 jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

1 = 1,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. x = 3. Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

3 = 1,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, t + 2 = 3? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

1 + 2 = 3
3 = 3

zatem t = 1 będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania z2 − 5 = − 1 rozwiązaniem będzie z = 2 lub z = − 2, ponieważ:

22 − 5 = − 1
− 1 = − 1
( − 2)2 − 5 = − 1
4 − 5 = − 1 i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie z = 3, ponieważ:

32 − 5 = − 1
4 = − 1 i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu 4 = − 1, bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać 4 \neq -1 (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie z2 − 5 = − 1 i chcemy pokazać, że z = 3 nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

L = z2 − 5,
P = − 1.

Jeśli z = 3, to:

L = 32 − 5 = 4,

ale

4 \neq -1 ,

a więc:

L \neq P .

Równanie nie jest spełnione, zatem z = 3 nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość L = P, to równanie zostałoby spełnione przez z = 3, a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

[edytuj] Przekształcanie równań

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. x + 5 = 7, to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

x = 7 − 5, czyli
x = 2

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

x + 5 − 5 = 7 − 5
x = 7 − 5.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli 2x + 5 = 6, to 2x = 6 − 5,
  • jeśli 3x = x + 2, to 3x − x = 2,
  • jeśli x2 − 2 = 3 + x, to x2 − 2 − x = 3.

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  • \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right. - obustronnie mnożymy przez 2
  • 3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right. - obustronnie dzielimy przez 3
  • \frac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \frac{4}{3}\right. - obustronnie mnożymy przez \frac{4}{3}.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  • 2x + 3 = 5 (1)
  • − x + 2 = 0 (2)
  • 100x - \frac{1}{2} = 0 (3)
  • \frac{7x + 2}{2} = 6 (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

2x + 3 = 5\ \ \left/{-}\ 3\right.
2x = 5 - 3 = 2\ \ \left/{:}\ 2\right. - obustronnie dzielimy przez 2
x = 1, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

− x + 2 = 0
-x = -2\ \ \left/{\cdot}\ (-1)\right.
x = 2

Teraz zrobimy (3):

100x - \frac{1}{2} = 0
100x = \frac{1}{2}\ \ \left/{:}\ 100\right.
x = \frac{1}{200}

Pozostał ostatni przykład:

\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.
7x + 2 = 12
7x = 10\ \ \left/{:}\ 7\right.
x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

[edytuj] Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • -2x + 4 \geq -3x + 5 (3)
  • -\frac{1}{2} x + 3 \geq 5 (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla \frac{x}{2} < 2 będziemy mieli:
\frac{x}{2} < 2 \ /{\cdot}\ 2
x < 2 \cdot 2 (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla \frac{x}{-2} \leq 2 będzie:
\frac{x}{-2} \leq 2 \ /{\cdot}\ (-2) (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)
x \geq 2 \cdot (-2)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

2x > 3
2x > 3\ \ /{:}\ 2
x > 1\frac{1}{2}

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

5x − 2 < 2
5x < 2 + 2 = 4\ \ /{:} 5
x < \frac{4}{5}

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

-2x + 4 \geq -3x + 5
-2x + 3x \geq 5 - 4
x \geq 1

I został ostatni przykład (4):

-\frac{1}{2}x + 3 \geq 5
-\frac{1}{2}x \geq 5 - 3
-\frac{1}{2}x \geq 2\ \ /{\cdot}\ -2
x \leq -4

Przypisy

  1. ↑ zdaniem niektórych


Podsumowanie

Zbiory 
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.
Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. A, B, czy też X, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. a, b, x.
a \in A \qquad\ - element a należy do zbioru A,
b \notin B \qquad\ -b nie należy do B,
C=\{ a, c, d, e\} \quad - wypisanie elementów zbioru C,
|C| = 4 \qquad - ilość elementów zbioru, czyli jego moc.
Zbiory liczb
\mathbb{N} \quad\ - zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)
\mathbb{Z} \quad\ - zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C
\mathbb{Q} \quad\ - zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W
\mathbb{R} \quad\ - zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)
\varnothing \quad\ - zbiór pusty.


Potęga 
Potęga o wykładniku naturalnym n:
\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\ \end{matrix} ,
przy czym a0 = 1.
Liczba 00 nie ma sensu liczbowego.
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m
Pierwiastek 
Jeśli b = \sqrt[n]{a}, to bn = a
\sqrt[n]{a^n} = a dla nieparzystych n lub \sqrt[n]{a^n} = |a| dla n parzystych ( | a | to wartość bezwzględna liczby).
Kolejność wykonywania działań 
  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
  2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)
Wzory skróconego mnożenia 
  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (kwadrat sumy)
  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (kwadrat różnicy)
  • a2 − b2 = (a − b)(a + b) (różnica kwadratów)
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (sześcian sumy)
  • (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (sześcian różnicy)
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) (suma sześcianów)
  • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) (różnica sześcianów)
Przekształcanie równań i nierówności 
  • Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
  • Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
  • Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od 0, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.


Ćwiczenia

[edytuj] Podstawy

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii e) bułka słodka i) głośnik
b) zwierzęta f) Jacek, Bolek i Agata j) zielone marchewki
c) kangur g) litera k) poziomka
d) kredki h) wszystkie zbiory l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10 c) { − 25, − 16, − 9, − 4, − 1,0,1,4,9,16,25}
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5 d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) A = { − 1,2,10} d) D = {1, − 2} g) G = \{\varnothing\}
b) B = \varnothing e) E = {1,5,25,525,1024,235} h) H = {{2,9,15},{3,4,5}}
c) C = {5} f) F = {k,l,p,q} i) I = {1,{2,{5,6}},{π,e}}

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) A = {1,2,3}, a = 3 e) A = {{1,2},{2,3},{5,6}}, a = 1
b) A = {1,2,3}, a = 10 f) A = {{1,2},{2,3},{5,6}}, a = {6,5}
c) A = {1,2,3}, a = − 2 g) A = { − 2,{1,2},{2,3,4}}, a = − 2
d) A = {{1,2},{2,3},{5,6}}, a = {2,3} h) A = { − 2,{1,2},{2,3,4}}, a = {2,3}

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

[edytuj] Ćwiczenia domowe

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) 2 + 2 e) 1{,}234567891011121314\dots i) \frac{1}{1-\sqrt{2}} -\sqrt{2}
b) 2 − 2 f) \sqrt{2} - \sqrt{3} j) (1 - \pi)(1 + \sqrt[3]{2})(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) + 3\pi
c) (1 - 2)\cdot(1 + 2) g) \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{2} k) (π + 1)2
d) \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} h) (π − 2)2 − π2 − 4π l) \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4^2 + 3^2}}

9. Rozwiąż równania:

a) 5x = 10 d) -\sqrt{2}x - 3 = 4
b) 3x − 3 = 0 e) (4-\sqrt{2})(4 + \sqrt{2})x - 16 = 5
c) 7x + 2 = − 12 f) \frac{-2x + 10}{3} + 2 = 7

10. Rozwiąż nierówności:

a) 2x > 6 d) \frac{2x - 1}{3} \leq 7
b) -5x + 6 \leq 2 e) \frac{-3x - 3}{7} > 4
c) \frac{7}{2}x - 4 < 8 f) (1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})x + 4 \geq 8

11. Oblicz:

a) 5 - 3\cdot 2 + 8 j) \frac{20^2 - 19^2}{13}
b) 2 + 9:3 − 1 k) \frac{(6-3)(36 + 18 + 9)}{8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1}
c) 7 \cdot (5 + 4) - 9 l) 3^5 \cdot 3^{-2} - (5\cdot3^2)^2 + 5^7\cdot5^{-5}
d) (3 + 5):4 \cdot 2 + 7 m) \frac{(6+2)(36 - 12 + 4)}{2}
e) \frac{5 \cdot (4-3) + 15}{4} n) \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot 2^{-90} - \frac{1}{4^{50}}
f) ((3-5)(4+9)-9) \cdot 3 o) 999998^2 + 2 \cdot 2 \cdot 999998 + 2^2
g) 3\cdot(2+(11-1)\cdot 3) - 13 p) \frac{99999 \cdot (10^5 + 1) + 1}{10^4}
h) (52 − 32)2 − 1 q) − (( − 5)2 + ( − 2)2)2 − ( − 52 + 22)2
i) \frac{(12-3)^2 - 9}{7} r) ((50+1)^2 - (50-1)^2)(14^2 + 2 \cdot 14 + 2^2) - 14^3

[edytuj] Ćwiczenia na myślenie

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru A = {1,2}:

  • \varnothing , zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
  • {1}
  • {2}
  • {1,2}
a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
  • A = \varnothing
  • B = {1}
  • C = {1,2,3}
b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:
  • 4-elementowy
  • 5-elementowy
  • 10-elementowy
  • n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna ( p, q \in \mathbb{Q}), to liczba p + q także jest wymierna (czyli p + q \in \mathbb{Q}).
b) jeśli liczba p jest wymierna ( p \in \mathbb{Q}) i q jest niewymierna ( q \in \mathbb{IQ}), to liczba p + q jest niewymierna ( p + q \in \mathbb{IQ}).
c) oznaczmy przez \mathbb{Q_+} zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba p \in \mathbb{Q_+}, \sqrt{p} \in \mathbb{IQ} i q \in \mathbb{Q_+} , to (\sqrt{p}+q)^2 \in \mathbb{IQ}.

[edytuj] Ćwiczenia dodatkowe

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór A = {1,2,3} ma taką samą liczbę elementów co B = {5,6,7}. Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory \mathbb{N} i \mathbb{Z} są równoliczne
b) zbiory \mathbb{N} i \mathbb{Q_+} mają taką samą liczbę elementów
c) zbiory \mathbb{Z} i \mathbb{Q} są równoliczne
d) zbiór (0;1) jest równoliczny z \mathbb{R}




Logika


Logika

[edytuj] Zdanie

Definicja
 DEFINICJA

W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Informacja Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego
∧ i koniunkcja
∨ lub alternatywa
¬ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie)
⇒ jeżeli..., to... implikacja
⇔ wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

  • „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
  • „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.


Spójniki logiczne

[edytuj] Koniunkcja

Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:

  • „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p
  • „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q

Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez \and . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania p \and q (czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.

p q p ∧ q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

[edytuj] Alternatywa

Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste:

  • zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
  • i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”

połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez \or . Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:

p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie p „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie q „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania p ∨ q wynosi 1 ∨ 0, czyli 1. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.

[edytuj] Negacja

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako \neg p . Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

p ¬ p
0 1
1 0

[edytuj] Implikacja

Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:

  • zdania p: „Będziesz grzeczny”
  • zdania q: „Dostaniesz czekoladę”

Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika \implies , a w tym przypadku przez p \implies q . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

p q p ⇒ q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

p: „pies ma osiem łap”,
q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p ⇒ q wynosi 0 ⇒ 1. Otrzymujemy wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.

Wartość logiczną zdania p \implies q można najprościej zapisać jako \neg p \vee q.

[edytuj] Równoważność

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez \iff . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

p q p ⇔ q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:

p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”

Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.


Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.


Prawa rachunku zdań

Definicja
 DEFINICJA

Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe np. p \or \neg p.

Rzeczywiście zdanie p \or \neg p jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. Innym przykładem zdania, zawsze prawdziwego jest zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad”.

Ale jak sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe? Możemy do tego wykorzystać metodę „zero-jedynkową”. Zacznijmy od przykładu podanego na samym początku, czyli zdania p \or \neg p. Najlepiej utworzyć do tego odpowiednią tabelkę i analizujemy wszystkie możliwości. W przypadku prostego zdania p mamy tylko dwie możliwości -- jego wartość logiczna może wynosić albo 1 albo 0; czyli w tabelce pod p wstawiamy 1 i 0 i wyliczamy wartości logiczne poszczególnych zdań, które dodaliśmy do tabelki.

p ¬p p ∨ ¬p
1 0 1
0 1 1

Zobaczmy kolejny przykład. Udowodnimy, że zdanie (p \implies q) \or p jest tautologią. Najpierw w pierwszej (p) i w drugiej kolumnie (q) wypisujemy wszystkie możliwości, których tym razem będzie cztery.

p q (p ⇒ q) (p ⇒ q) ∨ p
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1

Ponieważ zdanie (p \implies q) \or p jest zawsze prawdziwe (pokazuje nam to ostatnia kolumna, po prawej stronie), możemy wywnioskować, że jest tautologią (czyli prawem rachunku zdań).

Teraz jako ciekawostka metoda dowodu nie wprost, dla tych co nie lubią rysować tabelek. Zaczynamy:

Pierwszym krokiem jest założenie, że zdanie nasze jest fałszem: Załóżmy, że

[(p \implies q) \or p] = 0

Z definicji alternatywy wiemy, że jest ona fałszywa gdy oba jej składniki są fałszywe, czyli

[p \implies q] = 0 \and p = 0 .

Stąd widzimy, że nasza implikacja p \implies q jest zawsze prawdziwa, bo p jest fałszem. Zatem całe zdanie jest prawdziwe. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest tautologią.

Jak widać metoda jest szybka i może oszczędzić dużo czasu przy bardziej skomplikowanych zdaniach. Trzeba pamiętać, że jeśli nie uzyskamy sprzeczności, to otrzymaliśmy przykład kiedy zdanie jest fałszem. Zwłaszcza kiedy mamy kilka przypadków kończymy sprawdzanie pozostałych w momencie gdy w którymś z nich nie otrzymaliśmy sprzeczności.

