Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Równania

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

$x = 1$ ,
$t + 2 = 3$ ,
$x + 2 y = 7$ ,
$z 2 - 5 = - 1$ ,
$a 2 + b 2 = c 2$ .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania $x = 1$ jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

1 = 1

,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. $x = 3$ . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

3 = 1

,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, $t + 2 = 3$ ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

1 + 2 = 3

3 = 3

zatem $t = 1$ będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania $z 2 - 5 = - 1$ rozwiązaniem będzie $z = 2$ lub $z = - 2$ , ponieważ:

22 - 5 = - 1

- 1 = - 1

( - 2) 2 - 5 = - 1

4 - 5 = - 1

i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie $z = 3$ , ponieważ:

32 - 5 = - 1

4 = - 1

i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu $4 = - 1$ , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać $4 \neq -1$ (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie $z 2 - 5 = - 1$ i chcemy pokazać, że $z = 3$ nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

L = z 2 - 5

,

P = - 1

.

Jeśli $z = 3$ , to:

L = 3 2 - 5 = 4

,

ale

$4 \neq -1$ ,

a więc:

$L \neq P$ .

Równanie nie jest spełnione, zatem $z = 3$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość $L = P$ , to równanie zostałoby spełnione przez $z = 3$ , a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

[edytuj] Przekształcanie równań

Aby ładnie ^[1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. $x + 5 = 7$ , to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

x = 7 - 5

, czyli

x = 2

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

x + 5 - 5 = 7 - 5

x = 7 - 5

.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

jeśli $2 x + 5 = 6$ , to $2 x = 6 - 5$ ,
jeśli $3 x = x + 2$ , to $3 x - x = 2$ ,
jeśli $x 2 - 2 = 3 + x$ , to $x 2 - 2 - x = 3$ .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

$\frac{x}{2} = 3\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$ - obustronnie mnożymy przez 2
$3x = 6\ \ \left/{:}\ 3\right.$ - obustronnie dzielimy przez 3
$\frac{3}{4}x = 2\ \ \left/{\cdot}\ \frac{4}{3}\right.$ - obustronnie mnożymy przez $\frac{4}{3}$ .

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

$2 x + 3 = 5$ (1)
$- x + 2 = 0$ (2)
$100x - \frac{1}{2} = 0$ (3)
$\frac{7x + 2}{2} = 6$ (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

$2x + 3 = 5\ \ \left/{-}\ 3\right.$

$2x = 5 - 3 = 2\ \ \left/{:}\ 2\right.$ - obustronnie dzielimy przez 2

x = 1

, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

- x + 2 = 0

$-x = -2\ \ \left/{\cdot}\ (-1)\right.$

x = 2

Teraz zrobimy (3):

$100x - \frac{1}{2} = 0$

$100x = \frac{1}{2}\ \ \left/{:}\ 100\right.$

$x = \frac{1}{200}$

Pozostał ostatni przykład:

$\frac{7x+2}{2} = 6\ \ \left/{\cdot}\ 2\right.$

7 x + 2 = 12

$7x = 10\ \ \left/{:}\ 7\right.$

$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

[edytuj] Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

2x > 3 (1)
5x - 2 < 2 (2)
$-2x + 4 \geq -3x + 5$ (3)
$-\frac{1}{2} x + 3 \geq 5$ (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład: