Mechanika kwantowa/Mechanika kwantowa-Tom pierwszy

Mechanika kwantowa

Mechanika kwantowa

Podstawy mechaniki kwantowej

W tym rozdziale przedstawimy podstawowe prawa mechaniki kwantowej będące podwalinami tejże teorii.

Zasada Huygensa

Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków.

Dyfrakcja falowa według zasady Huygensa.

Zasada Huygensa mówi, że punkt, do którego dotarła rozchodząca się fala, jest znów źródłem nowych fal. Poszczególne fale ulegają superpozycji. Oznacza to, że ich odchylenia od stanu normalnego dodają się jak dwie liczby zespolone:

$\psi=\psi_1+\psi_2\;$

(1.1)

Ogólnie superpozycję dowolnej liczby fal zapisujemy jako:

$\psi=\sum_{i}\psi_i\;$

(1.2)

Lub w postaci ciągłej, tzn. gdy parametr charakteryzujący poszczególne fale jest wielkością ciągłą:

$\psi(\underline{x},t)=\int \psi(\underline{x},t,\underline{k})d^n\underline{k}\;$

Jeśli założymy, iż wektor $\vec{k}\;$ jest skalarem, a $\underline{x}\;$ jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to $\vec{r}=\underline{x}\;$, wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą:

$\psi(\vec{r},t)=\int\psi(\vec{r},t,k)dk\;$

(1.3)

Dualizm korpuskularno-falowy

Dualizm korpuskularno-falowy jest cechą obiektów fizycznych, np. fotonów czy elektronów, polegającą na tym, iż w pewnych sytuacjach wykazują one cechy cząstek (korpuskuł), a w innych sytuacjach cechy fal. Mechanika kwantowa, przewiduje, iż cząstka nie musi zachowywać się tylko i wyłącznie jak fala czy cząstka, lecz może jednocześnie spełniać cechy stanu pośredniego. Wówczas nie należy stosować ani teorii Huygensa (teoria fal), ani mechaniki klasycznej (teoria Newtona lub Einsteina w zależności od prędkości cząstki klasycznej), lecz w tym celu należy posłużyć się mechaniką kwantową (klasyczną lub relatywistyczną, w zależności od wartości prędkości, jaką taka cząstka posiada).

Energia kwantu energii w zależności od częstości fali

Wiadomo, że fotony są cząstkami o charakterze korpuskularnym, według teorii Plancka energia takiego fotonu zapisujemy jako funkcja jej częstości zdefiniowanej jako odwrotność jej okresu drgań, jeśli fotony przyjmiemy jako fale, to energia cząstki wiążąca jej charakter korpuskularny z jej charakterem falowym jest przedstawiana według:

$E=h\nu\;$

(1.4)

Jeśli zdefiniujemy częstość kołową fali fotonów jako stosunek liczby 2π przez okres drgań omawianej fali, to jego energię w zależności od jej częstości kołowej drgań o stałej proporcjonalności równej stałej kreślonej Plancka jest zdefiniowana jako $\hbar={{h}/{2\pi}}\;$, ta energia korpuskułów będących fotonami jest równa:

$E=h\nu=h{{1}\over{T}}={{h}\over{2\pi}}{{2\pi}\over{T}}=\hbar\omega\;$

(1.5)

Zatem na podstawie (1.5) energią fotonu z jej częstością kołową jest przedstawiana wedle sposobu:

$E=\hbar\omega\;$

(1.6)

Należy pamiętać, że wzory (1.4) (wiążących energię korpuskuły z jej częstością przy stałej proporcjonalności stałej Plancka) i (1.5) (wiążących energię korpuskuły z jej częstością kołową przy stałej proporcjonalności stałej kreślonej Plancka) są ze sobą równoważne, tylko ten pierwszy wyraża się poprzez częstość fali fotonów, a drugi przez częstość kołową fali fotonów.

Efekt fotoelektryczny

W efekcie fotoelektrycznym fotony trafiają na ekran o pracy wyjścia W, i wybijają z niego elektrony o prędkościach v. Część energii takiego fotonu jest marnowana na pracę wyjścia elektronu z metalu, a pozostałość na energię kinetyczną wybitego obiektu, zatem korzystając ze wzoru (1.4) i z wyrażenia na klasyczną energię kinetyczną elektronu, to z zasady zachowania energii mamy wzór:

$h\nu={{mv^2}\over{2}}+W\;$

(1.7)

Energię kinetyczną rozpatrujemy według mechaniki klasycznej a nie relatywistycznej, bo energia takiego fotonu nie jest o wiele większa od energii spoczynkowej rozważanego elektronu.

Fale de Broglie'a

Energia fotonu w zależności od jej częstości fali fotonów jest tak jak we wzorze (1.4). Według wzoru (1.4) energia fotonu jest zależna liniowo od jego częstości fali fotonów, jeśli potraktować fotony jako fale mający pewną długość fali pędzących z prędkością fazową c, a więc mających pewną częstość. Według szczególnej teorii względności jego energia całkowita względem jej masy relatywistycznej (foton nie ma masy spoczynkowej, jego masa spoczynkowa jest równa zero) można przedstawić jako cząstki pędzące z prędkością grupową c napisaną według:

$E=mc^2\;$

(1.8)

Wzory (1.4) i (1.8) przedstawiają tą samą energię fotonu, raz jako fale pędzące z prędkością fazową równą c, a za drugim razem jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, więc możemy je przyrównać do siebie, dostajemy:

$h\nu=mc^2\;$

(1.9)

Wiemy, z definicji częstości dla fotonów pędzących z prędkością światła (prędkość fazowa), co można ją przedstawić od długości fali światła pędzących z prędkością światła:

$\nu={{1}\over{T}}={{c}\over{cT}}={{c}\over{\lambda}}\Rightarrow \nu={{c}\over{\lambda}}\;$

(1.10)

Podstawiając wzór (1.10) przedstawiający częstość fali fotonów w zależności od długości fali tegoż obiektu do (1.9), to dostajemy równoważne równanie:

${{hc}\over{\lambda}}=mc^2\;$

(1.11)

Skracając obustronnie równanie (1.11) przez stałą prędkości światła w próżni c, to ono przyjmuje postać wiążącą długość fali fotonów w zależności o jej masy relatywistycznej:

${{h}\over{\lambda}}=mc\;$

(1.12)

Ponieważ pęd fotonu jest wyrażony według wzoru$p=mc\;$ występującą w szczególnej teorii względności dla cząstek bezmasowych, to wzór na pęd fotonu możemy wykorzystać do wzoru (1.12) podstawiając za tą wielkość, by otrzymać pęd fotonu w zależności od długości fali fotonów pędzących z prędkością światła, zatem:

${{h}\over{\lambda}}=p\;$

(1.13)

Z równania de Broglie'a (1.13) możemy wyznaczyć długość fali fotonów, która jest przedstawiana w zależności od pędu fotonów, wtedy:

$\lambda={{h}\over{p}}\;$

(1.14)

Powyższe równanie jest słuszne tylko dla fotonu (dla cząstek nie mającej masy spoczynkowej), ale można je uogólnić dla dowolnej cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera, czyli zachodzi:$m_0\neq 0\;$, wtedy oznaczenia dla równanie (1.14) dla dowolnej cząstki są:

• $p\;$- to jest pęd relatywistyczny lub klasyczny cząstki,
• $h\;$- stała Plancka,
• $\lambda\;$- długość fal materii de Broglie dla dowolnej cząstki, jeśli potraktować cząstki masowe lub fotony jako fale o pewnej długości fali i prędkości fazowej.

Zapiszmy pęd cząstki w zależności od jej liczby falowej znając jej definicję oraz stałą kreśloną Plancka:

$p={{h}\over{\lambda}}=h{{1}\over{\lambda}}={{h}\over{2\pi}}{{2\pi}\over{\lambda}}=\hbar k\;$

(1.15)

Zatem pęd cząstki jest napisany w zależności od wartości liczby falowej przedstawianą:

$p=\hbar k\;$

(1.16)

Ale wiadomo, że wektory$\vec{p}\;$ (pęd cząstki) i $\vec{k}\;$ (wektor liczby falowej) są współliniowe i mają te same zwroty), to równanie (1.16) wektorowo możemy zapisać w postaci:

$\vec {p}=\hbar\vec{k}\;$

(1.17)

Oczywiste jest, że wzór skalarny (1.16) wynika ze wzoru wektorowego (1.17). Napiszmy wzór na energię kinetyczną cząstki znanego z mechaniki klasycznej przy pomocy wzoru (1.17). Z definicji energii kinetycznej jest ona wyrażona przy pomocy pędu danej cząstki. Jeśli wektor pędu wyrazimy przy pomocy wzoru wektorowego wyznaczając kwadrat obu jego stron, czyli równania (1.17), to jego energia w zależności od liczby falowej, jeśli potraktować cząstki jako fale materii o pewnej długości $\lambda\;$, zapisujemy w postaci:

$T={{p^2}\over{2m}}={{\hbar^2k^2}\over{2m}}\;$

(1.18)

Widzimy, że wzór na energię kinetyczną jest zależny od masy ciała i od liczby falowej, jeśli traktować cząstki jako fale de Broglie'a.

Ciało doskonale czarne według Plancka

Energia fotonu jest skwantowana tzn. jest zależna od całkowitego współczynnika n i częstości fotonów, jeśli potraktować je jako fale, przedstawia się:

$E_n=nh\nu\;$

(1.19)

Energia fotonu (1.19) jest wielokrotnością energii podstawowej E₀=hν według postulatu Plancka, ta energia fotonu jest zależna liniowo od częstości fali fotonów. Prawdopodobieństwo, że cząstka (foton) ma energię E_n jest określona przez wzór Boltzmanna w zależności od temperatury w jakim układ się on znajduje:

$P(E_n)=A e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}\;$

(1.20)

We wzorze (1.20) energia danego poziomu E_n jest napisana przez równanie (1.19). Średnia energia fotonu jest opisana jako średnia energia fotonu w układzie, wyrażona przy pomocy prawdopodobieństwa danego stanu o numerze n i jest określona przez wzór (1.20), jest pisana:

$\overline{E}={{\sum^{\infty}_{n=0} E_n e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{E_n}\over{k_BT}}}}}={{\sum^{\infty}_{n=0} n E_0 e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}}=k_BT{{\sum^{\infty}_{n=0} n {{E_0}\over{k_BT}} e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-{{n E_0}\over{k_BT}}}}}\;$

(1.21)

gdzie:

• $E_0=h\nu\;$, bo $E=nE_0\;$

Obierzmy wielkość, która zależy od temperatury układu i energii podstawowej stanu podstawowego (n=1) zależąca tylko od częstości fali fotonów w jakim może znajdować się bezmasowy foton:

$x_0={{E_0}\over{k_BT}}\;$

(1.22)

Średnia energia fononu w układzie napisana jest według (1.21), co po podstawieniu do niego (1.22), który jest zależny od temperatury układu i jego stanu podstawowego E₀, a to z kolei jest zależny od częstości fotonu znajdujących się w naszym rozważanym układzie:

$\overline{E}=k_BT{{\sum^{\infty}_{n=0} n x_0 e^{-nx_0}}\over{\sum^{\infty}_{n=0}e^{-nx_0}}}\;$

(1.23)

Wiadomo z analizy matematycznej, że zachodzi tożsamość wynikająca z własności szeregu potęgowego, bo eksponens e^-nx₀ tworzy pewnego rodzaju szereg potęgowy o ilorazie e^-x₀:

$\sum^{\infty}_{n=0}e^{-nx_0}=\lim_{n\rightarrow \infty}{{1-e^{-nx_0}}\over{1-e^{-x_0}}}={{1}\over{1-e^{-x_0}}}\;$

(1.24)

Tożsamość (1.24) możemy wykorzystać do policzenia mianownika wyrażenia (1.23). Zróżniczkujemy obustronnie równanie (1.24) względem x₀, otrzymujemy:

$\sum^{\infty}_{n=0}-ne^{-nx_0}=-{{-(-e^{-x_0})}\over{(1-e^{-x_0})^2}} \Rightarrow\sum^{\infty}_{n=0}ne^{-nx_0}=\;$ $={{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}} \Rightarrow\sum^{\infty}_{n=0}nx_0e^{-nx0}=x_0{{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}}\;$

(1.25)

Tożsamość (1.25) możemy użyć do policzenia licznika równania (1.23). Po podstawieniu tożsamości (1.25) i (1.24) do wzoru (1.23) oraz wykorzystując podstawienie (1.22) dostajemy wzór na średnią energię fotonu o danej częstości w układzie:

$\overline{E}=k_BT{{x_0{{e^{-x_0}}\over{(1-e^{-x_0})^2}}}\over{{{1}\over{1-e^{-x_0}}}}}=k_BTx_0{{e^{-x_0}}\over{1-e^{-x_0}}}{{e^{x_0}}\over{e^{x_0}}}=k_BT x_0{{1}\over{e^{x_0}-1}}=\;$ $= k_BT{{h\nu}\over{k_BT}}{{1}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}= h\nu{{1}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}} \;$

(1.26)

A zatem średnia energia całkowita fotonu w układzie jest zależna od jej częstości i temperatury układu fotonów, jest wyrażona według wzoru (1.26):

$\overline{E}={{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\;$

(1.27)

Zakładamy, że mamy sześcian o boku L, którego wartość odchyleń amplitud fali fotonów na brzegach sześcianu jest jednakowa i równa zero:

$\sum_i n_i{{\lambda_i}\over{2}}=L\Rightarrow [n_1,n_2,n_3][\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]=2L\;$

(1.28)

Ponieważ wektor liczb falowych nieujemnych $\vec{n}=[n_1,n_2,n_3]\;$ jest wektorem równoległym do wektora $\vec{\lambda}=[\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3]\;$, także $\vec{\lambda}^2=\lambda^2\;$ jest to kwadrat długości fali fotonów, te wspomniane wektory również mają ten sam zwrot, zatem mając wyrażenie (1.28) podnosimy je do kwadratu, to z definicji iloczynu skalarnego dla wektorów mających ten sam kierunek i zwrot:

$(n_1^2+n_2^2+n_3^2)\lambda^2=\left(2L\right)^2\Rightarrow n_1^2+n_2^2+n_3^2=\left({{2L}\over{\lambda}}\right)^2\;$

(1.29)

Promień naszej kuli jest wyrażony według (1.29), w której są pewne wartości n_i, która jest zależna od jakieś długości fali jaką foton może posiadać:

$R={{2L}\over{\lambda}}={{2L}\over{c}}\nu\;$

(1.30)

Ale musi zachodzić n_i≥0, aby ten warunek był spełniony musimy rozważyć ${{1}\over{8}}\;$ sfery o grubości dR, jeszcze trzeba uwzględnić to, że foton ma spin 1, który występuje w dwóch stanach, zatem liczba stanów, których może znajdować się foton o częstotliwości podstawowej ν w danej objętości V, jest zapisana wedle schematu:

$dn=2{{1}\over{8}}4\pi R^2 dR=\pi R^2 dR=\pi\left({{2L}\over{c}}\right)^3\nu^2 d\nu=8\pi V{{\nu^2}\over{c^3}} d\nu\;$

(1.31)

Energia fotonów wypromieniowana na jednostkę czasu, objętości i jego częstości, o średniej energii $\overline{E}\;$ zależy od częstości, zatem moc wypromieniowania z układu fotonu o danej częstości fotonów jest równa:

$r_{\nu}={{1}\over{V}}{{dn}\over{d\nu}}\overline{E}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}\overline{E}\;$

(1.32)

Jeśli przyjmować będziemy fizykę klasyczną, to średnia energia fotonu jest zapisana jako energia zależna tylko od temperatury układu kwantowego$\overline{E}=k_BT\;$, to wzór Plancka można napisać:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}k_BT\;$

(1.33)

Wzór (1.33) nazywamy wzorem Rayleigha-Jeansa. Z tego wzoru wynika nieskończoną wartość r_ν dla ν bardzo dużego, co nazywamy katastrofą ultrafioletową. Gdy przyjmować będziemy według Plancka, tzn. podstawiając za średnią energię wzór (1.27) zależny nie tylko od temperatury układu, ale też od częstości fotonów wypromieniowaną z układu, to moc wypromieniowana z układu jest wyrażona:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\;$

(1.34)

Rozkład Plancka dla różnych temperatur. Moc (kJ/s) promieniowania ciała o powierzchni 1m² do kąta bryłowego pełnego w zakresie długości fal 1 nm.

Gdy uwzględnimy "h" bardzo małe, czyli matematycznie mówiąc h→0, to wzór (1.34) przechodzi w równanie:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\rightarrow {{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{{{h\nu}\over{k_BT}}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}k_BT\;$

(1.35)

Czyli po tych zabiegach dochodzimy znów do wzoru Rayleigha-Jeansa wyprowadzonej w pozycji (1.33). Dla dużych częstotliwości, tzn.:ν»0, to wzór (1.34), w którym eksponens występujący w mianowniku staje się bardzo duży w stosunku do jedynki, zatem tą jedynkę występującą w mianowniku możemy pominąć, co staje się jasne:

$r_{\nu}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}\rightarrow{{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}}}=\;$ $={{8\pi h\nu^3}\over{c^3}}e^{-{{h\nu}\over{k_BT}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}h\nu e^{-{{h\nu}\over{k_BT}}}={{8\pi\nu^2}\over{c^3}}\underbrace{h\nu P(\nu)}_{\overline{E}}\;$

(1.36)

W ten sposób dochodzimy do wzoru Wiena.

Wzór Wiena możemy otrzymać również ze wzoru (1.32) podstawiając do niego za średnią energię fotonu będąca iloczynem energii fotonu (1.4) i prawdopodobieństwa, że foton będzie miał energię według wzoru wspomnianego wcześniej, która liczymy używając rozkładu Boltzmanna.

Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkowita energia wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o wszystkich możliwych częstotliwościach liczona jest przy pomocy wzoru wyrażenia dla jednej częstotliwości, która jest przedstawiona przez wzór (1.34), jest to całką mocy promieniowania dla wszystkich częstości fotonu w jakim występuje foton na jednostkę objętości:

$R_{\nu}=\int^{\infty}_{\nu=0}r_{\nu}d\nu=\int^{\infty}_{\nu=0}{{8\pi\nu^2}\over{c^3}}{{h\nu}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}d\nu={{8\pi h}\over{c^3}}\int^{\infty}_{\nu=0}{{\nu^3}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1}}d\nu= \begin{Bmatrix} x={{h\nu}\over{k_BT}}\\ \nu={{xk_BT}\over{h}}\\ d\nu={{k_BT}\over{h}}dx \end{Bmatrix}= \;$ $={{8\pi h}\over{c^3}}\int^{\infty}_{0}{{({{k_BT}\over{h}})^4x^3 }\over{e^x-1}}dx= {{8\pi k_B^4}\over{c^3h^3}}T^4\int^{\infty}_{0}{{x^3}\over{e^x-1}}dx={{8\pi k_B^4}\over{c^3h^3}}T^4{{\pi^4}\over{15}}={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}T^4=\sigma T^4 \;$

(1.37)

W równaniu (1.37) dokonaliśmy podstawienia w końcowym wyniku:

$\sigma={{8\pi^5k_B^4}\over{15c^3h^3}}\;$

(1.37a)

Jest ona zależna od stałych fizycznych, tzn. od stałej Boltzmanna ($k_B\;$), stałej prędkości światła w próżni ($c\;$), stałej Plancka ($h\;$) i jednej stałej matematycznej $\pi\;$. Całkowita energia na jednostkę objętości jest zapisana według wzoru:

$R_{\nu}=\sigma T^4\;$

(1.37b)

We wzorze (1.37b) stała σ została wyjaśniona w punkcie (1.37a). Powyższe wyrażenie jest zależne od czwartej potęgi temperatury T (wyrażonej w kelwinach) przy stałej proporcjonalności (1.37a), jest to moc wypromieniowana przy ciało doskonale czarne przy wszystkich możliwych częstościach na jednostkę objętości.

Prawo przesunięć Wiena

Wyznaczmy dla jakich ν funkcja r_ν wzór (1.34) (rozkład Placka ciała doskonale czarnego) przyjmuje maksimum dla danej temperatury T układu, czyli dla jakich ν, natężenie promieniowania jest największe, czyli matematycznie mówiąc maksimum występuje, gdy pochodna natężenia promieniowania na jednostkę objętości w rozkładzie Plancka jest równa zero, czyli musimy policzyć pochodną wyrażenia (1.34) względem częstości fotonów z jakich może drgać fala, jeśli przyjmować, że fotonowi odpowiada pewna fala według teorii korpuskularno-cząsteczkowej:

$0={{dr_{\nu}}\over{d\nu}}={{8\pi h}\over{c^3}}{{d}\over{d\nu}}{{\nu^3}\over{e^{{{h\nu}\over{k_BT}}-1}}}= {{8\pi h}\over{c^3}}{{\left(3\nu^2\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu^3{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\right)}\over{\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)^2}} \;$

(1.38)

Wartość zerową przyjmuje licznik wyrażenia (1.38) a mianownik jest nierówny zero dla niezerowych częstości promieniowania wypromieniowanego z układu dla dowolnej skończonej temperatury większej od zera, otrzymujemy:

$0=3\nu^2\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu^3{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\;$

(1.39)

Dzielimy równanie (1.39) obustronnie przez kwadrat częstości fotonów ν², także wiemy, że w ogólności częstość fali fotonów jest różna od zera, zatem dochodzimy do wniosku, że:

$0=3\left(e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}-1\right)-\nu{{h}\over{k_BT}}e^{{{h\nu}\over{k_BT}}}\;$

(1.40)

Obierzmy podstawienie we wzorze (1.40), tzn. za wielkość zależną od temperatury układu i częstości fali fotonów wypromieniowaną z układu o maksymalnym natężeniu, która jest wielkością bezwymiarową, czyli dokonajmy podstawienia:

$x={{h\nu}\over{k_BT}}\;$

(1.41)

Równanie (1.40) po podstawieniu do niego wielkości bezwymiarowej (1.41) przedstawia się:

$3(e^x-1)-xe^x=0\Rightarrow 3e^x-xe^x-3=0\;$

(1.42)

Rozwiązując równanie (1.42) numerycznie dla x≠0, w których jest ściśle określone x, a zatem jeśli mamy x, to ze wzoru (1.41) dostajemy równanie po wyznaczeniu częstości zależącej od x i od temperatury układu:

$\nu=x{{k_BT}\over{h}}\;$

(1.43)

Wiemy jednak, że częstość fali jest zależna od odwrotności długości fali fotonów w sposób:$\nu={{c}\over{\lambda}}\;$ oraz przyjmujemy, że fotony będziemy przyjmować jako fale o długości λ rozchodzących się z prędkością fazową c, wtedy:

${{c}\over{\lambda}}=x{{k_BT}\over{h}}\Rightarrow\lambda={{ch}\over{xk_B}}{{1}\over{T}}\Rightarrow\lambda={{C}\over{T}}\;$

(1.44)

W równaniu (1.44) widzimy, że czym większa temperatura układu, to jest mniejsza długość fali promieniowania o największej mocy wypromieniowana z układu. A zatem z równania (1.44), dostajemy następne równoważne równanie:

$\lambda T=C\;$, gdzie:$C=2.9\cdot 10^{-3} m\cdot K\;$

(1.45)

Iloczyn długości fali promieniowania o największej mocy z układu przez temperaturę układu jest wielkością stałą i niezależną od innych parametrów charakteryzujących układ.

Paczki falowe w nowej teorii kwantów

Paczka falowa inaczej zwany pakiet falowy, jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach według zasada Huygensa.

Paczka falowa jako superpozycja fal harmonicznych z pewnego przedziału dla liczb falowych

Aby w tym celu usunąć całkowitą lokalizację cząstki a jej delokalizacją wprowadza się funkcję falową opisującą falę płaską o długości fali zależnej od jej liczby falowej, która też charakteryzuje falę w sposób: $_{\lambda={{2\pi}\over{k}}}\;$ propagującą się w kierunku osi x, którą można przedstawić w postaci:

$\psi(x,t)=Ce^{i(\omega t-kx)}\;$

(1.46)

Wykorzystajmy wzór (1.6) oraz (1.17), to wyrażenie (funkcję falową) (1.46) zapisujemy jako funkcję energii cząstki o ściśle określonym pędzie, gdy ona znajduje się w położeniu x i w czasie t, która przedstawia się:

$\psi(x,t)=Ce^{{{i}\over{\hbar}}(Et-px)}\;$

(1.47)

W prowadźmy superpozycję fal o liczbach falowych z przedziału (k₀-Δk,k₀+Δk) o różnych amplitudach przy pomocy liczb funkcji falowych z definiowanych wedle schematu (1.46) i obierzmy jego całkę po omawianych zakresie zmienności liczby falowej k.

$\psi(x,t)=\int^{k_0+\Delta k}_{k_0-\Delta k}C(k)e^{i(\omega t-kx)}dk\;$

(1.48)

Rozłóżmy w szereg Taylora częstotliwość kołową drgań cząstki względem funkcji falowej fali k naszej rozważanej fali płaskiej i napiszmy ten nasz szereg Taylora do drugiego rzędu wyrazy włącznie, a dalsze wyrazy oznaczamy wielokropkami:

$\omega(k)=\omega_0+\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)+{{1}\over{2}}\left({{d^2\omega}\over{dk^2}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)^2+...\;$

(1.49)

Zakładamy, że jest małe odchylenie zmiennej k od punktu k₀, to w wyrażeniu (1.49) wyrazy kwadratowe i wyższe pomijamy, wtedy w wyrażeniu (1.48), w którym będziemy zakładać, że C(k) słabo zależy od k w tymże rozważanym przedziale zmienności k, zatem możemy przejąć w przybliżeniu, że zachodzi C(k)≈C(k₀), wtedy je piszemy:

$\psi(x,t)=\;$
$=e^{i(\omega_0 t-k_0x)}\int^{k_0+\Delta k}_{k_0-\Delta k}C(k) e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}(k-k_0)t-(k-k_0) x\right]}dk\simeq C(k_0)e^{i(\omega_0t-k_0x)}\int^{\Delta k}_{-\Delta k}e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\xi}d\xi=\;$
$=2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}{{e^{i\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}-x\right]\Delta k}-e^{-i\left[{{d\omega}\over{dk}}-x\right]\Delta k}}\over{2i\left[\Delta k\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}-x\right]}}= 2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}{{\sin\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}\over{\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}}\;$

Na podstawie obliczeń występujących w ostatnich dokonanych operacjach na formułach, otrzymujemy ostateczny wzór dla paczki falowej, która jest superpozycją fal prostych o bardzo małym zakresie zmienności wartości stałej falowej k wokół liczby falowej k₀, wtedy:

$\psi(x,t)= 2C(k_0)\Delta ke^{i(\omega_0t-k_0x)}\left\{{{\sin\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}\over{\left[\left({{d\omega}\over{dk}}\right)_{k=k_0}t-x\right]\Delta k}}\right\}\;$

(1.50)

Wyrażenie (1.50) przedstawia pewną paczkę, która jest superpozycją różnych fal o małym zakresie zmienności liczby falowej wokół punktu k₀, którego wykres w czasie jest przedstawiony obok.

Prędkość grupowa paczki falowej

Prędkość grupową nazywamy pochodną częstości kołowej fali materii względem jej liczby falowej i zapiszemy je jako pochodną energii cząstki względem jej wartości pędu, co udowodnimy poniżej wedle schematu:

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{d\hbar\omega}\over{d\hbar k}}={{dE}\over{dp}}\;$

(1.51)

Zastosujmy wzór (1.51) i wyrażenie na energię kinetyczną znanej z mechaniki klasycznej Newtona zapisaną przy pomocy wartości pędów:

$v_g={{d}\over{dp}}{{p^2}\over{2m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$

(1.52)

Widzimy, że według mechaniki klasycznej prędkość grupowa fali materii jest równa prędkości cząstki klasycznej, co nie powinno być zaskoczeniem. Następnie rozpatrzmy cząstkę relatywistyczną o energii relatywistycznej wyrażonej przy pomocy pędu cząstki i jej masy spoczynkowej m₀, która może być równa zero:

$v_g={{d}\over{dp}}\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}={{2c^2p}\over{2\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}}}= {{c^2p}\over{\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^4}}}={{c^2p}\over{E}}={{c^2p}\over{mc^2}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$

(1.53)

We obliczeniach (1.52) (mechanika klasyczna) i (1.53) (mechanika relatywistyczna) widzimy, że prędkość grupowa cząstki jest równa samej prędkości cząstki, tak jak się spodziewaliśmy.

Warunek Braggów a doświadczenie i fale materii

Rysunek pozwalający wyprowadzenie warunku Braggów.

Różnica dróg optycznych między górnym a dolnym promieniem jest zależna od odległości pomiędzy warstwami między dwoma płaszczyznami atomów i od kąta $\theta\;$ do płaszczyzny z atomami, pod którą pada fala elektromagnetyczna X:

${{\delta}\over{d}}=\sin\theta\Rightarrow \Delta s=2\delta=2d\sin\theta\;$

(1.54)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, jest równa:

${{\Delta \phi}\over{\Delta s}}={{2\pi}\over{\lambda}}\Rightarrow\Delta \phi={{2\pi}\over{\lambda}}\Delta s={{2\pi}\over{\lambda}}2d\sin\theta={{4d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(1.55)

Równanie fal materii pierwszej i drugiej uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu tegoż obiektu, zapisujemy je wedle sposobu:

$\psi_1=Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0)}\;$ (1.56)

$\psi_2=Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\;$ (1.57)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (1.56) do (1.57), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych i równoległych do siebie przed dojściem do kryształu i po jego wyjściu:

$\psi=\psi_1+\psi_2=A\left(e^{i(\omega t-ks+\delta_0)}+e^{i(\omega t-ks+\delta_0-\Delta\phi)}\right)= Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\left(e^{i({{\Delta\phi}\over{2}})}+e^{i(-{{\Delta\phi}\over{2}})}\right)=\;$ $= 2Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos\left({{\Delta\phi}\over{2}}\right)= 2Ae^{i(\omega t-ks+\delta_0-{{\Delta\phi}\over{2}})}\cos {{2d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\;$

(1.58)

W wyrażeniu (1.58) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy w wyrażeniu pod kosinusem jest nπ, to moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

$n\pi={{2d\pi\sin\theta}\over{\lambda}}\Rightarrow n\lambda=2d\sin\theta\;$

(1.59)

Na podstawie ostatniego wyrażenia w (1.59) dochodzimy do wniosku, że równanie Braggów jest zapisywane w postaci:

$2d\sin\theta=n\lambda\;$

(1.60)

Jest ona zależna od odległości między dwoma płaszczyznami d, od długości fali λ i od kąta θ padania promieniowania elektromagnetycznego X, dzięki któremu fala elektromagnetyczne ulegnie wzmocnieniu na ekranie, na której badamy wzmocnienia fal elektromagnetycznych dla jakiegoś parametru n, jeśli w ogóle istnieje.