A jak pokazać, że zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jest „politycznie poprawne”, czyli zawsze prawdziwe. Nawet intuicyjnie ciężko jest zrozumieć to zdanie, więc musimy je przerobić na zapis matematyczny. Mamy dwa zdania proste:

p: jadłem śniadanie
q: jadłem obiad.

Zdanie podrzędne „nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu” zapiszemy jako:

\neg (p \or \neg q) ,

a zdanie „nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jako:

\neg p \and q .

Czyli całe zdanie przybierze postać:

\neg (p \or \neg q) \implies (\neg p \and q) .

Teraz tworzymy tabelę dla tego „logicznego giganta” i sprawdzamy wszystkie możliwości.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q ¬(p ∨ ¬q) ¬p ∧ q ¬(p ∨ ¬q) ⇒ (¬p ∧ q)
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1

A teraz metodą poznaną wcześniej, o wiele krócej:

Załóżmy, że [\neg (p \or \neg q) \implies (\neg p \and q)] = 0 Z definicji wiemy, że implikacja jest fałszywa w jednym przypadku: 1 \implies 0 . Zatem nasza implikacja jest fałszywa gdy:

[\neg (p \or \neg q)] = 1 \and [\neg p \and q] = 0

Zajmijmy się lewą stroną implikacji.

[\neg (p \or \neg q)] = 1

Stąd

[(p \or \neg q)] = 0

Alternatywa jest fałszem, gdy obydwa jej składniki są fałszywe, czyli p = 0 \and \neg q = 0 , czyli q jest prawdą. Skoro znamy już p i q. Popatrzmy teraz na prawą stronę implikacji.

\neg p \and q

Podstawiamy nasze p i q

\neg 0 \and 1 = 1 \and 1 = 1

Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest zawsze prawdziwe.

No dobra, ale jak najłatwiej wypisać wszystkie możliwości, gdy zdanie składa się z wielu zmiennych np. z trzech p, q, r. Zobaczmy najpierw, jakby wyglądał początek takiej tabelki.

p q r ...
1 1 1 ...
1 1 0 ...
1 0 1 ...
1 0 0 ...
0 1 1 ...
0 1 0 ...
0 0 1 ...
0 0 0 ...

Widzimy, że mamy 8 = 23 możliwości. Teraz jak je wypisać? Hmm... na samej górze mamy same jedynki, pod kolumną r mamy od góry 1, 0, 1, 0, 1 itp., czyli wartości co chwilę zmieniają, pod kolumną q wartości się zmieniają co dwa, a pod kolumną p co cztery. Czyli już mamy sposób:

  • na samej górze dajemy same jedynki,
  • pod trzecią kolumną (r) zmieniamy wartości co jeden,
  • pod drugą kolumną (q) zmieniamy wartości co dwa,
  • pod pierwszą kolumną (p) zmieniamy wartości co cztery.

Sytuacja dla czterech, pięciu, czy sześciu zmiennych będzie bardzo podobna, tylko gdzieniegdzie będzie trzeba zmieniać wartość co osiem, co szesnaście itp.

Czy zdanie \neg (p \and q \and r) \iff (\neg p \or \neg q \or \neg r) jest tautologią? Sprawdźmy.

p q r ¬p ¬q ¬r p ∧ q ∧ r ¬(p ∧ q ∧ r) ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ¬(p ∧ q ∧ r) ⇔ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ zdanie to ma zawsze wartość logiczną równą 1, więc jest prawem rachunku zdań.

A teraz szybszą metodą bez robienia tabelek. Załóżmy, że

[ \neg (p \and q \and r) \iff ( \neg p \or \neg q \or \neg r ) ] = 0

Z definicji równoważności, są dwa przypadki kiedy jest fałszywa. Zatem musimy rozpatrzyć je obydwa. Pierwszy przypadek:

[ \neg (p \and q \and r) ] = 1 \and [ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 0

Zajmiemy się

[ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 0
\neg p = 0 \and \neg q = 0 \and \neg r = 0
p = 1 \and q = 1 \and r = 1

Sprawdzamy

[ \neg (1 \and 1 \and 1) ] = [ \neg 1 ] = 0

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przypadku zdanie jest prawdą.

Drugi przypadek:

[ \neg (p \and q \and r) ] = 0 \and [ \neg p \or \neg q \or \neg r ] = 1

Zajmijmy się:

[ \neg (p \and q \and r) ] = 0
[ (p \and q \and r) ] = 1
p = 1 \and q = 1 \and r = 1

Sprawdzamy

[ \neg 1 \or \neg 1 \or \neg 1 ] = [ 0 \or 0 \or 0 ] = 0

Zatem sprzeczność z założeniem, więc i w tym przypadku zdanie jest prawdziwe. A skoro w obydwu przypadkach zdanie jest prawdziwe, to jest to tautologia.

[edytuj] Prawa De Morgana

Na koniec przedstawimy prawa De Morgana dotyczące zaprzeczeń zdań złożonych:

  • I prawo De Morgana:
    \neg ( p \or q ) \iff \neg p \and \neg q
    (Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań)
  • II prawo De Morgana:
    \neg ( p \and q ) \iff \neg p \or \neg q
    (Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań)

Prawa te są oczywiście tautologiami. W ćwiczeniu 9 zostaniesz poproszony o udowodnienie tych praw.

Jak napisać zdanie „każdy pies ma cztery łapy” lub „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? W następnym podrozdziale dowiemy się, jak pisać zdania takiego typu, czyli zdania odnoszące się do własności pewnego zbioru. Dowiemy się, co oznacza tajemnicze słowo „kwantyfikator”...


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x^2 \geq 0 . Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać \forall_{n \in \mathbb{Z_+}}\ n^3 > 0 (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{Z_+}) . Zdanie to przeczytamy „dla każdego x należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

Definicja
 DEFINICJA

Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez \forall_x , mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez ζ(p), wówczas możemy napisać:

\forall_{p \in \mathbb{ZP}}\ \zeta(p) = 4 .

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap ζ(p) wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: \exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 . Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba x należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako \exist ) nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

Definicja
 DEFINICJA

Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez \exist_x , mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

  • Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
  • Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
  • Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:

\exist_{l \in L}\ \neg q(l) ,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

Ciekawostka
 Czy wiesz, że...

Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez \bigwedge_x („dla każdego x...”), a kwantyfikator szczegółowy przez \bigvee_x („istnieje takie x, że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. \forall pochodzi od All (wszystkie), \exist od Exists (istnieje).


Podsumowanie

Zdanie 
W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Koniunkcja 
Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako p \and q , a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.
Alternatywa 
Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez p \or q i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.
Negacja 
Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez \neg p , choć można spotkać także zapis ˜p, a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Implikacja 
Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy p \implies q . Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.
Równoważność 
Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez p \iff q . Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.
Tautologia 
Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:
  • \neg ( p \or q ) \iff \neg p \and \neg q (I prawo De Morgana)
  • \neg ( p \and q ) \iff \neg p \or \neg q (II prawo De Morgana).


Kwantyfikatory 
Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:
\forall_{x \in X}\ p(x) ,
a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.
Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:
\exist_{x \in X}\ p(x)
i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.
W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako \bigwedge_{x \in X} , a \bigvee_{x \in X} jako kwantyfikator szczegółowy.


Zadania z rozwiązaniami

[edytuj] Zadania

Zad.1
Przypisz zdaniom wartość 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
a) 15 jest liczbą pierwszą
b) -3 jest liczbą naturalną
c) \sqrt 5 jest liczbą niewymierną
d) Warszawa jest stolicą Chin
e) \frac{10}{5}\, jest liczbą całkowitą
f) Sześciokąt foremny ma 10 przekątnych
g) Słońce jest gwiazdą

Zad.2
Podaj zaprzeczenia zdań.
a) 4>3
b) 11=11
c) 4 \sqrt 2 \geqslant 2 \sqrt 4
d) 8451 jest liczbą podzielną przez 3
e) 3^{-1}\, = \frac{1}{3}\,
f) Warszawa jest stolicą Chin.
g) 7 jest liczbą nieujemną.

Zad.3
Uzupełnij tabelę negacji.

p -
- 1
- -

Zad.4 Które z podanych zdań mają sens logiczny?
a) 2=2
b) Polska jest krajem europejskim.
c) 6 jest małą liczbą.
d) 11-2
e) 11-2=9
f) Każdy równoległobok jest prostokątem.
g) 13 to pechowa liczba.
h) -1>-2

Zad.5
Oceń wartość logiczną zdań.
a) 15 jest liczbą złożoną i Ziemia jest planetą.
b) Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3.
c) \sqrt {25} jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną.


Rozwiązania
Zad.1
a - 0
b - 0
c - 1
d - 0
e - 1
f - 0
g - 1

Zad.2
a - 4 \leqslant 3
b - 11\not=11
c - 4 \sqrt 2 < 2 \sqrt 4
d - 8451 nie jest liczbą podzielną przez 3
e - 3^{-1}\, \not= \frac{1}{3}\,
f - Warszawa nie jest stolicą Chin.
g - 7 jest liczbą ujemną (lub: 7 nie jest liczbą nieujemną).

Zad.3

p ¬ p
0 1
1 0

Zad.4
 Zdania: a,b,e,f,h są zdaniami o sensie logicznym. Zdania: c,d,g nie mają sensu logicznego.

Zad.5
W każdym z trzech zdań znajduje się spójnik i. Zauważmy, że spójnik i występuje w koniunkcji, więc bazujemy na tabeli koniunkcji zdań.
a) p - 15 jest liczbą pierwszą, q - Ziemia jest planetą. Zdanie p jest fałszem, zaś zdanie q jest prawdą, czyli p - 0 q - 1. Teraz odczytujemy z tabeli wartości i już wiemy, że zdanie '15 jest liczbą złożoną i Ziemia jest planetą' jest fałszywe.
b) p - Kwadrat jest prostokątem, q - Suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3. p - 1 q - 0. Zdanie: 'Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3' jest fałszywe.
c) p - \sqrt {25} jest liczbą pierwszą, q - 5 jest liczbą nieujemną. p - 1 q - 1. Zdanie: \sqrt {25} jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną jest prawdziwe.


Ćwiczenia

[edytuj] Rozgrzewka

1. Podaj trzy przykłady zdań, których wartość logiczna wynosi 0 i trzy zdania, których wartość logiczna wynosi 1.

2. Dane są zdania:

p: Pada deszcz
q:Janek gra na gitarze
r: Mama Janka ogląda polskie seriale
s: Ojciec Janka czyta gazetę
Zapisz zdania:
a) s=>p
b) r=>q
c) p=>r
d) q=>p


3. Które z poniższych wyrażeń jest zdaniem?

a) Jestem w sklepie. d) Krowa pije wodę.
b) Stać na rękach. e) Nie palić!
c) Jak długo szedłeś do sklepu? f) W Polsce nie ma żółwi.

t 4. Jak myślisz, czy poprawny jest zapis:

  • (0 + 1) \iff 1 ,
  • (0 \or 1) = 1 ,
  • 1 \and (1 = 1) ?

5. Wypisz wszystkie szesnaście możliwości przypisania wartości logicznych zdaniom p, q, r, s.

[edytuj] Podstawy

6. Oceń wartość logiczną zdań:

a) W sklepie spożywczym można kupić chleb. d) Liczba 6 jest dzielnikiem liczby 24.
b) 2 + 2 = 5 lub 2 + 2 = 4. e) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru.
c) 3 = | − 3 | wtedy i tylko wtedy, gdy 4 > 1. f) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną.

7. Dane są zdania:

p: w logice 1 oznacza fałsz
q: liczba 25 dzieli się przez 5

Oceń wartość logiczną:

a) p \and q b) p \or q c) p \implies q d) p \iff q

8. Oceń wartość logiczną:

a) 1 \and (1 \or 0) d) (1 \and 1 \or 0) \and 1
b) 1 \or (0 \and 1) e) [(0 \implies \neg 1) \and 0] \iff (0 \implies 1)
c) (1 \implies 0) \and 1 f) (0 \or 1) \and (1 \implies \neg 1) \and (1 \iff 0)

9. Udowodnij I prawo De Morgana i II prawo De Morgana.

10. Pokaż, że zdanie \neg p \or q ma taką samą wartość logiczną, co zdanie p \implies q dla dowolnych wartości logicznych zdań p i q.

11. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami:

a) p \implies p d) p \and q \iff [(p \iff q) \and (p \iff 1)]
b) p \or (p \implies q) e) (p \or q) \implies (\neg p \iff \neg q)
c) p \or (q \and \neg p) f) (p \implies \neg p) \implies (\neg p \and q)

12. Jurek powiedział takie mądre zdania:

„jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz”.

Kiedy Jurek skłamie?

13. Które zdanie jest prawdziwe, które fałszywe, a które nie jest zdaniem.

a) \exist_{x \in \mathbb{R}}\ x = 2{,}5 d) \exist_{x \in \mathbb{Z_+}}\ x = \pi \or x = e
b) \forall_{x \in \mathbb{R}}\ |x| \geq 0 e) \forall_{x \in \mathbb{R}}\ \sqrt{x} \geq 0
c) \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x = 3 f) \forall_{x \in \mathbb{N}}\ \exist_{y \in \mathbb{R}}\ x + \pi = y + \sqrt{2}



Liczby i ich zbiory


Liczby i ich zbiory

[edytuj] Pojęcie zbioru

W [[../../Zaczynamy/Zbiory|poprzednim rozdziale]] tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez K, składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi | K | = 4. Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać a \in K, ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy j \not\in K, ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

[edytuj] Zawieranie i równość zbiorów

Definicja
 DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: A \subset B lub A \subseteq B . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”


Przykład.

