Mechanika kwantowa/Gęstość prawdopodobieństwa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Gęstość prawdopodobieństwa

Zastanówmy się, jaki sens fizyczny ma funkcja falowa? Z analogii do optyki można wysnuć wniosek, że jest interpretowana ona jako amplituda prawdopodobieństwa. Dla jednej cząstki opisanej funkcją falową \psi(\vec{r},t) \, jest ona amplitudą gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu \vec{r} \, w chwili t \,.


Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w objętości d^3r \, wokół punktu \vec{r} \, w chwili t \, jest opisana równaniem:


dP(\vec{r},t) = C|\psi(\vec{r},t)|^2d^3r


Występowanie stałej C \, jest spowodowana wymogiem poprawnej normalizacji. Chodzi o to, że funkcja falowa \psi(\vec{r},t) \, musi być znormalizowana - inaczej nie istnieją stany fizyczne z nią związane. Pod pojęciem znormalizowania kryje się wymóg, by prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni do której należy wektor położenia \vec{r} \, (przyp. - \mathbb{R}^3) \, było równe 1. Zapis tego warunku w postaci matematycznej wygląda następująco:


\int_{\mathbb{R}^3} dP(\vec{r},t) = 1 \,


Po podstawieniu za dP(\vec{r},t) z poprzedniego równania prawej strony równania otrzymujemy:


C\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\vec{r},t)|^2d^3r = 1 \,


Wynika z tego, że norma funkcji falowej w przestrzeni w której jest opisana musi być równa 1:


||\psi|| = 1 \,


Informacja: funkcja falowa została zapisana jako wektor danej przestrzeni funkcyjnej. Dalszym omówieniem tego zapisu zajmiemy się później.


Pojęcie gęstości prawdopodobieństwa nie odnosi się jedynie do położenia cząstki. Ogólniej odnosi się do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym stanie kwantowym, w otoczeniu punktu \vec{r} \, i w chwili t \,


Jak widać funkcja falowa musi być całkowalna w kwadracie, lub w postaci ważnej w mechanice kwantowej zasady:


Nie wszystkie poprawne matematycznie rozwiązania równań falowych mają fizyczny sens. Jedynie sens fizyczny mają rozwiązania (funkcje falowe) będące całkowalne w kwadracie


W postaci matematycznej powyższa zasada wygląda następująco:


\int_{\mathbb{R}^3} |\psi(\vec{r},t)|^2d^3r = 1 < \infty \,


Z warunku normalizacyjnego funkcji można wyciągnąc dwa ważne wnioski:


  • Jeżeli dwie funkcje falowe róznią się o stały czynnik (\psi_1(\vec{r},t) = \alpha\psi_2(\vec{r},t), \alpha \in \mathbb{C}) to opisują one ten sam układ fizyczny. Wynika to ze znikania czynnika przy normalizacji.


  • Aby funkcja falowa była całkowalna w kwadracie, to następujący warunek musi być spełniony:


\lim_{|\vec{r}| \to \infty} \psi(\vec{r},t)= 0 \,


W rozdziale mówiliśmy, że równanie Schrödingera jest nierelatywistyczne i nie może opisywać procesów anihilacji i kreacji par. Zatem by prawdopodobieństwo pojawienia i zniknięcia cząstki w układzie fizycznym było zerowe, gęstość prawdopodobieńswa musi być ciągła. Z tego wynika wymóg ciągłości funkcji falowej i jej gradientu.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/G%C4%99sto%C5%9B%C4%87_prawdopodobie%C5%84stwa”