Matematyka dla liceum/Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania


Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias[edytuj]

Przykład: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)

Niech: P(x)=x^2-3x-4=0

 \Delta~ = 9 + 16 = 25  \sqrt{\Delta~} = 5

 x_{1}~ = \frac {3-5}{2} = \frac {(-2)}{2} = (-1)  x_{2}~ = \frac {3+5}{2} = \frac {8}{2} = 4

P(x)=x^2-3x-4=(x+1)(x-4)

Zatem: T(x)=x^3-3x^2-4x=x(x^2-3x-4)=x(x+1)(x-4) 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów[edytuj]

Przykład:

W(x)=x<math>=(x-4)(2x^2+1) ^3-15x^2+23x-<mat=(x-4)(2x^2+1) h>=(x-4)(2x^2+1)</math> 10=(x^3-=(x-<math>=(x-4)(2x^2+1) 4)(2x^2+1)</math> 5x^2)+(12x-=(x<math>=(x-4)(2x^2+1) -4)(2x^2+1)</math> 10)=x^2</math>'(x - 5)=(x-4)(2x^2+1) '+2(x - 5)=(x-5)(x^2+2)

<mat=(x-4)(2x^2+1) h>Q(=(x-4)(2x^2+1) x)=22x^3-28x^2+x-4==(x-4)(2x^2+1)

Zastosowanie twierdzenia Bézouta[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy W(x)=(x-p)Q(x) + C, gdzie C jest pewną stałą, a Q(x) - wielomianem. Podstawiając x=p dostajemy W(p)=(p-p)Q(p)+C=C, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p. Odwrotnie, niech W(x)=(x-p)P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W(p)=(p-p)P(p)=0, co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

W(x)=x^3-x^2-14x+24

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

W((-4))=(-4)^3-(-4)^2-14\cdot(-4)+24=(-64)-16+56+24=0

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x^2-5x+6)

Niech:  P(x)=x^2-5x+6. Dokonujemy rozkładu P(x).

P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ostatecznie W(x)=x^3-x^2-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)