Oznaczmy D8 jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

D8 = {1,2,4,8}
B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Ponieważ wszystkie elementy w D8 powtarzają się także w B, więc zbiór D_8 \subset B . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór D8 jest podzbiorem B. Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w B znajdują się także w D8 np. 3 \notin D_8 . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, A = B, co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
 DEFINICJA

Dwa zbiory A i B są równe, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli A \subset B ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli B \subset A ). Tak więc:

(A=B) \iff (A \subset B \and B \subset A).

Przykład.

Jeśli A=\{1,2,2\frac{1}{2},3\} i B=\{1,2,\frac{5}{2},3\} , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - A \subset B . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - B \subset A . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

[edytuj] Definiowanie zbiorów

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.


Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
    A = {1,2,3,4,5,6,7},
  • używając zapisu:
    A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \}

Zapis A=\{a: a \in \mathbb{Z} \and a>0 \and a<8 \} czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8”. Podobnie zapis X=\{x: x \in \mathbb{R} \and x \in A \} możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład X=\{ x: x \in \mathbb{R} \and x \geq 100 \} możemy zapisać jako X=\{ x: x \geq 100 \} i obydwa będą oznaczały to samo.


Przykład.

Oznaczmy D15 jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ D15 = {1,3,5,15}, więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
X=\varnothing .


Działania na zbiorach

[edytuj] Suma zbiorów

Definicja
 DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: A \cup B = \{ x: x \in A \or x \in B \} .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A \cup B=\{1,2,3,4,5\} . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

[edytuj] Iloczyn zbiorów

Definicja
 DEFINICJA

Iloczynem zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: A \cap B=\{ x: x \in A \and x \in B \} . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A \cap B=\{1\} . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

[edytuj] Różnica zbiorów

Definicja
 DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: A \backslash B = \{ x: x \in A \and x \notin B \} . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też A − B.

Set difference2.svg


Jeśli A = {1,2,5} i B = {1,3,4}, to A \backslash B=\{2,5\} . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

[edytuj] Dopełnienie zbioru

Definicja
 DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako A' lub Ac. Dopełnienie możemy zapisać tak: A'=\{ x: x \in U \and x \notin A \} .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: A'=U \backslash A. Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement (set teory, Venn diagram).PNG


Przykład.

Jeśli A = {1,2,3}, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór A'=\{4,5,6,7,8,\dots\} .

Przykład.

Jeśli A = {2,3,5,6}, a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór A' = {1,4,7,8,9}, ponieważ:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = {2,3,5,6}
A'=U \backslash A=\{1,4,7,8,9\}

[edytuj] Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  • (A \cup B)'=A' \cap B' -- I prawo De Morgana
  • (A \cap B)'=A' \cup B' -- II prawo De Morgana
  • A \cup B = B \cup A -- przemienność dodawania zbiorów
  • A \cap B = B \cap A -- przemienność mnożenia zbiorów
  • (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) -- łączność dodawania zbiorów
  • (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) -- łączność mnożenia zbiorów
  • A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  • A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}, C = {3,5,9}. Obliczyć D=A \cap (B \cup C) :

D=A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)=
=(\{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\}) \cup (\{1,2,3,4\} \cap \{3,5,9\})=
=\{1,3\} \cup \{3\}=\{1,3\}

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)


Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

[edytuj] Zbiór liczb naturalnych

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnym mamy na myśli liczby należące do zbioru \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy \mathbb{N}_+=\{1,2,3,\dots\}=\mathbb{N} \backslash \{0\} .

Definicja
 DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
 DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez \mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,13,\dots\} , a i-ta liczba pierwsza przez pi np. p3 = 5.

[edytuj] Zbiór liczb całkowitych

Definicja
 DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{Z}_+=\{1,2,3,\dots\} , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez \mathbb{Z}_-=\{\dots,-3,-2,-1\} . Łatwo zauważyć, że \mathbb{N}_+=\mathbb{Z}_+ .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez \mathbb{C} (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

[edytuj] Zbiór liczb wymiernych

Definicja
 DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego p \over q , gdzie p \in \mathbb{Z} i q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{Q}_+ , a ujemnych przez \mathbb{Q}_- .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez \mathbb{W} .

[edytuj] Zbiór liczb niewymiernych

Definicja
 DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego p \over q , dla p \in \mathbb{Z} i q \in \mathbb{Z} \backslash \{0\}

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}. Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie \mathbb{NW} .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba \pi=3,1415\cdots, czy też \sqrt{2}=1,4142\cdots .

[edytuj] Zbiór liczb rzeczywistych

Definicja
 DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez \mathbb{R}_+ , a ujemnych przez \mathbb{R}_- .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg
  • \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  • \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}
  • \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
  • \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
  • \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}


[edytuj] Rozwinięcie dziesiętne

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. \frac{1}{2}=0,5~, \frac{1}{25}=0,04~, \frac{2}{1}=2~. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie 1 \over 3 . Na pewno pamiętamy, że {1 \over 3} = 0,333\dots . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

0,333\dots =x~~/ \cdot 10
3,333\dots = 10x
3+0,333\dots=10x , ponieważ 0,333\dots=x
3 + x = 10x
3=9x~~/:9
{1 \over 3}=x

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest 0,123123123\dots . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa 41 \over 333 . Zobaczmy na rozwiązanie:

0,123123123\dots=x~~/ \cdot 1000
123,123123\dots=1000x , ponieważ 0,123123123\dots=x
123 + x = 1000x
123=999x~~/:999
{123 \over 999}=x
{41 \over 333}=x

Szukaną liczbą jest {41 \over 333} .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że 0,999\dots = 1. Oto rozwiązanie:

0,999\dots = x~~/ \cdot 10
9,99\dots = 10 x , ponieważ 0,999\dots=x

Jeżeli:

9 + 0,999\dots = 9,99\dots

to:

9 + x = 10x
9 = 9x~~/:9
1 = x

Skoro 0,999\dots = x , to:

0,999\dots = 1

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: 2,8 234 234 234\dots .

2,8 234 234 234\dots = x~~/ \cdot 10
28,234 234 234\dots = 10 x~~/ \cdot 1000
28 234,234 234\dots = 10 000 x

Jeżeli:

28 206 + 28,234 234 234\dots = 28 234,234 234\dots

to:

28206 + 10x = 10000x
28 206 = 9 990x~~/:9 990
{28 206 \over 9 990} = x
{1 567 \over 555} = x

Liczbę \frac{1}{3}=0,333\dots możemy zapisać także w formie 0,(3)~. Podobnie {41 \over 333}=0,123123123\dots możemy zapisać jako 0,(123)~, a także 4,171717\dots=4,(17)~. W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera e=2,71828182\dots, a także liczba 1,232233222\dots~. Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.



[edytuj] Oś liczbowa

Definicja
 DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Real number line.svg

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000, \pi=3.1415\dots . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.


Przedziały liczbowe

Zobaczmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1. \langle-4;7\rangle - przedział domknięty
  • Przykład 2. (-4;7) \, - przedział otwarty
  • Przykład 3. (-4;7\rangle - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4. (-4;+\infty) - przedział nieograniczony
  • Przykład 5. (-\infty;5)

[edytuj] Przedział domknięty

  • Przykład 1. Pisząc \langle-4; 7\rangle mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy \langle -50; -20\rangle, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc \langle a; b\rangle mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem domkniętym \langle a;b\rangle o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a \leqslant x \leqslant b .

\langle a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x \leqslant b \}

Przedział liczbowy \langle -4;7\rangle zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

[edytuj] Przedział otwarty

  • Przykład 2. Za pomocą ( − 4;7) oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale (a;b) znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem otwartym (a;b) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x < b.

(a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a < x < b \}

Przedział otwarty ( − 4;7) na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

[edytuj] Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty

  • Przykład 3. (-4;7\rangle oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) (a;b\rangle o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x \leqslant b .

(a;b\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: a < x \leqslant b \}


Przedział (-4;7\rangle na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) \langle a;b) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a \leqslant x < b .

\langle a;b)=\{ x \in \mathbb{R}: a \leqslant x < b \}

[edytuj] Przedziały nieograniczone

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- \infty .

  • Przykład 4. Przez (-4;+\infty) oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od +\infty ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez \langle -4;+\infty) .
Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym (a;+\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym \langle a;+\infty) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

(a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x > a \}
\langle a;+\infty)=\{ x \in \mathbb{R}: x \geqslant a \}

Przedział \langle -4;+\infty) możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5. (-\infty;5\rangle oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez (-\infty;5) będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
 DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym (-\infty;a) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym (-\infty;a\rangle nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

(-\infty;a)=\{ x \in \mathbb{R}: x < a \}
(-\infty;a\rangle=\{ x \in \mathbb{R}: x \leqslant a \}

Przedział (-\infty;5) analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

[edytuj] Działania na przedziałach

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy A \cup B , A \cap B , A \backslash B , B \backslash A , A' i B', gdzie A=\langle -2;3) , a B = (1;4)

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:

  • A \cup B=\langle -2;4)
  • A \cap B=(1;3)
  • A \backslash B=\langle -2;1\rangle
  • B \backslash A=\langle 3;4)
  • A'=(-\infty;-2) \cup \langle 3;+\infty)
  • B'=(-\infty;1\rangle \cup \langle 4;+\infty)


Wartość bezwzględna liczby

Definicja
 DEFINICJA

Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem:
|x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{ dla } x \geqslant 0 \\ -x, & \mbox{ dla } x<0 \end{matrix} \right. .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

  • | 4 | = 4
  • | − 5 | = 5
  • | 30 − 40 | = | − 10 | = 10
  • | 4 − 3 | = | 1 | = 1
  • | 3 − π | = π − 3

[edytuj] Własności

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

  • |x| \geqslant 0
  • | x | = | − x |
  • |x| = \sqrt{x^2}
  • |x \cdot y|=|x| \cdot |y|
  • \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},~y \neq 0

[edytuj] Interpretacja geometryczna

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

[edytuj] Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

  • |x|=a \iff (x=a \or x=-a)


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

| x + 4 | = 2

x+4=2 \or x+4=-2

x=-2 \or x=-6

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

| x + 4 | + | x − 2 | = 6

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartościa bezwzględną jest ujemne w przedziale (-\infty; -4) i dodatnie w przedziale (-4; +\infty). Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale (-\infty; 2) i dodatnie w przedziale (2; +\infty). Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. (-\infty; -4) gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. ( − 4;2) gdzie pierwsze jest dodatnie a drugie ujemne
  3. (2; +\infty) gdzie oba wyrażenia są dodatnie

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli x < ( − 4) trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


x \in (-\infty; -4)

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

− x − 4 − x + 2 = 6

x = − 4

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale x \in (-\infty; -4) równanie nie ma rozwiązań.


x \in [-4; 2)

x + 4 − x + 2 = 6

6 = 6

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale x \in [-4; 2) każda liczba spełnia równanie.


x \in [2; \infty)

x + 4 + x − 2 = 6

x = 2

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia należy podsumować, że:

x \in [-4; 2]

Przykład 3.

| x + 4 | − | 2x + 3 | + 3 | x − 1 | = 7


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

x+4=0 \implies x=-4

2x+3=0 \implies x=-{3 \over 2}

x-1=0 \implies x=1


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

x \in (-\infty; -4)

− x − 4 + 2x + 3 − 3x + 3 = 7

x=-{5 \over 2}

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


x \in \left[-4; -{3 \over 2}\right)

x + 4 + 2x + 3 − 3x + 3 = 7

10 = 7

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


x \in \left[-{3 \over 2} ; 1\right)

x + 4 − 2x − 3 − 3x + 3 = 7

x=-{3 \over 4}

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


x \in [1 ; \infty)

x + 4 − 2x − 3 + 3x − 3 = 7

x={9 \over 2}

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:

x \in \left\{-{3 \over 4} ; {9 \over 2}\right\}


To samo można zapisać w postaci:

x=-{3 \over 4} \or x={9 \over 2}

[edytuj] Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

  • |x| < a \iff -a < x < a \iff (x>-a \and x<a)
  • |x| \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a)
  • |x| > a \iff (x < -a \or x > a)
  • |x| \geqslant a \iff (x \leqslant -a \or x \geqslant a)

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


Przykład 4. Rozwiążmy nierówność |x+5| \leqslant 10 wykorzystując własność |x| \leqslant a \iff (x \geqslant -a \and x \leqslant a) , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

|x+5| \leqslant 10 \iff (x+5 \geqslant -10 \and x+5 \leqslant 10)
(x \geqslant -15 \and x \leqslant 5)

Odp. x \in [-15;5] .


Postać wykładnicza

Definicja
 DEFINICJA

Postać wykładnicza jest określona wzorem:
a \cdot 10^b\,


1 \leqslant a < 10


b - liczba całkowita

Postać wykładniczą (notację naukową, notację wykładniczą) stosujemy do zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb.


