Matematyka dla liceum/Wielomiany/Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

$A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20$
$B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11$

$A(x)+B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20+13x^5+7x^4+x^3+11=17x^5+7x^4+2x^3+2x^2+8x+31$

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

$A(x)+B(x)=B(x)+A(x)$ - przemienność

$(A(x)+B(x))+C(x)=A(x)+(B(x)+C(x))$ - łączność

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

$A(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20$
$B(x)=13x^5+7x^4+x^3+11$

$A(x)-B(x)=4x^5+x^3+2x^2+8x+20-(13x^5+7x^4+x^3+11)=-9x^5-7x^4+2x^2+8x+9$

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

$A(x)-B(x) \neq B(x)-A(x)$

$(A(x)-B(x))-C(x) \neq A(x)-(B(x)-C(x))$

Ćwiczenia

1) Dodaj wielomiany

• $A(x)=6x^3+13x^2+20x$ oraz $B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

2) Odejmij wielomiany

• $A(x)=6x^3+13x^2+20x$ oraz $B(x)=10x^4+7x^3+2x^2+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

3) $W(x)=4x^6+9x^4+8x^3+5x^2+x+1 \mbox{ i } P(x)=3x^6+x^5+2x^4+2x^2+3x+10$ Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

• W(x)+Q(x)=P(x)
• W(x)-Q(x)=P(x)