Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe

Na początek definicja.

DEFINICJA Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

• $4x + 1 = 0$
• $3x^2 + 2x - 5 = 0$
• $x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 - 1 = 0$

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich $x \in \mathbb{R}$, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

• ze wzorów skróconego mnożenia
• z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
• z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
• metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)

Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

TWIERDZENIE Jeśli $a = \tfrac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z}$ jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu $W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, to $p$ dzieli $a_0$ i $q$ dzieli $a_n$.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia

$x^3-6x^2+9x=0\,$

Wyciągamy x przed nawias
$x(x^2-6x+9)=0\,$

Zauważmy, że wyrażenie $x^2-6x+9\,$ można zapisać korzystając ze wzoru $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,$ , czyli:

$x(x-3)^2=0\,$

Teraz przyrównujemy:
$x=0 \vee x-3=0\,$

$x=0 \vee x=3\,$

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.