[edytuj] Przykłady

Liczba Postać
wykładnicza
1\, 1 \cdot 10^0
10\, 1 \cdot 10^1
300 000 000\, 3 \cdot 10^{8}
456000000000\, 4,56 \cdot 10^{11}
0,000000000000005\, 5 \cdot 10^{-15}
0,0000000034\, 3,4 \cdot 10^{-9}

[edytuj] Jak to zapisać?(intuicyjnie)

Mamy np. liczbę 5400000000000\, . Piszemy teraz 5,4 razy 10 do potęgi 12. Dlaczego 12? Ponieważ liczymy ilość cyfr od 4 włącznie do końca liczby. Przy mnożeniu przecinek przesuwa się w prawo i po doliczeniu do 12 wychodzi liczba 5400000000000. Czyli liczba 5400000000000\, to jest to samo co 5,4 \cdot 10^{12} \,

Drugi przykład - liczba 0,0000004\, . Robimy podobnie jak w powyższym przykładzie. Zapisujemy 4 razy 10 do potęgi -7, ponieważ od 4 do ostatniego przecinka przed ostatnim zerem jest 7 cyfr. Teraz jednak zapisujemy -7, ponieważ jest to 'mała liczba'. Czyli liczba 0.0000004\, jest tym samym co 4 \cdot 10^{-7}\,

[edytuj] Przybliżenia liczbowe

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba 2 \over 3 wynosi 0,66666~66666\dots , w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy \pi=3,14159~26535~89793~23846\dots . Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy \pi \approx 3,14 . Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład \pi \approx 3,1415 , a z nadmiarem \pi \approx 3,1416 .

[edytuj] Błąd przybliżenia

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy przybliżenie tej liczby od naszej liczby: x − x0, gdzie x jest przybliżeniem liczby x0.

Przykład 4. Dla liczby 0,334, przybliżeniem tej liczby może być 0,36. Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił 0,36 − 0,334 = 0,026.

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z nadmiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z niedomiarem.

[edytuj] Zaokrąglanie liczb

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

  1. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
  2. natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 5. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.


[edytuj] Obliczenia procentowe

Definicja
 DEFINICJA

Jeden procent to setna część całości, jest to inny zapis ułamka o mianowniku 100.

Zobaczymy teraz kilka przykładów.

Przykład 1. Oblicz 17% liczby 50.

17\% \cdot 50=\frac{17}{100} \cdot 50=\frac{17}{2}


Przykład 2. Jaki procentem liczby 25 jest liczba 7?

\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=28 \%


Przykład 3. Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie powiększono o 50%. Po tych dwóch podwyżkach cena towaru wynosiła 225 zł. Ile wynosiła pierwotna cena towaru?

Oznaczmy przez x pierwotną cenę towaru.
Po pierwszej podwyżce cena towaru wynosiła: \frac{1}{5}x+x=\frac{6}{5}x
Po drugiej podwyżce cena towaru wynosiła: \frac{1}{2}\left(\frac{6}{5}x\right)+\frac{6}{5}x=\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}x=\frac{9}{5}x
Czyli \frac{9}{5}x=225
Otrzymujemy x = 125



[edytuj] Podsumowanie

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • prawa rachunku zdań
    • czym jest zbiór, a także wyznaczać jego sumę, iloczyn i różnicę
    • czym jest zbiór liczb rzeczywistych, a także znać jego podzbiory
    • prawa dotyczące działań arytmetycznych
    • czym jest potęga o wykładniku wymiernym, a także znać prawa działań na potęgach
    • czym jest oś liczbowa
    • czym jest przedział, zaznaczać go na osi i wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów
    • definicję wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną
    • przybliżać i zaokrąglać liczby, a także wiedzieć czym jest błąd przybliżenia
    • czym jest procent, a także jak wykonuje się obliczenia procentowe
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • wyznaczać dopełnienie zbioru i przedziałów
    • stosować prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeń
    • rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną


Ćwiczenia

[edytuj] Zadania dodatkowe

1*. Pokaż, że "zbiór wszystkich zbiorów" nie tworzy zbioru. Wskazówka: Niech Z - "zbiór wszystkich zbiorów" będzie zbiorem. Rozważ jego podzbiór (jest on zbiorem) W=\{x\in Z: x\not\in W\}




Funkcje i ich własności


[edytuj] Funkcje i ich własności

[edytuj] Pojęcie funkcji

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

  • Przykład 1
    Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak f\colon S_{angielski} \to S_{polski} , gdzie Sangielski to zbiór angielskich słówek i analogicznie Spolski - zbiór polskich słówek.
  • Przykład 2
    Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.
  • Przykład 3
    Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru Sangielski(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z Spolski(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

Definicja
 DEFINICJA

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez f \colon X \to Y .

Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną (obrazem).

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest Sangielski, a przeciwdziedziną Spolski.

Definicja
 DEFINICJA

Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych – X=\mathbb{Z} , a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych – Y=\mathbb{Z} .

f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}

Przykład 5.

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest X = { − 1,0,1,2,3} a przeciwdziedziną jest zbiór Y = {0,1,3,4,5,6,9}. Zbiorem wartości tej funkcji jest ZWf = {0,1,4,9}, są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotem pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że: f( − 1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4 i f(3) = 9. Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.


Przykład 6.

Graf funkcji 1.png

Dziedziną funkcji jest zbiór X = {1,2,3,4,5}, a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości ZW tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.


Przykład 5.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf niebędący funkcją.png

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.


[edytuj] Sposoby określania funkcji

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

  • opisu słownego
  • tabelki
  • wzoru
  • grafu
  • zbioru par uporządkowanych
  • wykresu

Przykład 1. Mamy daną funkcję określoną opisem słownym: „Dane są zbiory X = { − 1,0,1,2,3} i Y = {0,1,4,9}, wówczas każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy kwadrat tej liczby.”

  • funkcję tę możemy przedstawić w postaci tabelki:
x -1 0 1 2 3
y 1 0 1 4 9
  • za pomocą wzoru:
    y=x^2 \mbox{ dla } x \in \{-1,0,1,2,3\}
    używa się także zapisu f(x) = x2, a także f \colon x \mapsto x^2
  • używając do tego grafu

Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png

  • zbioru par uporządkowanych:
    {( − 1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)}
  • wykresu:

Wykres y=x^2 (x=-1,0,1,2,3).png

Przykład 2. Opiszmy funkcję y = \frac{2}{5}x-1, gdzie x \in \mathbb{R} za pomocą różnych metod.

  • Opis słowny:
    Każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy różnicę iloczynu tej liczby z \frac{2}{5} i jedynki.
  • Za pomocą wzoru:
    Wzór już mamy w przykładzie: y = \frac{2}{5}x-1.
    Możemy także zapisać: g(x) = \frac{2}{5}x - 1, czy też g \colon x \mapsto \frac{2}{5}x - 1.
  • W postaci tabeli:
    Ponieważ w tabelce nie możemy umieścić wszystkich liczb, możemy co najwyżej wybrać niektóre z nich. Tabelka może wyglądać tak:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -2.2 -1.8 -1.4 -1 -0.6 -0.2 0.2
  • Rysując wykres funkcji

Wykres y=0.4x-1.png

  • Używając zbioru par uporządkowanych:
    Nie możemy wypisać wszystkich uporządkowanych par. Podobnie jak to było w przypadku tabelki wypiszemy tylko niektóre:
    ..., ( − 2, − 1.8), ..., ( − 1, − 1.4), ..., (0, − 1), ..., (1, − 0.6), ..., (2, − 0.2), ...
  • Raczej ciężko by było przedstawić tę funkcję w postaci grafu, musielibyśmy podobnie się „nakropkować”, jak w poprzednim przykładzie, dlatego ten sposób pominiemy.


Dziedzina funkcji

[edytuj] Własności funkcji

Dla każdej funkcji możemy podać jej własności. Są nimi:

  • dziedzina funkcji
  • zbiór wartości funkcji
  • miejsca zerowe funkcji
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia
  • zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna
  • monotoniczność
  • najmniejsza i największa wartość funkcji
  • różnowartościowość
  • parzystość
  • nieparzystość
  • okresowość

[edytuj] Dziedzina funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Dziedziną funkcji nazywamy zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja ta jest określona.

Dziedzinę funkcji f najczęściej oznaczamy przez Df.

[edytuj] Wyznaczanie dziedziny funkcji

Podczas wyznaczania dziedziny funkcji musimy pamiętać, że:

  • dzielenie przez zero jest niewykonalne, w przypadku ułamka mianownik musi być różny od 0,
  • liczba podpierwiastkowa nie może być ujemna
  • liczba podpierwiastkowa w mianowniku pewnego ułamka musi być liczbą dodatnią

Kiedy wyznaczamy dziedzinę pewnej funkcji, staramy się patrzeć prościej na to, co widzimy. Czyli kiedy zobaczymy taki prosty wzór:

f(x) = \frac{x^2}{x+2}

Nasz tok rozumowania będzie wyglądał tak:

  1. Jest to po prostu ułamek \frac{a}{b}, dlatego mianownik (czyli b) ma być różne od zera
  2. Zauważamy, że a = x2. Zastanawiamy się, czy jest tu jakiś ułamek lub pierwiastek, lecz na szczęście nie ma. Zatem w tym przypadku x \in \mathbb{R}
  3. Patrzymy na mianownik. Mamy b = x + 2. Niestety, ponieważ jest to mianownik (pamiętamy „nigdy cholero nie dziel przez zero!”), musimy założyć, że b \neq 0, czyli x+2 \neq 0 \implies x \neq -2.
  4. Na koniec podsumowujemy wszystko. Czyli odrzucamy wszystkie x, które zostały odrzucone w którymś punkcie. Czyli otrzymujemy x \neq -2, zatem dziedziną będzie D_f = R \backslash \{-2\} .

Spójrzmy teraz na bardziej skomplikowany

f(x) = \frac{\sqrt{x-3}^2}{\sqrt{x}(x-4)(x-3)}

I znowu banał...

  1. Mamy ułamek \frac{a}{b}, gdzie a może być dowolne, a b różne od zera
  2. Patrzymy na licznik a. I znowu mamy a = c2. Ponieważ kwadraty nas nie interesują, nie wpływają na dziedzinę funkcji patrzymy na c:
    • No i mamy c = \sqrt{x-3}. Wiemy, że liczba podpierwiastkowa (w tym przypadku x − 3) musi być nieujemna, więc rozwiązujemy nierówność x x - 3 \geq 0 i po prostym przekształceniu otrzymujemy x \geq 3
  3. Teraz patrzymy na mianownik b = d \cdot e \cdot f, który ma być różny od 0. Wykorzystujemy własności mówiącą, że iloczyn pewnych liczb wynosi zero, gdy któraś z tych liczb jest równa 0. Czyli w skrócie d \cdot e \cdot f = 0 \iff d = 0 \or e=0 \or f=0. I rozwiązujemy, wykluczając te liczby:
    • d = 0 \implies \sqrt{x}=0 \implies x=0
    • e = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3
    • f =0 \implies x-4 = 0 \implies x=4
    Zatem x \neq 0 , x \neq 3 , x \neq 4. Ponadto, aby wyrażenie \sqrt{x} miało sens, x nie może być liczbą ujemną, zatem x \geq 0.
  4. I podsumowujemy: x \geq 3, x \geq 0, x \neq 0 , x \neq 3 , x \neq 4. Zatem D_f = (3;+\infty) \backslash \{4\} .

Suma przedziałów (1).png

Przykład 1. Określmy dziedzinę funkcji f(x) = \frac{1}{x} . Wyrażenie \frac{1}{x} ma sens liczbowy jedynie wtedy, gdy x \neq 0 , ponieważ gdyby x było równe zeru musielibyśmy wykonać dzielenie przez 0, a wszyscy dobrze wiemy, że nie wolno dzielić przez 0 (1:0 nie ma sensu liczbowego). Wobec czego możemy wywnioskować, że D_f=\mathbb{R} \backslash \{0\} .

Przykład 2. f(x)=\frac{3x+2}{(x-1)(x-2)} Aby określić dziedzinę musimy wyznaczyć te wartości x, dla których mianownik jest różny od zera, a następnie wykluczyć te liczby z dziedziny:

(x − 1)(x − 2) = 0
z własności iloczynu wiemy, że iloczyn ma wartość zero, jeśli którykolwiek z czynników ma wartości zero. Wobec czego:
x − 1 = 0 lub x − 2 = 0
x = 1 lub x = 2

Czyli D_f=\mathbb{R} \backslash \{1,2\} .

Przykład 3. f(x)=\frac{2x+2}{\sqrt{x-2}} Ponieważ liczba podpierwiastkowa musi być liczbą nieujemną, ponadto mianownik nie może być równy zeru, więc liczba podpierwiastkowa musi być większa od zera. Czyli x-2>0 \Rightarrow x>2, a wtedy D_f=(2;+\infty) .

Przykład 4. f(x)=\frac{1}{x^2+4} Mianownik musi być różny od zera, wobec czego x^2+4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4 . Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (czyli zawsze x^2 \geq 0), więc x2 nigdy nie będzie równy liczbie -4. Otrzymujemy D_f=\mathbb{R} .


[edytuj] Zbiór wartości funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór tych elementów zbioru Y, którym zostały przyporządkowane elementy ze zbioru X. Zbiór wartości funkcji f będziemy oznaczać przez ZWf.

ZW_f=\left\{ y \colon \exist_{x \in D_f}\ y=f(x) \right\}

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Przy wyznaczaniu zbioru wartości funkcji niejednokrotnie warto wykonać szkic funkcji. To prawie nic nie kosztuje, ale możemy na tym wiele zyskać. Poza tym osoba sprawdzająca rozwiązanie naszego zadania może uznać rysunek jako pewnego rodzaju dowód. Dlatego w większości podawanych przez nas przykładów będziemy rysować wykres funkcji, który w znacznej mierze może nam ułatwić znalezienie zbioru wartości funkcji, a sprawdzającym być może umili życie. Oczywiście nie należy popadać w skrajność, czasami spokojnie można pominąć rysunek, gdy rozwiązanie widać już na pierwszy rzut oka.

