Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne
Spis treści |
[edytuj] Potęgi i pierwiastki
[edytuj] Potęga o wykładniku całkowitym
Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.
|
|
DEFINICJA Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę |
Pamiętajmy o tym, że
nie ma sensu liczbowego.[1]
Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:
Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.
Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.
|
|
DEFINICJA Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi
|
Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:
Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:
| TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to: |
Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:
[edytuj] Pierwiastkowanie
Spójrzmy na definicję:
|
|
DEFINICJA Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i |
W
liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.
Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:
- jeśli
, to
np.
, ponieważ
; - ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza
; - n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np.
,
,
,
itd.
Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby
, czyli:
, ponieważ
,
, ponieważ
,
, ponieważ
.
Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako
zamiast
.
Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:
dla a nieujemnego i nieparzystego n
Na przykład:
,
,
.
W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.
Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.
W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.
| TWIERDZENIE Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:
|
Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:
,
,
,
.
Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.
Zauważmy, że dla n parzystego i
zachodzą poniższe własności:
, ale
.
Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.
Dla n nieparzystego i dowolnego
zachodzi[2]:
Zobaczmy na przykłady:
, ale także
, ponieważ
;
, ale
;
, a także
(
);
, ale
.
[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym
|
|
DEFINICJA Potęgę o podstawie |
Popatrzmy na kilka przykładów:
,
,
.
Nie wiemy, co oznacza
, czy też
. Co prawda
, ale wartość
pozostawimy niezdefiniowaną.
|
|
DEFINICJA Potęgę o podstawie |
I znowu popatrzmy na kilka przykładów:
,![81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27](//upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/4/5/2/452131e032239e3508115dd92ede9897.png)
![27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9](//upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/4/1/8/418edb2142cf6c1c7e69597f10f90dab.png)
Dla potęg zachodzą poniższe własności:
| TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:
|
Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:
,
,
.
[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych
[edytuj] Kolejność wykonywania działań
Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:
- potęgowanie lub pierwiastkowanie,
- mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
- dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).
Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.
Przykład 1.
- Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.- Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.
Przykład 2.
- Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.- Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
- najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):



,- następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

- i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.- Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.
Przykład 3.
Przykład 4.
[edytuj] Wzory skróconego mnożenia
Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:
(kwadrat sumy),
(kwadrat różnicy),
(różnica kwadratów),
(sześcian sumy),
(sześcian różnicy),
(suma sześcianów),
(różnica sześcianów).
Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:
,
,
,
choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:
.
Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:
.
Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.
[edytuj] Różne prawa działań
Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:
Czyli np.
, podobnie też
. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ
czy też
.
Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:
,
,
czyli na przykład:
, ponieważ
, a także
.
Podobnie dla mnożenia:
, ponieważ
- i
.
Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:
, dosyć duża różnica.
, różnica jeszcze większa.
Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):
- jeśli
, to
(skreśliliśmy c), - jeśli
i
, to
(także skreśliliśmy c)
Przykłady:
- Jeśli
, to
. - Jeśli
, to
.
Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:
- prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
- prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
- prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
- prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:
Zobaczmy na kilka przykładów:
,- podobnie:
,- a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:
,
,
.
Ze względu na tę własność, mianowicie
, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.
Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ
np.
,
,
.
Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi
, jednak
, np.
. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.
Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.
Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:
.
Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.
Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna
spełniająca warunek:
.
Liczbą odwrotną do 2 będzie
, do -10 będzie
, do
będzie
, a do
będzie
.
Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:
wtedy i tylko wtedy, gdy
,
np.
jedynie wtedy, gdy
.
Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.
Przypisy
- ↑ W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także
(zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie. - ↑ Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.





:
.












oznaczany przez
, która spełnia zależność
, to
np.
, ponieważ
;
;
,
,
itd.
, ponieważ
,
, ponieważ
,
, ponieważ
.
dla
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
, ale
.
, ale także
, ponieważ
;
, ale
;
, a także
(
);
, ale
.
określamy wzorem:![a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } a \geq 0](http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/4/e/3/4e39a2b1fabac4c399c4e9349179f77c.png)
,
,
.![a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.](http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/f/6/6/f66dfcacbb5b759c35e02d5844397cf5.png)

,![81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27](http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/4/5/2/452131e032239e3508115dd92ede9897.png)
![27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9](http://upload.wikimedia.org/wikibooks/pl/math/4/1/8/418edb2142cf6c1c7e69597f10f90dab.png)
,
,
.
.
.
.


,
.


(kwadrat sumy),
(kwadrat różnicy),
(różnica kwadratów),
(sześcian sumy),
(sześcian różnicy),
(suma sześcianów),
(różnica sześcianów).
,
,
,
.
.

,
,
, ponieważ
, a także
.
, ponieważ
.
, dosyć duża różnica.
, różnica jeszcze większa.
, to
(skreśliliśmy
i
, to
, to
.
, to
.



,
,
,
,
.
,
,
.
.
.
wtedy i tylko wtedy, gdy
,
(zob. np.