Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj


Równania[edytuj]

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  •  x = 1 ,
  •  t + 2 = 3 ,
  •  x + 2y = 7 ,
  •  z^2 - 5 = -1 ,
  •  a^2 + b^2 = c^2 .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania  x = 1 jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

 1 = 1 ,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np.  x = 3 . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

 3 = 1 ,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład,  t + 2 = 3 ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

 1 + 2 = 3
 3 = 3

zatem t = 1 będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania z^2 - 5 = -1 rozwiązaniem będzie  z = 2 lub  z=-2 , ponieważ:

 2^2 - 5 = -1
 -1 = -1
 (-2)^2 -5 = -1
 4-5=-1 i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie z = 3, ponieważ:

 3^2 - 5 = -1
 4 = -1 i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu  4 = -1 , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać  4 \neq -1 (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie z^2 - 5 = -1 i chcemy pokazać, że  z = 3 nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

 L = z^2 - 5 ,
 P = -1 .

Jeśli  z = 3 , to:

 L = 3^2 - 5 = 4 ,

ale

 4 \neq -1 ,

a więc:

 L \neq P .

Równanie nie jest spełnione, zatem z = 3 nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość  L = P , to równanie zostałoby spełnione przez z = 3, a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań[edytuj]

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. x + 5 = 7, to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

x = 7 - 5, czyli
x = 2

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

x + 5 - 5 = 7 - 5
x = 7 - 5.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli  2x + 5 = 6 , to  2x = 6 - 5 ,
  • jeśli  3x = x + 2 , to  3x - x = 2 ,
  • jeśli  x^2 - 2 = 3+x , to  x^2 - 2 - x = 3 .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  •  \frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right. - obustronnie mnożymy przez 2
  •  3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right. - obustronnie dzielimy przez 3
  •  \frac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \frac{4}{3}\right. - obustronnie mnożymy przez \frac{4}{3}.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  •  2x + 3 = 5 (1)
  •  -x + 2 = 0 (2)
  •  100x - \frac{1}{2} = 0 (3)
  •  \frac{7x + 2}{2} = 6 (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

 2x + 3 = 5\ \ \left/{-}\ 3\right.
 2x = 5 - 3 = 2\ \ \left/{:}\ 2\right. - obustronnie dzielimy przez 2
 x = 1 , które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

 -x + 2 = 0
 -x = -2\ \ \left/{\cdot}\ (-1)\right.
 x = 2

Teraz zrobimy (3):

 100x - \frac{1}{2} = 0
 100x = \frac{1}{2}\ \ \left/{:}\ 100\right.
 x = \frac{1}{200}

Pozostał ostatni przykład:

\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.
7x+2 = 12
7x = 10\ \ \left/{:}\ 7\right.
x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • -2x + 4 \geq -3x + 5 (3)
  •  -\frac{1}{2} x + 3 \geq 5 (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla  \frac{x}{2} < 2 będziemy mieli:
 \frac{x}{2} < 2  \ /{\cdot}\ 2
 x < 2 \cdot 2 (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla  \frac{x}{-2} \leq 2 będzie:
 \frac{x}{-2} \leq 2  \ /{\cdot}\ (-2) (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)
 x \geq 2 \cdot (-2)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

 2x > 3
 2x > 3\ \ /{:}\ 2
 x > 1\frac{1}{2}

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

 5x - 2 < 2
 5x < 2 + 2 = 4\ \ /{:} 5
 x < \frac{4}{5}

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

 -2x + 4 \geq -3x + 5
 -2x + 3x \geq 5 - 4
 x \geq 1

I został ostatni przykład (4):

 -\frac{1}{2}x + 3 \geq 5
 -\frac{1}{2}x \geq 5 - 3
 -\frac{1}{2}x \geq 2\ \ /{\cdot}\ -2
 x \leq -4

Przypisy


  1. zdaniem niektórych