Zobaczmy na kilka przykładów:

Przykład 1. Mamy funkcję f(x) = 10. Niezależnie, jakibyśmy wybrali x i tak f(x) będzie równe 10. Dlatego też ZWf = {10}.

Wykres y=10.png

Przykład 2. Mamy funkcję f(x) = x2. Wiemy, że funkcja ta przyjmuje wartości nieujemne, ponadto dla każdego y \geq 0 znajdziemy taki x, że f(x) = y np. gdy weźmiemy x=\sqrt{y} , wtedy x^2=(\sqrt{y})^2=y . Tak więc ZW_f=[0;+\infty) . Nasze rozumowanie potwierdza rysunek.

Wykres y=x^2.png

Przykład 3. Wyznaczmy zbiór wartości funkcji y = 2 - \sqrt{2-2x} .

Pomyślmy... pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby nigdy nie będzie ujemny, co najwyżej równy zero. Zatem najmniejsza wartość \sqrt{a} wynosi zero, gdzie a = 2 − 2x. Potem już dla większych a pierwiastek także staje się coraz większy np. dla \sqrt{400}=20 < \sqrt{10000}=100. Zatem \sqrt{a} dojdzie bardzo wysoko, bo aż do +\infty, czyli ZW_{\sqrt{x}} = [0;+\infty). Ponadto od liczby 2 odejmujemy ten pierwiastek, zatem wszystko nam pójdzie „do góry nogami” przez znak „-” (czyli otrzymamy (-\infty;0]), a następnie pójdzie o dwa „do góry” otrzymując (-\infty;2]. Zatem ZW = (-\infty;2].

Jednak nie zawsze dopadnie nas natchnienie, wtedy musimy to zrobić w standardowy sposób:

  • Wyznaczamy dziedzinę. Liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna, zatem otrzymujemy nierówność 2 - 2x \geq 0 . Wykonując kilka przekształceń otrzymujemy x \leq 1.
  • Rysujemy wykres funkcji uwzględniając dziedzinę. Sporządźmy w tym celu najpierw tabelkę:
x -2 -1 0 1
y 2-\sqrt{6} 0 2-\sqrt{2} 2

Zatem wykres będzie podobny do tego:

Wykres y=2-sqrt(2-2x).png

  • otrzymujemy, że ZW = (-\infty;2]


Miejsca zerowe funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli f(x) = 0].

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

  • Przykład 1

Funkcja f(x) = x + 2 ma jedno miejsce zerowe dla x = − 2. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie f(x) = 0:

x + 2 = 0
x = − 2

Wykres y=x+2.png

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

  • Przykład 2

Funkcja f(x) = x + 3, gdzie D_f=(-2;+\infty) nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie: Wykres y=x+3 (x=(-2;+oo)).png

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

\begin{cases} x+3=0 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff \begin{cases} x=-3 \\ x \in (-2;+\infty) \end{cases} \iff x \in \emptyset


  • Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = 2(x − 2)(x + 3).

f(x) = 0 \iff 2(x - 2)(x + 3) = 0
możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy
(x-2)(x+3) = 0 \iff (x - 2 = 0 \or x + 3 = 0) \iff (x = 2 \or x=-3)

Zatem f(x) = 0 \iff x \in \{-3, 2\}.


  • Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których f(x) = 0, a f(x) = 9 − x2. Czyli:

f(x) = 0 \iff 9 - x^2=0
x2 − 9 = 0
Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia (x − a)(x + a) = x2 − a2 otrzymujemy:
(x − 3)(x + 3) = 0, czyli x − 3 = 0 lub x + 3 = 0.

Zatem f(x) = 0, gdy x = 3 lub x = − 3.

  • Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f(x) = \left|x+1\right| + |x-3| - 4.

Dla x < − 1 (czyli x + 1 < 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = − (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = − 2x − 2. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x < − 1}.

Dla x > 3 (czyli x − 3 > 0), funkcję f można wyrażać jako f(x) = (x + 1) + (x − 3) − 4 = 2x − 6. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze {x:x > 3}.

Dla -1\le x \le 3 (czyli x+1\ge 0 i x-3 \le 0. funkcja f(x) = (x + 1) + ( − (x − 3)) − 4 = 0 jest stała z wartością 0.

Zatem f(x) = 0, gdy -1\le x \le 3 .


[edytuj] Monotoniczność funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Funkcja f\colon X \to Y jest rosnąca w zbiorze A \subset X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2 należących do zbioru A i x1 < x2 wynika f(x1) < f(x2).

x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze A \subset X , tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

f(x_1) \leq f(x_2) , dla x1 < x2

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

Definicja
 DEFINICJA

Funkcja f\colon X \to Y jest malejąca w zbiorze A \subset X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2 należących do zbioru A i x1 < x2 wynika f(x1) > f(x2).

x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze A \subset X . Mamy wtedy:

f(x_1) \geq f(x_2) , dla x1 < x2

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.


Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji y = x2.

Wykres y=x^2.png

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

  • jest rosnąca dla x > 0
  • jest malejąca dla x < 0


Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla x \in [-4; 4] (czyli Df = [ − 4;4]).

Wykres funkcji 1.png

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

  • rośnie w przedziałach [ − 4; − 2) oraz ( − 1;2)
  • maleje w przedziałach ( − 2; − 1) oraz (2;4)


Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa f(x) = \frac{4-x}{2} . Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

Wykres y=(4-x) div 2.png

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich x \in \mathbb{R} .

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

Funkcja niemalejąca.png

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x f(x) \geq f(x_0) , gdzie x0 jest dowolną liczbą mniejszą od x.


Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

Funkcja nierosnąca.png

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja f(x) = 2x + 3 jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego x1 < x2 zachodzi f(x1) < f(x2).

Wykresfunkcji.jpg

Weźmy więc dowolne x1 < x2 i rozwiązmy nierówność f(x1) < f(x2).

f(x_{1}) = 2 \cdot x_{1} + 3 = 2x_{1} + 3

f(x_{2}) = 2 \cdot x_{2} + 3 = 2x_{2} + 3

2x1 + 3 < 2x2 + 3

2x1 + 3 − 2x2 − 3 < 0

2x1 − 2x2 < 0

2 \cdot (x_{1} - x_{2}) < 0

Z założenia mamy, że x1 < x2, czyli x1 − x2 < 0. A co za tym idzie - wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) przez dowolną liczbę ujemną jest ujemny. Czyli nierówność f(x1) < f(x2) spełniona jest zawsze. Co należało dowieść.


[edytuj] Najmniejsza i największa wartość funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość największą y0 = f(x0) dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \leq f(x_0) .
Definicja
 DEFINICJA

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość najmniejszą y0 = f(x0) dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \geq f(x_0) .

Przykład 1. Funkcja y = x2 przyjmuje wartość najmniejszą y0 = 0 (dla x0 = 0).

Wykres y=x^2.png

Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np. A = [1\frac{1}{2};2] możemy taką znaleźć. W przedziale A będzie to ymax = 4 dla x = 2, natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie y_{min} = \left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}, dla x = 1\frac{1}{2} .

Przykład 2.

Największa wartości funkcji y = 2-\sqrt{2-2x} wynosi y0 = 2 dla x0 = 1

Wykres y=2-sqrt(2-2x).png

Wartością najmniejszą w przedziale B = [ − 2;1) będzie y_0 = f(-2) = 2 - \sqrt{2-2\cdot(-2)} = 2 - \sqrt{6} . Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale B i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do 1.

Przykład 3.

Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla x \in [-4;4] :

Wykres funkcji 1.png

Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą ymax = 3 dla x1 = 2. Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest ymin = − 3 dla x2 = − 4.

Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie „górki” i jedną „dolinę” położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest położone najwyżej, natomiast „dolina” miejsce, które jest położone najniżej. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji. Formalnie ekstremum funkcji definiuje się jako punkt, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą.

Przykład 4.

Funkcja y = 10 posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest ymin = 10 dla x \in \mathbb{R} . Wartością najwyższą jest także ymax = 10 i także dla x \in \mathbb{R} .

Wykres y=10.png

W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.

Przykład 5.

Wykres y=0.4x-1.png

Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąć sobie przedział A = [0;5], wówczas wartością największą będzie 1 (dla x = 5), a najmniejszą -1 (dla x = 0).


Inne własności funkcji

Dla funkcji możemy określić zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest dodatnia, a także zbiór tych argumentów, dla których funkcja jest ujemna.

[edytuj] Różnowartościowość funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Funkcja f: X \rightarrow Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

\forall_{x_1, x_2 \in X \and x_1 \neq x_2} f(x_1) \neq f(x_2)

Przykład 1. Funkcja f(x) = x jest różnowartościowa, co łatwo zauważyć na wykresie. Żadne dwa punkty należące do wykresu, nie są na tej samej wysokości (nie mają takiej samej współrzędnej y).

Wykres y=x.png

Różnowartościowość tej funkcji wynika także z tego, że jest to funkcja rosnąca.

Przykład 2. Poniższa funkcja także jest różnowartościowa.

Funkcja różnowartościowa.png

Zauważmy, że jeśli funkcja jest rosnąca lub malejąca, to jest także różnowartościowa.

[edytuj] Parzystość i nieparzystość funkcji

Definicja
 DEFINICJA

Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi f(x) = f( − x).

\forall x \in D_f: -x \in D_f \and f(x)=f(-x)

Przykład 1. Funkcja f(x) = x2 jest parzysta, ponieważ f(x) = x2 = ( − 1)2x2 = ( − x)2 = f( − x) i x \in D_f \mbox{ oraz } -x \in D_f , zatem spełnia warunki określone w definicji.

Zobaczmy teraz na wykres:

Wykres y=x^2.png

Zauważmy, że funkcja jest parzysta jeśli jest symetryczna względem osi OY.

Przykład 2. Funkcja f(x) = | x | jest parzysta, ze względu na to, że zachodzi f(x) = | x | = | − x | = f( − x). Poza tym widzimy symetrię na wykresie funkcji.

Wykres y=abs(x).png

Definicja
 DEFINICJA

Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczba przeciwna -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi równość − f(x) = f( − x).

\forall x \in D_f: -x \in D_f \and -f(x)=f(-x)

Funkcja nieparzysta jest symetryczna względem punktu (0,0).


Przykład 3. Funkcja f(x) = 3x jest nieparzysta, ponieważ − f(x) = − 3x = 3( − x) = f( − x)

Wykres y=3x.png

Przykład 4. Funkcja f(x) = x3 jest nieparzysta.

Wykres y=x^3.png

Zachodzi -f(x) = -x^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = f(-x) .

[edytuj] Okresowość

Definicja
 DEFINICJA

Funkcję f nazywamy okresową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji, liczby x+T oraz x-T również należą do dziedziny tej funkcji oraz zachodzi f(x + T) = f(x). Liczba T nazywana jest okresem tej funkcji, a najmniejsza istniejąca taka liczba to okres podstawowy.

\exist_{T \neq 0} \forall_{x \in D_f} (x+T) \in D_f \and (x-T) \in D_f \and\ f(x+T)=f(x)

Przykład 5.

Poniższa funkcja jest okresowa:

Funkcja okresowa.png

Okres podstawowy tej funkcji wynosi 2, ponieważ f(x) = f(x + 2).


Przykład 6.

Funkcja y = sinx jest funkcją okresową. Okres tej funkcji wynosi 2π.

Wykres sin w radianach.png


Przekształcanie wykresów funkcji

Do podstawowych przekształceń wykresu funkcji y = f(x) zaliczamy:

  • symetrię względem osi OX - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(x)
  • symetrię względem osi OY - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(-x)
  • symetrię względem początku układu współrzędnych - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = - f(-x)
  • translacja (przesunięcie) o wektor \vec u = [a,b] - otrzymujemy wtedy wykres funkcji y = f(x - a) + b
  • nałożenie wartości bezwzględnej
  • zmiana skali

[edytuj] Symetria względem osi OX

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OX, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x i y'=-y=-f(x)=-f(x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OX będzie miał wzór y=-f(x).

Wykres y=f(x), y=-f(x).png

[edytuj] Symetria względem osi OY

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem osi OY, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=y=f(x)=f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem osi OY będzie miał wzór y=f(-x).

Wykres y=f(x), y=f(-x).png

[edytuj] Symetria względem środka układu współrzędnych

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=-x a y'=-y. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez symetrię względem początku układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=-x i y'=-y=-f(x)=-f(-x'), Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez symetrię względem środka układu współrzędnych będzie miał wzór y=-f(-x).

Wykres y=f(x), y=-f(-x).png

[edytuj] Translacja

Jeśli punkt P(x,y) przekształcimy przez translację o wektor \vec u=[a,b] to otrzymamy punkt P'(x',y'), w którym x'=x+a a y'=y+b. Jeśli daną funkcję przekształcimy przez translację o wektor \vec u=[a,b] , to dla dowolnego punktu P(x,y) należącego do wykresu funkcji y=f(x) po przekształceniu otrzymamy punkt P'(x',y'), gdzie x'=x+a i y'=y+b=f(x)+b=f(x'-a)+b, Zatem wykres funkcji przekształconej poprzez translację o wektor \vec u=[a,b] będzie miał wzór y=f(x-a)+b.

Wykres y=f(x), y=f(x-a)+b.png

[edytuj] Nałożenie wartości bezwzględnej

Wykres funkcji y = f( | x | ) tworzymy poprzez usunięcie funkcji po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony względem tej osi.