Teoria atomu wodoru Bohra

Postulaty teorii Bohra dla atomów wodoropodobnych

Załóżmy, że elektrony krążą po orbitach kołowych opisywanych przez mechanikę klasyczną, a poszczególne orbity są skwantowane . Elektron może przechodzić z jednej orbity na drugą wysyłając lub wchłaniając kwant energii.

A oto postulaty Bohra:

Postulat pierwszy:

Elektron przeskakujący z jednej orbity na drugą wydziela lub musi pochłonąć foton o energii:

$h\nu=E_2-E_1\;$

(2.1)

Według (2.1) foton ma częstotliwość ν, jeśli potraktować foton jako fale, jest to kwant energii, jeśli potraktować foton jako korpuskułę według teorii korpuskularno-falowej, a każdej orbicie odpowiada pewna energia całkowita znajdującego się tam elektronu.

Postulat drugi:

Elektron porusza się po orbicie kołowej z pewną prędkością opisywaną przez mechanikę klasyczną Newtona.

Postulat trzeci:

Moment pędu elektronu na orbicie jest skwantowany i proporcjonalny do liczby kwantowej n i wynosi:

$L=n\hbar\Rightarrow r mv=n\hbar$

(2.2)

Widzimy, że wedle wzoru pierwszego w (2.2) moment pędu przyjmuje pewne wartości ściśle określone i zależne od liczby kwantowej n. A wedle drugiego wzoru, jeśli mamy orbitę kołową i mamy pewne r, co jest promieniem orbity kołowej, to również też mamy pewne v, czyli prędkość cząstki krążącej na tej orbicie, zatem dochodzimy do wniosku, że promień orbity i prędkość cząstki są wielkościami dyskretnymi, a zatem też jej energia jest wielkością przyjmującą pewne wartości zależne tylko od liczby dyskretnej n.

Wyprowadzenie wzoru Rydberga

Z skwantowane orbity według teorii Bohra

Siła dośrodkowa działająca na elektron ze strony jądra atomu wodoru zależy od prędkości elektronu, który się porusza wokół jądra, po orbicie kołowej, wartość tej siły jest wszędzie jednakowa na orbicie kołowej, a jej kierunek przechodzi przez środek jądra atomowego, który w tym przypadku przyjmujemy za punktowe, a zwrot jest skierowany w kierunku jądra atomowego:

$F={{mv^2}\over{r}}$

(2.3)

Siła Coulomba znana z elektrostatyki, jeśli założymy, że w jądrze skupiony jest ładunek Ze, który oddziaływuje z elektronem na orbicie o ładunku -e, jest przyciągająca w kierunku jądra atomowego, która jest jednocześnie siłą dośrodkową (2.3) i ma wartość zapisaną jako funkcję promienia orbity kołowej r.

$F={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r^2}}$

(2.4)

Porównując te dwie siły, tzn. siłę elektrostatyczną działająca ze strony nieporuszającego się ciężkiego jądra wedle wzoru (2.4), która jest niezrównoważoną siłą, ze wzorem wynikającego z mechaniki klasycznej Newtona (2.3) i łącząc te dwie siły, bo mają ten sam zwrot, kierunek i wartość.

${{mv^2}\over{r}}={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r^2}}$

(2.5)

Mnożymy obustronnie równanie (2.5) przez promień orbity kołowej elektronu r, to otrzymujemy inną równoważną zależność, w której występuje na razie prędkość cząstki i promień tejże rozważanej orbity:

$mv^2={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}$

(2.6)

Korzystamy ze wzoru (2.2) na skwantowany moment pędu i wyznaczamy z niego odwrotność promienia orbity kołowej, po której porusza się elektron:

${{1}\over{r}}={{mv}\over{n\hbar}}$

(2.7)

Podstawiamy wyrażenie (2.7) na odwrotność promienia orbity do wzoru (2.6), to dostajemy wzór, który przedstawia prędkość cząstki w zależności od liczby kwantowej w jakieś uwikłanej postaci:

$mv^2={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}Ze^2 {{mv}\over{n\hbar}}$

(2.8)

Teraz skracając przez wartość prędkości v z jaką elektron okrąża pewną orbitę kołową w równości (2.8) oraz wiedząc, że prędkość elektronu na orbicie jest wielkością niezerową, bo ona nie może być tam w spoczynku, bo inaczej spadł by na jądro atomowe:

$mv={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2m}\over{n\hbar}}$

(2.9)

Dzieląc obustronnie wzór (2.9) przez masę elektronu m dostajemy wzór na jawną postać jak zależy prędkość elektronu na pewnej ściśle określonej orbicie kołowej w zależności od dyskretnej (kwantowej) liczby n, która przyjmuje wartości naturalne bez zera.

$v={{1}\over{4\pi \epsilon_0}}{{Ze^2}\over{n\hbar}}$

(2.10)

A teraz policzmy promień n-tej orbity z równania (2.2) na skwantowaną prędkość cząstki na orbicie kołowej po wyznaczeniu z niego promienia tejże orbity:

$r={{n\hbar}\over{mv}}$

(2.11)

Podstawiamy wyrażenie (2.10) na kwantową prędkość elektronu krążącego na skwantowanej ściśle określonej orbicie kołowej do wyrażenia (2.11) wynikającego z postulatu trzeciego Bohra, to otrzymamy wyrażenie na dyskretny promień orbity:

$r={{n\hbar}\over{m}}{{4\pi\epsilon_0n\hbar}\over{Ze^2}}$

(2.12)

Ostatecznie w równaniu (2.12) po krótkich przekształceniach dostajemy wzór na skwantowany promień orbity kołowej zależący od jednej liczby kwantowej n:

$r={{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}\over{mZe^2}}$

(2.13)

Z definicji energii kinetycznej według mechanice klasycznej, którą zapiszemy w zależności od jego wartości prędkości, po podstawieniu za wartość dyskretną prędkości wzoru (2.10), otrzymujemy:

$E_k={{mv^2}\over{2}}={{m}\over{2}}{{1}\over{16\pi^2\epsilon_0^2}}{{Z^2e^4}\over{n^2\hbar^2}}\Rightarrow E_k={{1}\over{32\pi^2\epsilon_0^2}}{{Z^2e^4m}\over{n^2\hbar^2}}\Rightarrow E_k={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}$

(2.14)

Teraz napiszmy energię potencjalną elektronu na orbicie, po której krąży elektron o promieniu skwantowanym r, z definicji energii potencjalnej dla pola elektrostatycznego, mamy:

$E_p=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}$

(2.15)

Podstawmy we wzorze na energię potencjalną cząstki w polu elektrostatycznym (2.15) za r, będące skwantowanym promienień orbity kołowej, czyli wzoru (2.13), otrzymując:

$E_p=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{mZ^2e^4}\over{4\pi\epsilon_0 n^2\hbar^2}}=-{{mZ^2e^2}\over{16\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}$

(2.16)

Wzór na całkowitą energię mechaniczną, która jest sumę energii kinetycznej wedle końcowego wzoru (2.14) i energii potencjalnej (2.16), jest zapisana wedle schematu:

$E=E_k+E_p={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}-{{mZ^2e^2}\over{16\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}={{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}-2{{mZ^2e^2}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}=-{{mZ^2e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2n^2\hbar^2}}=\;$ $=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2n^2h^2}}$

(2.17)

Energia całkowita elektronu krążącego wokół jądra jest ujemna, a więc elektron jest związany z jądrem atomowym, co przypuszczaliśmy, że tak może wyjść. Z pierwszego postulatu Bohra zdefiniowaną w punkcie (2.1) możemy napisać, że długość fali jest napisana w sposób uwikłany w zależności z jakiej do jakiej orbity nasz elektron przeskakuje.

$E_2-E_1=h\nu={{hc}\over{\lambda}}$

(2.18)

Wzór (2.18) przedstawiający energię całkowitą fotonu, który zostaje wypromieniowany lub pochłonięty przez elektron, co stąd wyznaczamy odwrotność długości fali fotonów:

${{E_2-E_1}\over{hc}}={{1}\over{\lambda}}$

(2.19)

Podstawiamy za E₂ (gdy n=n₁) i za E₁ (gdy n=n₂), czyli wzoru (2.17) na całkowitą energię elektronu krążącej na orbicie kołowej dla tych napisanych n do wyrażenia (2.19), to dostajemy wzór na odwrotność długości fali jaki elektron wyemituje foton o tej właśnie długości:

${{1}\over{\lambda}}=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2h^3c}}\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)$

(2.20)

Stałą Rydberga we wzorze (2.20) nazywamy przepis, która jest zależna od stałych fizycznych i od masy elektronu krążącej wokół jądra atomowego o liczbie atomowej Z, przedstawiany:

$R={{me^4}\over{8\epsilon^2_0h^3c}}=3,2931193\cdot 10^{15}m^{-1}$

(2.21)

Wykorzystując definicję stałej Rydberga (2.21) we wzorze (2.20), to dochodzimy do wniosku, że długość fali emitowanych fotonów z atomu, przy przejściu elektronu z poziomu n₂ na poziom n₁, jest równa:

${{1}\over{\lambda}}=Z^2R\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)$

(2.22)

W wyrażeniu (2.22) zachodzi n₂>n₁, ale n₂ i n₁, gdzie to są główne liczby kwantowe, by to nasze wyrażenie miało długość fali dodatnią, ale nie zerową. Wzór (2.22) przedstawia długość fali wypromieniowanej z elektronu przy przejściu z orbity wyższej na orbitę niższą bardziej korzystną energetycznie.

Serie w atomie wodoru

Serie w atomie wodoru

Atomem wodoru nazywamy atom o liczbie atomowej Z=1, tzn. jego jądro atomowe składa się z jednego protonu, już nie mówiąc o neutronach, czyli poniższe serie można wyznaczyć ze wzoru wynikającego z (2.22) dla wspomnianego Z, czyli:

${{1}\over{\lambda}}=R\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)$

(2.23)

Dla wzoru (2.23) zachodzi, że:$n_2>n_1\;$.

Można wyznaczyć poszczególne serie dla atomu wodoru, które powstają wyniku przejścia z orbity o liczbie kwantowej n₂ do orbity o liczbie kwantowej n₁, zatem nazwy tych serii są:

dla $n_1=1\;$ -- seria Lymana,

dla $n_1=2\;$ -- seria Balmera,

dla $n_1=3\;$ -- seria Paschena,

dla $n_1=4\;$ -- seria Bracketta,

dla $n_1=5\;$ -- seria Pfunda,

dla $n_1=6\;$ -- seria Humphreysa

Teoria atomu wodoru Sommerfelda

Model atomu wodoru Sommerfelda jest uogólnieniem modelu atomu wodoru Bohra, na orbity eliptyczne. W przestrzeni dwuwymiarowej określmy energię kinetyczną, jako sumę energii kinetycznej radialnej (zależnej od pochodnej radialnej względem czasu) i kątowej (zależnej od pochodnej współrzędnej kątowej względem czasu):

$T={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\theta}^2}\over{2}}$

(3.1)

Energia potencjalna elektronu poruszającego się na orbicie eliptycznej w pewnym punkcie omawianego toru naszej cząstki jest napisana w zależności od odległości jądra atomowego od tego punktu:

$U=-{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}$

(3.2)

Lagrangian z definicji jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej, na podstawie wzoru (3.1) (energia kinetyczna) i (3.2) (energia potencjalna), jest wyrażona wzorem w zależności od pierwszej pochodnej położenia radialnego i kątowego w układzie biegunowym oraz także od położenia radialnego, należy przy tym pamiętać, że energia potencjalna wspomniana powyżej nie zależy od żadnej pochodnej względem czasu, czyli od pochodnych położenia radialnego, czy to kątowego:

$L=T-U={{m\dot{r}^2}\over{2}}+{{mr^2\dot{\theta}}\over{2}}+{{1}\over{4\pi\epsilon_0}}{{Ze^2}\over{r}}$

(3.3)

Wyznaczmy pędy uogólnione, których definicja jest znana z mechaniki klasycznej wedle Hamiltona:

1° Pęd radialny dla orbity eliptycznej jest to pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia radialnego względem czasu:

$p_r={{\partial L}\over{\partial \dot{r}}}=m\dot{r}$

(3.4)

2° Pęd kątowy dla tej samej orbity, co poprzednio jest wyrażony jako pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia kątowego względem czasu:

$p_{\theta}={{\partial L}\over{\partial \dot{\theta}}}=mr^2\dot{\theta}$

(3.5)

Postulat Sommerfelda mówi, że poszczególne całki, których funkcją podcałkową jest pęd uogólniony, ta całka jest liczona względem położeń uogólnionych (radialnej i kątowych we współrzędnych kulistych w przestrzeni lub radialnych na płaszczyźnie), czyli według równania:

$\oint_{L}p_idq_i=n_i h$

(3.6)

Równanie toru we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie po której porusza się elektron jest równaniem położenia radialnego w układzie biegunowym względem jej położenia kątowego względem stałych k i ε, które charakteryzują naszą elipsę, ma postać:

$r={{k}\over{1+\epsilon\cos\theta}}$

(3.7)

Policzmy teraz pochodną położenia radialnego względem czasu wielkości wyrażoną wzorem (3.7), to otrzymamy wyrażenie zależne od pochodnej kątowej względem czasu i samych wielkości kątowych:

$\dot{r}=-{{k\epsilon\sin\theta}\over{(1+\epsilon\cos\theta)^2}}\dot{\theta}$

(3.8)

Wyraźmy moment pędu elektronu na orbicie eliptycznej, która jest zależna od poszukiwanej pochodnej wielkości kątowej względem czasu:

$L=mr^2\dot{\theta}$

(3.9)

Ze wzoru (3.9) wyznaczmy wyrażenie będące pochodną wielkości kątowej względem czasu wyrażoną w zależności od momentu pędu charakteryzującego tor eliptyczny, po którym porusza się elektron, i od danej chwili położenia radialnego elektronu krążącego wokół jądra atomowego, i idąc dalej zależy ona od masy cząstki:

$\dot{\theta}={{L}\over{mr^2}}$

(3.10)

Dochodzimy więc do wniosku, że prędkość radialna (3.8) na podstawie już wyznaczonego wzoru (3.10) i po wyrażeniu pozostałych położeń radialnych, tzn. podstawiając równanie na promień orbity (3.7), otrzymujemy:

$\dot{r}=-{{k\epsilon\sin\theta}\over{(1+\epsilon\cos\theta)^2}}{{L}\over{mr^2}}\Rightarrow\dot{r}=-{{Lk\epsilon\sin\theta}\over{m(1+e\epsilon\theta)^2}}{{1}\over{k^2}}(1+\epsilon\cos\theta)^2\Rightarrow\dot{r}=-{{L\epsilon\sin\theta}\over{km}}$

(3.11)

Z postulatu Sommerfelda (3.6) dla współrzędnej kątowej wynika, że moment pędu jest wielkością skwantowaną podobnie jak w modelu atomu wodoru Bohra, tylko tutaj mamy kątową liczbą kwantową n_θ, a w naszym poprzednim module była tylko liczba kwantowa n.

$\int p_{\theta}dq_{\theta}=\int^{2\pi}_{\theta=0}mr^2{{d\theta}\over{dt}}d\theta=\int^{2\pi}_{\theta=0}mr^2{{L}\over{mr^2}}d\theta=2\pi L=n_{\theta}h$

(3.12)

Wedle ostatniego wynikowego równania w (3.12) i po podzieleniu go przez 2π, po skorzystaniu z definicji stałej kreślonej Plancka, to dyskretny moment pędu zapisujemy:

$L=n_{\theta}\hbar\;$

(3.13)

Dla współrzędnej radialnej postulat Sommerfelda (3.6) dla pędu uogólnionego zdefiniowanego wedle (3.5) i po scałkowaniu go względem promienia radialnego, otrzymujemy:

$\int p_{r}dr=\int^{2\pi}_{\theta=0} m\dot{r}{{dr}\over{d\theta}}{{d\theta}\over{dt}}=\int^{2\pi}_{\theta=0}m{{L\epsilon\sin\theta}\over{km}}{{k\epsilon\sin\theta}\over{(1+\epsilon\cos\theta)^2}}{{L}\over{mr^2}}=$ $=\int^{2\pi}_{\theta=0}m{{L\epsilon\sin\theta}\over{km}}{{k\epsilon\sin\theta}\over{(1+\epsilon\cos\theta)^2}}{{L}\over{m}}{{1}\over{k}}(1+\epsilon\cos\theta)^2=\int^{2\pi}_{\theta=0}{{L^2\epsilon^2\sin^2\theta}\over{mk}}=$ $={{L^2\epsilon^2}\over{mk}}\int^{2\pi}_{\theta=0}\sin^2\theta= {{L^2\epsilon^2}\over{mk}}\int^{2\pi}_{\theta=0}{{1}\over{2}}(1+\cos2\theta)={{L^2\epsilon^2}\over{2mk}}2\pi=n_rh$

(3.14)

Dostajemy stąd wniosek w (3.14), że mimośród cząstki jest związany z momentem pędu cząstki i z radialną liczbą kwantową n_r:

${{L^2\epsilon^2}\over{2mk}}=n_r\hbar$

(3.15)

Możemy wyrazić definicję "k" występującego we wzorze (3.7) dla orbit eliptycznych i wykorzystując przedstawienie $_{\kappa={{Ze^2}\over{4\pi\epsilon_0}}}\;$, która występuje w prawie Coulomba w elektrostatyce, tutaj dla elektronu krążącego wokół jądra o ładunku Ze:

$k={{L^2}\over{\kappa m}}={{4\pi\epsilon_0 L^2}\over{Ze^2 m}}$

(3.16)

Widzimy, że stała k jest zależna od wartości momentu pędu, która charakteryzuje daną elipsę. Dokonajmy podstawienia ze wzoru (3.16) do równania (3.15) za stałą k:

${{L^2\epsilon^2}\over{2m}}{{Ze^2m}\over{4\pi\epsilon_0L^2}}=n_r\hbar$

(3.17)

Po niezbyt wyczerpujących przekształceniach w wyrażeniu (3.17) można zapisać je w prostszej postaci:

$n_r\hbar={{\epsilon^2 Ze^2}\over{8\pi\epsilon_0}}$

(3.18)

Jak widzimy liczba kwantowa n_r odpowiedzialna jest za mimośród elipsy, po której porusza się elektron. Gdy n_r=0, wtedy ε=0, a więc mamy okrąg, to teoria Sommerfelda przechodzi w teorię Bohra dla atomów wodoropodobnych. Z równania (3.18) możemy wyznaczyć kwadrat mimośrodu elipsy:

$\epsilon^2={{8\pi\epsilon_0n_r\hbar}\over{Ze^2}}={{4\epsilon_0n_r h}\over{Ze^2}}$

(3.19)

Energia całkowita dla toru eliptycznego, którego wzór wyprowadziliśmy w mechanice teoretycznej, przedstawimy w zależności od liczb kwantowych n_r i n_θ, które zawierają się w równaniach zawartych podanych wcześniej kolejno (3.13) i (3.19), które wykorzystamy później przy liczeniu całkowitej energii cząstki krążącej po orbicie eliptycznej, ale skwantowanej:

$E=-{{\kappa^2m}\over{2L^2}}\left(1-\epsilon^2\right)=-{{mZ^2e^4}\over{L^2 32\pi^2\epsilon_0^2}}\left(1-\epsilon^2\right)=-{{mZ^2e^4}\over{n_{\theta}^2h^2 8\epsilon_0^2}}\left(1-\epsilon^2\right)=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2 h^2 n_{\theta}^2}}\left(1-\epsilon^2\right)$

(3.20)

Teraz podstawiamy za ε² wyrażone wzorem (3.19) do równania na energię całkowitą elektronu poruszającego po dyskretnym torze w (3.20), to mamy ostateczny wzór na całkowitą energię mechaniczną elektronu krążącej wokół jądra atomowego:

$E=-{{mZ^2e^4}\over{8\epsilon_0^2 h^2 n_{\theta}^2}}\left(1-{{4\epsilon_0n_r h}\over{Ze^2}}\right)$

(3.21)

Wzór (3.21) jest identyczny ze wzorem (2.17), jeśli liczba kwantowa radialna n_r jest równa zero, a kątowa liczba kwantowa spełnia warunek n=n_θ.

Zjawisko Comptona

Schemat zjawiska Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy zmianę długości fali promieniowania rentgenowskiego podczas rozpraszania tego promieniowania przez substancję zawierające atomy lepkie.

Opiszmy foton o częstotliwości fali ν padający na spoczywający elektron, w wyniku zderzenia fotonu z elektronem, nasz foton rozprasza się pod kątem θ względem kierunku padającego fotonu z częstością ν^', a elektron zostaje rozproszony z pędem $\vec{p}\;$, który porusza się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, wtedy z zasady zachowania energii:

$h\nu+mc^2=h\nu'+\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\;\;$

(4.1)

Wyznaczamy z (4.1) kwadrat pędu relatywistycznego, czyli p², w tym celu wielkość występująca po prawej stronie rozważanego wzoru związany z częstością fotonu rozproszonego przenosimy na jej lewą stroną i włączamy je pod nawias napisany względem stałej Plancka h:

$h(\nu-\nu')+mc^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\;\;$

(4.2)

Podnosimy obustronnie równanie (4.2) do kwadratu, bo po prawej stronie ostatniego równania występuje pierwiastek, który w wyniku tej operacji zniknie i pozostawi po sobie wyrażenie podpierwiastkowe:

$\left(h(\nu-\nu')+mc^2\right)^2=p^2c^2+m^2c^4\Rightarrow h^2(\nu-\nu')^2+m^2c^4+h2(\nu-\nu')mc^2=p^2c^2+m^2c^4\;\;$

(4.3)

Redukujemy pewne wyrazy w (4.3), które są takie same po lewej i prawej stronie naszego wyrażenia, to dostajemy inne do poprzedniego równanie, ale równoważne do niego:

$h^2(\nu-\nu)^2+2mc^2h(\nu-\nu')=p^2c^2\;\;$

(4.4)

Dzielimy obustronnie tożsamość (4.4) przez kwadrat prędkości fal elektromagnetycznych w próżni c²:

$h^2\left({{\nu-\nu'}\over{c}}\right)^2+2mh(\nu-\nu')=p^2\;\;$

(4.5)

Z zasady zachowania pędu pęd początkowy fotonu przed zderzeniem jest równy sumie pędu fotonu i elektronu po zderzeniu, czyli po rozproszeniu naszego fotonu:

$\vec{p}_f=\vec{p}+\vec{p'}_f\;\;$

(4.6)

Wyznaczamy z równania (4.6) wektor pędu elektronu po rozproszeniu jako różnicę pędów fotonów przed i po rozproszeniu.

$\vec{p}=\vec{p}_f-\vec{p'}_f\;\;$

(4.7)

A teraz podnosimy do kwadratu równanie (4.7), dalej będziemy wykorzystywać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów, pędu fotonu przed i po zderzeniu przy kącie rozpraszania θ.

$p^2=p_f^2+p'_f-2p_fp'cos\theta\;$

(4.8)

Wiemy, że wartości pędów fotonu przed i po rozproszeniu w zależności od ich częstości fali fotonów, jeśli potraktować je jako fale z teorii korpuskularno-falowej, są napisane:

$p_f={{h\nu}\over{c}}\;$ (4.9)

$p'_f={{h\nu'}\over{c}}\;$ (4.10)

Napiszmy kwadrat pędu elektronu rozproszonego mając wartości pędów fotonów przed zderzeniem (4.9) i po zderzeniu (4.10), to wyrażenie (4.8) piszemy:

$p^2=\left({{h\nu}\over{c}}\right)^2+\left({{h\nu'}\over{c}}\right)^2-2{{h\nu}\over{c}}{{h\nu'}\over{c}}\cos\theta\;$

(4.11)

Porównujemy wzory (4.5) (wynikającego z zasady zachowania energii) z (4.11) (wynikającego z zasady zachowania pędu), to dostajemy równanie po połączeniu tych wspomnianych tożsamości:

$\left({{h\nu}\over{c}}\right)^2+\left({{h\nu'}\over{c}}\right)^2-2{{h\nu}\over{c}}{{h\nu'}\over{c}}\cos\theta=h^2\left({{\nu-\nu'}\over{c}}\right)^2+2m(\nu-\nu')\;$

(4.12)

Dokonujemy dalszych przekształceń w (4.12) po prawej stronie wspomnianego równania podnosząc je do kwadratu dla pierwszego składnika sumy w tym równaniu, otrzymujemy:

$\left({{h\nu}\over{c}}\right)^2+\left({{h\nu'}\over{c}}\right)^2-2{{h\nu}\over{c}}{{h\nu'}\over{c}}\cos\theta=\left({{h\nu}\over{c}}\right)^2+\left({{h\nu'}\over{c}}\right)^2-2{{h\nu}\over{c}}{{h\nu'}\over{c}}+2mh(\nu-\nu')\;$

(4.13)

Redukujemy wyrazy podobne w tożsamości (4.13), to dostajemy równoważne równanie:

$2{{h\nu}\over{c}}{{h\nu'}\over{c}}(1-\cos\theta)=2mh(\nu-\nu')\;$

(4.14)

Wyraźmy częstotliwości fali fotonów przed i po rozproszeniu w zależności od długości fali fotonów według teorii korpuskularno-falowej:

$\nu={{c}\over{\lambda}}\;$ (4.15)

$\nu'={{c}\over{\lambda'}}\;$ (4.16)

Na podstawie (4.15) (fala padająca) i (4.16) (fala rozproszona) wzór (4.14) przyjmuje postać:

$h{{1}\over{\lambda\lambda'}}(1-cos\theta)=m\left({{c}\over{\lambda}}-{{c}\over{\lambda'}}\right)\;$

(4.17)

W wyrażeniu (4.17) po prawej stronie dokonajmy sumowania ułamków doprowadzając je do wspólnego mianownika:

$h{{1}\over{\lambda^{'}\lambda}}(1-cos\theta)=mc{{\lambda'-\lambda}\over{\lambda^{'}\lambda}}\;$

(4.18)

Mnożymy obustronnie równanie (4.18) przez niezerowe λλ^', pamiętając że foton nie może posiadać zerowych długości fali przed i po rozproszeniu, bo to by odpowiadało nieskończonej energii fotonów, co jest błędne dla naszego przypadku przy założeniu skończonej energii fotonów przed i po rozproszeniu tych obiektów:

$h\left(1-\cos\theta\right)=mc(\lambda'-\lambda)\;\;$

(4.19)

Oznaczmy jako zmianę długości fali wiązki fotonów po i przed rozproszeniem przez wielkość Δλ wedle:

$\lambda'-\lambda=\Delta \lambda\;$

(4.20)

Na podstawie wzoru na zmianę długości fali fotonu zderzającego się z elektronem napisaną według tożsamości (4.20), podstawiając go do równania (4.19), dostajemy ostateczny wzór na zmianę długości fali fotonów przed i po rozproszeniu na lekkich atomach, a w nim na elektronach, w zależności od kąta rozproszenia wiązki fotonów:

${{h}\over{mc}}(1-\cos\theta)=\Delta \lambda\;$

(4.21)

Z definicji kątów połówkowych możemy napisać tożsamość:

$\sin^2{{\theta}\over{2}}={{1-\cos\theta}\over{2}}\Rightarrow {1-\cos\theta}=2\sin^2{{\theta}\over{2}}\;$

(4.21a)

Stąd wzór (4.21) na zmianę długości promieniowania wiązki fotonów przy rozpraszaniu na elektronach na podstawie wzoru (4.21a) możemy napisać w inny równoważny sposób:

$\Delta \lambda=\lambda'-\lambda=2{{h}\over{mc}}\sin^2{{\theta}\over{2}}\;$

(4.22)

Oznaczmy, że stałą występującą w (4.22) (bez dwójki) jako λ_C i nazwijmy ją stałą Comptona:

$\lambda_C={{h}\over{mc}}=2,43\cdot 10^{-12}\mbox{ m}\;$

(4.23)

Wzór Comptona (4.22) na podstawie przepisu na stałą Comptona (4.23) zapisywany jest w postaci kwadratu kosinusa dla kąta połówkowego przy stałej proporcjonalności równej podwojonej stałej Comptona:

$\Delta \lambda=2\lambda_C\sin^2{{\theta}\over{2}}\;$

(4.24)

Wzór (4.24) jest wzorem wyrażającej zmianę długości fali rozproszonej względem fali padającej w zależności od kąta rozproszenia θ względem kierunku fotonu padającego na elektron, dzięki któremu nastąpiło to zderzenie.

Postulat zerowy mechaniki kwantowej

Postulat
Stan kwantowy układu fizycznego opisany jest przez unormowany do jedności wektor zespolonej ośrodkowej przestrzeni Hilberta.

Postulat pierwszy mechaniki kwantowej

Postulat
Każdej mierzalnej wielkości fizycznej przyporządkowany jest operator hermitowski.

czyli spełniającego warunek:

$(\hat{A}\varphi,\psi)=(\varphi,\hat{A}\psi)\;$

(5.1)

Współrzędne położenia i pędu w reprezentacji klasycznej i kwantowej

Teraz przedstawimy każdej wielkości fizycznej w przedstawieniu klasycznej jej odpowiednik w przedstawieniu kwantowym (operatorowym). W mechanice klasycznej uogólnione współrzędne wielkości położeniowej są w postaci q_i w układzie kartezjańskim są współrzędne x,y,z. Reprezentacji operatorowej weżniemy jej odpowiednik w mechanice kwantowej, zatem w reprezentacji kwantowej mamy:

$q_i\cdot\;$

(5.2)

W układach kartezjańskich są to operatory obrazujące współrzędne kartezjańskie w postaci x⋅, y⋅, z⋅. Zwykle będziemy się posługiwać układem kartezjańskim przy definiowaniu pewnych operatorów i dopiero będziemy je przenosić do innych izomorficznych układów współrzędnych, np. biegunowych, walcowych, kulistych czy też sferycznych lub innych. W reprezentacji klasycznej współrzędną i-ta wektora uogólnionego pędu jest przedstawiana:

$p_i={{\partial L}\over{\partial \dot{q}_i}}$

(5.3)

• gdzie L jest to lagrangian cząstki,
• q_i jest to uogólnione położenie cząstki,
• $\dot{q}_i\;$ jest to uogólniona prędkość cząstki.

Zwykle uogólniony pęd jest równy zwykłemu pędowi znane z mechaniki klasycznej Newtona, co udowodnimy poniżej. Lagrangian cząstki w polu potencjalnym jest równy:

$\mathfrak{L}=T-U={{1}\over{2}}m\vec{v}^2-U(\vec{r})\;$

Możemy skorzystać ze wzoru (5.3) podstawiając do niego powyższy Lagrangian, otrzymujemy klasyczny Newtonowski pęd cząstki:

$\vec{p}=m\dot{\vec{r}}=m\vec{v}\;$

Udowodniliśmy, że gdy w Lagrangianie $\mathfrak{L}\;$ nie ma dodatkowych członów związanych prędkościami cząstki, to pęd uogólniony (5.3) we współrzędnych kartezjańskim jest równy pędowi klasycznemu Newtonowskiemu podanych w ostatnim wzorze, ale nie zawsze musi tak być, bo w Lagrangianie mogą pojawić się dodatkowe człony zawierające wektory prędkości.

