Matematyka ubezpieczeń życiowych/Elementy teorii oprocentowania

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Matematyka ubezpieczeń życiowych
Wprowadzenie
  1. Elementy teorii oprocentowania Etap rozwoju: 100% (w dniu 16.07.2008)
  2. Model demograficzny Etap rozwoju: 100% (w dniu 18.06.2008)
  3. Podstawowe ubezpieczenia życiowe Etap rozwoju: 75% (w dniu 12.11.2008)
  4. Renty życiowe Etap rozwoju: 25% (w dniu 17.06.2008)
  5. Składki netto Etap rozwoju: 25% (w dniu 15.07.2008)
  6. Rezerwy składek netto Etap rozwoju: 25% (w dniu 16.07.2008)
  7. Składki i rezerwy brutto Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  8. Wielorakie szkodowości Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  9. Ubezpieczenia na wiele żyć Etap rozwoju: 50% (w dniu 11.11.2008)
  10. Fundusze emerytalne Etap rozwoju: 00% (w dniu 1.06.2008)
  11. Literatura i strony WWW Etap rozwoju: 100% (w dniu 1.06.2008)

Dodatki:

  1. Wymagania egzaminacyjne Etap rozwoju: 100% (w dniu 15.07.2008)
Crystal Clear app kjobviewer.png Crystal Clear mimetype pdf.png

Spis treści

Niniejszy rozdział stanowi pewnego rodzaju elementarne wprowadzenie do zagadnień związanych z oprocentowaniem. W odróżnieniu od rozdziałów kolejnych dotyczyć on będzie sytuacji ściśle deterministycznych, pozbawionych czynnika losowego.

[edytuj] Akumulacja i dyskontowanie

Wszystkie procesy w niniejszym podręczniku będą mieć dwa modele - ciągły i dyskretny. Modele dyskretne będą oparte na wartościach poszczególnych wielkości w kolejnych latach lub podokresach lat.

[edytuj] Przypadek dyskretny

Rozpoczniemy od najprostszego przykładu lokaty terminowej na 1 rok. Na lokacie tej składamy na początku okresu jej trwania k0 = 1 zł. Oprocentowana w skali rocznej dla tej lokaty jest w wysokości i. Po roku otrzymamy więc

k_{1}=k_{0}(1+i).\;

Czynnik (1 + i) przez który musimy przemnożyć wyjściową kwotę nazywamy czynnikiem akumulującym, zaś liczbę i nazywamy stopą oprocentowania i wyrażamy w procentach.

Jeśli zamiast podejmować pieniądze wznowimy tę lokatę to po n latach otrzymamy

k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}.\;

Matematyka ubezpieczeń życiowych-4.svg

W powyższym rozumowaniu patrzyliśmy na początku inwestycji na to jaki będzie jej rezultat. Możemy odwrócić to rozumowanie i zapytać ile musimy zainwestować aby po n latach uzyskać zadany kapitał. Odpowiedź uzyskujemy z prostego przekształcenia wzoru

k_{0}=\frac{k_{n}}{(1+i)^{n}}.\;

Czynnik \frac{1}{(1+i)} przez który (w odpowiedniej potędze) musimy pomnożyć kn (kwotę którą chcemy uzyskać) nazywamy czynnikiem dyskontującym i oznaczamy literą v

v=\frac{1}{1+i},\;

k_{0}=k_{n}v^{n}.\;

Stopa oprocentowania i dawała nam informację o ile procent więcej uzyskamy w wyniku inwestycji po 1 roku. Można teraz spytać inaczej. O ile procent mniejszą kwotą należało dysponować 1 rok temu aby uzyskać obecną kwotę. Wartość ta jest oznaczana literą d, wyrażana w procentach i nazywana stopą dyskontową

v=1-d.\;

Matematyka ubezpieczeń życiowych-5.svg

[edytuj] Przypadek ciągły

Przyzwyczajeni jesteśmy do myślenia o przepływie kapitału w sposób dyskretny (płatność jest dokonywana w konkretnym momencie czasu). W modelu ciągłym musimy zmienić nieco nasz sposób myślenia i postrzegać przepływ środków finansowych jako strumień o pewnej intensywności.

