Matematyka dla liceum/Wielomiany/Wiadomości wstępne

Jednomian

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

DEFINICJA Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

$4\;$	$x\;$	$2a\;$
$3abc\;$	$4b^3\;$	$\tfrac{5}{7}a^2$

Wielomiany

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu $x$ możemy dodać $2a$ otrzymując $x + 2a$. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

• $x^3 + y^2 + z^3\,$,
• $\frac{4}{3}x^7 + x^5 + x$,
• $a^2 + 2ab + b^2\,$,

a takie coś nazywamy wielomianami.

DEFINICJA Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. $-a^2 + b^2 + 4c + d$ będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian $3x + 2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian $4x^2 + 3x + 1$ będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako $W(x)$, $P(x)$, $Q(x)$ np.:

• $W(x) = x^2 + 2x - 1\,$,
• $P(x) = 2x - 1\,$,
• $Q(x) = 2x^{123} - 2x^{122} + 2x^{121} - \dots + 2x^3 - 2x^2 + 2x^1 - 2$.

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

DEFINICJA Funkcja W określona wzorem $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots+a_1x^1+a_0$, gdzie $a_n \neq 0$ nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby $a_0$, $a_1$, $a_2$, ..., $a_n$ nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie $W(x) = 6x^3 + 4x^2 + 3x + 2$ współczynnikami będą $a_3 = 6$, $a_2 = 4$, $a_1 = 3$ i $a_0 = 2$.

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie $2x^3 + x$? Odpowiedź wydaje się prosta, $a_{23} = 0$, ponieważ $2x^3 + x = 0x^{23} + 2x^3 + x$.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że $a_n \neq 0$ np. $P(x) = 3x^6 + x^2 + 1$ jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian $Q(x) = 0x^{100} + 23x + 1$ jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ $a_1 = 23$ i $a_{100} = 0$.

Zauważmy, że funkcja stała $f(x) = a$ jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa $f(x) = ax + b,\ a \neq 0$ jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa $g(x) = ax^2 + bx + c,\ a \neq 0$ jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

• $W_1(x)=10x^3 + 5x^2 + 7x + 10$,
• $W_2(x)=x^{50} + 2x^{21} + 4x$,
• $W_3(x)=x+1$.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

• $P_1(x)=10 + 7x + 5x^2 + 10x^3$
• $P_2(x)=4x + 2x^{21} + x^{50}$
• $P_3(x)=1+x$

Równość wielomianów

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich $x$ zachodzi $P(x) = Q(x)$, a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

TWIERDZENIE Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany $A(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x$ oraz $B(x) = 10x^3 + 3x^2 + 4x$ są równe, ale $C(x)=9x^5 + 4x^2 + x$ oraz $D(x)=10x^5 + 4x^2 + x$ nie są równe. Podobnie wielomian $W(x) = x^4 + x$ jest równy wielomianowi $P(x) = \frac{2x + 2x^4}{2}$, ale nie jest równy wielomianowi $P(x) = 2x^4 + 2x$. Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian $P(x) = \frac{2x^3}{x^2}$ nie jest równy wielomianowi $Q(x) = 2x \,$.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.