Przedstawieniu operatorowym zamieniamy wszystkie współrzędne uogólnionego pędu (5.3) we współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne operatora pędu w tym samym układzie, które te operatory są zdefiniowane w sposób:

$\hat{p}_i=-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_i}}\Rightarrow \hat{p}=-i\hbar\nabla$

(5.4)

Widzimy według wzoru (5.4) operator pędu nie jest liczbą, tylko zwykłym operatorem podobnym do operatora różniczkowania cząstkowego względem współrzędnych w prawoskrętnym układzie kartezjańskim. Udowodnimy, że operator pędu jest rzeczywiście operatorem hermitowskim, najpierw udowodnimy to dla współrzędnej iksowej operatora pędu.

$(\hat{p}_x\varphi,\psi)=i\hbar\int^{b}_{a}\nabla_x\varphi^*\psi dx=i\hbar\left(\varphi^*\psi|^{b}_{a}-\int^{b}_{a}\varphi^*\nabla_x\psi dx\right)=-i\hbar\int^{b}_{a}\varphi^*\nabla_x\psi dx=$ $=\int_{a}^{b}\varphi^*\hat{p}_x\psi dx=(\varphi,\hat{p}_x\psi)\;$

(5.5)

W powyższym dowodzie korzystaliśmy z założenia, że funkcje falowe ψ i $\varphi\;$ zerują się w punkcie a i b. Według (5.5) udowodniliśmy, że iksowy operator pędu jest operatorem hermitowskim. Podobnie dowodzimy, że operator igrekowy i zetowy są operatorami hermitowskimi, zatem wektor operatora pędu też jest operatorem hermitowskim.

Kwadrat całkowitego operatora pędu

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat pędu, bowiem on potrzebny jest do obliczenia energii kinetycznej punktu materialnego, w mechanice klasycznej przedstawia się on, jako suma kwadratów współrzędnych pędu:

$p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$

(5.6)

W mechanice kwantowej kwantowej jest podobnie, tylko współrzędne wektora pędu w (5.6) należy zastąpić przez współrzędne wektora operatora pędu (5.4), wtedy kwadrat operatora pędu:

$\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial x}}\right)^2+\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial y}}\right)^2+\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial z}}\right)^2=$ $=-\hbar^2\left({{\partial^2}\over{\partial x^2}}+{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}\right)=-\hbar^2\nabla^2$

(5.7)

A zatem ostatecznie operator (5.7) jest zapisywany przy pomocy kwadratu operatora nabla (∇), czyli przy pomocy operatora Δ, czyli nasz omawiany operator zawiera drugie pochodne cząstkowe względem współrzędnych kartezjańskich z pewną ściśle określoną stałą proporcjonalności:

$\hat{p}^2=-\hbar^2\nabla^2=-\hbar^2\Delta$

(5.8)

Kwadrat operatora pędu jest operatorem hermitowskim, bo jak można udowodnić z własności operatorów sprzężonych po hermitowsku:

$(\hat{p}^2)^+=\hat{p}^+\hat{p}^+=\hat{p}\hat{p}=\hat{p}^2\;$

(5.9)

Nierelatywistyczny lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym

Nierelatywistyczny Lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy:

$\mathfrak{L}={{1}\over{2}}m\vec{v}\vec{v}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\;$

(5.10)

W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony:

$\vec{p}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\vec{v}}}=m\vec{v}+q\vec{A}\;$

(5.11)

W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z mechaniki Newtona z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami Newtona:

${{d}\over{dt}}{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial \vec{v}}}-{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\vec{r}}}=0\;$

(5.12)

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu (5.10) do wzoru Eulera-Lagrange'a (5.12), to dostajemy, że:

${{d}\over{dt}}(m\vec{v}+q\vec{A})=-q\nabla\varphi+q\nabla(\vec{v}\vec{A})\Rightarrow {{d}\over{dt}}(m\vec{v})=-q\nabla\varphi-q{{d}\over{dt}}\vec{A}+q\nabla(\vec{v}\vec{A})\;$

(5.13)

Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu:

$d\vec{A}={{\partial\vec{A}}\over{\partial x_i}}dx_i+{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}dt\Rightarrow d\vec{A}=(d\vec{r}\nabla)\vec{A}+{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}dt\Rightarrow{{d\vec{A}}\over{dt}}=(\vec{v}\nabla)\vec{A}+{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;$

(5.14)

Obliczenia (5.13) na podstawie udowodnionej tożsamości (5.14) wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić:

${{d}\over{dt}}(m\vec{v})=-q\nabla\varphi-q{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}+q\left[-(\vec{v}\nabla)\vec{A}+\nabla(\vec{v}\vec{A})\right]\;$

(5.15)

Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇:

$\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\vec{A})-(\vec{v}\nabla)\vec{A}\;$

(5.16)

Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie (5.16), to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity ε_ijk i symboli Kroneckera δ_ij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy:

$\left(\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})\right)_i=\epsilon_{ijk}v_j\epsilon_{klm}\nabla_lA_m= \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}v_j\nabla_lA_m=\;$ $=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})v_j\nabla_lA_m=v_m\nabla_iA_m-v_l\nabla_lA_i=\left(\nabla(\vec{v}\vec{A})\right)_i-\left((\vec{v}\nabla)\vec{A}\right)_i\;$

(5.17)

Przy obliczeniach (5.17) założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem (5.15) przyjmuje postać:

${{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\right]+q\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})\;$

(5.18)

Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

$\vec{E}=-\nabla\varphi-{{\partial\vec{A}}\over{\partial t}}\;$ (5.19)

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\;$ (5.20)

Wyrażenie (5.18) na podstawie (5.19) (definicji natężenia pola elektrycznego $\vec{E}\;$ w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego $\varphi\;$ i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego $\vec{A}\;$ i to wszystko wzięte z minusem) i (5.20) (definicji indukcji pola magnetycznego $\vec{B}\;$ jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego $\vec{A}\;$) przyjmuje postać:

${{d}\over{dt}}(m\vec{v})=q\left[\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right]\Rightarrow {{dm\vec{v}}\over{dt}}=\vec{F}_{el}+\vec{F}_{mag} \;$

(5.21)

W (5.21) otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki Newtona dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian (5.10) jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Nierelatywistyczny hamiltonian w polu elektromagnetycznym

Wyznaczmy nierelatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki nierelatywistycznej i Lagrangianu (5.10) dla cząstki w polu elektromagnetycznym:

$H=\vec{p}\vec{v}-L=(m\vec{v}+q\vec{A})\vec{v}-\left({{1}\over{2}}m\vec{v}\vec{v}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\right)=m\vec{v}^2+q\vec{A}\vec{v}-{{1}\over{2}}m\vec{v}^2+q\varphi-q\vec{v}\vec{A}=\;$ $={{1}\over{2}}m\vec{v}^2+q\varphi=T+U=E\;$

(5.22)

Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna (całkowita) cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po po prostu zwykły nieratywistyczny hamiltonian.

Operator energii kinetycznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

Energię kinetyczną w mechanice klasycznej definiujemy jako iloraz kwadratu wartości wektora pędu punktu materialnego przez podwojoną masę tegoż punktu materialnego, ponieważ bez pola wektorowego elektromagnetycznego pęd uogólniony jest równy zwykłemu pędowi klasycznemu znany z mechaniki Newtona, mamy:

$T={{m\vec{v}^2}\over{2}}={{(m\vec{v})^2}\over{2}}={{p^2}\over{2m}}$

(5.23)

Zastępując wartość energii kinetycznej punktu materialnego T przez operator energii kinetycznej$\hat{T}$, oraz p² przez kwadrat operatora wektora pędu$\hat{p}^2$ (5.8), otrzymujemy:

$\hat{T}={{\hat{p}^2}\over{2m}}=-{{\hbar^2}\over{2m}}\nabla^2=-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta$

(5.24)

Widzimy, że we wzorze (5.24) operator energii kinetycznej jest zależny od masy ciała i operatora Δ, czyli od kwadratu operatora nabla. Operator $\hat{T}\;$ jest operatorem hermitowskim, ponieważ kwadrat operatora pędu też jest operatorem hermitowskim, a dzielenie przez liczbę rzeczywistą, tzn. przez 2m nic nie zmienia.

Operator energii kinetycznej w polu elektromagnetycznym

Korzystając przy tym z definicji uogólnionego pędu (5.11) i wyznaczając z niego pęd klasyczny cząstki, to znaczy $m\vec{v}\;$ i podstawiając do wzoru na energię kinetyczną, stąd po odpowiednich modyfikacjach wzoru na tą energię, dostajemy wzór na energię kinetyczną w polu elektromagnetycznym poprzez pęd uogólniony:

$T={{m\vec{v}^2}\over{2}}={{(m\vec{v})^2}\over{2m}}={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}\;$

(5.24)

Zastępując wartość energii punktu materialnego T w polu elektromagnetycznym przez operator energii kinetycznej$\hat{T}\;$ oraz $\vec{p}\;$ przez wektor operatora pędu $\hat{p}\;$ (5.4), otrzymujemy:

$\hat{T}={{(\hat{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}={{(-i\hbar\nabla-q\vec{A})^2}\over{2m}}\;$

(5.25)

W operator energii kinetycznej (5.25) przechodzi w operator energii kinetycznej w (5.22), gdy zachodzi $\vec{A}=0\;$ lub $q=0\;$. Operator (5.13) jest operatorem hermitowskim, ponieważ w liczniku pod potęgą różnica operatora hermitowskiego i zwykłego wektora jest operatorem hermitowskim, a więc kwadrat takiego operatora też jest operatorem hermitowskim. Gdy taki operator podzielimy przez 2m, to nadal on jest operatorem hermitowskim.

Operator energii mechanicznej bez potencjału wektorowego w elektromagnetyzmie

W mechanice klasycznej energię mechaniczną definiujemy jako sumę energii kinetycznej zdefiniowaną w punkcie (5.10) i energii potencjalnej, zatem tą energię zapisujemy ogólnie definiując ją jako:

$E=H=T+V(\vec{r})={{p^2}\over{2m}}+V(\vec{r})\;$

(5.26)

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej na podstawie (5.26) piszemy zastępując odpowiednio energię kinetyczną przez operator energii kinetycznej, energię potencjalną przez operator mnożenia przez liczbę, zatem operator tej energii zapisujemy:

$\hat{H}=\hat{T}+V(\vec{r})\cdot\;$

(5.27)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (5.24) (dla pola potencjału wektorowego równego zero), wtedy operator energii mechanicznej (5.27) możemy zapisać:

$\hat{H}={{\hat{p}^2}\over{2m}}+V(\vec{r})\cdot=-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta+V(\vec{r})\cdot\;$

(5.28)

Operator (5.28) jest operatorem energii mechanicznej jednej cząstki. Operator (5.27) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna jest operatorem hermitowskim, a cześć potencjalna też jest, bo ona jest operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym

W mechanice klasycznej energię mechaniczną w polu elektromagnetycznym, wykorzystując przy tym energię kinetyczną zdefiniowanej w punkcie (5.25), definiujemy:

$E=H=T+q\varphi+V(\vec{r})={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi+ V(\vec{r})\;$

(5.29)

Wyrażenie (5.29) jest sumą energii kinetycznej T i sumy dwóch rodzajów energii potencjalnej, tzn. energii potencjalnej pola elektromagnetycznego (iloczynu ładunku i potencjału skalarnego) i energii potencjalnej zwykłego pola potencjalnego.

W mechanice kwantowej operator energii mechanicznej przedstawiamy na podstawie (5.29) zastępując tam wielkość energii kinetycznej i potencjalnej przez odpowiednie operatory, stąd otrzymujemy:

$\hat{H}=\hat{T}+q\varphi\cdot+V(\vec{r})\cdot\;$

(5.30)

Wykorzystując definicję operatora energii kinetycznej (5.25), to operator całkowitej energii mechanicznej cząstki (5.30) możemy zapisać jako:

$\hat{H}={{(\hat{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi\cdot+V(\vec{r})\cdot={{(-i\hbar\nabla-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi\cdot+V(\vec{r})\cdot\;$

(5.31)

Operator (5.31) jest operatorem energii mechanicznej w polu elektromagnetycznym jednej cząstki. Operator (5.31) jest operatorem hermitowskim, bo energia kinetyczna nim jest, a część potencjalna też jest, ponieważ jest ona operatorem mnożenia przez liczbę rzeczywistą.

Operator momentu pędu

W mechanice klasycznej wielkość momentu pędu definiujemy poprzez iloczyn kartezjański wektora położenia punktu materialnego przez wektorowo wektor pędu omawianego punktu materialnego.

$\vec{l}=\vec{r}\operatorname{x}\vec{p}$

(5.32)

Zastępując wszystkie wektory w (5.32) przez operatory tzn. wektor pędu przez wektor operatora pędu (5.8), a wektor położenia przez wektor operatora położenia w postaci (5.2), to wektor operatora momentu pędu zapisujemy:

$\hat{l}=\hat{r}\operatorname{x}\hat{p}$

(5.33)

Wzór (5.32) w którym występuje iloczyn wektorowy można przedstawić w postaci formalnego wyznacznika. Aby otrzymać z (5.32) (w postaci liczby) do (5.33) (w postaci operatorowej) należy w tym formalnym wyznaczniku zastąpić elementy położenia (drugi wiersz wyznacznika) przez operatory położenia (5.2), a w trzecim wierszu należy zastąpić odpowiednie współrzędne pędu przez współrzędne operatora pędu (5.4), po tych operacjach mamy formalną macierz, który jest rzeczywiście wektorem operatora momentu pędu.

$\hat{l}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x&y&z\\ -i\hbar{{\partial}\over{\partial x}}&-i\hbar{{\partial}\over{\partial y}}&-i\hbar{{\partial}\over{\partial z}} \end{vmatrix}\;$

(5.34)

Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego (5.34) można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są:

$\hat{l}_x=-i\hbar\left(y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}\right)$ (5.35)

$\hat{l}_y=-i\hbar\left(z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}\right)$ (5.36)

$\hat{l}_z=-i\hbar\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)$ (5.37)

Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.

Kwadrat operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych

Bardzo ważną wielkością jest kwadrat operatora całkowitego momentu pędu, przedstawia się on podobnie jak kwadrat operatora pędu, jako suma kwadratów współrzędnych operatora momentu pędu. Odpowiednie współrzędne operatora momentu pędu są to operatory zdefiniowane przez wzory (5.35) (współrzędna iksowa operatora momentu pędu), (5.36) (współrzędna igrekowa operatora momentu pędu), (5.37) (współrzędna zetowa operatora momentu pędu), zatem nasz omawiany obiekt zdefiniujmy rozpisując go w sposób:

$\hat{l}^2=\hat{l}^2_x+\hat{l}^2_y+\hat{l}^2_z=-\hbar^2\Bigg\{\left(y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}\right)^2+\left( z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}\right)^2+\left(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}\right)^2\Bigg\}=$
$=-\hbar^2\left\{y^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}-y{{\partial}\over{\partial z}}z{{\partial}\over{\partial y}}- z{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial z}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+x^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}-z{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial z}}z{{\partial}\over{\partial x}} \right\}$

$-\hbar^2\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+y^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-x{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial x}}-y{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial y}}\right\}=$

$=-\hbar\left\{y^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}}\right\}+$

$-\hbar\left\{ z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+x^2{{\partial^2}\over{\partial z^2}}-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+$

$-\hbar\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial y^2}}+y^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=$

$=-\hbar\left\{\left(y^2+z^2\right){{\partial^2}\over{\partial x^2}}+\left(x^2+y^2\right){{\partial^2}\over{\partial z^2}}+\left(x^2+z^2\right){{\partial^2}\over{\partial y^2}}\right\}+$

$-\hbar\left\{x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}+y^2{{\partial}\over{\partial y^2}}-x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-y^2{{\partial}\over{\partial y^2}} \right\}+$

$-\hbar\left\{-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}} \right\}+$

$-\hbar\left\{-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+$

$-\hbar\left\{ -xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=$

$=-\hbar\left\{\left(x^2+y^2+z^2\right)\Delta -x^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-z^2{{\partial^2}\over{\partial x^2}}-y^2{{\partial}\over{\partial y^2}}\right\}+$

$-\hbar\left\{-yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-y{{\partial}\over{\partial y}}-zy{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial z}} \right\}$

$-\hbar\left\{-zx{{\partial^2}\over{\partial z\partial x}}-z{{\partial}\over{\partial z}}-xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-x{{\partial}\over{\partial x}} \right\}+$

$-\hbar\left\{ -xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-x{{\partial }\over{\partial x}}-yx{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial y}} \right\}=$

$=-\hbar\left\{(x^2+y^2+z^2)\Delta-(x{{\partial }\over{\partial x}}+y{{\partial }\over{\partial y}}+z{{\partial }\over{\partial z}})-(x{{\partial}\over{\partial x}}x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}}y{{\partial}\over{\partial z}})\right\}+$

$-\hbar\left({-2xy{{\partial^2}\over{\partial x\partial y}}-2xz{{\partial^2}\over{\partial x\partial z}}-2yz{{\partial^2}\over{\partial y\partial z}}}\right)=$

$=-\hbar\left\{(x^2+y^2+z^2)\Delta-(x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}})-(x{{\partial}\over{\partial x}}+y{{\partial}\over{\partial y}}+z{{\partial}\over{\partial z}})^2\right\}$

Z obliczeń powyższych dostajemy, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu jest zapisany przy pomocy operatora położenia $\vec{r}\;$ i operatora różniczkowania cząstkowego ∇ i operatora Δ, i ten nasz operator jest równy do równoważnego powyżej przedstawienia:

$\hat{l}^2=-\hbar^2\left\{r^2\Delta-(\vec{r}\nabla)^2-\vec{r}\nabla\right\}$

(5.38)

A następnie policzmy pomocnicze wyrażenie operatorowe będące iloczynem wektora położenia $\vec{r}\;$ i operatora ∇, czyli coś w rodzaju pochodnej kierunkowej, stąd możemy napisać:

$\vec{r}\nabla=\vec{e}_{r} r\left(\vec{e}_{r}{{\partial}\over{\partial {r}}}+\vec{e}_{\theta}{{\partial}\over{r\sin\phi\partial\theta}}+\vec{e}_{\phi}{{\partial}\over{r\partial\phi}}\right)=r{{\partial}\over{\partial r}}$

(5.39)

Nasz operator (5.38) na podstawie obliczeń pomocniczych (5.39) (to wyrażenie zależy tylko on od współrzędnych radialnych) jest równy wzorowi:

$\hat{l}^2=-\hbar^2\left\{r^2\Delta -(r{{\partial}\over{\partial r}})^2-r{{\partial}\over{\partial r}} \right\}=-\hbar^2\left\{ r^2\Delta-r^2{{\partial^2}\over{\partial r^2}}-r{{\partial}\over{\partial r}}-r{{\partial}\over{\partial r}} \right\}=$ $=-\hbar\left\{ r^2\Delta-r^2{{\partial^2}\over{\partial r^2}}-2r{{\partial}\over{\partial r}}\right\}=-\hbar\left\{r^2\Delta-r{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r) \right\}\;$

(5.40)

Z definicji laplasjanu mamy wzór operatorowy zdefiniowanej poprzez operator Λ, który z kolei jest definiowany poprzez wielkości kątowe, które to będą nam potrzebne przy definicji rozważanego tutaj operatora:

$\Delta={{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda$

(5.41)

Dochodzimy więc do wniosku, że rozważany obiekt (5.40) na podstawie definicji operatora Δ we współrzędnych kulistych (5.41), przedstawia się jak udowodnimy, tylko od operatora Λ:

$\hat{l}^2=-\hbar^2\left\{r^2\left({{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda\right) -r{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r) \right\}=-\hbar^2\left\{r{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+\Lambda-r{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)\right\}$

(5.42)

Dochodzimy więc do wniosku, że kwadrat operatora całkowitego momentu pędu na podstawie obliczeń (5.42) jest w postaci:

$\hat{l}^2=-\hbar^2\Lambda$

(5.43)

Widzimy, że (5.43) jest zdefiniowany poprzez operator Λ, czyli poprzez wielkości kątowe, zatem nasz operator nie zależy od wielkości współrzędnej radialnej r, ale tylko od współrzędnych kątowych w układzie kulistym.

Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.

Mając operator momentu pędu iksowy znając jego definicję we współrzędnych kartezjańskich wedle wzoru operatorowego (5.35) i wyznaczmy czemu jest równy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną $-i\hbar\;$:

${{\hat{l}_x}\over{-i\hbar}}=y{{\partial}\over{\partial z}}-z{{\partial}\over{\partial y}}=\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\phi}\over {r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial z}}}+$

$-\underbrace{r\cos\phi}_{z}\underbrace{\left[\sin\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}+{{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}=$ $=r\sin\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial r}}-\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}-r\cos\phi\sin\theta\sin\phi{{\partial }\over{\partial r}}-{{\cos\phi\cos\theta}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}-\cos^2\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}=$

$=-\sin\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi){{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}= -\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowego momentu pędu (5.35) napisaliśmy we współrzędnych kulistych po podzieleniu go przez stały czynnik $-i\hbar\;$. W tym operatorze, jak udowodniliśmy zależy tylko ono od współrzędnych kątowej, to znaczy od współrzędnej azymutalnej(θ) i zenitalnej(φ), zatem ten operator jest napisany razem z tym czynnikiem:

$\hat{l}_x=i\hbar\left[\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]$

(5.44)

Mając operator igrekowy momentu pędu zdefiniowanej w postaci operatorowej we współrzędnych kartezjańskich wedle (5.36), przedstawmy go we współrzędnych kulistych zamieniając wszystkie te współrzędne kartezjańskie oraz operatory cząstkowe zdefiniowane we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne kuliste, napiszemy go po podzieleniu przez liczbę urojoną: $-i\hbar\;$:

${{\hat{l}_y}\over{-i\hbar}}=z{{\partial}\over{\partial x}}-x{{\partial}\over{\partial z}}=\underbrace{r\cos\phi}_{z}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}+$

$-\underbrace{r\cos\theta\sin\phi}_{x}\underbrace{\left[\cos\phi{{\partial }\over{\partial r}}-{{\sin\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial z}}}=$
$=r\cos\theta\cos\phi\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+ \cos^2\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}- r\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial }\over{\partial r}}+\sin^2\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}=$

$=\cos\theta(\sin^2\phi+\cos^2\phi){{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}= \cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator iksowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (5.23) napiszemy go we współrzędnych kulistych co napiszemy go po podzieleniu przez stały czynnik ($-i\hbar\;$). Jak zobaczymy zależy on tylko od współrzędnych kątowych, nic od współrzędnej radialnej, jest napisana razem z tym czynnikiem:

$\hat{l}_y=i\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)$

(5.45)

Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle (5.37), w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną $-i\hbar\;$:

${{\hat{l}_z}\over{-i\hbar}}=x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}}=\underbrace{r\cos\theta\sin\phi}_{x}\underbrace{\left[\sin\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}+ {{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}+$

$-\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}=$
$=r\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial r}}+\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}+$

$-r\sin\theta\cos\theta\sin\phi^2{{\partial}\over{\partial r}}+\sin\theta^2{{\partial}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}=$
$=\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+ \sin^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}} = (\cos^2\theta+\sin^2\theta){{\partial}\over{\partial\theta}} ={{\partial}\over{\partial\theta}}$

Na podstawie poprzednich obliczeń operator zetowy momentu pędu zdefiniowany we współrzędnych kartezjańskich (5.37) udowodniliśmy, że w przedstawieniu jego we współrzędnych kulistych i po podzieleniu go przez stały czynnik ($-i\hbar\;$), że on nie zależy on od współrzędnej radialnej, ale też nie zależy od współrzędnej zenitalnej, natomiast po przeprowadzeniu powyższego dowodu zależy ona tylko od współrzędnej azymutalnej θ.

$\hat{l}_z=-i\hbar{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.46)

Udowodniliśmy, że najprostszy operator momentu pędu we współrzędnych kulistych jest to operator zetowy momentu pędu, bowiem zależy tylko od jednej współrzędnej kulistej. Natomiast wszystkie współrzędne operatora momentu pędu zależą tylko od współrzędnych kątowych kulistych, ale nie od współrzędnej radialnej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu

Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako:

$\hat{l}_{+}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)\;$ (5.47)

$\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)\;$ (5.48)

$\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z\;$ (5.49)

Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory (5.47) ($\hat{l}_+\;$) i (5.48) ($\hat{l}_-\;$) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora (5.47), że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora (5.48):

$(\hat{l}_{+})^{+}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)^{+}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)=\hat{l}_-\neq \hat{l}_{+}$

(5.50)

A dla operatora (5.48) jest on sprzężony po hermitowsku z (5.47), ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego:

$(\hat{l}_{-})^{+}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)^{+}={{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)=\hat{l}_+\neq \hat{l}_{-}$

(5.51)

Operator wedle definicji (5.49) jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator $\hat{l}_z\;$ natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe.

$(\hat{l}_0)^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z=\hat{l}_0$

(5.52)

Operatory (5.47) ($\hat{l}_+\;$), (5.48) ($\hat{l}_-\;$), (5.49) ($\hat{l}_0\;$) są to ważne operatory ułatwiające niektóre obliczenia w fizyce kwantowej.

Operatory zdefiniowane w oparciu o operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych

Policzmy teraz operator $\hat{l}_{+}$ zdefiniowanych według (5.47), we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według (5.44) i (5.45), to napiszemy:

$\hat{l}_{+}= {{1}\over{\hbar}} \left[ i\hbar\left[\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+ \operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]+ ii\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+ \operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\right]=$ $=\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\left[\sin\theta-i\cos\theta\right]{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.53)

Operator (5.47) we współrzędnych kulistych na postawie obliczeń (5.53) jest zdefiniowany:

$\hat{l}_{+}=e^{i\theta}{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi e^{i(\theta-{{\pi}\over{2}})}{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.54)

Policzmy teraz operator $\hat{l}_{+}$ zdefiniowanych według (5.48) we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według (5.44) i (5.45), napiszemy:

$\hat{l}_{-}= {{1}\over{\hbar}} \left[ i\hbar\left[\sin\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+ \operatorname{ctg}\phi\cos\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right]- ii\hbar\left(-\cos\theta{{\partial}\over{\partial\phi}}+ \operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\right]=$ $=-\left[\cos\theta-i\sin\theta\right]{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi\left[\sin\theta+i\cos\theta\right]{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.55)

Operator (5.48) we współrzędnych kulistych na postawie (5.55) jest zdefiniowany w sposób:

$\hat{l}_{-}=-e^{-i\theta}{{\partial}\over{\partial\phi}}+\operatorname{ctg}\phi e^{i({{\pi}\over{2}}-\theta)}{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.56)

Policzmy teraz operator $\hat{l}_{0}$ zdefiniowanych według (5.49) we współrzędnych kulistych przy pomocy operatora zetowej współrzędnej momentu pędu we współrzędnych kulistych według (5.46):

$\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}(-i\hbar){{\partial}\over{\partial\theta}}=-i{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.57)

Zatem na podstawie (5.57) dostajemy, że ten operator we współrzędnych kulistych jest jako:

$\hat{l}_0=-i{{\partial}\over{\partial\theta}}$

(5.58)

A więc operatory (5.47)($\hat{l}_+\;$), (5.48)($\hat{l}_-\;$) i (5.49)($\hat{l}_0\;$) można zdefiniować w zależności od współrzędnych kulistych, które jak udowodniono wcześniej nie są operatorami hermitowskimi (oprócz ostatniego), nawet w tymże współrzędnych kulistych, co nigdy nie powinno zmieniać tej naszej sytuacji. Tzn. gdy operator jest hermitowski w jednym układzie współrzędnym, to w innym też jest.

Komutacja operatorów fizycznych

Poniżej przedstawimy komutacje różnych operatorów fizycznych na podstawie definicji komutatorów. Podstawowe wiadomości o komutatorach można znaleźć w module "Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych" w książce o metodach matematycznych fizyki, a definicję samego komutatora przestawiamy w punkcie (MMF-15.18) w tejże książce.

Komutacja współrzędnych operatora położenia

Sprawdźmy, czy elementy operatorów położenia komutują się ze sobą i jak się przekonamy rzeczywiście tak jest ze względu, że operatory współrzędnych położeń są zwykłymi operatorami mnożenia:

$\left[q_k,q_l\right]=q_kq_l-q_lq_k=0\;$

(6.1)

A zatem na podstawie (6.1) dochodzimy do wniosku, że operatory współrzędnych ze sobą komutują.

$\left[q_k,q_l\right]=0\;$

(6.2)

Wedle (6.2) różne elementy operatora położenia mają tą samą funkcję własną.

Komutacja współrzędnych operatora pędu

Sprawdźmy, czy elementy operatora pędu komutują się ze sobą, jak się przekonamy tak rzeczywiście jest ze względu, że współrzędne operatora pędu z dokładnością do urojonego czynnika, który jest liczbą, jest operatorem pochodnej cząstkowej względem współrzędnej przestrzennej. Ponieważ różniczkowanie tych operatorów w różnych kolejności nie zmienia wyniku, nawet dla tych samych numerów współrzędnych operatora pędu, a dowód tej komutacji:

$\left[p_k,p_l\right]=p_kp_l-p_lp_k=\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial q_k}}\right)\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial q_l}}\right)-\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial q_l}}\right)\left(-i\hbar{{\partial}\over{\partial q_k}}\right)=\;$ $=-\hbar^2 \left({{\partial^2}\over{\partial q_l\partial q_k}}-{{\partial^2}\over{\partial q_k\partial q_l}}\right)=0$

(6.3)

Dochodzimy więc do wniosku na podstawie dowodu (6.3), że operatory pędu ze sobą komutują:

$\left[p_k,p_l\right]=0\;$

(6.4)

Na podstawie (6.4) różne elementy (współrzędne) operatora pędu mają tę samą funkcję własną, która jest funkcją własną operatora pędu.

Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu

Wyznaczmy, jak się przedstawia komutacja operatora położenia i pędu, udowodnimy, że dla różnych numerów współrzędnych tychże operatorów nasz komutator jest równy zero, tak się dzieje ponieważ operator współrzędnej położenia jest w innych zmiennych niż operator pędu. Dla tych samych numerów natomiast te operatory nie komutują ze sobą:

$\left[q_k,p_l\right]=q_kp_l-p_lq_k=-i\hbar\left(q_k{{\partial}\over{\partial q_l}}-{{\partial}\over{\partial q_l}}q_k\cdot\right)=-i\hbar\left(q_k{{\partial}\over{\partial q_l}}-q_k{{\partial}\over{\partial q_l}}-{{\partial q_k}\over{\partial q_l}}\right)=$ $=-i\hbar(-\delta_{kl})=i\hbar\delta_{kl}$

(6.5)

A zatem ostatecznie komutacja współrzędnych operatora pędu i współrzędnych operatora położenia na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (6.5) jest taka:

$\left[q_k,p_l\right]=i\hbar\delta_{kl}\;$

(6.6)

Na podstawie (6.6) funkcja własna operatora położenia jest funkcją własną inną niż funkcja własna operatora pędu dla tych samych numerów współrzędnych, natomiast dla różnych numerów współrzędnych komutator jak powiedzieliśmy jest równy zero, co oznacza, że te operatory te mają takie same funkcje własne.

Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu

Zdefiniujmy, operator moment pędu (5.23), jeśli wiemy, że operator pędu jest zdefiniowany wedle (5.6), to nasza rozważana współrzędna operatora momentu pędu przedstawiamy za pomocą symbolu Leviego-Civity:

$\hat{l}_i=\left(\hat{r}\times\hat{p}\right)_i=-i\hbar\left(\hat{r}\times\nabla\right)_i=-i\hbar\epsilon_{ijk}x_j\nabla_k=-i\hbar\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}}$

(6.7)

Ten komutator zdefiniowany jest przy pomocy składowych momentu pędu o składowych i-tej i j-tej, to obliczmy jakiemu operatorowi nasz ten obiekt jest równy:

$\left[\hat{l}_i,\hat{l}_j\right]=\hat{l}_i\hat{l}_j-\hat{l}_j\hat{l}_i=-i\hbar\epsilon_{ikl}x_k{{\partial}\over{\partial x_l}}(-i\hbar\epsilon_{jmn}x_m{{\partial}\over{\partial x_n}})+i\hbar\epsilon_{jmn}x_m{{\partial}\over{\partial x_n}}(-i\hbar\epsilon_{ikl}x_k{{\partial}\over{\partial x_l}})=$ $=-\hbar^2\Bigg(\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_kx_m{{\partial^2}\over{\partial x_l\partial x_n}}+\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_k\delta_{lm}{{\partial}\over{\partial x_n}}- \epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_kx_m{{\partial^2}\over{\partial x_l\partial x_n}}+$ $-\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_m\delta_{kn}{{\partial}\over{\partial x_l}}\Bigg)=-\hbar^2(\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_k\delta_{lm}{{\partial}\over{\partial x_n}}-\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmn}x_m\delta_{kn}{{\partial}\over{\partial x_l}})=$ $=-\hbar^2(\epsilon_{ikl}\epsilon_{jln}x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}-\epsilon_{ikl}\epsilon_{jmk}x_m{{\partial}\over{\partial x_l}})$

(6.8)

Na drugim wyrazie w (6.8) w nawiasie wykonujemy przemianowania wskaźników l na n i m na k i odwrotne, po to by można było za nawias wyciągnąć wyraz z operatorem pochodnej cząstkowej:

$\left[\hat{l}_i,\hat{l}_j\right]=-\hbar^2(\epsilon_{ikl}\epsilon_{jln}x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}-\epsilon_{imn}\epsilon_{jkm}x_k{{\partial}\over{\partial x_n}})=-\hbar^2\left(\epsilon_{ikl}\epsilon_{jln}-\epsilon_{imn}\epsilon_{jkm}\right)x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}$

(6.9)

Podwójny symbol Leviego-Civity możemy zapisać za pomocą różnicy dwóch iloczynów pewnych w sposób ściśle zdefiniowanych delty Kroneckera wedle sposobu:

$\epsilon_{pil}\epsilon_{ljk}=\delta_{pj}\delta_{ik}-\delta_{kp}\delta_{ij}\;$

(6.10)

Dalej dokonując przesunięć wskaźników i włączania znaku minus w pod nawias, a także wykorzystując definicję podwójnego iloczynu symboli Leviego-Civity, dostajemy:

$\left[\hat{l}_i,\hat{l}_j\right]=\hbar^2\left(\epsilon_{inm}\epsilon_{mkj}-\epsilon_{ikl}\epsilon_{lnj}\right)x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}=\hbar^2\left[\delta_{ik}\delta_{nj}- \delta_{ji}\delta_{nk}+\delta_{in}\delta_{kj}-\delta_{ji}\delta_{kn}\right]x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}=$ $=\hbar^2\left(\delta_{ik}\delta_{nj}-\delta_{in}\delta_{kj}\right)x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}=\hbar^2\epsilon_{ijl}\epsilon_{lkn} x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}=i\hbar\epsilon_{ijl}\left(-i\hbar\epsilon_{lkn} x_k{{\partial}\over{\partial x_n}}\right)=$ $=i\hbar\epsilon_{ijl}\hat{l}_l=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{l}_k$

(6.11)

Na podstawie obliczeń w (6.11) dostajemy, że komutator dwóch dowolnych współrzędnych operatora momentu pędu wyrażamy przez:

$\left[\hat{l}_i,\hat{l}_j\right]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{l}_k\;$

(6.12)

Na podstawie wzoru komutacyjnego (6.12) współrzędne operatora momentu pędu nie mają wspólnych funkcji własnych.

Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu

Rozparzmy teraz komutację operatora kwadratu całkowitego momentu pędu z jakąś współrzędną operatora momentu pędu, wtedy możemy napisać drugi składnik w tym komutatorze, w który jest kwadratem operatora momentu pędu, i tak go rozpisujemy jako sumą składników kwadratów momentów pędów odpowiednich współrzędnych, idąc dalej taki komutator możemy rozpisać na sumę komutatorów, i dalej będziemy korzystać z własności na komutatorach (MMF-15.20), po tych operacjach możemy skorzystać ze wzoru, którego składnikami są współrzędnymi operatorów momentu pędu, czyli według wzoru (6.12). Nasze obliczenia na podstawie tego przeprowadzamy jako:

$\left[\hat{l}_m,\hat{l}^2\right]=\left[\hat{l}_m,\sum_j \hat{l}_j^2\right]=\sum_j\left[\hat{l}_m,\hat{l}_j^2\right]=\sum_j \hat{l}_j\left[\hat{l}_m,\hat{l}_j\right]+\sum_j \left[\hat{l}_m,\hat{l}_j\right]\hat{l}_j=$ $=\sum_{j,k} i\hbar\epsilon_{mjk}\hat{l}_j \hat{l}_k+\sum_{j,k} i\hbar\epsilon_{mjk}\hat{l}_k\hat{l}_j=\sum_{j,k} i\hbar \epsilon_{mjk}\hat{l}_j\hat{l}_k+\sum_{j,k}i\hbar\epsilon_{mkj}\hat{l}_j\hat{l}_k=$ $=i\hbar\sum_{j,k}(\epsilon_{mjk}l_jl_k-\epsilon_{mjk}l_jl_k)=i\hbar \cdot 0=0$

(6.13)

Na podstawie dowodu (6.13) operator kwadratu całkowitego momentu pędu z jakimś elementem (jakąś współrzędną) operatora momentu pędu komutują ze sobą:

$\left[\hat{l}_m,\hat{l}^2\right]=0$

(6.14)

Na podstawie (6.14) funkcja własna jakieś współrzędnej operatora momentu pędu jest taka sama jak dla kwadratu operatora całkowitego momentu pędu.

Komutacja operatorów ciąg dalszy

Mając definicję operatorów współrzędnych momentu pędu, możemy zdefiniować go w oparciu o nie inne operatory, np:$\hat{l}_+,l{-},\hat{l}_0\;$ za pomocą operatorów momentu pędu zdefiniowanych wcześniej. Jak powiedzieliśmy wcześniej, operatory:$\hat{l}_+\;$ (5.47) i $\hat{l}_-\;$ (5.48) nie są hermitowskie. Sprawdźmy komutację $\hat{l}_+\;$ z $\hat{l}_-\;$, co dowód przeprowadzamy, korzystając z (6.12), przekonamy się, że on jest równy podwojonemy operatorowi (5.49):

$\left[\hat{l}_+,\hat{l}_-\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left[\hat{l}_x+i\hat{l}_y,\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left(\left[\hat{l}_x,\hat{l}_x\right]-i\left[\hat{l}_x,\hat{l}_y\right]+i\left[\hat{l}_y,\hat{l}_x\right]+\left[\hat{l}_y,\hat{l}_y\right]\right) =$ $= -i{{2}\over{\hbar^2}}\left[\hat{l}_x,\hat{l}_y\right] =-i{{2}\over{\hbar^2}}i\hbar \hat{l}_z={{2}\over{\hbar}}\hat{l}_z=2\hat{l}_0$

(6.15)

Sprawdźmy komutację operatora $\hat{l}_0\;$(5.49) z operatorem $\hat{l}_+\;$ (5.47) i jak udowodnimy, równy on jest operatorowi zdefiniowanego w (5.47) korzystając znów ze wzoru wcześniej pokazanego (6.12):

$\left[\hat{l}_0,\hat{l}_+\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left[\hat{l}_z,\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left(\left[\hat{l}_z,\hat{l}_x\right]+i\left[\hat{l}_z,\hat{l}_y\right]\right)= {{1}\over{\hbar^2}}\left(i\hbar \hat{l}_y-i i\hbar \hat{l}_x\right)=$ $={{1}\over{\hbar}}(\hbar \hat{l}_x+i\hbar \hat{l}_y)=\hat{l}_+$

(6.16)

Sprawdźmy komutację operatora $\hat{l}_0\;$(5.49) z $\hat{l}_-\;$(5.48), udowodnimy, że on równy jest operatorowi (5.48) z minusem korzystając co poprzednio jeszcze raz z tożsamości (6.12):

$\left[\hat{l}_0,\hat{l}_-\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left[\hat{l}_z,\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right]={{1}\over{\hbar^2}}\left(\left[\hat{l}_z,\hat{l}_x\right]-i\left[\hat{l}_z,\hat{l}_y\right]\right)= {{1}\over{\hbar}}(i\hat{l}_y+ii\hat{l}_x)=-{{1}\over{\hbar}}(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)=-\hat{l}_-$

(6.17)

Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń wedle (6.15), (6.16) oraz (6.17) zachodzą warunki komutacyjne:

$\left[\hat{l}_+,\hat{l}_-\right]=2\hat{l}_0\;\;$ (6.18)

$\left[\hat{l}_0,\hat{l}_+\right]=\hat{l}_+\;$ (6.19)

$\left[\hat{l}_0,\hat{l}_-\right]=-\hat{l}_-\;$ (6.20)

Na podstawie (6.18), (6.19), (6.20) operatory$\hat{l}_0\;$,$\hat{l}_+\;$,$\hat{l}_-\;$ nie komutują ze sobą, a więc nie mają wspólnych funkcji własnych.

Postulat drugi mechaniki kwantowej

Postulat
Jedynymi możliwościami pomiarów danej wielkości fizycznej reprezentowanej przez operator hermitowski P dane są przez wartości własne operatora, czyli przez równanie:

$P\psi_{\lambda\mu}=p_{\lambda}\psi_{\lambda\mu}\;$

(7.1)

Warunki na funkcje własne równania własnego w mechanice kwantowej

Rozwiązaniami równania własnego (7.1) są funkcje całkowalne z kwadratem, czyli spełniające warunek konieczny:

$\lim_{|\vec{r}|\rightarrow\infty}\psi(\vec{r},t,p_{\lambda})=0\;$

(7.2)

W przypadku, gdy rozwiązaniem równania (7.1) jest policzalna baza inaczej dyskretna, to ortogonalizacja funkcji własnych tegoż równania, jest to normowanie do jedynki dla tego samego parametru własnego, a dla różnych funkcji własnych są do siebie prostopadłe, czyli przeprowadzamy normowanie do delty Kroneckera:

$\int_{\vec{r}\in R^{3}}\psi^{*}(\vec{r},t,p_{\lambda_1})\psi(\vec{r},t,p_{\lambda_2})d^3\vec{r}=\delta_{p_{\lambda_1}p_{\lambda_2}}\;$

(7.3)

W przypadku, gdy rozwiązaniem równania (7.1) jest baza równoliczna ze zbiorem liczb rzeczywistym inaczej ciągła, to normowania funkcji własnych tegoż równania względem rozważanego parametru, jest to normowanie do delty Diraca:

$\int_{\vec{r}\in R^{3}}\psi^*(\vec{r},t,p_{\lambda_1})\psi(\vec{r},t,p_{\lambda_2})d^3\vec{r}=\delta^n(p_{\lambda_1}-p_{\lambda_2})\;\;$

(7.4)

• "n" jest to wymiar przestrzeni, do której należy wektor, którego wartość własna jest p_λ1 lub p_λ2, wymiar tej przestrzeni może być jeden, mamy wtedy do czynienia ze skalarami.

Delta Diraca jest omówiona w książce do metod matematycznych z fizyki, a w nim module "Dystrybucje jako funkcje uogólnione". Natomiast w tymże rozdziale jest powiedziane, że funkcję Diraca δⁿ(p_λ1-p_λ2 całkujemy po parametrze p_λ1 lub p_λ2, gdy parametry własne są skalarami, gdy wektorami, to całkowanie jest po infinitezymalnym elemencie przestrzeni n-wymiarowej, co którymi są parametry własne iluś tam wymiarowego wektora parametru własnego, jak się przekonamy, że ona jest unormowana do jedynki. Warunek (7.2) musi być spełniony, by był spełniony warunek normowania funkcji własnych rozwiązania równania (7.1) wyniku procesu ortogonalizacji (7.3) lub (7.4).

Zagadnienie własne operatora położenia

Operatorem położenia dla współrzędnej iksowej, podobnie jest dla współrzędnej igrekowej i zetowej, jest to operator mnożenia przez liczbę rzeczywistą zdefiniowanej wedle schematu:

$x\cdot\;$

(7.5)

Zagadnienie własne operatora położenia iksowego położenia (7.5) definiujemy podobnie jak w schemacie (7.1), to równanie dla uproszczenia zależy tylko od zmiennej iksowej i od wartości własnej $\xi\;$ i przedstawia się on:

$x\cdot\psi(x)=\xi\psi(x)\;$

(7.6)

• gdzie wartość własna ξ jest wartością własną operatora x⋅.

Z równania własnego (7.6) mamy równanie wynikowe wedle sposobu:

$(x-\xi)\psi=0\;$

(7.7)

Z równania (7.7) wynikają dwa różne przypadki, tzn. pierwszy

$\psi(x)\neq 0\;$ dla $x=\xi\;$

(7.8)

• oraz drugi inny od poprzedniego przypadek

$\psi(x)=0\;$, dla $x\neq\xi\;$

(7.9)

Te dwa przypadki dla funkcji własnej należy połączyć w jeden przypadek, w tym celu dla warunku, która zawsze jest równa zero dla punktu różnego od ξ, dla równego ξ funkcja ψ(x) przyjmuje wartość nieskończoną, a więc przyjmijmy osobliwą funkcję, która w jednym punkcie jest nie równa zero, czyli (7.8), a w pozostałych punktach jest równa zero, czyli (7.9). Nazwijmy ją funkcją Diraca. Jako osobliwą funkcję, które spełniają te dwa powyższe warunki dla różnego x, należy przyjąć funkcję Diraca, tzn.:

$\psi(x)=\delta(x-\xi)\;$

(7.10)

Jak zobaczymy tę funkcję da się unormować do jedynki. Funkcję Diraca (7.10) ma właściwości przestawione w punkcie (MMF-12.1).

Zagadnienie własne operatorów pędu

Wyznaczmy równanie własne i z niego wynikające funkcje i wartości własne dla operatora pędu (5.4) wedle schematu (7.1) w mechanice kwantowej. Równanie własne współrzędnej operatora pędu zapisujemy wedle schematu:

$\hat{p}_i\psi(x_i)=p\psi(x_i)\;$

(7.11)

A równanie własne (7.11) po rozpisaniu według definicji współrzędnej i-tego operatora pędu (5.4) przyjmuje postać:

$-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_i}}\psi(x_i)=p\psi(x_i)\;$

(7.12)

Dzielimy obustronnie równanie (7.12) przez liczbę urojoną $-i\hbar\;$ oraz wykorzystując fakt, że mamy na jednostkach urojonych własność $_{-{{1}\over{i}}=i}\;$, otrzymujemy:

${{\partial}\over{\partial x_i}}\psi(x_i)={{i}\over{\hbar}}p\psi(x_i)\;$

(7.13)

Rozwiązaniem równanie różniczkowego (7.13), która jest funkcją wprost proporcjonalną do funkcji eksponecjalnej o stałej eksponecjalnej o pewnej niezerowej stałej A:

$\psi(x_i)=Ae^{{{i}\over{\hbar}}px_i}\;$

(7.14)

Weźmy podstawienie, które zdefiniujemy jako liczba falowa przedstawiona za pomocą wartości własnej równania własnego (7.11), którego spotkaliśmy go w teorii dotyczącej teorii fal de Broglie'a (1.16).

${{p}\over{\hbar}}=k\;$

(7.15)

Zatem funkcja własna (7.14), na podstawie przedstawienia liczby falowej "k" poprzez pęd naszej cząstki (7.15), przyjmuje kształt:

$\psi(x_i)=Ae^{ikx_i}\;$

(7.16)

Przeprowadzimy proces ortonormalizacji funkcji własnej (7.16), całka po nieskończonej przestrzeni rzeczywistej, do delty Diraca:

$\int^{\infty}_{-\infty}\psi^{*}_{k_1}(x_i)\psi_{k_2}(x_i)dx_i=\overline{A}^2\int^{\infty}_{-\infty}e^{i(k_2-k_1)X}=\overline{A}^2\lim_{a\rightarrow \infty}\int^{a}_{-a}e^{i(k_2-k_1)x_i}=\;$ $=\overline{A}^2\lim_{a\rightarrow \infty}{{e^{i(k_2-k_1)}}\over{i(k_2-k_1)}}=\overline{A}^2\lim_{a\rightarrow \infty}{{2\sin(k_2-k_1)a}\over{k_2-k_1}}=\overline{A}^2\lim_{a\rightarrow \infty}{{\sin(k_2-k_1)a}\over{(k_2-k_1)\pi}}2\pi=\;$ $=\overline{A}^22\pi\delta(k_2-k_1)\;$

(7.17)

Z warunku normalizacji wyznaczmy stałą A, wedle końcowego wyniku w (7.17) występującą we funkcji własnej równania własnego operatora pędu napisanego w punkcie (7.16), w której można wyznaczyć właśnie tą stałą:

$\overline{A}^22\pi=1\Rightarrow A={(2\pi)}^{-{{1}\over{2}}}\;$

(7.18)

A zatem funkcją własną, wykorzystując obliczoną stałą według (7.18), jest funkcją unormowana do delty Diraca przedstawiona wedle schematu:

$\psi(x_i)={(2\pi)}^{-{{1}\over{2}}}e^{ikx_i}\;$

(7.19)

Mówiąc ogólnie, funkcja własna względem położenia $\vec{r}\;$ w przestrzeni trójwymiarowej, jest równa iloczynowi funkcji własnych dla każdej współrzędnych operatora pędu, jest przedstawia w sposób:

$\psi(\vec{r})=\psi(x_1)\psi(x_2)\psi(x_3)=(2\pi)^{-{{3}\over{2}}}e^{ik_1x_1}e^{ik_2 x_2}e^{k_3x_3}=(2\pi)^{-{{3}\over{2}}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\;$

(7.20)

Rozważmy teraz ograniczony przypadek do poprzedniego, który był nieskończony po całej przestrzeni rzeczywistej, jak rozważaliśmy dotychczas. Gdy na osi iksowej cząstka porusza się od -L do L, a nie w nieskończonej przestrzeni, zatem powinien zachodzić warunek, że funkcja powinna mieć takie same wartości na jego końcach tego przedziału ze względu na hermitowskość operatora współrzędnej pędu:

$\psi(L)=\psi(-L)\;$

(7.21)

Korzystając z własności funkcji własnej ψ(x_i) (7.16) równania własnego (7.12), na których końcach rozważanego przedziału spełnia on warunek:

$e^{ikL}=e^{-ikL}\;$

(7.22)

Na podstawie własności eksponensu według (7.22), a co z kolei wynika z własności funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus, zatem możemy udowodnić, że zachodzi własność zależności od dowolnej liczby całkowitej n i długości połowy przedziału L:

$ikL=-ikL+2in\pi\Rightarrow kL=n\pi\;$

(7.23)

Na podstawie równania (7.23) liczba falowa k powinna mieć wartości dyskretne w zależności od połowy długości naszego przedziału, po którym może się poruszać nasza rozważana cząstka:

$k={{\pi}\over{L}}n\;$

(7.24)

Wartość pędu (7.15), z której wyliczymy wartość własna pędu, a także do niej podstawimy wzór na skwantowaną liczbę falową (7.24), mamy:

$p=\hbar k={{\pi\hbar}\over{L}}n\;$, gdzie $n=0,\pm 1,\pm 2,...\;$

(7.25)

Sprawdźmy, czy funkcja własna (7.16) dla różnych liczb falowych jest ortogonalna, czy jest sama do siebie unormowana, że można udowodnić ponad wszelką wątpliwość:

$\int^{L}_{-L}\psi^{*}_{k_1}(x_i)\psi_{k_2}(x_i)=\overline{A}^2\int^{L}_{-L}e^{i(k_2-k_1)x_i}=\overline{A}^2\int^{L}_{-L}e^{i x_i{{(n_2-n_1)\pi}\over{L}}}\;$

(7.26)

Gdy zachodzi n₂=n₁, co pociąga za sobą warunek równości dwóch liczb falowych k₁=k₂, czyli mamy warunek normowania funkcji:

$\int^{L}_{-L}\psi^{*}_{k_1}(x_i)\psi_{k_2}(x_i)=\overline{A}^2\int^{L}_{-L}1=\overline{A}^2 2L\;$

(7.27)

Gdy mamy n₁≠n₂, co pociąga za sobą różność dwóch liczb falowych k₁≠k₂ zdefiniowanych wedle (7.24), czyli mamy warunek ortogonalizacji dwóch funkcji falowych dla dwóch różnych liczb falowych:

$\int^{L}_{-L}\psi^{*}_{k_1}(x_i)\psi_{k_2}(x_i)=\overline{A}^2\int^{L}_{-L}e^{i x_i{{(n_2-n_1)\pi}\over{L}}}=\overline{A}^2{{e^{i x_i{{(n_2-n_1)\pi}\over{L}}}}}|^{L}_{-L}{{L}\over{i(n_2-n_1)\pi}}=\;$ $=\overline{A}^2(e^{i(n_2-n_1)\pi}-e^{-i(n_2-n_1)\pi}){{L}\over{i(n_2-n_1)\pi}}= \overline{A}^2 2\sin[(n_2-n_1)\pi] {{L}\over{(n_2-n_1)\pi}}=0\;$

(7.28)

Na podstawie (7.27) (warunek normalizacyjny) i (7.28) (warunek ortogonalizacyjny), mówiąc ogólnie mamy warunek wyraźmy łączący te dwa wariantny przy pomocy normowania do delty Kroneckera pisząc je:

$\int^{L}_{-L}\psi^{*}_{k_1}(x_i)\psi_{k_2}(x_i)=\overline{A}^2 2L\delta_{k_1k_2}\;$

(7.29)

Według (7.29) możemy wyznaczyć stałą normalizacyjną jako:

$\overline{A}^2 2L=1\Rightarrow A={(2L)}^{-{{1}\over{2}}}\;$

(7.30)

Funkcja własna (7.16) na podstawie stałej normalizacyjnej, która jest zależna od długości rozważanego przedziału 2L wyznaczonej za pomocą końcowego wynikowego równania (7.30), jest równa:

$\psi(x_i)=(2L)^{-{1\over 2}}e^{ikx_i}\;$

(7.31)

Funkcja własna równania własnego operatora pędu napisanej dla argumentu wektora $\vec{r}\;$, który jest położeniem w przestrzeni trójwymiarowej, jest napisana jako iloczyn funkcji falowych dla każdej współrzędnej z osobna, które są funkcjami własnymi tychże współrzędnych, w sposób

$\psi(\vec{r})=(2L)^{-{3\over 2}}e^{-i\vec{k}\vec{r}}\;$

(7.32)

A określone współrzędne liczby falowej $\vec{k}\;$ według wzoru (7.24) są równe:

$k_i={{\pi}\over{L}}n_i\;$

(7.33)

Czyli współrzędne liczby falowej są wielkościami dyskretnymi, ogólnie dla przestrzeni trójwymiarowej wektor liczby falowej też jest wielkością dyskretną, więc ten wektor jest wprost proporcjonalny do wektora będących trójką liczb naturalnych:

$\vec{k}={{\pi}\over{L}}[n_1,n_2,n_3]\;$

(7.34)

Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa, a więc pęd cząstki w tym przypadku jest wielkością ciągłą dla nieskończonej przestrzeni trójwymiarowej, a także jest wielkością dyskretną (skwantowaną) dla przestrzeni ograniczonej we wszystkich wymiarach.

Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej

Równanie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej wygląda:

$\hat{l}_z\psi(\theta)=\lambda_z\psi(\theta)\;$

(7.35)

Wykorzystując definicję zetowej momentu pędu według (5.37) we współrzędnej kulistej, dostajemy równanie różniczkowe:

$-i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial\theta}}=\lambda_z\psi\Rightarrow{{\partial\psi}\over{\partial\theta}}={{i\lambda_z}\over{\hbar}}\psi\;$

(7.36)

Wprowadźmy nową liczbę kwantową, która jest liczona z dokładnością do stałej kreślonej Plancka oznaczonej przy pomocy współrzędnej zetowej momentu pędu.

${{\lambda_z}\over{\hbar}}=m\;$

(7.37)

A zatem nasze równanie własne (7.36) mając tożsamość (7.37), która przestawia się jako wzór na wartość własną operatora zetowego momentu pędu.

${{\partial\psi}\over{\partial\theta}}=im\psi\;$

(7.38)

Rozwiązanie równania (7.38) w postaci funkcji własnych równania (7.35) przy definicji nowej liczby kwantowej m (7.37) zapisujemy:

$\psi(\theta)=Ae^{i m\theta}\;$

(7.39)

Aby równanie (7.39) było samo ze sobą zgodna powinien on spełniać warunek:

$\psi(\theta)=\psi(2\pi+\theta)\;$

(7.40)

Dochodzimy więc do wniosku, że równanie własne (7.39) według warunku na wartości kąta, które powstają, jeśli do tego kąta dodamy wielokrotność liczby 2π, to nie powinno się wcale zmieniać wartości funkcji falowej (7.39), czyli powinien zachodzić schemat (7.40):

$Ae^{im\theta}=Ae^{im(2\pi+\theta)}\Rightarrow 1=e^{im 2\pi}\;$

(7.41)

Równanie (7.41) możemy zapisać równoważnie:

$m 2\pi=2\pi n\Rightarrow m=n\;$

(7.42)

Z równania dyskretnego (7.42) wynika, że liczby dyskretne m mają wartości m=0,±1,±2,.... Dochodzimy więc do wniosku, że zetowe wartości własne momentu pędu są skwantowane, czyli zetowy moment pędu możemy wyprowadzić z tożsamości (7.37):

$\lambda_z=\hbar m\;$

(7.43)

Wyznaczmy stałą A z (7.39) przy pomocy całki, którą całkujemy względem kąta azymutalnego w przedziale od zera do 2π, ale najpierw dokonajmy obliczeń ogólnych:

$\int^{2\pi}_{0}\psi^{*}_{m_1}\psi_{m_2}d\theta=\overline{A}^2 \int^{2\pi}_{0}e^{i(m_2-m_1)\theta}d\theta\;$

(7.44)

Gdy m₂=m₁, to równanie (7.44) jest w postaci:

$\int^{2\pi}_{0}\psi^{*}_{m_1}\psi_{m_2}d\theta=\overline{A}^2\int^{2\pi}_{0}1d\theta=\overline{A}^22\pi\;$

(7.45)

A teraz, gdy m₂≠m₁, to równanie (7.44) przyjmuje postać:

$\int^{2\pi}_{0}\psi^{*}_{m_1}\psi_{m_2}d\theta=\overline{A}^2{{e^{i(m_2-m_1)\theta}}\over{i(m_2-m_1)}}|^{2\pi}_{0}f= \overline{A}^2{{e^{i(m_2-m_1)2\pi}}\over{i(m_2-m_1)}}=0\;$

(7.46)

A zatem uwzględniając ogólnie (7.45) i (7.46) jako rozwiązanie równania (7.44), otrzymujemy ogólne równanie ortonormalizacji dwóch funkcji własnych dla różnych lub tych samych wartości liczby m:

$\int^{2\pi}_{0}\psi^{*}_{m_1}\psi_{m_2}d\theta=\overline{A}^22\pi\delta_{m_1m_2}\;$

(7.47)

Z warunku ortonormalizacji według wzoru (7.47) wartość powyższej całki powinna być z ortonomalizowana do delty Kroneckera:

$\overline{A}^22\pi=1\Rightarrow A={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\;$

(7.48)

Funkcja własna ψ(θ) operatora zetowego momentu pędu (7.39), która należy do bazy ortonormalnej, ma postać:

$\psi(\theta)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{im\theta}\;$

(7.49)

Funkcja własna (7.49) jest rozwiązaniem równania (7.35), którego wartości własne momentu pędu są dyskretne i są wyrażone według wzoru (7.43).

Zagadnienie własne operatora kwadratu momentu pędu

Równania własne operatora momentu pędu zetowego i operatora całkowitego momentu pędu wyglądają:

$\hat{l}_z\psi=\lambda_z\psi\;$ (7.50)

$\hat{l}\psi=\vec{\lambda}\psi\;$ (7.51)

Zagadnienie własne operatora momentu pędu jest zagadnieniem dość trudnym, łatwiejszym wariantem jest zagadnienie kwadratu momentu pędu, które można otrzymać z (7.51), gdy mnożymy to równanie własne obustronnie przez operator momentu pędu$\hat{l}\;$, otrzymujemy:

$\hat{l}\hat{l}\psi=\vec{\lambda}\hat{l}\psi\Rightarrow\hat{l}^2\psi=\vec{\lambda}^2\psi\;$

(7.52)

Z (7.52) dochodzimy do wniosku, że jeśli przyjmiemy $|\vec{\lambda}|=\lambda\;$, której kwadrat jest to wartość własna kwadratu operatora momentu pędu, i to ostatnie równanie można zapisać w sposób:

$\hat{l}^2\psi=\lambda^2\psi\;$

(7.53)

Określmy lemat, taki że wartości własne operatora kwadratu momentu pędu i kwadratu współrzędnej zetowej można je zapisać w sposób połączony, które jak się przekonamy jest lematem prawdziwym, jak by się można przekonać tak jak dla mechaniki klasycznej:

$\lambda^2-\lambda_z^2\geq 0\;$

(7.54)

A oto dowód tego lematu: Suma dwóch całek jawnie nieujemnych daje nam wielkość po policzeniu wartość nieujemną, a zatem przekształcajmy taki obiekt wynikająca z tych dwóch całek:

$0\leq \int(\hat{l}_{-}\psi)^{*}(\hat{l}_{-}\psi)d\tau+\int(\hat{l}_{+}\psi)(\hat{l}_{+}\psi)d\tau= \int\psi^{*}\hat{l}_{+}\hat{l}_{-}\psi d\tau+\int\psi^{*}\hat{l}_{-}\hat{l}_{+}\psi d\tau=\;$ $=\int\psi^{*}\left(\hat{l}_{+}\hat{l}_{-}+\hat{l}_{-}\hat{l}_{+}\right)\psi= \int\psi^{*}\left({{(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)}\over{\hbar}}{{(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)}\over{\hbar}}+{{(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)}\over{\hbar}}{{(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)}\over{\hbar}}\right)\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}\int\psi^{*}\left(\hat{l}_x^2-i\hat{l}_x\hat{l}_y+i\hat{l}_y\hat{l}_x+\hat{l}^2_y+\hat{l}_x^2+i\hat{l}_x\hat{l}_y-i\hat{l}_y\hat{l}_x+\hat{l}^2_y\right)\psi= {{2}\over{\hbar^2}}\int\psi^{*}\left(\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2\right)\psi=\;$ $={{2}\over{\hbar^2}}\int\psi^{*}\left(\hat{l}^2-\hat{l}^{2}_z\right)\psi= {{2}\over{\hbar^2}}\left[\int\psi^{*}\hat{l}^2\psi-\int\psi^{*}\hat{l}^2_z\psi\right]= {{2}\over{\hbar^2}}\left[\int\psi^{*}\lambda^2\psi-\int\psi^{*}\lambda^2_z\psi\right]=\;$ $={{2}\over{\hbar^2}}\left[\lambda^2\int\psi^{*}\psi-\lambda^2_z\int\psi^{*}\psi\right]= {{2}\over{\hbar^2}}(\lambda^2-\lambda^2_z)\geq 0\;$

(7.55)

Na podstawie (7.55) udowodniliśmy, że (7.54) jest lematem prawdziwym, co kończy dowód.

