Matematyka dla liceum/Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Przykład:

$T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)$

Niech: $P(x)=x^2-3x-4=0$

$\Delta~ = 9 + 16 = 25$ $\sqrt{\Delta~} = 5$

$x_{1}~ = \frac {3-5}{2} = \frac {(-2)}{2} = (-1)$ $x_{2}~ = \frac {3+5}{2} = \frac {8}{2} = 4$

$P(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$

Zatem: $T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x+1)(x-4)$

Grupowanie wyrazów

Przykład:

$W(x)=x^3-5x^2+2x-10=(x^3-5x^2)+(2x-10)=x^2$(x - 5)+2(x - 5)$=(x-5)(x^2+2)$

$Q(x)=2x^3-8x^2+x-4=(2x^3-8x^2)+(x-4)=2x^2$(x - 4)+(x - 4)$=(x-4)(2x^2+1)$

Zastosowanie twierdzenia Bézouta

TWIERDZENIE Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.

To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba $p$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$. Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy $W(x)=(x-p)Q(x) + C$, gdzie $C$ jest pewną stałą, a $Q(x)$ - wielomianem. Podstawiając $x=p$ dostajemy $W(p)=(p-p)Q(p)+C=C$, zatem wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-p$. Odwrotnie, niech $W(x)=(x-p)P(x)$, gdzie $P(x)$ jest pewnym wielomianem. Wówczas $W(p)=(p-p)P(p)=0$, co kończy dowód.

Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

$W(x)=x^3-x^2-14x+24$

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

$W((-4))=(-4)^3-(-4)^2-14\cdot(-4)+24=(-64)-16+56+24=0$

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy $W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x^2-5x+6)$

Niech: $P(x)=x^2-5x+6$. Dokonujemy rozkładu P(x).

$P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Ostatecznie $W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)$