Matematyka dla liceum/Wielomiany/Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady

$x^2 + 2 > 0$, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. $x^2 < 4$, której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). $x^2 < 0$, której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

• Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.

• Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

• Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.

• Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.

• Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.

• Formułujemy odpowiedź.

Przykładowo, rozwiążmy nierówność: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 > -\sqrt{20}x - 1$

• Możemy ją przekształcić do postaci: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 > 0$ i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób: $x^4 + \sqrt{20}x^3 + 2x^2 + \sqrt{20}x + 1 = x^4 + \sqrt{20}x^3 + x^2 + x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x^2 + 1)(x^2 + \sqrt{20}x + 1)$

• Pierwsze wyrażenie ($x^2 + 1$) nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż $\Delta < 0$).

• $\Delta$ drugiego wyrażenia wynosi 16 ($\sqrt{20}^2 - 4$), a jego miejscami zerowymi są liczby $\frac{\sqrt{20} + 4}{2}$ i $\frac{\sqrt{20} - 4}{2}$. Wyrażenie to ma więc postać:

• $x^2 + \sqrt{20}x + 1 = (x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})$

A cała nierówność ma postać:

$(x^2 + 1)(x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2})(x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2})>0$

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

	$x^2 + 1$	$x-\frac{\sqrt{20} + 4}{2}$	$x-\frac{\sqrt{20} - 4}{2}$	cała lewa strona nierówności
$x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2})$	+	-	-	+
$x = \frac{\sqrt{20} - 4}{2}$	+	0	-	0
$x \in (\frac{\sqrt{20} - 4}{2}, \frac{\sqrt{20} + 4}{2})$	+	+	-	-
$x = \frac{\sqrt{20} + 4}{2}$	+	+	0	0
$x \in (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)$	+	+	+	+

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{20} - 4}{2}) \cup (\frac{\sqrt{20} + 4}{2}, \infty)$