Wykres funkcji y = | f(x) | tworzymy poprzez przełożenie części funkcji znajdującej się pod osią OX nad nią.

Absolute.png


[edytuj] Podsumowanie

Funkcja to sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Funkcję możemy przedstawić za pomocą:

  • grafu
  • wykresu
  • wzoru
  • tabelki
  • opisu słownego

Dziedzina funkcji jest to zbiór wszystkich argumentów zmiennej (np. x), dla której funkcja ma sens.

Wyznaczając dziedzinę należy pamiętać o tym, że: w mianowniku nie może być 0, a pod pierwiastkiem nie może znajdować się liczba ujemna.

Zbiór wartości możemy także rozumieć jako zbiór wszystkich liczb (ściślej elementów zbioru Y), które zostały wyznaczone przez zrzutowanie jakiejś funkcji np. f na oś Y.

Miejsce zerowe funkcji jest to punkt przecięcia wykresu z osią X.


Funkcja rosnąca

Funkcję f\colon X \to R nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów x_1\, , x_2\, \in X\, zachodzi:

x_1 < x_2 \implies f(x_1)<f(x_2)

Funkcja malejąca

Funkcję f\colon X \to R nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów x_1\, , x_2\, \in X\, zachodzi:

x_1 < x_2 \implies f(x_1)>f(x_2)

Funkcja stała

Funkcja jest stała, gdy dla każdego x: f(x)=c\,


Funkcja niemalejąca

Dla dowolnych argumentów x_1 , x_2\, :

x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leqslant(x_2)\,

Funkcja nierosnąca

Dla dowolnych argumentów x_1 , x_2\, :

x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geqslant(x_2)\,


Największa wartość funkcji

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość największą y_0=f(x_0)\, dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \leq f(x_0)

Najmniejsza wartość funkcji

Funkcja f: X \rightarrow Y przyjmuje wartość najmniejszą y_0=f(x_0)\, dla pewnego x_0 \in X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x \in X zachodzi nierówność f(x) \geq f(x_0)


Inne własności funkcji

  • funkcja różnowartościowa
  • funkcja parzysta
  • funkcja nieparzysta
  • okresowa

Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji y=f(x)\,

  • przesuwanie wykresu o wektor (translacja) \vec u = [p,q] wzór - y = f(x-p)+q\,
  • symetria względem osi OX - wzór y = -f(x)\,
  • symetria względem osi OY - wzór y = f(-x)\,
  • symetria względem układu współrzędnych - wzór y = -f(-x)\,
  • nałożenie wartości bezwględnej
  • zmiana skali

[edytuj] Powinieneś umieć

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • czym jest funkcja, a także wykres funkcji
    • wyznaczyć dziedzinę funkcji
    • podać jaki jest zbiór wartości funkcji
    • wyznaczyć miejsce zerowe funkcji
    • wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale
    • podać monotoniczność funkcji
    • przesunąć wykres funkcji (translacja)
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • czym jest funkcja różnowartościowa
    • funkcja parzysta, nieparzysta i okresowa
    • przekształcać wykres funkcji przez zmianę skali i przez symetrię


1.Wykresem funkcji może być:

a.odcinek
b.punkt
c.prosta prostopadła do osi OX.

Odpowiedź: a -> TAK b -> TAK; c -> NIE.

2.Dana jest funkcja f(x)=(x − 2) / x − 2. Wobec tego:

a.dziedziną funkcji f jest przedział <2, +nieskończoność),
b.miejscem zerowym funkcji f jest lczba 2,
c.istnieje argument, dla którego wartość funkcji f wynosi 0.

Odpowiedź: a -> NIE; b -> NIE; c -> NIE. Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Ćwiczenia


Funkcja liniowa


[edytuj] Funkcja liniowa

[edytuj] Wstęp

Co zawiera dział
Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa oraz jej wykres. Jak się rozwiązuje równania liniowe. Jak rozwiązać nierówność. Przypadek dwóch niewiadomych w równości liniowej. Układ równań i jakimi metodami można go rozwiązać. Zastosowanie macierzy w rozwiązywaniu układu równań. Jak poradzić sobie z parametrem w równaniu. W zadaniach pojawią się przykłady zadań tekstowych i sposób ich zapisu w postaci funkcji liniowej.


Zakres programowy

a) wykres funkcji liniowej,
b) wzór funkcji liniowej pozyskany z zadanych własności,
c) rozwiązanie równania i nierówności liniowej z jedną niewiadomą,
d) określenie liczby rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą,
e) rozwiązanie zadań tekstowych prowadzących do równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomą,
f) rozwiązanie algebraicznie i graficznie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi,
g) rozwiązanie zadania tekstowego prowadzącego do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi


Z zakresu programowego odeszło:

h) (R) rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi,
i) (R) rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z parametrem (w tym określenie liczby rozwiązań układu w zależności od parametru)

[edytuj] Informacje bazowe

Definicja

Definicja
 DEFINICJA

Funkcję \mathbf{f(x)=ax+b}\ , gdzie a,b,x \in \mathbb{R} nazywamy funkcją liniową.

Funkcja liniowa f, zapis:

f(x)=ax+b \,  lub  y=ax+b\,   lub też   f\!\!: y=ax+b\,

gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym, b wyrazem stałym.


Przykładowe funkcje liniowe

  • y = -4x+1 \,
  • y = x \,
  • f(x)=6 \,   - funkcja stała
  • f(x)=\frac{3}{2}x
  • f(x)=5x+7 \,


Przykłady
Podać wzór funkcji liniowej na podstawie własności

  • Funkcja f przecina oś OX w punkcie -3, czyli (-3,0), natomiast oś OY w punkcie 3, czyli (0, 3). Znajdź wzór tej funkcji.
y = ax+b\,,
Za x i y podstawiamy współrzędne podanych punktów (x,y):
0 = -3a + b \qquad \; 3 = 0\cdot a + b,
Z ostatniego równania 3 = b otrzymujemy b, podstawiamy do poprzedniego otrzymując 0 = − 3a + 3, obliczamy a.
Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji:  f(x)=x+3\,


[edytuj] Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć współrzędne dowolnych dwóch punktów tej funkcji i poprowadzić przez nie prostą.

Linear functions2.PNG

Prosta, która jest wykresem funkcji y=ax+b, nachylona jest do osi OX pod takim kątem, że

a = tg \alpha \qquad \alpha \in (0, \tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2}, \pi)
gdzie: a to współczynnik przy x, α to kąt między prostą a osią OX

Kąt nachylenia prostej.PNG

Prosta przecina oś OY w punkcie (0,b) oraz oś OX w punkcie (-b/a, 0) - można to łatwo wyznaczyć z jej wzoru, y=ax+b (podstawiając 0 za y lub za x).

Twierdzenie
 TWIERDZENIE

Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych o współczynniku kierunkowym a.

Wykresem funkcji liniowej f(x) = ax + b jest prosta przechodząca przez punkt (0;b) o współczynniku kierunkowym a.

[edytuj] Własności funkcji liniowej

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R.

Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z  x_0= -\tfrac{b}{a}

Monotoniczność funkcji liniowej

  • a>0\, funkcja rosnąca
  • a<0\, funkcja malejąca
  • a=0\, funkcja stała

Przykład
Funkcja y = − 3x + 1 jest malejąca.

Parzystość
Funkcja jest parzysta, gdy a=0\, (funkcja stała).
Funkcja jest nieparzysta, gdy b=0\, (przechodzi przez środek układu wsp.).

Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeśli a\neq 0, w przeciwnym wypadku nie jest różnowartościowa (jest stała i zawsze przyjmuje tę samą wartość).

Okresowość
a\neq 0\, funkcja nie jest okresowa.
a=0\, funkcja jest okresowa (stała), jej okresem jest każda liczba R.

Wykresy dwóch funkcji
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być:

  • równoległe, gdy a1 = a2 - oba współczynniki są równe
  • prostopadłe, gdy a_1 = \tfrac{-1}{a_2}

Przykład
Wykresy funkcji: f(x) = 3x + 1 i g(x) = 3x − 7 są liniami równoległymi do siebie.


[edytuj] Równanie liniowe z jedną niewiadomą

Przykładem równania liniowego może być:

  • 2x + 3 = 5
  • -x + 2 = 0
  • \tfrac{7x + 2}{2} = 6

Rozwiązaniem równania jest liczba x, która spełnia to równanie.

Definicja
 DEFINICJA

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci ax+b=0\, ,  gdzie x jest niewiadomą.

Aby rozwiązać równanie liniowe, czyli aby znaleźć liczbę x, przeważnie trzeba wykonać następujące czynności:

  • przenieść niewiadomą na jedną stronę równania, pozostawiając liczby (bądź parametry) po drugiej stronie (przy przenoszeniu zmieniamy znak),
  • wymnożyć lub podzielić obustronnie przez wartość tak, aby pozbyć się liczby stojącej przy niewiadomej.

Wyjaśnienie

  • Aby rozwiązać równanie  2x+3=5\,,  wykonamy kolejne kroki wymienione powyżej.
Po lewej stronie równania zostawimy niewiadomą, przenosząc liczbę 3 na prawą stronę. Wystarczy zapisać ją po drugiej stronie ze zmienionym znakiem.
2x = 5-3\,  czyli  2x = 2\,
Aby z wyrażenia 2x uzyskać x, dzielimy przez 2. Zawsze dzielimy obie strony, czyli
2x = 2 \quad / :2\,
x = 1\,,   tak więc liczba 1 jest rozwiązaniem.

Przy przekształcaniu równania należy pamiętać o tym, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą, należy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

  • jeśli   2x + 5 \;=\; 6 ,  to   2x \;=\; 6 - 5 ,
  • jeśli   x - 4 \;=\; 2 ,   to   x \;=\; 2 + 4 .

Jeśli chcemy wymnożyć lub podzielić równanie przez pewną liczbę, wówczas zapisujemy to dodając na końcu np. " /\cdot 4 " lub np. " \,/: 3 ".

  • \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right. - obustronnie mnożymy przez 2
  • 3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right. - obustronnie dzielimy przez 3
  • \tfrac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \tfrac{4}{3}\right. - obustronnie mnożymy przez ułamek \tfrac{4}{3}.

Przykłady

  • Równanie -x + 2 = 0\,
-x \,=\,0 -2
-x = -2\ \; /{\cdot}\ (-1)
x\,=\,2
  • Równanie \tfrac{7x + 2}{2} = 6
Pozbywamy się ułamka, mnożąc przez wartość mianownika.
\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.
7x+2\,=\,12
7x = 10\ \; /{:}\ 7
x = \tfrac{10}{7}

Rozwiązania
Jeżeli nie są podane wartości współczynników a i b, wówczas możemy postawić następujące założenia:

  • jeśli a \neq 0, to istnieje jedno rozwiązanie x = -\frac{b}{a},
  • jeśli a=0 \;\mbox{i}\; b=0\,, to równanie przyjmie postać 0=0\,. Jest to równanie tożsamościowe i dla każdego x jest prawdą (czyli rozwiązaniem jest każda liczba),
  • jeśli a=0 \;\mbox{i}\; b\neq 0, wówczas równanie może wyglądać np. tak: 0 = 3, co oczywiście jest fałszem. Równanie to nazywa się równaniem sprzecznym i nie istnieje liczba, która je spełnia (brak rozwiązań).

Inną nazwą rozwiązania równania jest też miejsce zerowe, jak i pierwiastek.

[edytuj] Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Zacznijmy od kilku przykładów:

  • 2x > 3 \,
  • 5x - 2 < 2\,
  • -2x + 4 \geq -3x + 5
  • -\tfrac{1}{2} x + 3 \geq 5

Zanim je rozwiążemy, spójrzmy na definicję:

Definicja
 DEFINICJA

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać w postaci np. ax + b > 0\,, gdzie niewiadomą jest x.
Inne postacie: ax + b \geq 0, \; ax + b < 0 \;\mbox{lub}\; ax + b \leq 0.

Ważna uwaga: przy mnożeniu (lub dzieleniu) nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmieniamy na przeciwnie skierowany (np. > na <).

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy przedstawione przykłady.

Zaczniemy od   2x > 3 \, :

2x > 3 \quad /{:}\ 2
x > 1\frac{1}{2}
Rozwiązaniem tej nierówności nie jest jedna liczba, a cały zbiór liczb większych od jednego i jednej drugiej.
Odp. x \in \left(1\frac{1}{2}; +\infty\right).

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu   -2x + 4 \geq -3x + 5\, :

-2x + 3x \geq 5 - 4
x \geq 1
Odp. x \in \langle1; +\infty) .

Rozwiążmy teraz nierówność  -5x - 2 < 2 \, :

-5x < 2 + 2 \,
-5x < 4 \quad /{:} (-5)\,
x > -\frac{4}{5} - przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak nierówności na przeciwny.
Odp. x \in \left(-\frac{4}{5}; \infty\right) .

Dlaczego gdy mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba zmienić? Słuszność tego możemy sprawdzić na przykładzie:

3 < 4 \quad /\cdot (-2)
{\color{Red}-6 < -8 } \,  - fałsz, brakuje zmienionego znaku
-6 > -8 \,  - prawda, zmieniony znak na '>'.

[edytuj] Równanie z parametrem (R)

[edytuj] Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ dwóch lub więcej równań, w których mamy dwie niewiadome, np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładowych układów równań:

  • \left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y \\ x - 5 = y \end{matrix} \right.
  • \left\{\begin{matrix} -3x - 6y + 4 = 0 \\ 5x - 5 = y \end{matrix} \right.

