Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Na początek definicja.

Definicja
DEFINICJA

Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

  •  4x + 1 = 0
  •  3x^2 + 2x - 5 = 0
  •  x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 - 1 = 0

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich x \in \mathbb{R}, dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

  • ze wzorów skróconego mnożenia
  • z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
  • z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
  • metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie
Twierdzenie Bézout

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli  a = \tfrac{p}{q}, p,q \in \mathbb{Z} jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu  W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 , to p dzieli a_0 i q dzieli a_n.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia[edytuj]

 x^3-6x^2+9x=0\,

Wyciągamy x przed nawias
 x(x^2-6x+9)=0\,

Zauważmy, że wyrażenie  x^2-6x+9\, można zapisać korzystając ze wzoru  (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\, , czyli:

 x(x-3)^2=0\,

Teraz przyrównujemy:
 x=0 \vee x-3=0\,

 x=0 \vee x=3\,

Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.