Utwórzmy funkcję $\hat{l}_{+}\psi\;$ i udowodnijmy, że ona jest funkcją własną operatora kwadratu całkowitego momentu pędu $\hat{l}^2\;$ oraz operatora zetowego momentu pędu$\hat{l}_z\;$, a zatem dla tego pierwszego operatora wartością własną jest parametr λ².

$\hat{l}^2(\hat{l}_{+}\psi)=\hat{l}_{+}\hat{l^2}\psi=\lambda^2(\hat{l}_{+}\psi)\;$

(7.56)

A dla drugiego operatora wartością własną jest wyrażenie oparte o wartość własną operatora momentu pędu λ_z, jest ona wyrażona przez wyrażenie $\lambda_z+\hbar\;$.

$\hat{l}_z(\hat{l}_{+}\psi)=\left(\hat{l}_{+}\hat{l}_z+[\hat{l}_z,\hat{l}_{+}]\right)\psi=\lambda_z(\hat{l}_{+}\psi)+\hbar(\hat{l}_{+}\psi)=(\lambda_z+\hbar)(\hat{l}_{+}\psi)\;$

(7.57)

Jeśli funkcją własną jest $(l_{+})^n\psi\;$, na podstawie wartości własnej operatora momentu pędu zetowego (7.43), to mamy zależność:

$\hat{l}_z[(\hat{l}_{+})^u\psi]=(\lambda_z+u\hbar)(\hat{l}_{+})^u\Leftrightarrow \hat{l}_z[(\hat{l}_{+})^u\psi]=(m+u)\hbar(\hat{l}_{+})^u\;$

(7.58)

Jeśli u jest maksymalną liczbą całkowitą dla której u-ta potęga operatora $\hat{l}_+\;$, która podczas działania na funkcję falową, która jest rozwiązaniem równania własnego kwadratu operatora całkowitego momentu pędu, jest nie równa zero:

$(\hat{l}_{+})^u\psi\neq 0\;$

(7.59)

To już dla u+1 ma być warunek spełniony tożsamościowo, który jest równy zawsze zero, czyli u+1-ta potęga $\hat{l}_{+}\;$ podczas działania na funkcję falową własną rozwiązania równania własnego kwadratu całkowitego operatora momentu pędu zeruje tą naszą funkcję:

$(\hat{l}_{+})^{u+1}\psi\equiv 0\;$

(7.60)

Czyli z lematów (7.59) i (7.60) wynika, że mamy minimalną wartość zetową wartości własnej operatora momentu pędu, tak aby zachodził lemat (7.54), czyli dojdziemy do wniosku, że mamy też maksymalne u przy wartości własnej operatora momentu pędu współrzędnej zetowej przy ściśle określonym λ:

$(\lambda_z+u\hbar)^2\leq\lambda^2\;$

(7.61)

Policzmy wyrażenie pomocnicze, z którego wyznaczymy jaka jest maksymalną wartość własna operatora zetowego momentu pędu podczas działania operatorem u+1 potęgi$\hat{l}_+\;$ na funkcję falową Ψ będącej funkcją własną kwadratu momentu pędu przy pewnej jego wartości własnej (7.53).

$\hat{l}_{-}(\hat{l}_{+})^{u+1}\psi=\hat{l}_{-}\hat{l}_{+}(\hat{l}_{+})^u\psi={{1}\over{\hbar^2}}\left((\hat{l}_x-i\hat{l}_y)(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)\right)(\hat{l}_{+})^u\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}\left(\hat{l}_x^2+i\hat{l}_x\hat{l}_y-i\hat{l}_y\hat{l}_x+\hat{l}_y^2\right)(\hat{l}_{+})^u\psi= {{1}\over{\hbar^2}}\left(\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+i[\hat{l}_x,\hat{l}_y]\right)(\hat{l}_{+})^u\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}\left(\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+ii\hbar \hat{l}_z\right)(\hat{l}_{+})^u\psi={{1}\over{\hbar^2}}\left(\hat{l}^2-\hat{l}^2_z-\hbar \hat{l}_z\right)(\hat{l}_{+})^u\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}\left[\lambda^2-(\lambda_z+u\hbar)^2-\hbar (\lambda_z+u\hbar)\right](\hat{l}_{+})^u\psi=0\;$

(7.62)

Oznaczmy przez (λ_z)_max, która jest maksymalną wartością własną zetową współrzędnej operatora momentu pędu zetowego jakie układ może przyjmować przy określonym wartości kwadratu momentu pędu λ².

$(\lambda_z)_{max}=\lambda_z+u\hbar\;$

(7.63)

Gdy jest spełniony warunek (7.59) i (7.60), to na podstawie wzoru na maksymalną wartość własną operatora momentu zetowego $\hat{l}_z\;$ (7.63) można zapisać równoważne równanie do (7.62), co na podstawie tego możemy napisać tożsamość zależną od λ i (λ_z)_max.

$\lambda^2-(\lambda_z)^2_{max}-\hbar(\lambda_z)_{max}=0\;$

(7.64)

Utwórzmy funkcje własne $\hat{l}_{-}\psi\;$ bezpośrednio sprawdzając, że jest to funkcja własna operatora $\hat{l}^2\;$, oraz operatora momentu pędu współrzędnej zetowej$\hat{l}_z\;$. Zagadnienie własne kwadratu operatora momentu pędu jest:

$\hat{l}^2(\hat{l}_{-}\psi)=\hat{l}_{-}\hat{l}^2\psi=\lambda^2(\hat{l}_{-}\psi)\;$

(7.65)

A dla drugiego operatora wartością własną jest wyrażenie oparte o wartość własną operatora momentu pędu λ_z i jest wyrażona przez wyrażenie $\lambda_z-\hbar\;$:

$\hat{l}_z(\hat{l}_{-}\psi)=\hat{l}_{-}\hat{l}_z\psi+\left[\hat{l}_z,\hat{l}_{-}\right]\psi=\hat{l}_{-}\lambda_z\psi-\hbar\psi=(\lambda_z-\hbar)(\hat{l}_{-}\psi)\;$

(7.66)

Zatem, jeśli funkcją własną jest $(\hat{l}_{-})^n\psi\;$ na podstawie (7.43), to musi zachodzić:

$\hat{l}_z((\hat{l}_{-})^v\psi)=(\lambda_z-v\hbar)(\hat{l}_{-}\psi)\Leftrightarrow \hat{l}_z((\hat{l}_{-})^v\psi)=(m-v)\hbar(\hat{l}_{-})\psi\;$

(7.67)

Jeśli u jest maksymalną liczbą całkowitą dla której u-ta potęga operatora $\hat{l}_-\;$ podczas działania na funkcję falową, która jest rozwiązaniem równania własnego kwadratu operatora całkowitego momentu pędu, jest:

$(\hat{l}_{-})^v\psi\neq 0\;$

(7.68)

To już dla u+1 ma być warunek spełniony tożsamościowo, który jest równy zawsze zero, czyli u+1-ta potęga $\hat{l}_{+}\;$ podczas działania na funkcję falową własną rozwiązania równania własnego kwadratu całkowitego operatora momentu pędu zeruje tą naszą funkcję:

$(\hat{l}_{-})^{v+1}\psi\equiv 0\;$

(7.69)

Czyli z lematów (7.68) i (7.69) wynika, że mamy maksymalną wartość zetową wartości własnej momentu pędu, tak aby zachodził lemat (7.54), czyli dojdziemy do wniosku, że mamy też maksymalne u przy wartości własnej operatora momentu pędu współrzędnej zetowej dla ściśle określonego λ:

$(\lambda_z-v\hbar)^2\leq\lambda^2\;$

(7.70)

Policzmy wyrażenie pomocnicze, z którego wyznaczymy jaka jest minimalna wartość własna operatora zetowego momentu pędu podczas działania operatorem u+1 potęgi$\hat{l}_-\;$ na funkcję falową Ψ będącą funkcją własną kwadratu momentu pędu przy pewnej jego wartości własnej według równania (7.53):

$\hat{l}_{+}(\hat{l}_{-})^{u+1}\psi=\hat{l}_{+}\hat{l}_{-}(\hat{l}_{-})^{v}\psi={{1}\over{\hbar^2}}(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)={{1}\over{\hbar^2}}(\hat{l}_x^2-i\hat{l}_x\hat{l}_y+i\hat{l}_y\hat{l}_x+\hat{l}_y^2)(\hat{l}_{-})^{u}\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}(\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2-i[\hat{l}_x,\hat{l}_y])(\hat{l}_{-})^{u}\psi={{1}\over{\hbar^2}}(\hat{l}^2-\hat{l}_z^2-ii\hbar\hat{l}_z)(\hat{l}_{-})^{v}\psi=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}(\hat{l}^2-\hat{l}_z^2+\hbar\hat{l}_z)(\hat{l}_{-})^{n}\psi={{1}\over{\hbar^2}}(\lambda^2-(\lambda_z-v\hbar)^2+\hbar(\lambda_z-v\hbar))(\hat{l}_{-})^{u}\psi=0\;$

(7.71)

Oznaczenie (λ_z)_max, jest ona minimalną wartością własną operatora momentu pędu zetowego jakie układ może przyjmować przy określonym wartości kwadratu momentu pędu λ².

$(\lambda_z)_{min}=\lambda_z-v\hbar\;$

(7.72)

Gdy jest spełniony warunek (7.68) i (7.69), to na podstawie wzoru na minimalną wartość własną operatora momentu zetowego $\hat{l}_z\;$ (7.70) można zapisać równoważne równanie do (7.71). Na podstawie tego możemy napisać tożsamość zależną od λ i (λ_z)_min:

$\lambda^2-(\lambda_z)^2_{min}+\hbar(\lambda_z)_{min}=0\;$

(7.73)

Teraz odejmujemy obustronnie równania na maksymalną wartość operatora momentu pędu współrzędnej zetowej (7.64) od równania na minimalną wartość operatora (7.72), zatem powinien zachodzić po tej operacji warunek:

$(\lambda_z)^2_{min}-(\lambda_z)^2_{max})-\hbar((\lambda_z)_{min}+(\lambda_z)_{max})=0\;$

(7.74)

Mając wzory skróconego mnożenia, które zastosujemy w równości (7.74), to piszemy równoważne wyrażenie do tego ostatniego:

$((\lambda_z)_{min}+(\lambda_z)_{max})((\lambda_z)_{min}-(\lambda_z)_{max})-\hbar((\lambda_z)_{min}+(\lambda_z)_{max})=0\;$

(7.75)

W równaniu (7.75) wyłączamy przed nawias wyrażenie (λ_z)_min+(λ_z)_max, to możemy napisać:

$((\lambda_z)_{min}+(\lambda_z)_{max})(((\lambda_z)_{min}-(\lambda_z)_{max})-\hbar)=0\;$

(7.76)

W wyrażeniu (7.76) wykorzystujemy warunki (7.63) na maksymalną wartość własną operatora momentu pędu jej współrzędnej zetowej oraz (7.72) na wartość własną minimalną operatora momentu pędu, to warunek (7.76) możemy zapisać:

$((\lambda_z)_{min}+(\lambda_z)_{max})((-u-v-1)\hbar)=0\;$

(7.77)

Dochodzimy stąd do wniosku, że aby wyrażenie (7.77) było tożsamościowo równe zero, to musi zachodzić tożsamość:

$(\lambda_z)_{min}=-(\lambda_z)_{max}\;$

(7.78)

Czyli wartość minimalna i maksymalna są sobie równe co do wartości bezwzględnej, a co do wartości różnią się znakiem. Na podstawie (7.78) można zapisać podwojoną maksymalną wartość własną zetowego operatora momentu pędu:

$2(\lambda_z)_{max}=(\lambda_z)_{max}-(\lambda_z)_{min}=(\lambda_z+u\hbar)-(\lambda_z-v\hbar)=(u+v)\hbar\;$

(7.79)

Co ostatecznie zachodzi według obliczeń napisanych w punkcie (7.79), że maksymalna wartość własna operatora momentu pędu jest zapisana:

$(\lambda_z)_{max}={{u+v}\over{2}}\hbar=j\hbar\;$

(7.80)

W (7.80) u i v, to są to liczby całkowite, a zatem suma ich też jest liczbą całkowitą, ale j może być liczbą całkowitą lub być wartością połówkową, ale na podstawie (7.43) j=m_max jest liczbą całkowitą, ale w żadnym przypadku połówkową, tutaj zachodzi$(\lambda_z)_{max}=l\hbar\;$. Oznaczmy maksymalną wartość m przez l i nazwijmy orbitalną liczbą kwantową, ale ponieważ zachodzi$-j=m_{min}\Rightarrow j=-m_{min}\;$, tutaj zachodzi$(\lambda_z)_{min}=-l\hbar\;$, czyli zatem dochodzimy do wniosku, że możliwe wartości m (magnetycznej liczby kwantowej) na podstawie (7.63) wykorzystując przy tym wartości własne zetowej współrzędnej operatora momentu pędu (7.43), czyli magnetyczna liczba kwantowa jest ograniczona z góry:

$m\hbar=\lambda_z=(\lambda_z)_{max}-u\hbar=(l-u)\hbar\leq l\hbar\Rightarrow m\leq l\;$

(7.81)

a również zachodzi na podstawie (7.72) magnetyczna liczba kwantowa spełnia warunek, który jest ograniczeniem z dołu:

$m\hbar=\lambda_z=(\lambda_z)_{min}+v\hbar=(-l+v)\hbar\geq-\hbar l\Rightarrow m\geq-l\;$

(7.82)

Magnetyczna liczba kwantowa jest ograniczona z góry i z dołu, które są liczbami całkowitymi, według warunku (7.81) oraz (7.82) liczby "m" są w postaci:

$m=-l,-l+1,...,-1,0,1,...,l-1,l\;$

(7.83)

Jeśli zachodzi (7.64), to na tej podstawie możemy napisać tożsamość dla liczby kwantowej magnetycznej, dla której mamy maksymalną wartość momentu pędu współrzędnej zetowej i za pomocą, której będzie można policzyć wartość własną kwadratu operatora momentu pędu.

$\lambda^2-l^2\hbar^2-l\hbar^2=0\;$

(7.84)

Po wyznaczeniu λ według tożsamości (7.84), otrzymujemy ostatecznie wyrażenie na wartość własną kwadratu operatora momentu pędu, która jak się przekonamy jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej "l".

$\lambda^2=l(l+1)\hbar^2\;$

(7.85)

Zatem na podstawie tożsamości (7.85) wartość wektora własnego operatora momentu pędu jest wyrażona poprzez:

$\lambda=\sqrt{l(l+1)}\hbar\;$

(7.86)

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji własnych równania własnego (7.53). Jeśli zachodzi (5.43), otrzymujemy:

$-\hbar^2\Lambda\psi=\lambda^2\psi\;$

(7.87)

Wykorzystując definicję operatora Λ czyli operatora zależnego od współrzędnych kątowych, tzn. θ i φ:

$\Lambda={{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\;$

(7.88)

Równanie własne (7.87) po podstawieniu do niego definicji operatora Λ (7.88) przyjmuje postać:

$-\hbar\left[{{1}\over{\sin^2\phi}}{{\partial^2}\over{\partial\theta^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]Y(\theta\phi)=\lambda^2Y(\theta\phi)\;$

(7.89)

Wiemy jaka jest funkcja własna operatora $\hat{l}_z\;$ (7.49), to niech będą rozwiązaniami równania różniczkowego (7.89) funkcje w postaci:

$Y(\theta,\phi)=e^{im\theta}\zeta(\phi)\;\;$

(7.90)

Podstawiamy wzór Y(θ,φ) napisanej wedle (7.90) do równania własnego (7.89), otrzymujemy:

$-\hbar^2\left\{e^{im\theta}{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left(\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\zeta(\phi)\right)- \zeta(\phi){{m^2}\over{\sin^2\phi}}e^{im\theta}\right\}=\lambda^2e^{im\theta}\zeta(\phi)\;$

(7.91)

Teraz ostatnie równanie dzielimy przez:$e^{im\theta}\;$, które zawsze jest niezerowe, ze względu na własności funkcji eksponens, otrzymujemy:

$-\hbar^2\left\{{{1}\over{\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\left(\sin\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}\zeta(\phi)\right)- \zeta(\phi){{m^2}\over{\sin^2\phi}}\right\}=\lambda^2\zeta(\phi)\;$

(7.92)

Teraz w ostatnim równaniu dokonujemy potrzebnych różniczkowań, mamy:

$-\hbar^2\left\{{{1}\over{\sin\phi}}\sin\phi{{\partial^2\zeta(\phi)}\over{\partial\phi^2}}+{{1}\over{\sin\phi}}\cos\phi{{\partial\zeta(\phi)}\over{\partial\phi}}- \zeta(\phi){{m^2}\over{\sin^2\phi}}\right\}=\lambda^2\zeta(\phi)\;$

(7.93)

Dokonując potrzebnych skróceń i zastosowań definicji funkcji kotangens (ctg) w wyrażeniu (7.93), dostajemy równanie poniżej, która jest równaniem, z którego można otrzymać funkcję ζ(φ), która jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej "l":

$-\hbar^2\left\{{{d^2\zeta(\phi)}\over{d\phi^2}}+ \operatorname{ctg}\phi{{d\zeta(\phi)}\over{d\phi}}- \zeta(\phi){{m^2}\over{\sin^2\phi}}\right\}=\lambda^2\zeta(\phi)\;$

(7.94)

Pomnóżmy równanie (7.94) przez wyrażenie wprost proporcjonalne do kwadratu funkcji sinus z argumentu φ, czyli $_{-{{\sin^2\phi}\over{\hbar^2}}}\;$:

$\sin^2\phi{{d\zeta(\phi)}\over{d\phi^2}}+\sin\phi\cos\phi{{d\zeta(\phi)}\over{d\phi}}+ \left({{\lambda^2}\over{\hbar^2}}\sin^2\phi-m^2\right)\zeta(\phi)=0\;$

(7.95)

Niech będzie podstawienie cosφ=u, zdefiniujmy operator różniczkowania pierwszego rzędu względem zmiennej zenitalnej w układzie współrzędnych kulistej φ zależnej od zmiennej u:

${{d}\over{d\phi}}={{du}\over{d\phi}}{{d}\over{du}}=-\sin\phi{{d}\over{du}}\;$

(7.96)

A także operator różniczkowania drugiego rzędu względem zmiennej φ, a więc należy zastosować obliczony wcześniej operator (7.96) i podziałać na niego operatorem różniczkowania względem zmiennej φ wykorzystując przy tym definicję zmiennej u poprzez współrzędną φ:

${{d^2}\over{d\phi^2}}={{d}\over{d\phi}}{{d}\over{d\phi}}={{d}\over{d\phi}}\left(-\sin\phi{{d}\over{du}}\right)= -\cos\phi{{d}\over{du}}-\sin\phi{{d}\over{d\phi}}{{d}\over{du}}=\;$ $=-\cos\phi{{d}\over{du}}-\sin\phi(-\sin\phi{{d}\over{du}}){{d}\over{du}}=\sin^2\phi{{d}\over{du}}-\cos\phi{{d}\over{du}}\;$

(7.97)

Ostatecznie otrzymujemy dwa wzory na różniczkowanie pierwszego i drugiego rzędu przepisując je z końcowych obliczeń napisanych kolejno w punktach (7.96) i (7.97):

${{d}\over{d\phi}}=-\sin\phi{{d}\over{du}}\;$ (7.98)

${{d^2}\over{d\phi^2}}=\sin^2\phi{{d}\over{du}}-\cos\phi{{d}\over{du}}\;$ (7.99)

Te wyniki (7.98) i (7.99) podstawmy do równania różniczkowego (7.95), wiedząc jakiego dokonaliśmy podstawienia, dostajemy równanie równoważne do niego:

$(1-u^2)\left[\sin^2\phi{{d^2}\over{du^2}}\zeta- \cos\phi{{d}\over{du}}\zeta\right]- \sin^2\phi\cos\phi{{d}\over{du}}\zeta+ \left({{\lambda^2}\over{\hbar^2}}(1-u^2)-m^2\right)\zeta=0\;$

(7.100)

W równaniu różniczkowym (7.100) dokonujemy opuszczenia nawiasów w jego pierwszym składniku, otrzymujemy równanie:

$(1-u^2)\sin^2\phi{{d^2}\over{du^2}}\zeta-(1-u^2)\cos\phi{{d}\over{du}} -(1-u^2)\cos\phi{{d}\over{du}}\zeta+\left({{\lambda^2}\over{\hbar^2}}(1-u^2)-m^2\right)\zeta=0\;$

(7.101)

Po dalszych redukcjach wyrazów podobnych w równaniu (7.101) oraz dokonując zamiany kwadratu sinusa względem kwadratu kosinusa, na ostatku wykorzystując podstawienie za funkcję cosφ zmienną u:

$(1-u^2)^2{{d^2}\over{du^2}}\zeta-2u(1-u^2){{d\zeta}\over{d u}}+\left({{\lambda^2}\over{\hbar^2}}(1-u^2)-m^2\right)\zeta=0\;$

(7.102)

Następnie musimy równanie (7.102) podzielić obustronnie przez niezerowe wyrażenie (1-u²), wtedy dochodzimy do tożsamości różniczkowej:

$(1-u^2){{d^2}\over{du^2}}\zeta-2u{{d\zeta}\over{d u}}+\left({{\lambda^2}\over{\hbar^2}}-{{m^2}\over{1-u^2}}\right)\zeta=0\;$

(7.103)

Jeśli zachodzi (7.85) jako wartość własna kwadratu operatora momentu pędu, to po podstawieniu tej wartości do równania różniczkowego (7.103), otrzymujemy:

$(1-u^2){{d^2}\over{du^2}}\zeta-2u{{d\zeta}\over{d u}}+\left[l(l+1)-{{m^2}\over{1-u^2}}\right]\zeta=0\;$

(7.104)

Jest to równanie stowarzyszone z równaniem różniczkowym Legendre'a, czyli jego rozwiązaniem jest zestaw funkcji zależnej od magnetycznej i orbitalnej liczby kwantowej, a to rozwiązanie jest takie:

$\zeta_{lm}=(1-u^2)^{{{|m|}\over{2}}}{{d^{l+|m|}}\over{du^{l+|m|}}}\left\{(1-u^2)^l\right\}\;$

(7.105)

Funkcja własna kwadratu operatora momentu pędu są funkcje w postaci (7.90) przy definicji funkcji ζ_lm zdefiniowany wedle wzoru (7.105).

Zagadnienie własne operatora energii cząstki swobodnej

Rozważmy ruch cząstki swobodnej o masie m, tzn. w przestrzeni, w której porusza się cząstka, nie ma pola potencjalnego. Operator całkowitej energii cząstki będzie w tym przypadku operatorem energii kinetycznej z definiowanej w (5.24), równanie własne operatora energii kinetycznej jest w postaci:

$\underbrace{-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta}_{\hat{T}}\psi=E\psi\;$

(7.106)

Mnożąc równanie (7.106) przez stałą ${{2m}\over{\hbar^2}}\;$, która jest kombinacją stałej fizycznej kreślonej Plancka i masy badanego ciała, i przenosząc we wspomnianym równaniu wszystko na jedną stronę:

$\Delta\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\;$

(7.107)

Oznaczając przy wyrażeniu (7.107) pewną wielkość stojącą przy funkcji falowej ψ, tzn. pewien czynnik, którego definicja jest poniżej w pierwszej linijce. Ona jest funkcją wprost proporcjonalną do energii cząstki i jej masy:

$\kappa={{2mE}\over{\hbar^2}}\;$

(7.108)

To nasze równanie (7.107) na podstawie podstawienia (7.108) przyjmuje prostą postać:

$\Delta\psi+\kappa\psi=0\;$

(7.109)

Niech w naszym równaniu (7.109) rozwiązanie jest jako iloczyn trzech funkcji, których każda jest zależna od odpowiedniej współrzędnej, która ona dotyczy, zatem definicja naszej funkcji falowej rozwiązania wspomnianego równania falowego przyjmie postać:

$\psi(xyz)=X(x)Y(y)Z(z)\;$

(7.110)

Rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych równanie, gdy znamy ogólną postać rozwiązania, czyli (7.110) po podstawieniu tego szacowanego rozwiązania do (7.109), otrzymujemy równość:

${{\partial^2}\over{\partial x^2}}X(x)Y(y)Z(z)+{{\partial^2}\over{\partial y^2}}X(x)Y(y)Z(z)+{{\partial^2}\over{\partial z^2}}X(x)Y(y)Z(z)+\kappa X(x)Y(y)Z(z)=0\;$

(7.111)

Podzielmy równanie (7.111) przez X(x)Y(y)Z(z), ono ma się w postaci:

$\underbrace{{{1}\over{X(x)}}{{\partial^2}\over{\partial x^2}}X(x)}_{\kappa_1}+\underbrace{{{1}\over{Y(y)}}{{\partial^2}\over{\partial y^2}}Y(y)}_{\kappa_2}+\underbrace{{{1}\over{Z(y)}}{{\partial^2}\over{\partial z^2}}Z(z)}_{\kappa_2}+\kappa=0\;$

(7.112)

Ponieważ poszczególne składniki w (7.112) zależą tylko od jednej zmiennej, zatem te składniki są pewnymi stałymi κ_i, które możemy rozpisać na trzy składniki:

${{1}\over{X}}{{d^2X}\over{dx^2}}+\kappa_1=0\;$ (7.113)

${{1}\over{Y}}{{d^2Y}\over{dx^2}}+\kappa_2=0\;$ (7.114)

${{1}\over{Z}}{{d^2Z}\over{dx^2}}+\kappa_3=0\;$ (7.115)

Także zachodzi warunek na podstawie obliczeń (7.112), że suma trzech stałych κ_i, którego definicja jest podana w (7.108):

$\kappa_1+\kappa_2+\kappa_3=\kappa\;$

(7.116)

Dopuszczalne wartości własne równania mogą mieć tylko wartości nieujemne, a zatem biorąc κ_i=k_i² dostajemy, że rozwiązaniem (7.113) jest:

$X(x)=e^{ik_1x}\;$

(7.117)

Jeśli k₁ jest liczbą rzeczywistą, to biorąc drugą pochodna wyrażenia (7.117) i obliczając pierwszy wyraz w (7.113), dostajemy $-k_1^2+\kappa_1=0\Rightarrow k_1^2=\kappa_1\;$, zatem dochodzimy do wniosku, że κ₁ jest liczbą nieujemną. Gdy k₁ jest liczbą urojoną, to wyrażenie (7.117) przyjmuje wartość nieskończoną dla x→∞ albo dla x→-∞, stąd wynika, że takiej funkcji nie można unormować do funkcji Diraca. A gdy by była liczbą zespoloną, ale nie rzeczywistą, to dla części urojonej, dla iksa plus albo minus nieskończonego też przyjmuje wartość nieskończoną, zatem dochodzimy do wniosku, że k₁ jest tylko liczbą rzeczywistą.

Funkcje Y(y) i Y(y) przyjmuje podobne postacie jak dla X(x) dla parametrów κ₂,κ₃\ge;0. Na podstawie powyższych rozważań κ, przyjmuje wartość nieujemną, bo zachodzi (7.116). Wobec tego rozwiązanie pełnego równania (7.109) według (7.110) jest w postaci:

$\psi(xyz)=e^{ik_1x}e^{ik_2y}e^{ik_3z}=e^{i(k_1x+k_2y+k_3z)}=e^{i\vec{k}\vec {r}}\;$

(7.118)

Na podstawie (7.116) i warunku κ=k² zachodzi tożsamość fizyczna:

$\kappa=k_1^2+k_2^2+k_3^2\;$

(7.119)

Wyznaczmy energię E z (7.108) i mając na uwadze (7.119), to wartość własna operatora energii jest zależna od stałej κ, która jest tym samym co liczba falowa podniesiona do kwadratu, czyli k², jest ta energia przedstawiona w postaci:

$E={{\hbar^2}\over{2m}}(k_1^2+k_2^2+k_3^2)={{\hbar^2}\over{2m}}k^2\;$

(7.120)

Czyli energia kinetyczna przyjmuje wartość nieujemną, ponieważ wartość κ jest wartością nieujemną, a zatem kwadrat wektora liczby falowej też przyjmuje wartość nieujemną, bo kwadrat liczby falowej jest to stała κ (7.120), który jak udowodniliśmy wcześniej, przyjmuje wartość nieujemną.

Zagadnienie własne operatora energii mechanicznej

Mając zdefiniowany operator energii mechanicznej (hamiltonian) wedle schematu (5.31), zatem jego zagadnienie własne wygląda tak:

$\hat{H}\psi=E\psi\;$

(7.121)

Rozpisując definicję hamiltonianu w równaniu własnym (7.121) znając definicję operatora całkowitej energii cząstki (układu):

$\left(\hat{T}+q\varphi+V(r)\cdot\right)\psi=E\psi\Rightarrow\left[{{(-i\hbar\nabla-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi+V(r)\cdot\right]\psi=E\psi\;$

(7.122)

Gdy potencjał wektorowy magnetyczny w elektromagnetyzmie jest równy zero, i włączając energię potencjalną pola elektromagnetycznego do ogólnej definicji energii pola potencjalnego V(r), to równanie (7.122) przechodzi w postać, z której przestawienie ogólne jest (7.121) o hamiltonanie zdefiniowanej według (5.28):

$\left(\hat{T}+V(r)\cdot\right)\psi=E\psi\Rightarrow\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta+V(r)\cdot\right)\psi=E\psi\;$

(7.123)

Ruch cząstki w polu potencjalnym o symetrii sferycznej

Możemy rozszerzyć rozważania naszego problemu rozważając dodatkowo potencjał V(r), który jest osiowosymetryczny w zerowym polu wektorowym $\vec{A}\;$. Wyrażenie (7.123) napiszemy dla naszego przypadku w postaci:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta\psi-(E-V)\psi=0\;$

(7.124)

Nasze równanie (7.124) pomnóżmy przez pewną stałą zależną od stałek kreślonej Plancka i masy cząstki$-{{2m}\over{\hbar^2}}\;$, to owe równanie możemy zapisać jako następny etap do wyznaczania funkcji falowej, która rozwiązaniem powyższego równania jest:

$\Delta\psi+{{2m}\over{\hbar^2}}(E-V)\psi=0\;$

(7.125)

We współrzędnych kulistych operator Δ możemy wyrazić przez jego odpowiednik w tym wspomnianym układzie (5.41), to równanie (7.125) po tej zamianie współrzędnych z kartezjańskiego na kulisty przechodzi w postać:

$\left\{-{{\hbar^2}\over{2m}}\left({{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda\right)+V(r)\right\}\psi=E\psi\;$

(7.126)

Biorąc za rozwiązanie własne równania (7.126) w postaci iloczynu funkcji radialnej f(r) i funkcji kulistej, a tą przedostatnią funkcję możemy przedstawić jako iloraz funkcji R(r) przez zmienną radialną r, co to rozwiązanie zapisujemy:

$\psi(r\theta\phi)=f(r)Y(\theta\phi)={{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\;$

(7.127)

Podstawiamy bezpośrednio przypuszczalne rozwiązanie (7.127) do równania różniczkowego (7.126), to:

$\left\{-{{\hbar^2}\over{2m}}\left({{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r)+{{1}\over{r^2}}\Lambda\right)+V(r)\right\}{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)=E{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\;$

(7.128)

Dokonajmy opuszczenia nawiasów klamrowych w tożsamości (7.128), to dochodzimy do wniosku, że równanie równoważne do poprzedniego:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}\left({{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}(r){{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)+{{1}\over{r^2}}\Lambda{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\right)+V(r){{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)=E{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\;$

(7.129)

Dokonując dalszych skróceń w pierwszym wyrazie w nawiasie naszego równania (7.129), który znajduje się pod drugą pochodną cząstkową zmiennej radialnej, to dostajemy wynikowe równanie:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}\left({{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}R(r)Y(\theta\phi)+{{1}\over{r^2}}\Lambda{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\right)+V(r){{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)=E{{R(r)}\over{r}}Y(\theta\phi)\;$

(7.130)

Obie strony równości (7.130) mnożymy obustronnie przez sześcian promienia radialnego r³, który jak wiadomo z analizy przyjmuje wartości niezerowe (w naszym przypadku) i nieujemne z definicji samej współrzędnej tejże współrzędnej:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}r^2{{\partial^2}\over{\partial r^2}}R(r)Y(\theta\phi)+R(r)\Lambda Y(\theta\phi)+V(r)R(r)r^2Y(\theta\phi)=ER(r)r^2Y(\theta\phi)\;$

(7.131)

Obie strony tożsamości (7.131) dzielimy obustronnie przez funkcję R(r)Y(θφ), tak by wspomnianym końcowym równaniu współrzędne kątowe znajdowały się tylko w jednym składniku:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{r^2}\over{R}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}R(r)+{{\Lambda Y}\over{Y}}+V(r)r^2=Er^2\;$

(7.132)

Wszystkie wyrazy związane ze współrzędną radialną pozostawiamy na lewej stronie, a wyrazy związane ze współrzędnymi kątowymi wsadzamy na prawą stronę równania (7.132). W prawej stronie równania licznik i mianownik możemy pomnożyć przez stałą kreśloną Plancka, tak by można było zastosować definicję kwadratu momentu pędu orbitalnego poprzez operator Λ, czyli (5.43).

${{r^2}\over{R(r)}}{{d^2R}\over{dr^2}}+{{2m}\over{\hbar^2}}(E-V)r^2={{-\hbar^2\Lambda Y}\over{\hbar^2Y}}\;$

(7.133)

Wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu we współrzędnych kulistych, to równość (7.133) przyjmuje równoważną do poprzedniego postać:

${{r^2}\over{R(r)}}{{d^2R}\over{dr^2}}+{{2m}\over{\hbar^2}}(E-V)r^2={{\hat{l}^2 Y}\over{\hbar^2Y}}\;$

(7.134)

Znając równanie własne i przy tym wartości własne kwadratu operatora momentu pędu (7.85) i wykorzystując to w równości dla jego prawej strony (7.134), to możemy napisać równanie różniczkowe, z którego wyznaczamy funkcję R(r) w zależności od kwantowej liczby orbitalnej (momentu pędu) l:

${{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{{{2m}\over{\hbar^2}}(E-V)-{{l(l+1)}\over{r^2}} \right\}R=0\;$

(7.135)

Atom wodoru w mechanice kwantowej

Energia potencjalna elektronu o ładunku -e w polu elektrostatycznym dla prawie niuruchomego jądra atomowego wodoru o ładunku "e" przedstawia się według praw elektrostatyki jako równanie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu położenia radialnego elektronu r.

$V(r)=-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0r^2}}\;$

(7.136)

A więc równanie różniczkowe na funkcje radialne R(r) przedstawionych wedle wzoru (7.135) przy definicji potencjału opisywanym przez wzór (7.136) przyjmuje postać:

${{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{{{2m}\over{\hbar^2}}E+{{2m e^2}\over{\hbar^2 4\pi\epsilon_0 r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;$

(7.137)

Patrząc na równość (7.137) dokonajmy odpowiednich definicji nowych parametrów, tzn. "k" zależną od energii elektronu, a także definicję parametru ε zależną od stałych fizycznych i od masy elektronu:

$k=\sqrt{-{{2mE}\over{\hbar^2}}}\;$ (7.138)

$\epsilon={{2me^2}\over{\hbar^24\pi\epsilon_0}}\;$ (7.139)

Po wykorzystaniu oznaczeń pewnych parametrów, tzn. (7.138) (k) i (7.139) (ε) dostajemy równanie na podstawie jego wcześniejszego przedstawienia (7.137) w postaci:

${{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{-k^2+{{\epsilon}\over{r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;$

(7.140)

Równaniem asymptotycznym do pełnego równania (7.140), tzn. dla r→ ∞ jest równanie, które przyjmuje kształt poniżej. To rozwiązanie ma takie same wartości w przybliżeniu, co rozwiązanie równania (7.140) dla r bardzo dużego w praktyce, czyli dla r nieskończonego:

${{d^2R}\over{dr^2}}-k^2R=0\;$

(7.141)

Rozwiązaniem równania (7.141) jest zestaw dwóch funkcji, które zapisujemy ogólnie:

$R(r)=e^{\pm kr}\;$

(7.142)

Aby uniknąć nieskończoności w (7.142) dla r→ ∞, wybieramy to rozwiązanie ze znakiem minus, tak by ono było całkowalne z kwadratem w całym przedziale zmienności zmiennej radialnej r w układzie kulistym:

$R(r)=e^{-kr}\;$

(7.143)

W ogólności oprócz dodatkowego czynnika mamy również funkcję v(r), którego razem z funkcją (7.143) w postaci ich iloczynu spełnia równanie różniczkowe (7.140), które zapisujemy:

$R(r)=v(r)e^{-kr}\;$

(7.144)

Druga pochodna zupełna funkcji R(r) (7.144) przyjmuje kształt:

${{d^2R}\over{dr^2}}=v^{(2)}(r)e^{-kr}-2kv^{(1)}e^{-kr}+k^2v(r)e^{-kr}\;$

(7.145)

Podstawiamy samą funkcję R(r) (7.144) i drugą pochodną funkcji R(r) (7.145) do równania radialnego, ale różniczkowego (7.140), to dochodzimy do równania z którego będziemy wyznaczać funkcję v(r):

${{d^2v(r)}\over{dr^2}}e^{-kr}-2k{{dv}\over{dr}}e^{-kr}+k^2v(r)e^{-kr}+\left\{-k^2+{{\epsilon}\over{r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}e^{-kr}v(r)=0\;$

(7.146)

Po pomnożeniu równania (7.146) przez zawsze niezerową funkcję eksponecjalną e^kr, oraz zredukowaniu pewnych wyrazów w tym samym równaniu, otrzymujemy jego bardziej uproszczoną postać:

${{d^2v}\over{dr^2}}-2k{{dv}\over{dr}}+\left\{{{\epsilon}\over{r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}v=0\;$

(7.147)

Dokonajmy następnych podstawień w (7.147) w postaci funkcji, która jest iloczynem funkcji potęgowej r^l+1 i funkcji zależnej od położenia we współrzędnych radialnych L(2kr):

$v(r)=r^{l+1}L(2kr)\;$

(7.148)

Wyznaczmy pierwszą pochodną wyrażenia (7.148) względem współrzędnej radialnej r wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu pewnych funkcji.

${{dv(r)}\over{dr}}=(l+1)r^lL(2kr)+r^{l+1}{{dL(2kr)}\over{dr}}\;$

(7.149)

A także wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia (7.148) względem współrzędnej radialnej r, a zatem pierwszą pochodną pierwszej pochodnej wyrażenia (7.149), piszemy:

${{d^2v(r)}\over{dr^2}}=(l+1)lr^{l-1}L(2kr)+(l+1)r^l{{dL(2kr)}\over{dr}}+(l+1)r^l{{dL(2kr)}\over{dr}}+r^{l+1}{{d^2L(2kr)}\over{dr^2}}=\;$ $= r^{l+1}{{d^2L(2kr)}\over{dr^2}}+2(l+1)r^l{{dL(2kr)}\over{dr}}+(l+1)lr^{l-1}L(2kr)\;$

(7.150)

Wykorzystujemy policzoną pierwszą pochodną (7.149) i drugą pochodną (7.150) funkcji v(r) (7.148), podstawiamy je do równania różniczkowego (7.147), dostajemy:

$r^{l+1}{{d^2L(2kr)}\over{dr^2}}+2(l+1)r^l{{dL(2kr)}\over{dr}}+(l+1)lr^{l-1}L(2kr)+\;$ $-2k\left((l+1)r^lL(2kr)+r^{l+1}{{dL(2kr)}\over{dr}}\right)+\left\{{{\epsilon}\over{r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}r^{l+1}L(2kr)=0\;$

(7.151)

Dokonujemy redukcji wyrazów w równaniu różniczkowym (7.151), wtedy dostajemy bardziej do poprzedniego uproszczoną postać:

$r^{l+1}{{d^2L(2kr)}\over{dr^2}}+2r^l{{dL(2kr)}\over{dr}}\left((l+1)-kr\right)+\;$ $+r^lL(2kr)\left(r{{\epsilon}\over{r}}-{{l(l+1)}\over{r^2}}-2k(l+1)+{{1}\over{r^2}}(l+1)l\right)=0\;$

(7.152)

Dokonujemy dalszych grupować wyrazów wokół odpowiednich potęg we tożsamości (7.152) i jednocześnie dzielimy obustronnie wspomniane równanie przez niezerową zmienną potęgową r^l:

$r{{d^2L(2kr)}\over{dr^2}}+(\underbrace{2l+1}_{a}+1-\underbrace{2kr}_x){{dL(2kr)}\over{dr}}+\left(\epsilon-2k(l+1)\right)L(2kr)=0\;$

(7.153)

Obierzmy nową zmienną zdefiniowanej wedle $x=2kr\Rightarrow r={{x}\over{2k}}\;$, która zależy od parametru "r", które wykorzystamy do równania różniczkowego (7.153), w rezultacie otrzymujemy równoważną tożsamość do poprzedniego :

${{x}\over{2k}}(2k)^2{{d^2L(x)}\over{dx^2}}+(\underbrace{2l+1}_{a}+1-\underbrace{2kr}_x)2k{{dL(x)}\over{dx}}+\left(\epsilon-2k(l+1)\right)L(x)=0\;$

(7.154)

Podzielmy równanie (7.154) obustronnie przez zawsze niezerową wielkość 2k, po to by otrzymać równanie Laguerra, z którego będziemy wyznaczać funkcję L(x), w postaci już znanych w matematyce wielomianów.

$x{{d^2L(x)}\over{dx^2}}+\left(\underbrace{2l+1}_{a}+1-\underbrace{2kr}_x\right){{dL(x)}\over{dx}}+\left(\underbrace{{{\epsilon}\over{2k}}+l}_{b=n+l}-\underbrace{(2l+1)}_{a} \right)L(x)=0\;$

(7.155)

Równanie różniczkowe (7.155) ma rozwiązanie w postaci wielomianów Laguerra, które są całkowalne z kwadratem, czyli co funkcja powinna spełniać, by być częścią funkcji falowej też całkowalnej z kwadratem:

$L^{2l+1}_{n+l}(x)={{d^{2l+1}}\over{dx^{2l+1}}}\left\{e^x{{d^{n+l}}\over{dx^{n+l}}}(x^{n+l}e^{-x})\right\}\;$

(7.156)

A wiec funkcja falowa atomu wodoru na podstawie definicji funkcji falowej (7.127) i definicji funkcji R(r)(7.144) i v(r) (7.148) i ostatecznie z L(2kr) (7.156):

$\psi_{nlm}(xyz)={{R(r)}\over{r}}Y_{lm}(\theta\phi)=Ne^{-k_nr}r^lL^{2l+1}_{n+l}(2k_nr)Y_{lm}(\theta\phi)\;$

(7.157)

Na podstawie równania różniczkowego (7.155) możemy napisać definicję stałej "a" w zależności od kwantowej liczby orbitalnego momentu pędu parametru b zależnego też od kwantowej liczby orbitalnego momentu pędu, parametru k (7.138) i ε (7.139):

$a=2l+1\;$ (7.158)

$b={{\epsilon}\over{2k}}+l=n+l\;$ (7.159)

Na podstawie definicji parametru "k" (7.138), a także parametru ε (7.139) możemy napisać wyrażenie (7.159), które po podstawieniu dwóch przedostatnich wspomnianych parametrów do tego ostatniego, w celu wyznaczenia skwantowanej energii elektronu krążącego wokół naszego jądra atomowego.

${{\epsilon}\over{2k}}=n\Rightarrow {{ {{2me^2}\over{2\hbar^24\pi\epsilon_0}} }\over{\sqrt{{-2mE}\over{\hbar^2}} }}=n\Rightarrow -{{m^2e^4}\over{\hbar^416\pi^2\epsilon_0^2}}{{\hbar^2}\over{2mE}}=n^2\Rightarrow -{{me^4}\over{32\hbar^2\pi^2\epsilon_0^2E}}=n^2\Rightarrow-{{me^4}\over{8h^2\epsilon_0^2E}}=n^2 \;\;$

(7.160)

Na podstawie (7.160) otrzymujemy, że energia cząstki w polu jądra atomowego jest wielkością skwantowaną zależną od głównej liczby kwantowej, jest ona opisana przez wyrażenie:

$E=-{{me^4}\over{8h^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{n^2}}\;$

(7.161)

Ale ponieważ powinno być, że różnica b-a powinna być liczbą nieujemną z definicji równania różniczkowego (7.155) dla skończonych rozwiązań:

$b-a=n+l-(2l+1)=n-l-1\geq 0\Rightarrow l\leq n-1\;$

(7.162)

Na podstawie (7.162) orbitalne liczby kwantowe są liczbami naturalnymi mieszczących się od zera do minus jeden głównej liczby kwantowej "n":

$l=0,1,..,n-1\;$

(7.163)

Liczba stanów atomu wodoru na podstawie (7.83) o takiej samej głównej liczbie kwantowej, dla którego orbitalny moment pędu jest "l", których jest ich 2l+1, a ta liczba kwantowa zmienia się według zależności (7.163), zatem dochodzimy do wniosku, że liczba poziomów o takiej samej głównej liczbie kwantowej można wyrazić przy pomocy pewnej sumy, której wyznaczymy postać zwartą:

$\sum^{n-1}_{i=0}(2l+1)={{\left(2\cdot0+1\right)+\left(2(n-1)+1\right)}\over{2}}n={{1+2n-2+1}\over{2}}n=n^2\;$

(7.164)

Mówiąc ogólnie stan atomu wodoru jest zdegenerowany n² krotnie, tylko dla liczby kwantowej n=1, ten poziom nie jest wcale zdegenerowany.

Zaawansowane własności funkcji kulistych

Własności funkcji kulistych

Znając definicję operatora momentu pędu $\hat{l}_z\;$ wedle (5.46), a na podstawie niej zdefiniowanej inny operator (5.58) oraz mając definicję funkcji kulistej Y(θ,φ) (7.90) możemy napisać działanie tego ostatniego operatora na tą właśnie funkcję:

$\hat{l}_0Y_{lm}=-i{{\partial}\over{\partial\theta}}e^{im\theta}\zeta(\phi)= -i\zeta(\phi){{\partial}\over{\partial\theta}}e^{im\theta}=-i\zeta(\phi)ime^{im\theta}=m e^{im\theta}\zeta(\phi)=mY_{lm}\;$

(8.1)

Na podstawie (8.1) otrzymujemy zagadnienie własne operatora$\hat{l}_0\;$:

$\hat{l}_0Y_{lm}=mY_{lm}$

(8.2)

Na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (7.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie $\hat{l}_{+}Y_{lm}\;$, które są opisane w punkcie (7.57):

$\hat{l}_z\hat{l}_{+}Y_{lm}=(m+1)\hbar\hat{l}_{+}Y_{lm}\;$

(8.3)

A także na podstawie definicji wartości własnej współrzędnej zetowej momentu pędu (7.43) i obliczeń przeprowadzonych, gdy funkcją własną jest wyrażenie $\hat{l}_{-}Y_{lm}\;$, które są opisane w punkcie (7.66):

$\hat{l}_z\hat{l}_{-}Y_{lm}=(m-1)\hbar\hat{l}_{-}Y_{lm}\;$

(8.4)

Jeśli definicją funkcji kulistej jest (7.90), a także pamiętając przy tym, że w definicji funkcji kulistej występuje eksponencjalny czynnik ze zmienną θ. To wynik działania operatora $\hat{l}_{+}\;$ na funkcję kulistą daje nam funkcję kulistą o zwiększonej magnetycznej liczbie kwantowej o jeden.

$\hat{l}_{+}Y_{lm}\sim Y_{l(m+1)}$

(8.5)

Ale też można zapisać (8.5) jako działanie operatora $\hat{l}_{-}\;$ na funkcję kulistą wedle (8.5), co daje nam wynik proporcjonalny do funkcji kulistej o magnetycznej liczbie kwantowej zmniejszonej o jeden.

$\hat{l}_{-}Y_{lm}\sim Y_{lm-1}$

(8.6)

Elementy macierzowe operatorów momentu pędu

Operatory $\hat{l}_{+}\;$, $\hat{l}_{-}\;$ oraz $\hat{l}_0\;$ na podstawie zależności (8.1), (8.5) i (8.6), które działają na funkcje kuliste $Y_{lm}\;$ zwiększając i zmniejszając odpowiednio kwantową liczbę magnetyczną o jeden stojącą przy tej funkcji lub pozostawiając ją niezmienioną, posiadają właściwości spełniające poprzez funkcje kuliste:

$\hat{l}_{+}Y_{lm}=c_1Y_{l(m+1)}\;$ (8.7)

$\hat{l}_{-}Y_{lm}=c_2Y_{l(m-1)}\;$ (8.8)

$\hat{l}_0Y_{lm}=mY_{lm}\;$ (8.9)

Funkcje kuliste o ustalonym l, a dowolnym m można otrzymać z funkcji kulistych Y_ll poprzez wielokrotne zastosowanie operatora zmniejszania magnetycznej liczby kwantowej wedle (8.8), czyli dla operatora$\hat{l}_{-}\;$, tzn.:

$Y_{lm}=N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}\;$

(8.10)

Wyznaczmy iloczyn skalarny dwóch takich samych funkcji kulistych zdefiniowanych wedle (7.90), to jego norma powinna być równa jeden i zastosujmy wtedy wzór (8.10), otrzymujemy:

$1=\int Y^{*}_{lm}Y_{lm}d\Omega=(Y_{lm},Y_{lm})= (N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll},N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll})=\;$ $=N^2(lm)(Y_{lm},(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{lm})=N^2(lm)\int Y^{*}_{ll}(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}d\Omega\;$

(8.11)

Na podstawie (8.11) możemy wyznaczyć stałą występującą w niej N(lm):

$N(lm)=\left\{\int Y^{*}_{ll}(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}d\Omega\right\}^{-{1\over 2}}\;$

(8.12)

Następnie wyznaczmy wyrażenie pomocnicze, która dla nasz jest bardzo ważne i potrzebne:

$\hat{l}_{+}\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar^2}}(l_x+il_y)(l_x-il_y)={{1}\over{\hbar^2}}(l_x^2+l_y^2-il_xl_y+il_yl_x)={{1}\over{\hbar^2}}(l_x^2+l_y^2-i[l_x,l_y])=\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}(l^2-l_z^2-ii\hbar l_z)={{1}\over{\hbar^2}}(l^2-l_z^2+\hbar l_z)\;$

(8.13)

A zatem na podstawie obliczeń pomocniczych (8.13) dostajemy wyrażenie zapisane w sposób równoważny:

$\hat{l}_{+}\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar^2}}(l^2-l_z^2+\hbar l_z)\;$

(8.14)

Wobec tego po kilku krokach dla wyrażenia będącego iloczynem l-m potęg operatorów $\hat{l}_{+}\;$ i $\hat{l}_-\;$, które działają na funkcję kulistą Y_ll oraz oznaczając je jednocześnie te potęgi o wykładniku l-m przez ν, który to możemy zapisać ten sam iloczyn przy pomocy potęg o wykładnikach zmniejszonych o jeden, które działają na tą samą funkcję kulistą z pewną stałą proporcjonalności:

$(l_{+})^{l-m}(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=(l_{+})^{\nu-1}l_{+}l_{-}(l_{-})^{\nu-1}Y_{ll}= (l_{+})^{\nu-1}{{1}\over{\hbar^2}}(l^2-l_z^2+\hbar l_z)(l_{-})^{\nu-1}Y_{ll} =\;$ $={{1}\over{\hbar^2}}(l_{+})^{\nu-1}\left[l(l+1)-(l-\nu+1)^2+(l-\nu+1)\right](l_{-})^{\nu-1}Y_{ll}=\;$ $=(l_{+})^{\nu-1}\left[l^2+l-(l^2+\nu^2+1-2l\nu+2l-2\nu)+(l-\nu+1)\right](l_{-})^{\nu-1}Y_{ll}=\;$ $=(l_{+})^{\nu-1}\left[ 2l\nu-\nu^2+\nu\right](l_{-})^{\nu-1}Y_{ll}=\nu(2l-\nu+1)(l_{+})^{\nu-1}(l_{-})^{\nu-1}Y_{ll} \;$

(8.15)

Na podstawie obliczeń dokonywanych w punkcie (8.15) możemy zapisać je w postaci już zwiniętej:

$(l_{+})^{\nu}(l_{-})^{\nu}Y_{lm}=\prod^{\nu}_{n=1}n(2l-n+1)Y_{ll}={{\nu!(2l)!}\over{(2l-\nu)!}}Y_{ll}\;$

(8.16)

Wyrażenie (8.12) na stałą N(lm) na podstawie wzoru (8.16), z którego skorzystamy, jest napisana przy pomocy stałej zależnej od liczb kwantowych, tzn. orbitalnej liczby kwantowej i magnetycznej liczby kwantowej:

$N(lm)=\left\{ {{\nu!(2l)!}\over{(2l-\nu)!}} \int Y^{*}_{ll}Y_{ll}\right\}^{-{{1}\over{2}}}=\left\{{{(2l-\nu)!}\over{\nu!(2l)!}} \right\}^{{{1}\over{2}}}=\left\{{{(l+m)!}\over{(l-m)!(2l)!}}\right\}^{{{1}\over{2}}}\;$

(8.16)

W (8.16) skorzystaliśmy tu z własności ν=l-m, wtedy to wyrażenie możemy przepisać w postaci

$N(lm)=\left\{{{(l+m)!}\over{(l-m)!(2l)!}}\right\}^{{{1}\over{2}}}\;$

(8.17)

Na podstawie (8.8) działania operatora l_- na funkcję kulistą Y_lm, korzystając ze wzoru na stałą N(lm)(8.17) możemy policzyć stałą proporcjonalności w nim występującą przy pomocy stałej wyznaczonej w punkcie N(lm) (8.17), które wykorzystamy do równania:

$l_{-}Y_{lm}=l_{-}N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=N(lm)(l_{-})^{l-(m-1)}Y_{ll}={{N(lm)}\over{N(l,m-1)}}Y_{l(m-1)}\;$

(8.18)

A następnie wyznaczmy wyrażenie występujące we wzorze na równanie własne operatora l_-, czyli wedle równania (8.18), wyznaczając nową stałą, która w tym równaniu jest stałą proporcjonalności zależna od orbitalnej i magnetycznej liczby kwantowej:

${{N(lm)}\over{N(l,m-1)}}=\sqrt{{{{{(l+m)!}\over{(l-m)!(2l)!}}}\over{{{(l+m-1)!}\over{(l-m+1)!(2l)!}}}}}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\;$

(8.19)

A zatem ostatecznie wzór (8.18) możemy tak napisać, by wyliczyć w nim stałą proporcjonalności na podstawie obliczeń (8.19):

$l_{-}Y_{lm}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_{l(m-1)}\;$

(8.20)

Podobnie otrzymamy, że tym razem dla operatora $\hat{l}_+\;$(5.47) i jego równania (8.7), co w nim będziemy określać stałą proporcjonalności przez N(lm):

$l_{+}Y_{lm}=l_{+}N(lm)(l_{-})^{l-m}Y_{ll}=N(lm)l_{+}l_{-}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=\;$ $=N(lm){{1}\over{\hbar^2}}(l^2-l_z^2+\hbar l_z)(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=\;$ $=N(lm)\left\{ l(l+1)-(m+1)^2+(m+1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=\;$ $=N(lm)\left\{l(l+1)+(m+1)(1-m-1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=$ $= N(lm)\left\{l(l+1)+lm-lm-(m+1)m\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=$ $= N(lm)\left\{l(l+m+1)-m(l+m+1)\right\}(l_{-})^{l-(m+1)}Y_{ll}=$ $={{N(lm)}\over{N(l(m+1))}}(l-m)(l+m+1)Y_{l(m+1)}\;$

(8.21)

Wyznaczmy stałą w wyrażeniu (8.21) przy pomocy definicji stałej N(lm), co jego definicją jest (8.17):

${{\sqrt{{{(l+m)!}\over{(l-m)!(2l)!}}}}\over{\sqrt{{{(l+m+1)!}\over{(l-m-1)!(2l)!}}}}}(l-m)(l+m+1)=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\;\;$

(8.22)

Równanie (8.21) na podstawie obliczeń stałej N(lm) wedle (8.22) przyjmuje pełną postać bez żadnych niewiadomych:

$l_{+}Y_{lm}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_{l(m+1)}\;$

(8.23)

Współrzędne operatorów momentu pędu a funkcję kuliste

Współrzędne operatorów momentu pędu w zależności od operatorów (5.47)($\hat{l}_+\;$), (5.48)($\hat{l}_-\;$) i (5.49)($\hat{l}_0\;$) można je w taki sposób zdefiniować, by operatory współrzędnych momentu pędu przy pomocy tych wspomnianych operatorów były:

$\hat{l}_x={{\hbar}\over{2}}\left(\hat{l}_{+}+\hat{l}_{-}\right)\;$ (8.24)

$\hat{l}_y=-{{i\hbar}\over{2}}\left(\hat{l}_{+}-\hat{l}_{-}\right)\;$ (8.25)

$\hat{l}_z=\hbar\hat{l}_0\;$ (8.26)

Na podstawie wzorów operatorowych, tzn. (8.24)($\hat{l}_x\;$), możemy tak zdefiniowany operator współrzędnej iksowej momentu pędu podziałać na funkcją kulistą i dostać wzór, który zapiszemy przy pomocy kombinacji funkcji kulistej o liczbach magnetycznych o powiększonej lub pomniejszonej o jeden przy pomocy definicji operatorów (8.20)($\hat{l}_-\;$) i (8.23)($\hat{l}_+\;$):

$\hat{l}_xY_{lm}={{\hbar}\over{2}}\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_{lm+1}+{{\hbar}\over{2}}\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_{lm-1}\;$

(8.27)

Na podstawie (8.25)($\hat{l}_y\;$) możemy zapisać działanie operatora momentu pędu igrekowego na funkcję kulistą i otrzymać kombinacją liniową funkcji kulistych powiększonych i pomniejszonych o jeden na kwantowych liczbach magnetycznych mając definicję (8.20)($\hat{l}_-\;$) i (8.23)($\hat{l}_+\;$):

$\hat{l}_yY_{lm}=-{{i\hbar}\over{2}}\sqrt{(l-m)(l+m+1)}Y_{lm+1}+{{i\hbar}\over{2}}\sqrt{(l+m)(l-m+1)}Y_{lm-1}\;$

(8.28)

Na podstawie (8.26)($\hat{l}_z\;$), możemy tym operatorem podziałać na funkcję kulistą Y_lm zdefiniowanych przy pomocy równania (8.9) na operator ($\hat{l}_0\;$), to równanie jest również równaniem własnym operatora momentu pędu współrzędnej zetowej o wartości własnej $m\hbar\;$:

$\hat{l}_zY_{lm}=m\hbar Y_{lm}\;$

(8.29)

Postulat trzeci mechaniki kwantowej

Postulat
Oczekiwana wartość średnia $\overline{O}$ pomiarów pewnej wielości fizycznej, któremu przyporządkowany jest operator $\hat{O}$ dla tych stanu opisywanych przez pewną funkcję falową unormowaną do jedynki, jest zdefiniowana:

$\overline{O}=\int\psi^{*}\hat{O}\psi d\tau$

(9.1)

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej

Jeśli równanie własne (7.1) mamy kilka wartości własnych i funkcji własnych, to dla zmiennej wartości własnej dyskretnej, całkowita funkcja własna ψ rozwiązania równania własnego zapisujemy w bazie funkcji własnych rozważanego równania własnego, czyli zapisujemy je jako kombinację liniową funkcji bazy, także podobnie jest dla funkcji sprzężonej zespolono, które otrzymujemy z tej pierwszej kombinacji działając zespolono na jej lewą i prawą stronę.

$\psi(x)=\sum_ic_i\psi_i(x)\;$ (9.2)

$\psi^{*}(x)=\sum_ic^{*}_i\psi^{*}_i(x)\;$ (9.3)

Ortogonalnością funkcji własnych w bazie dyskretnej nazywamy funkcje, które spełnia przepis:

$\int\psi_i(x)\psi_j(x)dx=\delta_{ij}\;$

(9.4)

Baza dyskretna jest zupełna, jeśli będziemy sumować względem wskaźnika "i" dla tej samej funkcji własnej, ale te funkcje własne są dla dwóch różnych argumentów i ta zupełność jest napisana za pomocy sumy, która jest normowana do delty Diraca, ze względu na ciągłość argumentów, przy pomocy której jest opisana funkcja własna rozwiązania równania własnego:

$\sum_i\psi_i(x)\psi_i(x^')=\delta(x-x^')\;$

(9.5)

Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy dyskretnej, ale dla argumentu ciągłego x, możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym z tożsamości (9.2) i (9.4):

$\int\psi^*_i(x)\psi(x)dx=\int\psi^*_i(x)\left(\sum_jc_j\psi_j(x)\right)dx=\sum_jc_j\int\psi^*_i(x)\psi_j(x)dx=\sum_jc_j\delta_{ij}=c_i\;$

(9.6)

Na podstawie wzoru (9.6) dostajemy, że:

$c_i=\int\psi^*_i(x)\psi(x)dx\;$

(9.7)

Korzystając przy tym ze wzoru (9.7) (z którego liczymy współczynniki rozwinięcia $c_i\;$ w tej kombinacji liniowej w (9.2)) i z (9.5) (zupełność bazy dyskretnej względem argumentu ciągłego), to suma kwadratów modułów z liczby c_i określamy:

$\sum_i|c_i|^2=\sum_ic^*_ic_i=\sum_i\int \psi(x^')\psi^*_i(x^')dx^'\int\psi^*(x)\psi_i(x)dx=\;$ $= \int\psi(x^')\psi^*(x)dx^'dx\sum_i\psi^*_i(x^')\psi_i(x)=\int\psi(x^')\psi^*(x)dx^'dx\delta(x^'-x)=\;$ $= \int\psi^*(x)\psi(x)dx=1$

(9.8)

Zatem na podstawie normalizacji bazy dyskretnej (9.8) (ostatnie obliczenia w tym wzorze), która jest rozwiązaniem podstawowym w równaniu własnym (7.1) dochodzimy do wniosku, że kwadraty modułów tych rozwinięć są unormowane do jedynki:

$\sum_i|c_i|^2=1\;$

(9.9)

Przekonamy się później, że |c_i|² są prawdopodobieństwami z jakim uzyskamy wartość własną uzyskania w doświadczeniu uzyskania wartości p_i, w którym istnieje funkcji własna opisującej ten stan.

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej

Jeśli z równania własnego (7.1) mamy ciągły rozrzut jego wartości własnych, które też ma ciągłą bazę względem argumentu k i argumentu x ciągłego za pomocą, których są zbudowane te funkcje własne, to całkowitą funkcję ψ, która jest kombinacją liniową funkcji bazy ciągłej względem jej dwóch argumentów, którą można zapisać za pomocą całki, nie sumy tak jak w punkcie (9.2), w ten sposób możemy otrzymać całkowitą funkcję falową i jej sprzężenie zespolone obu jego stron.

$\psi(x)=\int c(k)\psi(k,x)dk\;$ (9.10)

$\psi^{*}(x)=\int c^{*}(k)\psi^{*}(k,x)dk\;$ (9.11)

Ortonormalizacja funkcji własnych w bazię nazywamy funkcje z normalizowaną do delty Diraca ze względu na ciągłość bazy ze względu na argument k i jego przepis jest:

$\int\psi(k,x)\psi(k^',x)dx=\delta(k-k^')\;$

(9.12)

Baza jest zupełna, jeśli oba funkcje są zdefiniowane za pomocą dla tego samego k, które są funkcjami własnymi pewnego równania własnego, ale dla innych argumentów przestrzennych, to jego całka jest równa delcie Diraca ze względu na ciągłość argumentu przestrzennego x.

$\int\psi(k,x)\psi(k,x^')dk=\delta(x-x^')\;$

(9.13)

Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy ciągłej możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym (9.10) (rozwinięcie w bazie ciągłej) i (9.12)(ortonormalność):

$\int\psi^*(k^',x)\psi(x)dx=\int \psi^*(k^',x)\left(\int c(k)\psi(k,x)dk\right)dx=\;$ $= \int c(k^')dk\int\psi^*(k^',x)\psi(k,x)dx=\int c(k^')\delta(k^',k)dk=c(k)\;$

(9.14)

Na podstawie (9.14) dowiadujemy się, że możemy policzyć współczynniki rozwinięcia w bazie ciągłej występujących w (9.10):

$c(k')=\int\psi^{*}(k',x)\psi(x)dx;$

(9.15)

Sprawdźmy czy współczynniki c(k) są unormowane do jedynki zapisując współczynniki rozwinięcia w bazie funkcji własnych wedle wzoru (9.15) i rozwinięcia funkcji ψ(x) w bazie ciągłych funkcji własnych względem argumentu k według równości (9.13), w ten sposób możemy napisać wyrażenie, i sprawdzimy, że ona jest równa jeden.

$\int|c(k)|^2 dk=\int dk c^{*}(k)c(k)=\int_{k}dk\int dx \psi^{*}(k,x)\psi(x)\int dx'\psi(k,x')\psi^{*}(x')=$ $=\int dx dx'\psi(x)\psi^{*}(x')\int dk\psi^{*}(k,x)\psi(k,x^')=\int\int dx dx'\psi(x)\psi^{*}(x')\delta(k-k')=$ $=\int dx\psi^{*}(x)\psi(x)=1$

(9.16)

Zatem na podstawie (9.16), czyli normalizacji funkcji własnej rozwinięcia równania własnego (7.1) dochodzimy więc do wniosku, że współczynniki rozwinięcia w (9.10) są unormowana do jedynki:

$\int|c(k)|^2dk=1\;$

(9.17)

Przekonamy się później, że |c(k)|² jest gęstością prawdopodobieństwa, że uzyskamy wartość własną p_i względem argumentu k, w której istnieje pewna funkcja własna opisującej ten stan.

Wartość średnia w mechanice kwantowej

Zajmować się będziemy sposobem określania średniej dla zmiennej dyskretnej i ciągłej w mechanice kwantowej. Innym sposobem na określenie wartości średniej niż w postulacie (9.1) jest średnia, która jest sumą wszystkich wyników uzyskanych w doświadczeniu przez liczbę tych wyników:

$\overline{v}={{1}\over{n}}\sum^n_{i=1}v_i$

(9.18)

Jeśli wynik uzyskany w wyniku doświadczenia v_i powtarza się n_i krotnie, to na podstawie wzoru (9.18) dostajemy wzór na średnią ważoną, gdy sumą liczb wszystkich uzyskanych dla danych wyniku jest równa liczbie wszystkich uzyskanych wyników:

$\overline{v}={{1}\over{n}}\sum^f_{i=1}n_iv_i$ (9.19)

$n=\sum^n_{i=1}n_i$ (9.20)

Średnia uzyskanych wyników wedle (9.19) możemy zapisać względem prawdopodobieństw tych wyników ω_i, którego definicję podamy poniżej, ale teraz tylko podamy, że jest to iloraz częstości n_i uzyskania wyniku v_i przez liczbę wszystkich uzyskanych wyników:

$\overline{v}=\sum^n_{i=1}\omega_iv_i$ (9.21)

$\omega_i={{n_i}\over{n}}$ (9.22)

Mówiąc to samo co (9.21), którą definiowaliśmy dla zmiennej dyskretnej, ale tym razem napiszmy to samo, ale dla zmiennej typu ciągłego:

$\overline{p}=\int \rho(\xi) v(\xi)d\tau(\xi)$

(9.23)

• gdzie:
• ρ(ξ) jest to gęstości prawdopodobieństwa znalezienia ciała o właściwościach ξ.
• v(ξ) jest to zmienna zależącego od parametru ξ, której liczymy średnią.

W szczególnym przypadku może być dla przestrzeni jednowymiarowej:

• ξ=x  i dτ(ξ)=dx

a nawet może mieć miejsce dla przestrzeni trójwymiarowej:

• $\xi=\vec{r}\;$ i $d\tau(\xi)=d^3\vec{r}=dxdydz\;$.

Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów

Jeśli mamy równanie własne w mechanice kwantowej (7.1), gdy mamy tylko jedną jego wartość własną wspomnianego równania własnego:

$\overline{p}=\int\psi^{*}\hat{p}\psi d\tau=\int\psi^*p\psi d\tau= p\int\psi^*\psi=p\Rightarrow\overline{p}=p\;$

(9.24)

Na podstawie (9.24) dochodzimy do wniosku, że wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów danej wartości jest równa wartości własnej. gdy mamy tylko jedną wartość własną.

Jeśli mamy kilka wartości własnych rozwiązania równania własnego (7.1), zatem wartość średnia mierzonej wielkości na podstawie (9.1) (postulat trzeci) przy pomocy (9.2) (rozwinięcia funkcji $\psi(x)\;$ względem bazy dyskretnej rozwiązania równania własnego) i (9.3) (rozwinięcia funkcji $\psi^*(x)\;$ względem bazy dyskretnej sprzężonej zespolono rozwiązania równania własnego) oraz na podstawie ortogonalności funkcji własnych dyskretnej (9.4), wartość średnia uzyskanych wyników jest równa:

$\overline{p}=\int\left\{\sum_ic_i^{*}\psi^{*}_iP\sum_jc_j\psi_j\right\}d\tau= \sum_i\sum_jc_i^{*}c_j\int\psi_i^{*}\psi_jd\tau=\sum_i\sum_j c^{*}_ic_jp_j\delta_{ij}=\sum_i|c_i|^2p_i$

(9.25)

Na podstawie obliczeń (9.25) możemy zapisać tożsamość:

$\overline{p}=\sum_i|c_i|^2p_i$

(9.26)

Wielkość w (9.26), czyli |c_i|² można przedstawić jako prawdopodobieństwo uzyskania wartości własnej p_i, które uzyskujemy w doświadczeniu według wzoru (9.21) na średnia ważoną i która spełnia warunek (9.9) na normalizowalność zespolonych współczynników rozwinięcia. Wartość średnia dla funkcji ciągłej według (9.10) (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) i (9.11) (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej sprzężonej zespolono, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) na podstawie postulatu (9.1) (wartość średnia wyników uzyskanych w doświadczeniu) i warunku ortogonalności funkcji ciągłej do delty Diraca (9.12) przedstawia się:

$\overline{p}=\int\left(\int c^*(k)\psi^*(k,x)dk\right)\hat{p}\left(\int c(k^')\psi(k^',x)dk^'\right)d\tau=\;$ $= \int\left(\int c^*(k)\psi^*(k,x)dk\right)\left(\int c(k^')\hat{p}\psi(k^',x)dk^'\right)d\tau=\;$ $= \int\left(\int c^*(k)\psi^*(k,x)dk\right)\left(\int c(k^')p(k^')\psi(k^',x)dk^'\right)d\tau=\;$ $= \int\int c^*(k)c(k^')dkdk^'p(k^')\int\psi^*(k,x)\psi(k^',x)dx= \int\int c^*(k)c(k^')dkdk^'p(k^')\delta(k-k^')=\;$ $=\int c^*(k)c(k)p(k)dk=\int |c(k)|^2p(k)dk\;$

(9.27)

Na podstawie obliczeń (9.27) możemy napisać średnią wartość z wyników doświadczalnych uzyskanych w doświadczeniu uzyskując je w odpowiedni sposób wartości własne p(k), dla której liczymy tą właśnie średnią:

$\overline{p}=\int|c(k)|^2p(k)dk\;$

(9.28)

Wielkość we wzorze (9.28), czyli |c(k)|² jest to gęstość uzyskania wielkości p(k) przez cząstkę w mechanice kwantowej na podstawie normalizowania tego współczynnika względem argumentu ciągłego k wedle tożsamości (9.17), jego charakter statystyczny wynika z warunku (9.23), która mówi o charakterze tego rozwinięcia.

Interpretacja funkcji falowej

Wartością średnią (9.1) wielkości położenia współrzędnej iksowej liczymy, jeśli mamy uzyskane rozwiązanie ψ(x) równania własnego (7.1):

$\overline{x}=\int \psi^{*}(x)x\psi(x)=\int x|\psi(x)|^2 dx$

(9.29)

Porównując to ze wzorem na średnie położenie uzyskanych wyników, których przeprowadziliśmy bardzo dużo, tzn.:

$\overline{x}=\int x\rho(x)dx$

(9.30)

To na podstawie wzoru na średnie położenie cząstki w mechanice kwantowej (9.29) i dla statystycznego średniego położenia cząstki (9.30) i porównując te dwa ostatnie wzory, dostajemy, że wartość średnia znalezienia cząstki w danym punkcie jest przedstawiona za pomocą kwadratu modułu funkcji falowej w reprezentacji położeniowej:

$\rho(x)=|\psi(x)|^2\;$

(9.31)

Dochodzimy do wniosku, że kwadrat modułu funkcji własnej rozważanego równania własnego przedstawia się jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie iksowym x.

Dla przestrzeni trójwymiarowej podobnie jak u (9.29) dostajemy, że wartość średnią położenia przestawiamy:

$\overline{\vec{r}}=\int\psi^{*}(\vec{r})\vec{r}\psi(\vec{r})d^3\vec{r}= \int\vec{r}|\psi(\vec{r})|^2d^3\vec{r}$

(9.32)

W (9.32)wielkość $|\psi(\vec{r})|^2\;\;$ jest to gęstość prawdopodobieństwa uzyskania położenia przez daną cząstkę o wektorze wodzącym $\vec{r}\;$. A infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania przez daną cząstkę danego położenia jest określone:

$dP=\rho(\vec{r})d^3\vec{r}=|\rho(\vec{r})|^2d^3\vec{r}$

(9.33)

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Mając wektory (7.19) bazy pędowej, którego rozwiązaniem równania własnego (7.11) przy pomocy pędowego operatora iksowego (5.4), które to funkcje własne numerowane są ciągłym skalarem paraametrem k oraz mając współczynniki rozwinięcia c(k), to możemy policzyć całkowitą funkcję względem ciągłej bazy pędowej, tylko od położenia x, według (9.10):

$\psi(x)=\int c(k)\underbrace{{{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{ikx}}_{\psi(k,x)}dk\;$

(9.34)

Oraz znając funkcję całkowitą i wektory bazy pędowej można policzyć współczynniki rozwinięcia wedle wzoru (9.15):

$c(k)=\int \underbrace{{{1}\over{\sqrt{2\pi}}}e^{-ikx}}_{\psi^*(k,x)}\psi(x)dx\;$

(9.35)

W powyższych obliczeniach parametr k jest to liczba falowa przedstawiona wedle wzoru (7.15). Średnia wartość pędu jest zapisana kwantowo według równania (9.1), mając wzory (9.10) (rozwinięcia funkcji $\psi(x)\;$ w bazie funkcji pędowych) i (9.12) (warunku normalizacji), to średnia wyników uzyskania poszczególnych pędów w układzie jest wyrażona w reprezentacji pędowej:

$\overline{p}=\int\psi^*(x)\hat{p}_x\psi(x)dx=\int\psi^{*}(x)(-i\hbar){{\partial}\over{\partial x}}\psi(x)dx=$ $\int\left\{\int dk c^{*}(k){{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}}\right\}(-i\hbar){{\partial}\over{\partial x}}\left\{\int dk' c(k'){{e^{ik'x}}\over{\sqrt{2\pi}}}\right\}=$ $=\int\int dkdk'c^{*}(k)c(k')\int {{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}}(-i\hbar){{\partial}\over{\partial x}}{{e^{ik'x}}\over{\sqrt{2\pi}}}dx=$ $=\hbar\int\int c^{*}c(k')c^{*}(k)dk dk' k^'\int \underbrace{{{e^{i(k')x}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi(k^',x)}\underbrace{{{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi^*(k,x)}dx=$ $=\hbar \int\int k'c^{*}(k)c(k')dkdk'\delta(k-k')=\int c^{*}(k)(\hbar k)c(k)dk$

(9.36)

W reprezentacji pędowej średnia wartość pędu, wykorzystując przy tym (7.15) (przedstawienia pędu cząstki względem jej liczby falowej względem teorii korpuskularno falowej), jest równa:

$\overline{p}=\int c^{*}(k)(\hbar k)c(k)dk=\int c^{*}(k)p(k)c(k)dk$

(9.37)

Doszliśmy do wniosku, że w tej reprezentacji miano funkcji własnej spełniają współczynniki rozwinięcia c(k), a miano operatora położenia spełnia operator mnożenia pędu p(k)⋅.

Teraz określmy średnie położenie iksowe w reprezentacji pędowej, korzystając przy tym (9.13) (zupełność bazy pędowej) (9.15) (wyliczenia współczynników funkcji c(k) w bazie pędowej), to średnie położenie cząstki w reprezentacji położeniowej zapiszmy w reprezentacji pędowej wedle poniższego przedstawienia:

$\overline{x}=\int\psi^{*}(x)x\psi(x)dx=\int\int\psi^{*}(x')x\psi(x)\delta(x-x')dxdx^'=\;$ $=\int\int\psi^{*}(x')x\left\{ \int \underbrace{{{e^{ikx'}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi(k,x^')}\underbrace{{{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi^*(k,x)}dk\right\}\psi(x)dxdx'=\;$ $=\int dk\int dx'\psi^{*}(x'){{e^{ikx'}}\over{\sqrt{2\pi}}}\int dx (i{{\partial}\over{\partial k}}){{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}} \psi(x)=$ $=\int dk{\left(dx^'\psi(x^')\underbrace{{{e^{ikx^'}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi^*(k,x)}\right)}^{*}i{{\partial}\over{\partial k}}\left(\int dx\underbrace{{{e^{-ikx}}\over{\sqrt{2\pi}}}}_{\psi^*(k,x)}\psi(x)\right)=\int dk c^{*}(k)(i{{\partial}\over{\partial k}})c(k) dk$

(9.38)

Wykorzystując (7.15) (zamiany liczby falowej na pęd cząstki) otrzymujemy tożsamość:

$i{{\partial}\over{\partial k}}=i{{\partial}\over{\partial{{p}\over{\hbar}}}}=i\hbar{{\partial}\over{\partial p}}$

(9.39)

A zatem średnie położenie w reprezentacji pędowej wedle obliczeń (9.38), korzystając przy tym z tożsamości (9.39), jest wyrażona w sposób:

$\overline{x}=\int c^{*}(k)\left(i\hbar{{\partial}\over{\partial p}}\right)c(k)dk$

(9.40)

Widzimy, że średni pęd w reprezentacji pędowej zachowuje się jak średnia wartość położenia w reprezentacji położeniowej, a średnie położenie w reprezentacji pędowej zachowuje się podobnie jak średni pęd cząstki w reprezentacji położeniowej.

Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Określmy pewną całkę jawnie nieujemną z definicji kwadratu modułu, którego wartość jest zawsze dodatnia:

$0\leq\int |\lambda u+v|^2d\tau=\int(\lambda u^*+v^*)(\lambda u+v)d\tau=\lambda^2 \int u^*u d\tau+\lambda \int u^*v d\tau+\lambda \int uv^* d\tau+\int v^*v d\tau$

(9.41)

Określmy definicję pewnych stałych w postaci całek względem pewnego parametru opisującej ten stan przy pomocy funkcji u i v:

$a=\int u^*ud\tau$ (9.42)

$b=\int u^*vd\tau$ (9.43)

$c=\int v^*v d\tau$ (9.44)

Na podstawie definicji całek (9.42), (9.43), (9.44) napiszmy wyrażenie (9.41) w skróconej formie używająć tych stałych:

$0\leq \lambda^2 a+\lambda(b+b^*)+c$

(9.45)

Wyznaczmy wyróżnik trójmianu równania kwadratowego (9.45), które jest zawsze nieujemna, zatem ten wyróżnik ma wartość niedodanią lub równą zero, bo powyższe równanie kwadratowe w tej nierówności miało jeden albo zero pierwiastków:

$(b+b^*)^2-4ac\leq 0$

(9.46)

Z nierówności (9.46) wyznaczmy iloczyn stałych a i c, dochodzimy do wniosku, że:

$ac\geq{{1}\over{4}}(b+b^*)^2$

(9.47)

Obierzmy definicję funkcji u i v poprzez pewne operatory działające na pewne funkcje falowe przy definicjach stałych "a", "b" i "c":

$u=(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})\psi$ (9.48)

$v=i(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})\psi$ (9.49)

Następnym krokiem jest wykorzystanie wyrażenia (9.47) korzystając z definicji stałych (9.42)("a"), (9.43)("b") i (9.44)("c"), a także korzystając z definicji funkcji (9.48)("u") i (9.49)("v"), zatem nasza nierówność (9.47) przyjmuje postać:

$\int(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})^{*}\psi^{*}(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})\psi d\tau \int(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})^{*}\psi^*(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})\psi d\tau \geq$ $\geq{{1}\over{4}}\left\{i\int(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})^{*} \psi^*(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})\psi d\tau -i\int(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})^{*} \psi^*(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})\psi d\tau\right\}^2$

(9.50)

Ponieważ mamy doczynienia z operatorami hermitowskimi $\hat{\Theta}\;$ i $\hat{\Omega}\;$, to z korzystamy z definicji sprzężenia hermitowskiego tych operatorów oraz jeśli także skorzystamy z definicji komutatora dla wyrażenia pod nawiasem w całce dostajemy, że:

$\int(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})^{*}\psi^{*}(\hat{\Omega}-\overline{\Omega})\psi d\tau \int(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})^{*}\psi^*(\hat{\Theta}-\overline{\Theta})\psi d\tau \geq-{{1}\over{4}}\left\{\int\psi^{*}[\hat{\Omega},\hat{\Theta}]\psi d\tau \right\}^2$

(9.51)

Nierówność (9.51) możemy zapisać, wykorzystując przy tym, że operatory Ω i Θ są operatorami hermitowskimi, tzn. spełniają warunek (5.1):

$\left(\int\psi^*|\hat{\Omega}-\overline{\Omega}|^2\psi d\tau\right)\left(\int\psi^*|\hat{\Theta}-\overline{\Theta}|^2\psi d\tau\right)\geq -{{1}\over{4}}\left\{\int\psi^{*}[\hat{\Omega},\hat{\Theta}]\psi d\tau \right\}^2\;$

(9.52)

Korzystając z definicji wartości średnich dla mechaniki kwantowej (9.1), to można wyrażać średnie kwadratowe odchylenia tych wartości od wartości średnich w sposób:

$\Delta \Omega=\int\psi^*|\hat{\Omega}-\overline{\Omega}|^2\psi d\tau\;$ (9.53)

$\Delta \Theta=\int\psi^*|\hat{\Theta}-\overline{\Theta}|^2\psi d\tau\;$ (9.54)

A zatem ostatecznie zasadę Heisenberga (9.52), korzystając przy tym (9.53) (średnie odchylenie od wartości średniej $\overline{\Omega}\;$) i (9.54) (średnie odchylenie od wartości średniej $\overline{\Theta}\;$), możemy zapisać:

$(\Delta \Omega)^2(\Delta \Theta)^2\geq -{{1}\over{4}}\left\{\int\psi^{*}[\hat{\Omega},\hat{\Theta}]\psi d\tau \right\}^2$

(9.55)

Jeśli oznaczymy kolejno kolejno za pierwszy operator $\hat{\Theta}\;$ operator położenia, a za drugi operator $\hat{\Omega}\;$ operator pędu:

$\hat{\Theta}=\hat{x}_i$ (9.56)

$\hat{\Omega}=\hat{p}_i$ (9.57)

Korzystając przy tym z definicji operatorów (9.56) i (9.57) oraz z policzonego komutatora (6.6) pędu i operatora współrzędnej położenia, to komutator operatorów Ω i Θ możemy zapisać w formie:

$[\hat{\Omega},\hat{\Theta}]=[\hat{p}_i,\hat{x}_i]=-i\hbar$

(9.58)

Mając definicję operatora$\hat{\Theta}\;$ i $\hat{\Omega}\;$ i obliczony komutator (9.58), wtedy dochodzimy do wniosku:

$(\Delta p_i)^2(\Delta x_i)^2\geq -{{1}\over{4}}(-\hbar^2)\Rightarrow(\Delta p_i)^2(\Delta x_i)^2\geq {{1}\over{4}}\hbar^2$

(9.59)

Pierwiastkujemy obie strony nierówności (9.59), wtedy otrzymujemy inne, ale równoważne do poprzedniego wyrażenie:

$\Delta p_i\Delta x_i\geq {{1}\over{2}}\hbar$

(9.60)

Według powyższego wzoru istnieje nieoznaczność położenia i pędu, czyli jeśli pęd zmierzymy z dokładnością nieskończenie wielką, to w takim razie nie można zmierzyć położenia, bo jest ono w tym przypadku dowolne, i oczywiście zachodzi też odwrotnie, tym razem względem położenia.

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Postulat
Ten postulat dotyczy o rozwoju funkcji falowej w czasie, którego równanie jest określone przez równanie falowe zależne od czasu.

W przyrodzie wszystko się zmienia, a więc jest zależne od czasu, rzadko się zdarza, aby układ falowy był niezależny od czasu. Równanie zależne od czasu jest:

$\hat{H}\psi_{\lambda\mu}=i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\psi_{\lambda,\mu}\;$

(10.1)

Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu

Wyprowadzimy według mechaniki klasycznej, dlaczego operator pędu jest taki a nie inny. Wyprowadzimy równanie Schrödingera niezależne i zależne od czasu. Wiadomo, że liczba falowa w zależności od pędu wyraża się wzorem (1.17), stąd można wyznaczyć wektor liczby falowej:

$\vec{k}={{\vec{p}}\over{\hbar}}$

(10.2)

W równaniu (10.2), jeśli znamy wektor pędu cząstki$\vec{p}\;$, jeśli traktować cząstki jako korpuskuły, możemy wyznaczyć wektor falowy$\vec{k}\;$, jeśli traktować cząstki jak fale. Częstość kołową wyrażamy ze wzoru (1.6):

$\omega={{E}\over {\hbar}}\;$

(10.3)

W równaniu (10.3), jeśli znamy energię cząstki, to można policzyć jej częstość kołową, jeśli fotony traktować jako fale. Jeśli potraktować cząstki jako fale, to jego funkcja falowa w zależności od wektora liczby falowej i jego częstości kołowej wyraża się:

$\psi(x,t)=Ae^{i\left(\vec{k}\vec{r}-\omega t\right)}$

(10.3)

Podstawiając wielkość za $\vec{k}\;$ wzór (10.2) (zależność od wektora pędu) i za ω wzór (10.3) (zależność od energii niesionej przez falę), mamy wtedy funkcję falową:

$\psi(x,t)=Ae^{i({{\vec{p}}\over{\hbar}}\vec{r}-{{E}\over {\hbar}}) t}\;$

(10.4)

Wyznaczmy wyrażenie, czyli pierwszą pochodną wyrażenia funkcji falowej zależną od liczby falowej i częstości kątowej fali (10.4) (jeśli traktować cząstki jako fale) względem i-tej współrzędnej położenia:

${{\partial}\over{\partial x_i}}\psi(x,t)=Ae^{i({{\vec{p}}\over{\hbar}}\vec{r}-{{E}\over {\hbar}}t)}{{ip_i}\over{\hbar}}=\psi(x,t) {{ip_i}\over{\hbar}}$

(10.5)

Na podstawie (10.5) mamy równanie, które jest równaniem własnym pędu dla współrzędnej i-tej:

$-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_i}}\psi=p_i\psi$

(10.6)

Zatem i-ta współrzędna operatora pędu według (10.6) podobnie jak dla operatora pędu zdefiniowanej w mechanice kwantowej, czyli tak jak w punkcie (5.3), wyraża się:

$\hat{p}_i=-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_i}}\Rightarrow\hat{p}=-i\hbar\nabla$

(10.7)

Następnie wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia falowego (10.4) względem i-tej współrzędnej położenia:

${{\partial^2}\over{\partial x_i^2}}\psi={{\partial}\over{\partial x_i}}{{\partial}\over{\partial x_i}}\psi= {{\partial}\over{\partial x_i}}i{{p_i}\over{\hbar}}\psi=i{{p_i}\over{\hbar}}i{{p_i}\over{\hbar}}\psi= -{{p_i^2}\over{\hbar^2}}\psi$

(10.8)

Na podstawie (10.8) możemy zapisać równanie własne operatora różnicy operatora pędu i iloczynu dla ciała o ładunku q przez potencjał wektorowy pola magnetycznego $\vec{A}\;$, który to wszystko razem zapisujemy:

$\hat{p}\psi=\vec{p}\psi\wedge q\vec{A}\psi=q\vec{A}\psi\Rightarrow (\hat{p}-q\vec{A})\psi=(\vec{p}-q\vec{A})\psi\;$

(10.9)

Na równanie własne (10.9) podziałajmy operatorem $\hat{p}-q\vec{A}\;$ obustronnie, tak by otrzymać równanie własne kwadratu tego naszego operatora, otrzymujemy:

$(\hat{p}-q\vec{A})^2\psi=(\hat{p}-q\vec{A})(\vec{p}-q\vec{A})\psi\Rightarrow (\hat{p}-q\vec{A})^2\psi=(\vec{p}-q\vec{A})^2\psi\Rightarrow{{ (\hat{p}-q\vec{A})^2\psi}\over{\psi}}=(\vec{p}-q\vec{A})^2\;$

(10.10)

Energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym z uwzględnieniem potencjału wektorowego i skalarnego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się:

$E={{(\vec{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi+V(\vec{r})$

(10.11)

• gdzie:
• p jest to pęd uogólniony cząstki w polu wektorowym magnetycznym $\vec{A}\;$.
• m-masa cząstki
• $V(\vec{r})$ jest energia potencjalna cząstki o wektorze wodzącym *$\vec{r}$.

Idąc dalej podstawiamy wzór na $(\vec{p}-q\vec{A})^2$ (10.10) do wzoru na energię mechaniczną (10.11), a dokładniej do części na energię kinetyczną, mamy:

$E={{(\hat{p}-q\vec{A})^2\psi}\over{2m\psi}}+q\varphi+V(r)$

(10.12)

Mnożąc równanie (10.12) obustronnie przez $\psi$, mamy:

$\left\{{{(\hat{p}-q\vec{A})^2}\over{2m}}+q\varphi+V(r)\right\}\psi=E \psi$

(10.13)

Wyrażenie w równaniu (10.13) w nawiasie oznaczmy jako Hamiltonian według (5.31), wtedy otrzymujemy równanie własne przy pomocy definicji operatora Hamiltonianu:

$\hat{H}\psi=E\psi\;$

(10.14)

Jak widzimy w (10.14) operator$\hat{H}\;$ jest to operator energii całkowitej cząstki, bo wartością własną jest ta właśnie energia E. Policzmy pochodną wyrażenia funkcji falowej (10.4) względem czasu:

${{\partial }\over{\partial t}}\psi=-i{{E}\over {\hbar}}\psi$

(10.15)

A zatem z równania różniczkowego (10.15) dochodzimy do wniosku, że:

$E\psi=i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\psi$

(10.16)

A zatem, jeśli zachodzi (10.14) i (10.16) oraz łącząc te dwa wspomniane wzory, tzn. prawą stronę pierwszego wzoru z lewą stroną tego drugiego, dostajemy:

$\hat{H}\psi=i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\psi$

(10.17)

Otrzymane równanie jest to równanie falowe zależne od czasu.

