Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Ćwiczenia

Podstawy

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii	e) bułka słodka	i) głośnik
b) zwierzęta	f) Jacek, Bolek i Agata	j) zielone marchewki
c) kangur	g) litera	k) poziomka
d) kredki	h) wszystkie zbiory	l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10	c) $\{-25, -16, -9, -4, -1, 0, 1, 4, 9, 16, 25\}$
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5	d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) $A = \{-1, 2, 10\}$	d) $D = \{1, -2\}$	g) $G = \{\varnothing\}$
b) $B = \varnothing$	e) $E = \{1, 5, 25, 525, 1024, 235\}$	h) $H = \{\{2, 9, 15\}, \{3, 4, 5\}\}$
c) $C = \{5\}$	f) $F = \{k, l, p, q\}$	i) $I = \{1, \{2,\{5, 6\}\}, \{\pi, e\}\}$

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) $A = \{1, 2, 3\}$, $a = 3$	e) $A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}$, $a = 1$
b) $A = \{1, 2, 3\}$, $a = 10$	f) $A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}$, $a = \{6, 5\}$
c) $A = \{1, 2, 3\}$, $a = -2$	g) $A = \{-2, \{1, 2\}, \{2, 3, 4\}\}$, $a = -2$
d) $A = \{\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{5, 6\}\}$, $a = \{2, 3\}$	h) $A = \{-2, \{1, 2\}, \{2, 3, 4\}\}$, $a = \{2, 3\}$

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) $2 + 2$	e) $1{,}234567891011121314\dots$	i) $\frac{1}{1-\sqrt{2}} -\sqrt{2}$
b) $2 - 2$	f) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$	j) $(1 - \pi)(1 + \sqrt[3]{2})(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) + 3\pi$
c) $(1 - 2)\cdot(1 + 2)$	g) $\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{2}$	k) $(\pi + 1)^2$
d) $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$	h) $(\pi - 2)^2 - \pi^2 - 4\pi$	l) $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$

9. Rozwiąż równania:

a) $5x = 10$	d) $-\sqrt{2}x - 3 = 4$
b) $3x - 3 = 0$	e) $(4-\sqrt{2})(4 + \sqrt{2})x - 16 = 5$
c) $7x + 2 = - 12$	f) $\frac{-2x + 10}{3} + 2 = 7$

10. Rozwiąż nierówności:

a) $2x > 6$	d) $\frac{2x - 1}{3} \leq 7$
b) $-5x + 6 \leq 2$	e) $\frac{-3x - 3}{7} > 4$
c) $\frac{7}{2}x - 4 < 8$	f) $(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})x + 4 \geq 8$

11. Oblicz:

a) $5 - 3\cdot 2 + 8$	j) $\frac{20^2 - 19^2}{13}$
b) $2 + 9:3 - 1$	k) $\frac{(6-3)(36 + 18 + 9)}{8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1}$
c) $7 \cdot (5 + 4) - 9$	l) $3^5 \cdot 3^{-2} - (5\cdot3^2)^2 + 5^7\cdot5^{-5}$
d) $(3 + 5):4 \cdot 2 + 7$	m) $\frac{(6+2)(36 - 12 + 4)}{2}$
e) $\frac{5 \cdot (4-3) + 15}{4}$	n) $\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot 2^{-90} - \frac{1}{4^{50}}$
f) $((3-5)(4+9)-9) \cdot 3$	o) $999998^2 + 2 \cdot 2 \cdot 999998 + 2^2$
g) $3\cdot(2+(11-1)\cdot 3) - 13$	p) $\frac{99999 \cdot (10^5 + 1) + 1}{10^4}$
h) $(5^2 - 3^2)^2 - 1$	q) $-((-5)^2 + (-2)^2)^2 - (-5^2 + 2^2)^2$
i) $\frac{(12-3)^2 - 9}{7}$	r) $((50+1)^2 - (50-1)^2)(14^2 + 2 \cdot 14 + 2^2) - 14^3$

Ćwiczenia na myślenie

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru $A = \{1, 2\}$:

• $\varnothing$, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
• $\{1\}$
• $\{2\}$
• $\{1, 2\}$

a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:

• $A = \varnothing$
• $B = \{1\}$
• $C = \{1, 2, 3\}$

b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:

• 4-elementowy
• 5-elementowy
• 10-elementowy
• n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna ($p, q \in \mathbb{Q}$), to liczba p + q także jest wymierna (czyli $p + q \in \mathbb{Q}$).

b) jeśli liczba p jest wymierna ($p \in \mathbb{Q}$) i q jest niewymierna ($q \in \mathbb{IQ}$), to liczba p + q jest niewymierna ($p + q \in \mathbb{IQ}$).

c) oznaczmy przez $\mathbb{Q_+}$ zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba $p \in \mathbb{Q_+}$, $\sqrt{p} \in \mathbb{IQ}$ i $q \in \mathbb{Q_+}$, to $(\sqrt{p}+q)^2 \in \mathbb{IQ}$.

Ćwiczenia dodatkowe

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór $A = \{1, 2, 3\}$ ma taką samą liczbę elementów co $B = \{5, 6, 7\}$. Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$ są równoliczne

b) zbiory $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Q_+}$ mają taką samą liczbę elementów

c) zbiory $\mathbb{Z}$ i $\mathbb{Q}$ są równoliczne

d) zbiór $(0;1)$ jest równoliczny z $\mathbb{R}$