Poznamy trzy możliwości rozwiązywania takich układów.

[edytuj] Metoda podstawiania

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób pierwszy układ:

\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.

Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej y z (1.2), czyli:

y = x - 5 \!

i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):

2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!
2x + 1 = 3x - 15 \!

i otrzymujemy:

x= 16\,

Mamy już x. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony x, więc:

y = 16 - 5 = 11\, .

Odp. x = 16\, i y = 11\,

Drugim wariantem tej metody jest początkowe wyznaczenie x z (1.1), czyli:

2x + 1 = 3y\,
2x = 3y - 1\ \ /{:} 2
x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

\frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y
\frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y
\frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}
\frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \quad \ /{\cdot} 2
y = 11.

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16 .

Odp. x = 16 i y = 11.

Drugi układ
\left\{\begin{matrix} -3x-6y+4=0 \\ 5x-5=y \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} -3x-6(5x-5)+4=0 \\ y=5x-5 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} -3x-30x+30+4=0 \\ y=5x-5 \end{matrix} \right.

-33x=-34 \quad /:(-33)\,

x= \frac{34}{33}\,

y=5 \cdot \frac{34}{33}-5\,

y= \frac{170}{33}-5\,

y= \frac{5}{33}\,

x= \frac{34}{33}\,
Jak widać, wybór niewiadomej, którą chcemy wyznaczyć na początku, nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana, może czasami znacznie ułatwić zadanie.

[edytuj] Metoda przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości. Rozwiążmy w ten sposób ponownie pierwszy układ:

\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ x - 5 = y & (1.2) \end{matrix} \right.

Współczynnik przy zmiennej x w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:

x - 5 = y \quad /{\cdot} (-2)
-2x + 10 = -2y \ .

Teraz należy wstawić to do układu:

\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) \\ -2x + 10 = -2y & (1.2) \end{matrix} \right.

i dodać stronami:

2x + (-2x) +11 =3y + (-2y) \
11 = y \

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

x - 5 = 11 \
x = 16 \

Odp. x = 16 i y = 11.

Drugi przykład:

  • \left\{\begin{matrix} -3x - 6y + 4 = 0 \\ 5x - 5 = y \end{matrix} \right.

Przenosimy zmienną y na lewą stronę, a po prawej piszemy 0.


\left\{\begin{matrix} -3x-6y+4=0 \\ 5x-5-y=0 \quad /\cdot (-6) \end{matrix} \right.

Teraz mnożymy obustronnie, aby przy y była taka sama cyfra i przeciwny znak.


\left\{\begin{matrix} -3x-6y+4=0 \\ -30x+30+6y=0 \end{matrix} \right.

Teraz rozwiązujemy.


-3x-6y+4-30x+30+6y=0\,


Po rozwiązaniu zostaje nam takie równanie:


-33x+34=0\,


Przenosimy na drugą stronę, aby podzielić obustronnie.


-33x=-34 \quad / : (-33)\,


Ostatecznie x wynosi:


x=\frac{34}{33}

Podstawiamy x i wyliczamy.


5\cdot\frac{34}{33}-5=y\,

\frac{170}{33}-5=y


Gdy sprowadziliśmy do wspólnego mianownika wyszedł nam y.


y=\frac{5}{33}

Odpowiedź x=\frac{34}{33} i y=\frac{5}{33}

[edytuj] Metoda graficzna

Metoda graficzna polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie narysowaniu prostych na układzie współrzędnych i na końcu odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.

Zróbmy taki przykład

\left\{\begin{matrix} x+y=4 \\ 2x+3y=12 \end{matrix} \right.

Przekształcamy układ to postaci kierunkowej

\left\{\begin{matrix} y=-x+4 \\ y=4-\frac{2}{3}x \end{matrix} \right.

Następnie rysujemy proste w układzie współrzędnych i odczytujemy punkty przecięcia prostych. W tym przypadku są to punkty:
\left\{\begin{matrix} x=0 \\ y=4 \end{matrix} \right.

[edytuj] Metoda wyznacznikowa

\left\{\begin{matrix} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{matrix} \right.

W=\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2&b_2 \end{bmatrix}= a_1b_2 - a_2b_1

W_x=\begin{bmatrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix}=c_1b_2 - c_2b_1

W_y=\begin{bmatrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{bmatrix}=a_1c_2 - a_2c_1

Jeśli W \neq 0, to układ równań ma jedno rozwiązanie x= \frac{W_x}{W} i y= \frac {W_y}{W} .

Jeśli W = 0\, i W_x = 0\, i W_y = 0\, to układ równań jest nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).

Jeśli W=0\, i W_x \neq 0 \vee W_y \neq 0 to układ równań jest sprzeczny.

Przykład
\left\{\begin{matrix} 2x+5y=16 \\ 5x+y=17 \end{matrix} \right.

W=\begin{bmatrix}2 & 5 \\ 5&1 \end{bmatrix}= 2\cdot - 5 \cdot 5 = 2-25 = -23

W_x=\begin{bmatrix} 16 & 5 \\ 17 & 1 \end{bmatrix}=16 \cdot 1 - 17 \cdot 5 = 16-85=-69

W_y=\begin{bmatrix} 2 & 16 \\ 5 & 17 \end{bmatrix}=2 \cdot 17-5 \cdot 16=34-80=-46

x= \frac{W_x}{W} = \frac{-69}{-23} = 3\,

y= \frac{W_y}{W} = \frac{-46}{-23}=2\,


Do zrobienia Do zrobienia:
  • -parametr


[edytuj] Podsumowanie

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą jest
  • równanie postaci  ax + b = 0 (lub każde dające się sprowadzić do tej postaci), gdzie x jest niewiadomą oraz a i b są dowolnymi liczbami (lub parametrami).
Równanie liniowe rozwiązujemy następująco
  • przeniesienie niewiadomej na jedną stronę, a liczb (bądź parametrów) na drugą,
  • wymnożenie lub podzielenie obu stron przez wartość tak, aby pozbyć się liczby przy niewiadomej x (np.  3x=9 \,\rightarrow \; x=3),
  • przy przenoszeniu liczby na drugą stronę równania, zmieniamy jej znak na przeciwny.
Rozwiązania równania liniowego
  • a\neq 0   - równanie ma jedno rozwiązanie (np. 0=3x+1)
  • a=0, b=0 \,  - równanie jest tożsamościowe (np. 0=0)
  • a=0, b\neq 0  - równanie jest sprzeczne (brak miejsc zerowych) (np. 0=2)
Układ równań linowych

Metody:

  • podstawiania - polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego
  • przeciwnych współczynników - polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób, aby współczynniki przy jednej zmiennej w obu równaniach miały przeciwne wartości.
  • graficzna - polega na przekształceniu równania do postaci kierunkowej, następnie zaznaczeniu prostych na układzie współrzędnych i odczytania współrzędnych punktu przecięcia prostych.
  • wyznaczniki - polega na wyznaczeniu wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzenie analizy rozwiązań układu równań.


[edytuj] Zadania z rozwiązaniami

Zad.1 Wyznacz miejsce zerowe funkcji y=3x+5\,

Rozwiązanie

y=3x+5\,

0=3x+5\,

-3x=5 \quad / : (-3)\,

x= \frac {-5}{3}\,


Zad.2 Napisz wzór prostej prostopadłej do prostej y=-4x+3\, i przechodzącej przez punkt A(1,2).

Rozwiązanie

a \cdot a_1=-1 \quad /: a_1\,
a= \frac {-1}{a_1}\,

y=-4x+3\,

a \cdot (-4)=-1\,
-4a=-1 \quad /: (-4)\,
a= \frac{1}{4}\,


A(x=1,y=2)\,
2= \frac {1}{4} \cdot 1 +b
2= \frac{1}{4}+b
2- \frac{1}{4}=b
\frac{7}{4}=b
y=\frac{1}{4} x+ \frac {7}{4}


Zad.3 Janek kupił dwa chleby i trzy oranżady płacąc 13 zł. Drugiego dnia za trzy chleby i cztery oranżady zapłacił 5 zł więcej, niż poprzedniego dnia. Ile kosztuje jeden chleb i jedna oranżada?

Rozwiązanie (metoda przeciwnych współczynników)

x - chleb
y - oranżada

\left\{\begin{matrix} 2x+3y=13 / \cdot (-3) \\ 3x+4y=18 / \cdot 2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} -6x-9y=-39 \\ 6x+8y=36 \end{matrix} \right.

-6x-9y+6x+8y=-39+36\,

-y=-3 \quad /:(-1)\,

y=3\,

2x+3\cdot3=13\,

2x+9=13\,

2x=13-9\,

2x=4\quad /:2

x=2\,

Odpowiedź: Chleb kosztuje 2 zł, a oranżada 3 zł.


Zad.4 Rozwiąż układ równań

\left\{\begin{matrix} x+2y-z=-4 \\ 2y+z=2\\ 2y=-2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} 2y+x-z=-4 \\ z=2-2y \\ 2y=-2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} 2y+x-(2-2y)=-4 \\ z=2-2y \\ 2y=-2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} -2+x-2+2y=-4 \\ z=2-(-2) \\ 2y=-2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} x=-4+2+2+2 \\ z=4 \\ 2y=-2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} x=2 \\ z=4 \\ 2y=-2 \quad /:2 \end{matrix} \right.

\left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=-1 \\ z=4 \end{matrix} \right.


  1. Na przejechanie 60 km samochód zużywa 4,8 litra benzyny
    1. ile kilometrów przejedzie samochód , mając w baku 12,8 litra benzyny?
    2. ile litrów benzyny potrzebuje ten samochód na przejechanie 255 km?
    3. podaj wzór wyrażający zużycie paliwa w litrach w zależności od liczby x\, przebytych przez samochód kilometrów.


Funkcja kwadratowa


Funkcja kwadratowa

[edytuj] Wiadomości wstępne

Co to jest funkcja kwadratowa? Czasem do opisu liczbowego nie wystarcza nam funkcja liniowa - np. gdy chcemy opisać pole powierzchni pewnego kwadratu, będzie ono wyrażone wzorem x2. Druga potęga x'a znajduje się właśnie we wzorze funkcji kwadratowej.

Definicja
 DEFINICJA

Funkcję określoną wzorem f(x)=ax^2+bx+c\ ,
gdzie a,b,c,x \in \mathbb{R} \mbox{ i } a \neq 0
nazywamy funkcją kwadratową.

Wyrażenie ax^2+bx+c\ , gdzie a\ne 0, jest nazywane trójmianem kwadratowym.

[edytuj] Przykłady

  • f(x)=2x^2+3x+4\ \quad - tutaj: a = 2,\; b = 3,\; c = 4\
  • f(x)=x^2+3x-5\ \quad - tutaj: a = 1,\; b = 3,\; c = -5\
  • f(x)=-x^2+4\ \quad - teraz: a = -1,\; b = 0,\; c = 4\
  • f(x)=x^2\ \quad - wreszcie tutaj: a = 1,\; b = 0,\; c = 0\ .

Przykład 'z treścią':

Powierzchnia pewnego lokalu ma kształt kwadratu, cena za 1m2 wynosi 7zł, dodatkowo do ceny należy doliczyć opłatę 150zł. Zapisz wzór na cenę lokalu, jeżeli długość boku kwadratu wynosi x.
Odp: Cenę y można obliczyć ze wzoru:   y=7\cdot x^2+150\,.

[edytuj] Wykres funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej jest linia nazywana parabolą. Poniżej wykres funkcji f(x) = x2

Wykres y=x^2.png

[edytuj] Wyróżnik trójmianu kwadratowego

Charakterystyczną cechą wyróżnika jest to, że jego wartość określa, czy funkcja przecina oś OX - a jeśli przecina, to w ilu miejscach (1 lub 2). Stosowany jest więc głównie przy znajdowaniu miejsc zerowych.

  • oznacza się symbolem greckiej litery alfabetu Δ (Delta)
  • oblicza się go ze wzoru: \Delta~= b^2 - 4ac


Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej

[edytuj] Wykres funkcji kwadratowej

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji y = x^{2} \, dla kilku kolejnych argumentów.


x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

X^2.jpg

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji   y = -x^{2} \,

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y = − x2 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

-x^2.jpg

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji  y = x2 , symetrycznie względem osi OX.

[edytuj] Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:
y = a(x - p)^{2} + q\,

  • gdzie:  p = \tfrac{-b}{2a} ,  natomiast  q = \tfrac{-\Delta}{4a},
  • wartości  p i q  nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli  W(X_{w},\; Y_{w}),  czyli  Xw = p,  Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje  f(x) = 2x2 − 4x + 7  i  f(x) = 2(x − 1)2 + 5  są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.

Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykes y = ax2  przesunąć o wektor [p,\,q].

Dowód (informacje dodatkowe)

Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:
ax2 + bx + c = a(x − p)2 + q
ax2 + bx + c = a(x2 − 2xp + p2) + q
ax2 + bx + c = ax2 − 2apx + ap2 + q
\color{Red}b\color{Black}x+\color{Blue}c\color{Black} = \color{Red}- 2ap\color{Black}x + \color{Blue}ap^2 + q
Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x2 nie występuje), B = − 2ap (czyli wyraz przy x), C = ap2 + q (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:
\begin{cases} b = -2ap \\ c = ap^2 + q \end{cases}
\begin{cases} p = \frac{-b}{2a} \\ q = c - ap^2 \end{cases}
q = c - a\left (\frac{-b}{2a}\right )^2 \quad \quad q = c - \frac{b^2}{4a}
q = \frac{4ac}{4a} - \frac{b^2}{4a} \quad \quad \quad \quad q = \frac{4ac - b^2}{4a}
q = \frac{-(-4ac+b^2)}{4a} \quad \quad q = -\frac{b^2-4ac}{4a}
q = -\frac{\Delta}{4a}

Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:

  • znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q
  • obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
  • największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.

