Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

< Matematyka dla liceum | Zaczynamy

Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Spis treści

1 Potęgi i pierwiastki
2 Działania na liczbach rzeczywistych

[edytuj] Potęgi i pierwiastki

[edytuj] Potęga o wykładniku całkowitym

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

$\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\ \end{matrix} \mbox{ dla } n>0$

$a^0=1 \mbox{ dla } n=0 \mbox{ i } a \neq 0$

Pamiętajmy o tym, że $00$ nie ma sensu liczbowego.^[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

$2^3=2 \sdot 2 \sdot 2=8$
$3^4=3 \sdot 3 \sdot 3 \sdot 3 =81$
$5^0=1\,$

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi $a n$ :

$a^{-n}=\frac{1}{a^n} \mbox{ dla } a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \mbox{ i } n \in \mathbb{N_+}$ .

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27$
$(-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac{1}{16}$

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

$a^n \sdot a^m=a^{n+m}$

$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

$\left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}$

$(a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n$

$\left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}$

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

$3^{-3} \cdot 3^3 = 3^{-3 + 3} = 3^0 = 1$

$\frac{(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}} = (-7)^{-100-(-98)}= (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}$

$\left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$

$(-5)^5 \cdot (-2)^3 = (-5)^2 \cdot (-5)^3 \cdot (-2)^3 = 25 \cdot ((-5)^3 \cdot (-2)^3) = 25 \cdot ((-5) \cdot (-2))^3 = 25 \cdot 10^3 = 25000$

[edytuj] Pierwiastkowanie

Spójrzmy na definicję:

DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i $n \in N, n \geq 2$ oznaczany przez $\sqrt[n]{a}$ to liczba $b \geq 0$ , która spełnia zależność $b n = a$ .

W $\sqrt[n]{a}$ liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

jeśli $b = \sqrt[n]{a}$ , to $b^n = a\$ np. $4 = \sqrt[3]{64}$ , ponieważ $43 = 64$ ;
ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza $\sqrt[4]{-81}$ ;
n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. $\sqrt[2]{a}$ , $\sqrt[3]{a}$ , $\sqrt[4]{a}$ , $\sqrt[5]{a}$ itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby $b n = a$ , czyli:

$\sqrt{9} = 3$ , ponieważ

32 = 9

,

$\sqrt[3]{125} = 5$ , ponieważ

53 = 125

,

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$ , ponieważ $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako $\sqrt{a}$ zamiast $\sqrt[2]{a}$ .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ dla a nieujemnego i n nieparzystego

Na przykład:

$\sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = - 3$ ,

$\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2$ ,

$\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5$ .

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

$\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ ,
$\sqrt[n]{a \over b}={\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}} \mbox{ dla } b>0$ ,
$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}$ ,
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}$ .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

$\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 6 \cdot 7 = 42$ ,
$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2}{5}$ ,
$\sqrt[3]{27^4} = \sqrt[3]{27}^4 = \sqrt[3]{3^3}^4 = 3^4 = 81$ ,
$\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$ .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i $a \geq 0$ zachodzą poniższe własności:

$\sqrt{a^n} = a$ , ale
$\sqrt{(-a)^n} = a$ .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego $a \in \mathbb{R}$ zachodzi^[2]:

$\sqrt[n]{a^n} = a$

Zobaczmy na przykłady:

$\sqrt{5^2} = 5$ , ale także $\sqrt{(-5)^2} = 5$ , ponieważ

( - 5) 2 = 25 = 5 2

;

$\sqrt[3]{2^3} = 2$ , ale $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \neq 2$ ;

$\sqrt[4]{8^4} = 8$ , a także $\sqrt[4]{(-8)^4} = 8$ (

84 = ( - 8) 4

);

$\sqrt[5]{7^5} = 7$ , ale $\sqrt[5]{(-7)^5} = -7 \neq 7$ .

[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym

DEFINICJA

Potęgę o podstawie $a \geq 0$ i wykładniku $\mathbf{1 \over n}$ określamy wzorem:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } a \geq 0$

Popatrzmy na kilka przykładów:

$4^\frac{1}{2} = \sqrt{4}=2$ ,
$25^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{25} = \sqrt[2 \cdot 2]{25} = \sqrt{\sqrt{25}} = \sqrt{5}$ ,
$27^\frac{1}{3}= \sqrt[3]{27}=3$ .

Nie wiemy, co oznacza $(-9)^\tfrac{1}{2}$ , czy też $(-27)^\tfrac{1}{3}$ . Co prawda $\sqrt[3]{-27} = -3$ , ale wartość $(-27)^\tfrac{1}{3}$ pozostawimy niezdefiniowaną.

DEFINICJA

Potęgę o podstawie $a \geq 0$ i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.$

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}} \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.$

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

$4^\tfrac{3}{2} = \sqrt{4}^3 = 2^3 = 8$ ,
$81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27$
$27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9$

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

$a^n \sdot a^m=a^{n+m}$ ,
$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ ,
$\left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}$ ,
$(a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n$ ,
$\left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}$ .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

$5^{30{,}5} \cdot 5^{-28{,}5} = 5^{30{,}5-28{,}5} = 5^2 = 25$ ,
$\frac{16^{3{,}75}}{16^4} = 16^{3{,}75-4} = 16^{-0{,}25} = \frac{1}{16^{0{,}25}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}$ ,
$2^{\sqrt{2} - 1} \cdot 2^{3 - \sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2}} = 2^2 = 4$ .

[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych

[edytuj] Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

potęgowanie lub pierwiastkowanie,
mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

$2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5$

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenie i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:

$2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 5 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 25$ .

Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):

2 + 2 - 3 - 25 = 4 - 3 - 25 = 1 - 25 = - 24

.

Przykład 2.

$2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3}$

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:

$2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3} = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3}$ .

Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:

najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):

$8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 4 \cdot 6 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 24 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8}$ ,

następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

$8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{24 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{16}$

i w końcu wyciągamy pierwiastek:

$8 + 9 + \sqrt{16} = 8 + 9 + 4$ .

Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

$2^{3+2} - \sqrt{2^{3-2} : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 2^5 -\sqrt{ 2^1 : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 32 - \sqrt{\frac{9}{4}} = 32 - \frac{3}{2} = 30{,}5$

Przykład 4.

$\sqrt{(4^2 + 6^2):(2:13)} + 2 = \sqrt{(16 + 36):\frac{2}{13}} + 2 = \sqrt{52 \cdot \frac{13}{2}} + 2= 13\sqrt{2} + 2$

[edytuj] Wzory skróconego mnożenia

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

$(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2$ (kwadrat sumy),
$(a - b) 2 = a 2 - 2 a b + b 2$ (kwadrat różnicy),
$a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ (różnica kwadratów),
$(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3$ (sześcian sumy),
$(a - b) 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3$ (sześcian różnicy),
$a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)$ (suma sześcianów),
$a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)$ (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

$(3+5)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64$ ,
$9^3 - 8^3 = (9-8)(9^2 + 9 \cdot 8 + 8^2) = 1 \cdot (81 + 72 + 64) = 217$ ,
$(4+3)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3^2 + 3^3 = 64 + 144 + 108 + 27 = 343$ ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

$4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3$ .

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

$4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 = (4-5)^3 = -1$ .

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

[edytuj] Różne prawa na działaniach

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

$a + b = b + a$
$a \sdot b = b \sdot a$

Czyli np. $10 + 20 = 20 + 10$ , podobnie też $5 \cdot 6 = 6 \cdot 5$ . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ $5 - 6 = -1 \neq 6 - 5 = 1$ czy też $6:2 = 3 \neq 2:6 = \frac{1}{3}$ .

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

$(a + b) + c = a + (b + c)$ ,
$(a \sdot b) \sdot c = a \sdot (b \sdot c)$ ,

czyli na przykład:

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

, ponieważ

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

, a także

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

.

Podobnie dla mnożenia:

$(3 \cdot 5) \cdot 2 = 3 \cdot (5 \cdot 2)$ , ponieważ

$(3 \cdot 5) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30$

i $3 \cdot (5 \cdot 2) = 3 \cdot 10 = 30$ .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

$(8 - 5) - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 8 - (5 - 2) = 8 - 3 = 5$ , dosyć duża różnica.
$(12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2 \neq 12 : (2 : 3) = 12 : \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18$ , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

jeśli $a + c = b + c$ , to $a = b$ (skreśliliśmy c),
jeśli $a \sdot c=b \sdot c$ i $c \neq 0$ , to $a = b$ (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

Jeśli $a + 10 = 20 + 10$ , to $a = 20$ .
Jeśli $a \cdot 3 = 4 \cdot 3$ , to $a = 4$ .

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

$a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c$
prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:

$a \cdot (b-c)=a \cdot b - a \cdot c$
prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:

$\frac{(a+b)}{c}= \frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

$\frac{(a-b)}{c}= \frac{a}{c}-\frac{b}{c}$

Zobaczmy na kilka przykładów:

$5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25$ ,

podobnie:

(25 - 10):5 = 25:5 - 10:5 = 5 - 2 = 3

,

a także:

$15 \cdot 28 = 15 \cdot (30-2) = 15 \cdot 30 - 15 \cdot 2 = 450 - 30 = 420$

Ważną obserwacją jest na przykład:

10 + 0 = 0 + 10 = 10

,

- 5 + 0 = - 5

,

$0 + 3\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$ .

Ze względu na tę własność, mianowicie $a + 0 = 0 + a = a$ , liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ $a \cdot 1=1 \sdot a=a$ np.

$10 \cdot 1 = 10$ ,

$1 \cdot 4 = 4$ ,

$-3 \cdot 1 = -3$ .

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi $a :1 = a$ , jednak $a : 1 \neq 1 : a$ , np. $5 : 1 \neq 1 : 5 = \frac{1}{5}$ . Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

a + ( - a) = 0

.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna $\mathbf\frac{1}{a}$ spełniająca warunek:

$a \sdot \frac{1}{a}=1$ .

Liczbą odwrotną do 2 będzie $\frac{1}{2}$ , do -10 będzie $-\frac{1}{10}$ , do $\frac{3}{7}$ będzie $\frac{7}{3}$ , a do $- π$ będzie $-\frac{1}{\pi}$ .

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

$(a \sdot b = 0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy

a = 0 lub b = 0

,

np. $2 \cdot a = 0$ jedynie wtedy, gdy $a = 0$ .

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.

Przypisy

↑ W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także $00 = 1$ (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
↑ Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.

« Zbiory

Spis treści

Rozwiązywanie równań i nierówności »

[0] W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także $00 = 1$ (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.

[1] Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.

[1]

[2]

Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Potęgi i pierwiastki

[edytuj] Potęga o wykładniku całkowitym

[edytuj] Pierwiastkowanie

[edytuj] Potęga o wykładniku wymiernym

[edytuj] Działania na liczbach rzeczywistych

[edytuj] Kolejność wykonywania działań

[edytuj] Wzory skróconego mnożenia

[edytuj] Różne prawa na działaniach

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia