Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku całkowitym

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

DEFINICJA Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę $\begin{matrix} a^n= & \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a} \\ & n \mbox{ czynnik} \acute \mbox{o} {w} \\ \end{matrix} \mbox{ dla } n>0$ $a^n=1 \mbox{ dla } n=0 \mbox{ i } a \neq 0$

Pamiętajmy o tym, że $0^0$ nie ma sensu liczbowego.

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

• $2^3=2 \sdot 2 \sdot 2=8$
• $3^4=3 \sdot 3 \sdot 3 \sdot 3 =81$
• $5^0=1\,$

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

DEFINICJA Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi $a^n$: $a^{-n}=\frac{1}{a^n} \mbox{ dla } a \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \mbox{ i } n \in \mathbb{N_+}$.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

• $3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$
• $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
• $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=27$
• $(-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac{1}{16}$

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to: $a^n \sdot a^m=a^{n+m}$ $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ $\left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}$ $(a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n$ $\left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}$

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:

• $3^{-3} \cdot 3^3 = 3^{-3 + 3} = 3^0 = 1$

• $\frac{(-7)^{-100}}{(-7)^{-98}} = (-7)^{-100-(-98)}= (-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}$

• $\left(10^2\right)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 = 1000000$

• $(-5)^5 \cdot (-2)^3 = (-5)^2 \cdot (-5)^3 \cdot (-2)^3 = 25 \cdot ((-5)^3 \cdot (-2)^3) = 25 \cdot ((-5) \cdot (-2))^3 = 25 \cdot 10^3 = 25000$

Pierwiastkowanie

Spójrzmy na definicję:

DEFINICJA Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i $n \in N, n \geq 2$ oznaczany przez $\sqrt[n]{a}$ to liczba $b \geq 0$, która spełnia zależność $b^n = a$.

W $\sqrt[n]{a}$ liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

• jeśli $b = \sqrt[n]{a}$, to $b^n = a\$ np. $4 = \sqrt[3]{64}$, ponieważ $4^3 = 64$;
• ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza $\sqrt[4]{-81}$;
• n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. $\sqrt[2]{a}$, $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[4]{a}$, $\sqrt[5]{a}$ itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby $b^n = a$, czyli:

$\sqrt{9} = 3$, ponieważ $3^2 = 9$,

$\sqrt[3]{125} = 5$, ponieważ $5^3 = 125$,

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$, ponieważ $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$.

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako $\sqrt{a}$ zamiast $\sqrt[2]{a}$.

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

$\sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = - 3$,

$\sqrt[5]{-32} = -\sqrt[5]{32} = -2$,

$\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5$.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

TWIERDZENIE Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, a a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to: $\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, $\sqrt[n]{a \over b}={\sqrt[n]{a} \over \sqrt[n]{b}} \mbox{ dla } b>0$, $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}$, $\left(\sqrt[n]{a}\right)^p=\sqrt[n]{a^p}$.

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

• $\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{7^2} = 6 \cdot 7 = 42$,
• $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{2}{5}$,
• $\sqrt[3]{27^4} = \sqrt[3]{27}^4 = \sqrt[3]{3^3}^4 = 3^4 = 81$,
• $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$.

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i $a \geq 0$ zachodzą poniższe własności:

• $\sqrt[n]{a^n} = a$, ale
• $\sqrt[n]{(-a)^n} = a$.

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego $a \in \mathbb{R}$ zachodzi:

• $\sqrt[n]{a^n} = a$

Zobaczmy na przykłady:

$\sqrt{5^2} = 5$, ale także $\sqrt{(-5)^2} = 5$, ponieważ $(-5)^2 = 25 = 5^2$;

$\sqrt[3]{2^3} = 2$, ale $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \neq 2$;

$\sqrt[4]{8^4} = 8$, a także $\sqrt[4]{(-8)^4} = 8$ ($8^4 = (-8)^4$);

$\sqrt[5]{7^5} = 7$, ale $\sqrt[5]{(-7)^5} = -7 \neq 7$.

Potęga o wykładniku wymiernym

DEFINICJA Potęgę o podstawie $a \geq 0$ i wykładniku $\mathbf{1 \over n}$ określamy wzorem: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \mbox{ dla } n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } a \geq 0$

Popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^\frac{1}{2} = \sqrt{4}=2$,
• $25^\frac{1}{4} = \sqrt[4]{25} = \sqrt[2 \cdot 2]{25} = \sqrt{\sqrt{25}} = \sqrt{5}$,
• $27^\frac{1}{3}= \sqrt[3]{27}=3$.

Nie wiemy, co oznacza $(-9)^\tfrac{1}{2}$, czy też $(-27)^\tfrac{1}{3}$. Co prawda $\sqrt[3]{-27} = -3$, ale wartość $(-27)^\tfrac{1}{3}$ pozostawimy niezdefiniowaną.

DEFINICJA Potęgę o podstawie $a \geq 0$ i wykładniku wymiernym określamy wzorem: $a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.$ $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}} \mbox{ dla } a \geq 0,~n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \mbox{ i } m \in \mathbb{N_+}.$

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

• $4^\tfrac{3}{2} = \sqrt{4}^3 = 2^3 = 8$,
• $81^\tfrac{3}{4} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27$
• $27^\tfrac{2}{3} = \sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9$

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to: $a^n \sdot a^m=a^{n+m}$, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$, $\left(a^n\right)^m=a^{n \sdot m}$, $(a \sdot b)^n=a^n \sdot b^n$, $\left( \frac{a}{b} \right)^n={a^n \over b^n}$.

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

• $5^{30{,}5} \cdot 5^{-28{,}5} = 5^{30{,}5-28{,}5} = 5^2 = 25$,
• $\frac{16^{3{,}75}}{16^4} = 16^{3{,}75-4} = 16^{-0{,}25} = \frac{1}{16^{0{,}25}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}$,
• $2^{\sqrt{2} - 1} \cdot 2^{3 - \sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2}} = 2^2 = 4$.

Działania na liczbach rzeczywistych

Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

$2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5$

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:

$2 + 2 - 3 - 20:4 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 5 \cdot 5 = 2 + 2 - 3 - 25$.

Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):

$2 + 2 - 3 - 25 = 4 - 3 - 25 = 1 - 25 = -24$.

Przykład 2.

$2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3}$

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:

$2^3 + 3^2 + \sqrt{-1 + 5^2 - 16:4 \cdot 6 : 3} = 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3}$.

Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:

najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):

$8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 16:4 \cdot 6 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 4 \cdot 6 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 24 : 3} =$

$= 8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8}$,

następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:

$8 + 9 + \sqrt{-1 + 25 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{24 - 8} = 8 + 9 + \sqrt{16}$

i w końcu wyciągamy pierwiastek:

$8 + 9 + \sqrt{16} = 8 + 9 + 4$.

Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

$8 + 9 + 4 = 17 + 4 = 21$

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

$2^{3+2} - \sqrt{2^{3-2} : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 2^5 -\sqrt{ 2^1 : 2 \cdot \frac{9}{4}} = 32 - \sqrt{\frac{9}{4}} = 32 - \frac{3}{2} = 30{,}5$

Przykład 4.

$\sqrt{(4^2 + 6^2):(2:13)} + 2 = \sqrt{(16 + 36):\frac{2}{13}} + 2 = \sqrt{52 \cdot \frac{13}{2}} + 2= 13\sqrt{2} + 2$

Wzory skróconego mnożenia

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

• $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ (kwadrat sumy),
• $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ (kwadrat różnicy),
• $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ (różnica kwadratów),
• $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ (sześcian sumy),
• $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ (sześcian różnicy),
• $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ (suma sześcianów),
• $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

• $(3+5)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64$,
• $9^3 - 8^3 = (9-8)(9^2 + 9 \cdot 8 + 8^2) = 1 \cdot (81 + 72 + 64) = 217$,
• $(4+3)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3^2 + 3^3 = 64 + 144 + 108 + 27 = 343$,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

$4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3$.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

$4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 5^2 - 5^3 = (4-5)^3 = -1$.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

• $a+b = b+a$
• $a \sdot b = b \sdot a$

Czyli np. $10 + 20 = 20 + 10$, podobnie też $5 \cdot 6 = 6 \cdot 5$. Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ $5 - 6 = -1 \neq 6 - 5 = 1$ czy też $6:2 = 3 \neq 2:6 = \frac{1}{3}$.

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

• $(a+b)+c = a+(b+c)$,
• $(a \sdot b) \sdot c = a \sdot (b \sdot c)$,

czyli na przykład:

$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)$, ponieważ

$(2+3) + 4 = 5 + 4 = 9$, a także

$2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$.

Podobnie dla mnożenia:

$(3 \cdot 5) \cdot 2 = 3 \cdot (5 \cdot 2)$, ponieważ

$(3 \cdot 5) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30$

i $3 \cdot (5 \cdot 2) = 3 \cdot 10 = 30$.

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

• $(8 - 5) - 2 = 3 - 2 = 1 \neq 8 - (5 - 2) = 8 - 3 = 5$, dosyć duża różnica.
• $(12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2 \neq 12 : (2 : 3) = 12 : \frac{2}{3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18$, różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

• jeśli $a+c=b+c$, to $a=b$ (skreśliliśmy c),
• jeśli $a \sdot c=b \sdot c$ i $c \neq 0$, to $a=b$ (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

• Jeśli $a + 10 = 20 + 10$, to $a = 20$.
• Jeśli $a \cdot 3 = 4 \cdot 3$, to $a = 4$.

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

• prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:

  $a \cdot (b+c)=a \cdot b + a \cdot c$

• prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:

  $a \cdot (b-c)=a \cdot b - a \cdot c$

• prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:

  $\frac{(a+b)}{c}= \frac{a}{c}+\frac{b}{c}$

• prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

  $\frac{(a-b)}{c}= \frac{a}{c}-\frac{b}{c}$

Zobaczmy na kilka przykładów:

$5 \cdot (2 + 3) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25$,

podobnie:

$(25 - 10) : 5 = 25:5 - 10:5 = 5 - 2 = 3$,

a także:

$15 \cdot 28 = 15 \cdot (30-2) = 15 \cdot 30 - 15 \cdot 2 = 450 - 30 = 420$

Ważną obserwacją jest na przykład:

$10 + 0 = 0 + 10 = 10$,

$-5 + 0 = -5$,

$0 + 3\frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$.

Ze względu na tę własność, mianowicie $a+0=0+a=a$, liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ $a \cdot 1=1 \sdot a=a$ np.

$10 \cdot 1 = 10$,

$1 \cdot 4 = 4$,

$-3 \cdot 1 = -3$.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi $a : 1 = a$, jednak $a : 1 \neq 1 : a$, np. $5 : 1 \neq 1 : 5 = \frac{1}{5}$. Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

$a+(-a)=0$.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna $\mathbf\frac{1}{a}$ spełniająca warunek:

$a \sdot \frac{1}{a}=1$.

Liczbą odwrotną do 2 będzie $\frac{1}{2}$, do -10 będzie $-\frac{1}{10}$, do $\frac{3}{7}$ będzie $\frac{7}{3}$, a do $-\pi$ będzie $-\frac{1}{\pi}$.

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

$(a \sdot b = 0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0 \mbox{ lub } b=0$,

np. $2 \cdot a = 0$ jedynie wtedy, gdy $a = 0$.

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.

Przypisy

---