Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

• $x = 1$,
• $t + 2 = 3$,
• $x + 2y = 7$,
• $z^2 - 5 = -1$,
• $a^2 + b^2 = c^2$.

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania $x = 1$ jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

$1 = 1$,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. $x = 3$. Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

$3 = 1$,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, $t + 2 = 3$? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

$1 + 2 = 3$

$3 = 3$

zatem $t = 1$ będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania $z^2 - 5 = -1$ rozwiązaniem będzie $z = 2$ lub $z=-2$, ponieważ:

$2^2 - 5 = -1$

$-1 = -1$

$(-2)^2 -5 = -1$

$4-5=-1$ i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie $z = 3$, ponieważ:

$3^2 - 5 = -1$

$4 = -1$ i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu $4 = -1$, bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać $4 \neq -1$ (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie $z^2 - 5 = -1$ i chcemy pokazać, że $z = 3$ nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

$L = z^2 - 5$,

$P = -1$.

Jeśli $z = 3$, to:

$L = 3^2 - 5 = 4$,

ale

$4 \neq -1$,

a więc:

$L \neq P$.

Równanie nie jest spełnione, zatem $z = 3$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość $L = P$, to równanie zostałoby spełnione przez $z = 3$, a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań

Aby ładnie , a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. $x + 5 = 7$, to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

$x = 7 - 5$, czyli

$x = 2$

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

$x + 5 - 5 = 7 - 5$

$x = 7 - 5$.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

• jeśli $2x + 5 = 6$, to $2x = 6 - 5$,
• jeśli $3x = x + 2$, to $3x - x = 2$,
• jeśli $x^2 - 2 = 3+x$, to $x^2 - 2 - x = 3$.

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

• $\frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
• $3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
• $\frac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \frac{4}{3}\right.$ - obustronnie mnożymy przez $\frac{4}{3}$.

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

• $2x + 3 = 5$ (1)
• $-x + 2 = 0$ (2)
• $100x - \frac{1}{2} = 0$ (3)
• $\frac{7x + 2}{2} = 6$ (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

$2x + 3 = 5\ \ \left/{-}\ 3\right.$

$2x = 5 - 3 = 2\ \ \left/{:}\ 2\right.$ - obustronnie dzielimy przez 2

$x = 1$, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

$-x + 2 = 0$

$-x = -2\ \ \left/{\cdot}\ (-1)\right.$

$x = 2$

Teraz zrobimy (3):

$100x - \frac{1}{2} = 0$

$100x = \frac{1}{2}\ \ \left/{:}\ 100\right.$

$x = \frac{1}{200}$

Pozostał ostatni przykład:

$\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$

$7x+2 = 12$

$7x = 10\ \ \left/{:}\ 7\right.$

$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

• 2x > 3 (1)
• 5x - 2 < 2 (2)
• $-2x + 4 \geq -3x + 5$ (3)
• $-\frac{1}{2} x + 3 \geq 5$ (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla $\frac{x}{2} < 2$ będziemy mieli:

$\frac{x}{2} < 2 \ /{\cdot}\ 2$

$x < 2 \cdot 2$ (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)

ale dla $\frac{x}{-2} \leq 2$ będzie:

$\frac{x}{-2} \leq 2 \ /{\cdot}\ (-2)$ (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)

$x \geq 2 \cdot (-2)$

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

$2x > 3$

$2x > 3\ \ /{:}\ 2$

$x > 1\frac{1}{2}$

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

$5x - 2 < 2$

$5x < 2 + 2 = 4\ \ /{:} 5$

$x < \frac{4}{5}$

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

$-2x + 4 \geq -3x + 5$

$-2x + 3x \geq 5 - 4$

$x \geq 1$

I został ostatni przykład (4):

$-\frac{1}{2}x + 3 \geq 5$

$-\frac{1}{2}x \geq 5 - 3$

$-\frac{1}{2}x \geq 2\ \ /{\cdot}\ -2$

$x \leq -4$

Przypisy

---