By to sobie uzmysłowić posłużymy się przykładem w którym pewną płatność za dany okres czasu będziemy dzielić na równe raty za coraz drobniejsze podokresy. Dokonując przejścia granicznego otrzymujemy nieskończenie wiele nieskończenie drobnych przepływów finansowych. Powyższy opis jakościowy ujmijmy teraz metodami ilościowymi. Tym razem posłużymy się przykładem inwestycji na okres jednego roku oraz inwestycji na podokresy roku. Przez i(m) oznaczać będziemy nominalną stopę oprocentowania z kapitalizacją w podokresach długości \frac{1}{m} roku. Równoważną takiemu składanemu oprocentowaniu stopę oprocentowania i (za cały rok) otrzymamy z zależności

\Bigg(1+\frac{i^{m}}{m}\Bigg)^{m}=1+i\;

analogicznie dla stóp dyskontowych mamy:

\Bigg(1-\frac{d^{m}}{m}\Bigg)^{m}=1-d\;

Niech teraz m dąży do nieskończoności. Wprowadźmy oznaczenie:

\delta=\lim_{m\to\infty}i^{(m)}.\;

Wielkość ta jest nazywana intensywnością oprocentowania (ang. force of interest)

Łatwo zauważyć po zapisaniu zależności między i(m) a i w postaci

i^{(m)}=\frac{(1+i)^{1/m}-(1+i)^{0}}{1/m},\;

że δ jest pochodną funkcji (1 + i)x w punkcie x = 0. Otrzymujemy więc zależność

\delta=\ln(1+i).\;

Jaka jest jednak granica d(m)? Okazuje się, że taka sama. Łatwo bowiem pokazać, że

\frac{1}{d^{(m)}}=\frac{1}{m}+\frac{1}{i^{(m)}}\;

a stąd wykazuje się, że

\lim_{m\to\infty}d^{(m)}=\lim_{m\to\infty}i^{(m)}=\delta.\;

Gdy oprocentowanie jest ciągłe różnica pomiędzy oprocentowaniem z góry i z dołu (czyli między akumulacją i dyskontowaniem) znika.

[edytuj] Podsumowanie

Zależności pomiędzy opisywanymi wielkościami ujmuje poniższa tabela

Nazwa Oznaczenie i\, d\, v\, \delta\,
stopa oprocentowania i\, -\, i=\frac{d}{1-d}\, i=\frac{1}{v}-1\, i=e^{\delta}-1\,
stopa dyskontowa d\, d=\frac{i}{1+i}\, -\, d=1-v\, d=1-e^{\delta}\,
czynnik dyskontujący v\, v=\frac{1}{1+i}\, v=1-d\, -\, v=e^{-\delta}\,
natężenie oprocentowania \delta\, \delta=\ln(1+i)\, \delta=\ln\frac{1}{1-d}\, \delta=\ln\frac{1}{v}\, -\,
czynnik akumulujący 1+i\, \frac{1}{1-d}\, \frac{1}{v}\, e^{\delta}\,

Najłatwiej przyswoić sobie powyższe wzory zapamiętując, że:

  • v+d=1,\;
  • i\cdot v=d,\;
  • e^{\delta}=1+i.\;

[edytuj] Renty

Renty w matematyce finansowej rozumiane są jako ciągi płatności. Będziemy posługiwali się wartościami obecnymi dla ciągów płatności jednostkowych. Mogą to być płatności dokonywane na początku lub na końcu roku przez pewną liczbę lat. W przypadku płatności na początku każdego roku przez n, wartość obecną takich przepływów finansowych oznaczamy symbolem \ddot{a}_{\overline{n}|} i jest ona równa

\ddot{a}_{\overline{n}|}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}=\frac{1-v^{n}}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{d}.\;

Po przekształceniu otrzymujemy:

d\ddot{a}_{\overline{n}|}+v^{n}=1.\;

Interpretacja: Zaciągnięty dług na kwotę 1 będzie spłacony po n latach. Zdyskontowana wartość tej płatności jest równa vn. Odsetki spłacane są na bieżąco, na początku każdego roku w wysokości d

Natomiast w przypadku płatności na koniec roku stosujemy oznaczenie a_{\overline{n}|} i wartość obecną wyrażamy następująco

a_{\overline{n}|}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}=\frac{v(1-v^{n})}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{i}.\;

Po przekształceniu otrzymujemy:

ia_{\overline{n}|}+v^{n}=1.\;

Interpretacja tego wzoru jest taka sama jak zaprezentowana wyżej z tą tylko różnicą, że płatności odsetek wnoszone są na koniec roku w wysokości d / v czyli i.

Analogiczna do powyższych formuła dla rent ciągłych ma postać:

\delta\bar{a}_{\overline{t}|}+v^{t}=1
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_ubezpiecze%C5%84_%C5%BCyciowych/Elementy_teorii_oprocentowania”