[edytuj] Przykłady

Uwaga!

Zanim zaczniesz czytać dalej, przypomnij sobie informacje z działu Przekształcanie wykresu funkcji.

  • Przykład 1. (rysowanie wykresu)

Rozpatrzmy funkcję y = (x − 4)2 + 2. Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:

1. Współczynnik kierunkowy a jest równy 1. Funkcja ma więc ramiona skierowane ku górze (gdyż a>0).

2. Współczynnik p jest równy 4. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 4 jednostki w prawą stronę układu współrzędnych.

3. Współczynnik q jest równy 2. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 2 jednostki w górę układu współrzędnych.

Punkty 2. i 3. oznaczają to samo, co: funkcję należy przesunąć o wektor [4, 2].

Biorąc pod uwagę trzy powyższe warunki, konstruujemy wykres funkcji, który wygląda następująco:

(x-4)^2+2.jpg

  • Przykład 2. (rysowanie wykresu)

Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję y = − x2 − 10x − 19 oraz narysuj jej wykres.

Wypiszmy współczynniki a, b i c z tego równania:

a = -1, b = -10, c = - 19. Współczynnik kierunkowy a jest ujemny, więc ramiona będą skierowane w dół. Obliczmy teraz wartości p oraz q.

p = \tfrac{- b}{2a}

p = \tfrac{- (-10)}{2 \cdot (-1)} = -5


q = \tfrac{-\Delta~}{4a}

Żeby obliczyć q musimy najpierw policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (Deltę).

\Delta~ = b^{2} - 4ac

\Delta~ = (-10)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-19) = 24


q = \tfrac{-24}{4 \cdot (-1)} = 6

Teraz wprowadzamy wartości p i q do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:

y = − (x − ( − 5))2 + 6

y = − (x + 5)2 + 6


Mając współrzędne p i q wierzchołka paraboli, rysujemy wykres:

-(x+5)^2+6.jpg

  • Przykład 3. (maksimum)

Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy a<0 ramiona są skierowane do dołu, wierzchołek jest najwyższym punktem - funkcja osiąga w nim więc maksimum), ale gdy a>0, ramiona są skierowane do góry, wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że a < 0. Funkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), więc są to jednocześnie współrzędne wierzchołka, otrzymujemy xw oraz yw (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:

y = a(x − 3)2 + 4

Pozostaje nam nieokreślona wartość a. Musi być ona ujemna, jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy za a, zmieni to jedynie wygląd ramion wykresu, jednak wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne a'.

y = − 4(x − 3)2 + 4

Zapiszmy jeszcze funkcję w postaci ogólnej.

y = − 4 * (x2 − 6x + 9) + 4
y = − 4x2 + 24x − 36 + 4
y = − 4x2 + 24x − 32

Jako, że a mogliśmy obrać dowolne (ujemne), możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).

  • Przykład 4. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji  f(x) = x2 − 3x − 10 w przedziale <-1, 3>.

Będziemy musieli policzyć 3 wartości - współrzędną y wierzchołka paraboli (o ile czyli wartość x należy do przedziału!) oraz wartości funkcji z krańców podanego przedziału, które to policzymy na poczatku:

f( − 1) = − 6

f(3) = − 10

Współrzędna x wierzchołka (czyli p):

p=\frac{-b}{2a} = \frac{3}{2} = 1.5

x=1.5 należy do przedziału <-1, 3> (gdyby tak nie było, wierzchołek leżałby poza rozpatrywanym przedziałem, wówczas już nas nie interesuje).

Ponieważ a>0 (a = 1), funkcja osiąga w punkcie wierzchołka minimum, o czym zaraz się przekonamy.

Porada

Alternatywną metodę znalezienia wartości q jest, mając obliczoną wartość p wierzchołka, obliczenie wartości funkcji dla p, czyli  q\,=\,f(p).


Obliczamy y wierzchołka (czyli q), korzystając z wartości p=1,5.

f( \frac{3}{2} ) = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot ( \frac{3}{2} ) - 10 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 10 = -\frac{49}{4}

Uzyskaliśmy więc: wartość -6 dla x=-1, wartość -10 dla x=3 oraz wartość -\tfrac{49}{4} dla x=1,5. Jak nie trudno się domyśleć, największa wartość będzie szukanym maksimum, najmniejsza - minimum.

Podsumowując, funkcja osiąga minimum dla x= 1,5 oraz maksimum dla x=-1 (biorąc pod uwagę przedzialał <-1, 3>).

Porada

Przy braku pewności co do obliczeń, zawsze można posłużyć się szkicem wykresu funkcji.


  • Przykład 5. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = − x2 − 4x + 12 w przedziale <-5, 3>.

Analogiczy przypadek jak powyżej.
Badamy wartość funkcji na krańcach przedziałów:

f(-5)=-(-5)^2 - 4 \cdot (-5) + 12 = -25 + 20 + 12 = 7

f(3)=-(3)^2-4 \cdot 3 + 12 = -9 - 12 + 12 = -9

Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

p=\frac{-b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2

Wierzchołek paraboli należy do przedziału. Ponieważ a<0, funkcja osiąga w jego punkcie maksimum (ramiona są skierowane do dołu, wierzchołek jest najwyższym punktem).

f(-2) = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16

Funkcja osiąga minimum w punkcie x=3 oraz maksimum w punkcie x = -2.

Porada

Gdyby punkt wierzchołka nie należał do podanego przedziału, funkcja osiągałaby wartości największe i najmniejsze na jego krańcach.


Ciekawostka
 Czy wiesz, że...

Współrzędną xw można wyznaczyć ze wzoru: x_{w}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, gdzie x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji (pierwiastkami). Jest to wynikiem tego, że wierzchołek leży zawsze w połowie ich odległości.

Współrzędne ekstemum paraboli (wierzchołka) można też łatwo obliczyć za pomocą pochodnej, jednakże rachunek różniczkowy i całkowy nie jest w podstawie programowej liceum.



Równania kwadratowe

[edytuj] Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

Twierdzenie
 TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy  ax2 + bx + c  o współczynnikach rzeczywistych, a\not=0.

1. Jeżeli \Delta~> 0, to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\;\; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

2. Jeżeli \Delta~= 0, to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

x_0=\frac{-b}{2a}

3. Jeżeli \Delta~< 0, to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

a\left (x-p\right )^2 + q = 0

a\left (x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a} \quad : a

\left (x+\frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę dodatnią). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni (4a2 > 0). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy Δ < 0, to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy Δ = 0, wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = 0     / Pierwiastkujemy obustronnie
x = \frac{-b}{2a}
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (dlaczego?).
3. Gdy Δ > 0, otrzymujemy:
\left (x+\frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{\Delta}{4a^2}    / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z   \sqrt{x^2} = |x|
|x+\frac{b}{2a}| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
Przypadek 1: dla x+\frac{b}{2a} > 0 - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
x_{1}+\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{b}{2a}
x_{1} = \frac{\sqrt{\Delta} - b}{2a} \; = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Przypadek 2: dla x+\frac{b}{2a} < 0 - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
-x_{2}-\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = -\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}
x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
więc, dla Δ > 0 rozwiązaniami są  x_{1} = \tfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}   oraz   x_{2} = \tfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}.

[edytuj] Równania kwadratowe - w skrócie

Wzory na miejsca zerowe
  • dla  Δ > 0  2 miejsca zerowe:  x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \;\; x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},
  • dla  Δ = 0   1 miejsce zerowe:   x_0=\tfrac{-b}{2a},
  • dla  Δ < 0   miejsca zerowe nie istnieją.
Metoda wyciągania wspólnego czynnika
  • równanie postaci np.   x2 + x = 0
  • przekształcamy do   x(x + 1) = 0, po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
  • np.  x^2+6x+9 = 0 \; \; \rightarrow \;\;(x+3)^2 = 0
  • np.  x^2-9 = 0 \; \; \rightarrow \; \;(x+3)(x-3) = 0
Równanie dwukwadratowe
  • równanie postaci   ax^4 + bx^2 + c \,=\, 0  rozwiązujemy metodą podstawiania,
  • przy założeniu   t = x2   rozwiązujemy   at^2 + bt + c \;=\; 0,
  • uzyskane pierwiastki  t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4},  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.


[edytuj] Przykłady - równania kwadratowe

Rozwiąż równania:

  • Przykład 1. x2 − 3x − 4 = 0
  • Przykład 2. x2 − 4 = 0
  • Przykład 3. x2 − 6x + 9 = 0
  • Przykład 4. x2 − 2x = 3x + 5
  • Przykład 5. − x2 − 2x = 0
  • Przykład 6. x2 − 5x + 22 = 0
  • Przykład 7. x4 − 3x2 − 4 = 0 (równanie dwukwadratowe)
  • Przykład 8. x2 + 6x − 7 = 0
  • Przykład 9. x2 − 4 | x | − 12 = 0 (równanie z modułem)
  • Przykład 1

x2 − 3x − 4 = 0

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  a = 1,\; b = -3,\; c = -4.

\Delta~= b^2 - 4ac

\Delta~ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)

\Delta~ = 25

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

x_1=\tfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_1=\frac{3-5}{2} \;= -1

x_2=\tfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2 \cdot 1}

x_2=\frac{3+5}{2} \; =4

Równanie ma więc dwa rozwiązania: x_{1}=-1\   i   x_{2}=4\ .

  • Przykład 2

x2 − 4 = 0

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  a = 1,b = 0,c = − 4.  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

a^{2} - b^{2} = (a-b) \cdot (a+b)\

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian  x2 − 4 = 0  na postać iloczynową:

(x-2) \cdot (x+2) = 0\

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.

  • Przykład 3

x2 − 6x + 9 = 0

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

a = 1, \; b=-6, \; c=9

\Delta~= (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9

\Delta~= 36 - 36 \; =0

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{-b}{2a}

x_{0} = \frac{-(-6)}{2} \; =3

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\

Przyrównujemy w myślach   x2 − 6x + 9 = 0   i   a^{2} - 2ab + b^{2}\ ...
(x − 3)2 = x2 − 2 * 1 * 3 + 32

Otrzymujemy:

(x-3)^{2} = 0\

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

  • Przykład 4

x2 − 2x = 3x + 5

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

x2 − 5x − 5 = 0

a = 1, \; b=-5, \; c=-5

\Delta~= (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) \; = 45

x_{1}=\tfrac{-(-5)-\sqrt{45}}{2}

x_{1}=\tfrac{5-3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

x_{2}=\tfrac{-(-5)+\sqrt{45}}{2}

x_{2}=\tfrac{5+3\sqrt{5}}{2} \; = \; \tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

Rozwiązaniami tego równania są liczby    x_{1}=\tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2}\sqrt{5}, \; \; \; x_{2}=\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}

  • Przykład 5

− x2 − 2x = 0

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

(-x^{2}-2x)=0\

x(-x-2)=0\

Powyższe równanie zachodzi gdy:
x = 0   lub   − x − 2 = 0

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

  • Przykład 6

x2 − 5x + 22 = 0

Policzmy deltę:

a = 1,b = − 5,c = 22

\Delta~= (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 22

\Delta~= 25 - 88 \; = -63

Wystarczy zauważyć, że   \Delta~<0  - równanie nie ma więc rozwiązań.

  • Przykład 7

x4 − 3x2 − 4 = 0

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

t = x^{2}\

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

t^{2}-3t-4=0\

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki   t_{1}\   oraz   t_{2}\ .

\Delta~= (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) \; = 25

t_{1}=\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2} \; = -1

t_{2}=\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2} \; = 4

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

t = x^{2}\

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

-1 = x^{2}\

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

x^{2}+1=0\

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ \Delta~<0 Zauważmy, że samo równanie   -1 = x^{2}\   jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

4 = x^{2}\

x^{2}-4=0\

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy   (x-2)(x+2)=0\

Równanie ma dwa rozwiązania: x1 = 2 i x2 = − 2 (patrz na przykład nr.2).

Po obliczeniu pierwiastków x1 i x2 dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia t = x^{2}\ można dodać warunek t \ge 0 . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

  • Przykład 8 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

x2 + 6x − 7 = 0

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

x2 + 6x − 7 = 0 (*)     - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

(x + 3)2 = 0 (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9. Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać x2 + 6x − 7, to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę":   (x + 3)2 − 16

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy x2 + 6x − 7 = 0. Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać:   x2 + 6x − 7 = (x + 3)2 − 16.
Teraz po kolei liczymy:

(x + 3)2 − 16 = 0

(x + 3)2 = 16     / Pierwiastkujemy obustronnie

\sqrt{(x+3)^2} = \sqrt{16}

\sqrt{(x+3)^2} = 4

Korzystamy z własności:   \sqrt{x^2} = |x| ,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

Porada

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory.


| x + 3 | = 4

x_{1} = -7, \; \; x_{2} = 1

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)

  • Przykład 9 (R)
Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

x^2 - 4|x| - 12 \;=\; 0

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy x \ge 0 i drugi, gdy x < 0.

1 przypadek dla x \ge 0

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
x2 − 4x − 12 = 0
Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem x \ge 0.
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64
x_{1} = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2
x_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia x \ge 0, więc nie jest rozwiązan