Powyższe równanie jest słuszne, gdy hamiltonian $\hat{H}\;$ nie jest zależny od czasu, ale można na ten przypadek to równanie własne uogólnić.

Nieoznaczoność czasu i energii

Równanie (10.1) jest to równanie mechaniki kwantowej zależnej od czasu. Z równania mechaniki kwantowej zależnej od czasu można wywnioskować odpowiedniość operatorową, tzn. operatorowi energii $\hat{H}\;$ odpowiada pochodna cząstkowa względem czasu pomnożone przez czynnik $i\hbar\;$:

$i\hbar {{\partial}\over{\partial t}}\rightarrow \hat{H}$

(10.18)

Ale ta odpowiedniość jest fałszywa, co udowodnimy później dla operatora energii niezależnej od czasu, ale również gdy ten operator jest zależny od czasu, ta odpowiedniość też jest tam fałszywa. Wyznaczmy komutator względem czasu i operatora pochodnej cząstkowej pomnożonej przez ściśle określony urojony czynnik $i\hbar\;$.

$\left[t,i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\right]=i\hbar\left[t,{{\partial}\over{\partial t}}\right]=i\hbar\left(t{{\partial}\over{\partial t}}-{{\partial}\over{\partial t}}(t)\right)=i\hbar\left(t{{\partial}\over{\partial t}}-\hat{1}-t{{\partial}\over{\partial t}} \right)=i\hbar(-1)\hat{1}-=-i\hbar$

(10.19)

A zatem na podstawie (10.19) dostajemy, że ten komutator jest równy z minusem jednostce urojonej pomnożonej przez stałą kreśloną Plancka:

$\left[t,i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\right]=-i\hbar$

(10.20)

Ale załóżmy, że spełniona jest nasza odpowiedniość, na podstawie (10.20) i nierówności (9.55) można zapisać nieoznaczoność czasu i energii, mówiąc z jaką nieoznacznością zmierzymy daną energię ΔE, jeśli dany układ kwantowy istnieje w czasie Δt:

$(\Delta E)^2(\Delta t)^2\geq-{{1}\over{4}}\left\{\int\psi^*(-i\hbar)\psi\right\}^2\Rightarrow(\Delta E)^2(\Delta t)^2\geq{{1}\over{4}}\hbar^2$

(10.21)

Pierwiastkując obie strony nierówności (10.21), mamy:

$\Delta E\Delta t\geq {{1}\over{2}}\hbar$

(10.22)

Jeśli nasza odpowiedniość jest spełniona (10.18), co udowodnimy, że ta nie jest, bo nasz operator $\hat{H}\;$ nie jest zależny od czasu, czyli powinno zachodzić:

$\left[t,\hat{H}\right]=\left[t,i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\right]\Rightarrow 0=-i\hbar$

(10.23)

Na podstawie (10.23) udowodniliśmy że nasza odpowiedniość nie jest spełniona, bo nie zachodzi wspomniana równość, czyli nie można powiedzieć, że zachodzi (10.22), ale jak się okazuje ten wzór jednak jest spełniony w mechanice kwantowej.

Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu

Załóżmy, że hamiltonian jest niezależny od czasu, a więc załóżmy, że rozwiązanie jego jest iloczyn funkcji f zależnej od współrzędnych przestrzennych i funkcji g zależnej od wartości czasu:

$\psi(xyzt)=f(xyz)g(t)\;$

(10.24)

Podstawmy przypuszczalne rozwiązanie (10.24) do równania falowego zależnego od czasu (10.1), to równanie przyjmuje wtedy takową postać:

$\hat{H}f(xyz)g(t)=i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}f(xyz)g(t)\;$

(10.25)

Teraz dzielimy obie strony równania (10.25) przez funkcję f(xyz)g(t), wtedy otrzymujemy:

${{\hat{H}f(xyz)}\over{f(xyz)}}=i\hbar{{{{\partial}\over{\partial t}}g(t)}\over{g(t)}}\;$

(10.26)

Ponieważ prawa strona jest zależna tylko od czasu, a lewa od xyz, jeśli hamiltonian cząstki jest niezależny od czasu (energia potencjalna jest niezależna od czasu w badanym układzie), to:

${{\hat{H}f(xyz)}\over{f(xyz)}}=i\hbar{{{{\partial}\over{\partial t}}g(t)}\over{g(t)}}=C\;$

(10.27)

W równaniu (10.27) lewa strona jest zależna tylko od współrzędnych przestrzennych, a prawa od współrzędnych czasowej, aby prawa i lewa strona były sobie równe, to obie strony powinny być równe stałej. Równanie (10.27) możemy rozdzielić na dwa niezależne równania od siebie w postaci:

${{\hat{H}f(xyz)}\over{f(xyz)}}=C\;$ (10.28)

$i\hbar{{{{\partial}\over{\partial t}}g(t)}\over{g(t)}}=C\;$ (10.29)

Oznaczmy przez C=E, jako energię cząstki w układzie, bo ona jest wartością własną operatora energii całkowitej cząstki (7.106), a zatem można powiedzieć, że z (10.28) i (10.29) wynikają dwa następne równania:

$\hat{H}f(xyz)=Ef(xyz)\;$ (10.30)

$i\hbar{{{\partial}\over{\partial t}}g(t)\over{g(t)}}=E\;$ (10.31)

Dzielimy obie strony równania (10.31) przez stałą $i\hbar\;$, wtedy dostajemy inne równoważne równanie:

${{{\partial}\over{\partial t}}g(t)\over{g(t)}}=-i{{E}\over{\hbar}}\;$

(10.32)

Dokonajmy całkowania obu stron równoności różniczkowej (10.32) względem czasu:

$\ln g(t)=-i{{E}\over{\hbar}}t\Rightarrow g(t)=e^{-i{{E}\over{\hbar}}t}\;$

(10.33)

Rozwiązanie równania (10.1) wedle iloczynu funkcji zależnej od współrzędnej przestrzennych f(xyz) i czasu g(t) wedle (10.24), ale pamiętając, że (10.24) jest jednych z rozwiązań równania falowego niezależnego od czasu, czyli mamy przy tym, że to równanie może mieć więcej takich f(xyz), a każdej tej funkcji odpowiada odpowiednia energia E_λ, to rozwiązanie zapisujemy w postaci sumy ze współczynnikami rozwinięcia a_λ:

$\psi(xyzt)=\sum_{\lambda}a_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)e^{-i{{E_{\lambda}t}\over{\hbar}}}\;$

(10.34)

Operator ewolucji

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii:

$\hat{S}=e^{-it{{\hat{H}}\over{\hbar}}}\;$

(10.35)

Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia a_λ:

$\psi(xyz)=\sum_{\lambda}a_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)\;$

(10.36)

Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci:

$\hat{H}^n\psi=E^n\psi\;$

(10.37)

Równanie własne (10.37) udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu (7.121). Następnym krokiem jest założenie, że równanie (10.37) jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie (10.37) przez operator energii, dostajemy, że:

$\hat{H}\hat{H}^n\psi=\hat{H}E^n\psi\;$

(10.38)

Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę Eⁿ przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru (10.38):

$\hat{H}^{n+1}\psi=E^n\hat{H}\psi\Rightarrow\hat{H}^{n+1}\psi=E^nE\psi\Rightarrow\hat{H}^{n+1}\psi=E^{n+1}\psi\;$

(10.39)

Co kończy dowód twierdzenia (10.37).

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji (10.35) na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli (10.36), wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora:

$\hat{S}\psi(xyz)=e^{-it{{\hat{H}}\over{\hbar}}}\sum_{\lambda}a_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)= \sum_{\lambda}a_{\lambda}e^{-it{{\hat{H}}\over{\hbar}}}f_{\lambda}(xyz)=\;$ $= \sum_{\lambda}a_{\lambda}\left(1-{{it}\over{\hbar}}\hat{H} -{{t^2}\over{\hbar^2}}\hat{H}^2 +i{{t^3}\over{\hbar^3}}\hat{H}^3+... \right)f_{\lambda}(xyz)=\;$ $=\sum_{\lambda}a_{\lambda}\left(1-{{it}\over{\hbar}}\hat{H}f_{\lambda}(xyz) -{{1}\over{2!}}{{t^2}\over{\hbar^2}}\hat{H}^2f_{\lambda}(xyz) +i{{1}\over{3!}}{{t^3}\over{\hbar^3}}\hat{H}^3f_{\lambda}(xyz)+... \right)=\;$ $=\sum_{\lambda}a_{\lambda}\left(1-{{it}\over{\hbar}}E_{\lambda}f_{\lambda}(xyz) -{{1}\over{2!}}{{t^2}\over{\hbar^2}}E^2_{\lambda}f_{\lambda}(xyz) +i{{1}\over{3!}}{{t^3}\over{\hbar^3}}E^3_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)+... \right)=\;$ $=\sum_{\lambda}a_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)e^{-i{{E_{\lambda}}\over{\hbar}}}\;$

(10.40)

Zatem na podstawie (10.40) otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii:

$\hat{S}\psi(xyz)=\sum_{\lambda}a_{\lambda}f_{\lambda}(xyz)e^{-it{{E_{\lambda}}\over{\hbar}}}\;$

(10.41)

Lewa strona równania (10.41) jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym (10.34), zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że:

$\psi(xyzt)=e^{-it{{\hat{H}}\over{\hbar}}}\psi(xyz)\;$

(10.42)

Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu (10.1) w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie (10.42) funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej

Tutaj udowodnimy, że gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej, której jest rozwiązaniem równania falowego (10.1) jest równe jeden i nie zmienia się w czasie. Pochodna zupełna normy funkcji falowej jest równa po jego rozpisaniu:

${{d}\over{d t}}||\psi||={{d}\over{d t}}\int_{\vec{r}\in R^3}|\psi|^2d^3\vec{r}=\int_{\vec{r}\in R^3}\left({{\partial}\over{\partial t}}|\psi|^2\right)d^3\vec{r}=\int_{\vec{r}\in R^3}\left(\psi^*{{\partial}\over{\partial t}}\psi+\psi{{\partial}\over{\partial t}}\psi^*\right)d^3\vec{r}$

(10.43)

Z równania (7.121) można otrzymać inne równanie zależne od czasu w sposób przekształcony, powstały w taki sposób do poprzedniego dzieląc jego obydwie strony przez iloczyn stałej kreślonej Plancka i jednostki urojonej, dalej korzystając z definicji odwrotności jednostki urojonej mamy:

$\hat{H}\psi=i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\psi\Rightarrow{{\partial}\over{\partial t}}\psi=-{{i}\over{\hbar}}\hat{H}\psi$

(10.44)

Na równanie końcowego wynikowego (10.44) możemy podziałać sprzężeniem zespolonym po obu jego stronach, dostajemy następne wynikowe równoważne do poprzedniego równanie:

${{\partial}\over{\partial t}}\psi^*={{i}\over{\hbar}}\hat{H}^*\psi^*$

(10.45)

Podstawiamy równania końcowe (10.44) (przekształcone równanie falowe zależne od czasu) i (10.45) (sprzężone zespolono do poprzedniego przekształconego wzoru równania falowego zależnego od czasu) do wzoru (10.43), który jest ilorazem zmiany normy funkcji falowej przez zmianę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dostajemy, że:

${{d}\over{d t}}||\psi||=\int_{\vec{r}\in R^3}\left(\psi^*(-1){{i}\over{\hbar}}\hat{H}\psi+\psi{{i}\over{\hbar}}\hat{H}^*\psi^*\right)d^3\vec{r}={{i}\over{\hbar}}((\hat{H}\psi,\psi)-(\psi,\hat{H}\psi))$

(10.46)

Ponieważ operator energii$\hat{H}$ jest operatorem hermitowskim, to (10.46) można tak przekształcić, by zachodziła równość$(\psi,\hat{H}\psi)=(\hat{H}\psi,\psi)$ z definicji operatora hermitowskiego, a zatem dokonajmy tego:

${{i}\over{\hbar}}((\hat{H}\psi,\psi)-(\psi,\hat{H}\psi))={{i}\over{\hbar}}((\hat{H}\psi,\psi)-(\hat{H}\psi,\psi))=0$

(10.47)

Porównując wzór (10.47) z równaniem (10.46) przy naszych obliczeniach wynikające z hermitowskości operatora energii dochodzimy do wniosku, że jeśli prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe jeden dla t=0, to dla t≠0 gęstość znalezienia cząstki też jest równe jeden i nie zmienia się wcale w czasie.

Charakter falowy funkcji stanu

W wspomnianych rozdziałach o mechanice kwantowej dotychczas nie wspomnieliśmy jak wykorzystać aparat matematyczny dotyczący mechaniki kwantowej do konkretnych przypadków. Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania (10.1) w bazie wektorów własnych (7.16) równania własnego iksowego operatora pędu (7.11) wyrażając przy tym energię cząstki poprzez wartość wektora falowego w postaci (7.120) przedstawia się:

$\psi\left(x,t\right)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\int^{\infty}_{-\infty}a\left(k\right)e^{ikx}e^{-i{{E\left(k\right)}\over{\hbar}}t}dk ={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\int^{\infty}_{-\infty}a\left(k\right)e^{ikx-i{{\hbar k^2}\over{2m}}t}dk$

(10.48)

Na podstawie (10.48) częstość kołowa fali jako jednych z parametrów drań harmonicznych funkcji falowej cząstki średnio spoczywającej mającej liczbę falową k jest napisana jako:

$\omega={{\hbar k^2}\over{2m}}\;$

(10.49)

Współczynniki rozwinięcia a(k) w bazie pędowej funkcji całkowitej nie mogą zależeć od czasu, a więc je policzmy możemy dla t=0 według (9.15) funkcjach bazy w przestrzeni pędowej:

$a\left(k\right)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}\int \psi\left(x,t=0\right)e^{-ikx}dx$

(10.50)

Policzmy teraz prędkość fazową naszej cząstki, którą definiujemy jako iloraz częstości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (10.49) w zależności od liczby falowej k, przez liczbę falową. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (7.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

$v_f={{\omega}\over{k}}={{{{\hbar k^2}\over{2m}}}\over{k}}= {{\hbar k}\over{2m}}={{\hbar}\over{2m}}{{p}\over{\hbar}}={{p}\over{2m}}={{mv}\over{2m}}={{v}\over{2}}\;$

(10.51)

A zatem na podstawie (10.51) dostajemy wzór na prędkość fazową cząstki w zależności od prędkości cząstki w postaci:

$v_f={{v}\over{2}}$

(10.52)

A zatem prędkość fazowa cząstki równa się połowie prędkości cząstki. Policzmy teraz prędkość grupową naszej cząstki, którą definiujemy jako pochodną częstości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (10.49) w zależności od liczby falowej k, względem liczby falowej. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (7.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

$v_g={{d\omega}\over{dk}}={{d{{\hbar k^2}\over{2m}}}\over{dk}}= {{2\hbar k}\over{2m}}={{\hbar k}\over{m}}={{p}\over{m}}={{mv}\over{m}}=v\;$

(10.53)

A zatem na podstawie (10.53) dostajemy, że prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki, jak moglibyśmy przypuszczać:

$v_g=v\;$

(10.54)

Według (10.54) prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki. Napiszmy paczkę falową dla t=0. A więc wystarczy przyjąć dla t=0 funkcję falową, dla której będziemy liczyli stałą normalizacyjną:

$\psi\left(x,0\right)=Ne^{-{{x^2}\over{2a^2}}}$

(10.55)

W analizie matematycznej występuje całka niewłaściwa, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach.

$\int^{\infty}_{-\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{{{\pi}\over{a}}}\;$

(10.56)

Jak każda funkcja falowa w mechanice kwantowej powinna być unormowana do jedynki, czyli norma funkcji falowej (10.55) powinna wynosić jeden, co można wykorzystać tą całkę niewłaściwą (10.56) przy wyznaczaniu stałej N w naszej funkcji falowej, która jest słuszna dla t=0.

$1=\left(\psi\left(x,0\right),\psi\left(x,0\right)\right)=\int^{\infty}_{-\infty}Ne^{-{{x^2}\over{2a^2}}}Ne^{-{{x^2}\over{2a^2}}}dx= N^2\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{x^2}\over{a^2}}}dx=$ $=N^2\sqrt{{\pi}\over{{{1}\over{a^2}}}}=N^2\sqrt{\pi a^2}\;$

(10.57)

Z warunku normalizacyjnego (10.57) funkcji falowej (10.55) wynika, że jego stałą normalizacyjną przedstawiamy wedle wzoru:

$N=\left(a^2\pi\right)^{-{{1}\over{4}}}$

(10.58)

Policzmy naszą całkę, która jest jakoby wersją całki (10.56), tylko że bardziej utrudnioną.

$\int^{\infty}_{-\infty}e^{-ax^2-ibx}dx=\int^{\infty}_{-\infty} e^{a\left(x+i{{b}\over{2a}}\right)^2-{{b^2}\over{4a}}}=e^{-{{b^2}\over{4a}}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-ax^2}= \sqrt{{{\pi}\over{a}}}e^{-{{b^2}\over{4a}}}$

(10.59)

Teraz policzmy współczynniki a(k) rozwinięcia w bazie pędowej znając już unormowaną funkcję falową dla t=0, tzn. (10.55) przy stałej normalizacyjnej (10.58), te współczynniki wyznaczamy wedle wzoru, który jest pewną wersją wzoru (9.15) dla początkowego czasu. Oczywiste jest, że te współczynniki nie zależą w jakim czasie będziemy liczyć przy pomocy całkowitej funkcji falowej (10.48) opisującą naszą kwantową cząstkę:

$a\left(k\right)={{N}\over{\sqrt{2\pi}}}\int^{\infty}_{-\infty}\underbrace{e^{-{{x^2}\over{2a^2}}}}_{\psi\left(x,0\right)}e^{-ikx}dx= \int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{x^2}\over{2a^2}}-ikx}dx=e^{-{{a^2}\over{2}}k^2}\left( {{a^2}\over{\pi}}\right)^{{{1}\over{4}}}$

(10.60)

Teraz pozostało nam policzyć funkcję falową zależną od współrzędnej iksowej i dowolnego czasu, tzn.$\psi\left(x,t\right)$ według (10.48), napisanej w przestrzeni pędowej znając już jego współczynniki rozwinięcia, które wyliczyliśmy dla t=0, czyli (10.60), wtedy tą funkcję możemy policzyć w sposób zwarty:

$\psi\left(x,t\right)=\left({{a^2}\over{4\pi^3}}\right)^{{1}\over{4}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-{{a^2}\over{2}}k^2} e^{-ikx-i{{\hbar}\over{2m}}k^2t}dk =\left({{a^2}\over{4\pi^3}}\right)^{{1}\over{4}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-k^2\left({{a^2}\over{2}}+i{{\hbar}\over{2m}}t\right)-ikx}dk =$ $=\left({{a^2}\over{4\pi^3}}\right)^{{1}\over{4}}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\left({{a^2}\over{2}}+i{{\hbar}\over{2m}}t\right)\left(k+{{ix}\over{2\left({{a^2}\over{2}}+i{{\hbar}\over{2m}}t\right)}}\right)^2-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}dk=\;$ $=\left({{a^2}\over{4\pi^3}}\right)^{{1}\over{4}}e^{-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}\sqrt{{{\pi}\over{{{a^2}\over{2}}+i{{\hbar}\over{2m}}t}}}=\left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{4}}}{\left(1+i{{\hbar}\over{ma^2}}t\right)}^{-{{1}\over{2}}} e^{-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}$

(10.61)

Następnym krokiem jest policzenie gęstości prawdopodobienstwa znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej, w tym celu należy policzyć kwadrat modułu funkcji falowej, który jest w zwartej postaci (10.61), liczymy je tak by po jego prawej stronie wyszła liczba rzeczywista, bo gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją o wartościach rzeczywistych.

$|\psi\left(x,t\right)|^2=\psi^*\left(x,t\right)\psi\left(x,t\right)=\;$ $=\left[\left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{4}}}{\left(1+i{{\hbar}\over{ma^2}}t\right)}^{-{{1}\over{2}}} e^{-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}\right]^*\left[\left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{4}}}{\left(1+i{{\hbar}\over{ma^2}}t\right)}^{-{{1}\over{2}}} e^{-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}\right]=$ $= \left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{2}}}\left[\left(1-i{{\hbar}\over{ma^2}}t\right)\left(1+i{{\hbar}\over{ma^2}}t\right)\right]^{-{{1}\over{2}}}e^{-{{x^2}\over{2\left(a^2-i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}-{{x^2}\over{2\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}=\;$ $=\left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(1+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^4}}\right)^{-{{1}\over{2}}} e^{-{{x^2}\over{2}}{{a^2+i{{\hbar}\over{m}}t+a^2-i{{\hbar}\over{m}}t}\over{\left(a^2-i{{\hbar}\over{m}}t\right)\left(a^2+i{{\hbar}\over{m}}t\right)}}}=\;$ $=\left(\pi a^2\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(1+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^4}}\right)^{-{{1}\over{2}}} e^{-{{x^2}\over{2}}{{2a^2}\over{a^4+{{\hbar^2t^2}\over{m^2}}}}}=\;$ $=\left(\pi a^2\right)^{-{1\over 2}}\left(1+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^4}}\right)^{-{{1}\over{2}}}e^{-{{x^2}\over{a^2+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^2}}}}}$

(10.62)

Zatem na podstawie (10.62) otrzymujemy, że gęstość prawdopodobieństwa cząstki zmienia się w czasie według:

$|\psi\left(x,t\right)|^2=\left(\pi a^2\right)^{-{1\over 2}}\left(1+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^4}}\right)^{-{{1}\over{2}}}e^{-{{x^2}\over{a^2+{{\hbar^2t^2}\over{m^2a^2}}}}}\;$

(10.63)

Wedle przedstawionego wzoru (10.63), że po bardzo dużym czasie cząstkę można znaleźć gdzieś na osi iksowej, w niekreślonym punkcie, bo gęstość prawdopodobieństwa napisanej wspomnianym wzorem rozpływa się w czasie i po nieskończenie dużym czasie jest w przybliżeniu równa zero.

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału

Nieskończona studnia kwantowa

Wewnątrz studni potencjału jak na rysunku obok panuje zerowy potencjał skalarny elektryczny, ale nie ma tutaj w tym przypadku potencjału wektorowego magnetycznego. Równanie własne dla tego obszaru jest:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2Em}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(11.1)

Przyjmijmy oznaczenia, czyli wprowadźmy nową stałą w oparciu o inne wielkości występujące w równaniu własnym bez potencjału skalarnego w (11.1), który charakteryzuje ruch swobodnej cząstki w przedziale (-a/2,a/2):

$k^2={{2Em}\over{\hbar^2}}\;$

(11.2)

Równanie (11.1) przy oznaczeniach (11.2), która zależy od energii cząstki, która to z kolei jest wielkością dodatnią:

${{d^2}\over{dx^2}}\psi=-k^2\psi\;$

(11.3)

Gdy przyjmować będziemy E>0, to $k^2>0\;$, zatem jego rozwiązaniem (11.3) są to funkcje kombinacji linowej funkcji trygonometrycznych:

$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx\;$

(11.4)

Zajmijmy się warunkami brzegowymi dla nieskończonej studni potencjału według rysunku obok dla punktów: $x=\pm{{a}\over{2}}\;$, to funkcja falowa w tychże punktach (11.4) powinna przyjmować wartość zero, ze względu na hermitowskość operatora pędu.

$\begin{cases} \psi(-{{a}\over{2}})=0\Rightarrow 0=-A\sin k{{a}\over{2}}+B\cos k{{a}\over{2}}\\ \psi({{a}\over{2}})=0\Rightarrow 0=A\sin k{{a}\over{2}}+B\cos k{{a}\over{2}} \end{cases}\;$

(11.5)

Aby układ równań (11.5) miał współczynniki niezerowe, to musimy stworzyć wyznacznik z elementów stojący przy stałych A i B, dla którego jego wartość przyrównać do zera, i na samym końcu wyznaczyć jego współczynniki:

$0=\begin{vmatrix} -\sin k{{a}\over{2}}&\cos k{{a}\over{2}}\\ \sin k{{a}\over{2}}&\cos k{{a}\over{2}} \end{vmatrix}\Rightarrow \sin k{{a}\over{2}}\cos k{{a}\over{2}}=0\;$

(11.6)

Z równości, które otrzymaliśmy dostajemy alternatywę równań:

$\sin k{{a}\over{2}}=0\vee\cos k{{a}\over{2}}=0\Rightarrow k{{a}\over{2}}=n\pi\vee k{{a}\over{2}}={{\pi}\over{2}}-n\pi\Rightarrow k={{2n\pi}\over{a}}\vee k={{(2n-1)\pi}\over{a}}\Rightarrow k={{n\pi}\over{a}}\;$

(11.7)

Powyżej dowiedzieliśmy się, że stała n jest zależna od liczby nieparzystej 2n-1 lub liczby parzystej 2n, które można połączyć ze sobą w jedno rozwiązanie, której n jest zależna od liczby naturalnej bez zera. Ze wzoru (11.2) wyznaczmy energię cząstki:

$E={{\hbar^2k^2}\over{2m}}={{\pi^2\hbar^2n^2}\over{2ma^2}}\;\;$

(11.8)

• gdzie: n=1,2,3,...

Załóżmy, że k zależy od liczby n dla rozwiązania nieparzystego, mamy A=0, a także $B\neq 0\;$ według (11.5), zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie (11.4) zapisujemy poniżej, z którego w tej samej linijce wyznaczymy stałą B.

$\psi(x)=B\cos {{(2n-1)\pi}\over{a}}x\Rightarrow 1=B^2\int^{{{a}\over{2}}}_{-{{a}\over{2}}}\cos^2 {{(2n-1)\pi}\over{a}}x=\;$ $={{B^2}\over{2}}\int^{{{a}\over{2}}}_{-{{a}\over{2}}}\left(1+\cos{{2(2n-1)\pi}\over{a}}x\right)={{B^2}\over{2}}a\Rightarrow B=\sqrt{{{a}\over{2}}}\;$

(11.9)

Ale już dla przypadku, gdy k dla rozwiązania parzystego, której funkcję falową można zapisać przy pomocy A≠0 i B=0 według (11.5), zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie (11.4) zapisujemy równanie, z którego w tej samej linijce wyznaczać będziemy stałą A.

$\psi(x)=A\sin {{2n\pi}\over{a}}x\Rightarrow 1=A^2\int^{{{a}\over{2}}}_{-{{a}\over{2}}}\sin^2 {{2n\pi}\over{a}}x=\;$ $={{A^2}\over{2}}\int^{{{a}\over{2}}}_{-{{a}\over{2}}}\left(1-\cos{{4n\pi}\over{a}}x\right)={{A^2}\over{2}}a\Rightarrow A=\sqrt{{{a}\over{2}}}\;$

(11.10)

Na podstawie ostatnich obliczeń dla rozwiązania nieparzystego (11.9) i dla parzystego (11.10) ogólne dla rozwiązania zależnego od n parzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem parzystym, i dla n nieparzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem nieparzystym, ono jest zapisane przy pomocy funkcji trygonometrycznych funkcji sinus dla rozwiązania parzystego, i z funkcji kosinus dla rozwiązania nieparzystego, w których co w tych funkcjach występuje zmienna x pomnożona przez nπ/a.

$\psi(x)=\begin{cases} \sqrt{a/2}\sin{{n\pi}\over{a}}x&\mbox{ dla n=2,4,6,...}\\ \sqrt{a/2}\cos{{n\pi}\over{a}}x&\mbox{ dla n=1,3,5,..} \end{cases}\;$

(11.11)

Rysunki przedstawiają prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (oś igrekowa) w zależności od położenia cząstki (oś iksowa). według (11.11) kolejno dla n=1,2,3 oraz dla a=1.

Rozwiązanie (11.11) zapisujemy w sposób ogólny:

$\psi(x)=\sqrt{2/a}\sin\left({{n\pi}\over{a}}x+{{1}\over{2}}n\pi\right)\;$

(11.12)

W celu udowodnienia równoważności równań (11.12) z równaniami (11.11) z dokładnością do znaku należy ostatnie równanie przepisać:

$\psi(x)=\sqrt{a/2}\cos{{1}\over{2}}n\pi\sin {{n\pi}\over{a}}x+\sqrt{a/2}\sin{{1}\over{2}}n\pi\cos {{n\pi}\over{a}}x\;$

(11.13)

Widzimy w zależności od n, czy jest parzyste czy nie, to przechodzi w równanie w pierwsze czy drugie z układu równań (11.11) z dokładnością do znaku.

Cząstka w skończonej studni potencjału

Cząstka w skończonej studni potencjału

Będziemy się tutaj zajmować stanami, w których cząstka może się znajdować, a mianowicie w dwóch stanach. W stanach o energii ujemnej i w stanach o energii dodatniej. W stanach o energii ujemnej będziemy się zajmować tylko stanami, których wartość bezwzględna całkowitej energia |E| jest mniejsza niż głębokość studni U.

Stany związane

Rozpatrzmy stany o energii ujemnej E, tzn. związane, ale tak by było spełnione E+U>0. Równanie Schrödingera w obszarach 1 i 3, w których panuje zerowa postać potencjału skalarnego, możemy zapisać:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi=E\psi\Rightarrow{{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(11.14)

Na rysunku obok zakładamy, że energia cząstki jest ujemna, zatem możemy wprowadzić oznaczenie zależne od ujemnej energii cząstki w skończonej studni potencjału, masy cząstki i jednej stałej fizycznej stałej kreślonej Plancka:

$\kappa^2=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\;$

(11.15)

Wprowadzimy oznaczenie stałej $\kappa^2\;$ (11.15) do równania własnego zdefiniowanej w (11.14), dochodzimy do wniosku, że:

${{d^2}\over{dx^2}}\psi=\kappa^2\psi\;$

(11.15)

Rozwiązaniem równania (11.15) są dwie funkcje eksponecjalne jako wektory bazy, ale na razie nie wiemy czy ta baza jest ciągła, czy nawet dyskretna, ale przekonamy się, że ta baza jest skwantowana, wtedy funkcje własne (11.15) są:

$\psi(x)=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\;$

(11.16)

Równanie własne (11.15) powinno być słuszne dla obszaru 1 i 3, czyli była całkowalna z kwadratem, to musi zachodzić warunek:

$\psi_1(x)=A_1e^{\kappa x}\;$ (11.17)

$\psi_3(x)=B_3e^{-\kappa x}\;$ (11.18)

Widzimy, że dla zakresu obowiązywania tych funkcji, tzn. (11.17) i (11.18) powyższe funkcje nie mają wartości nieskończonej.

Wyprowadźmy rozwiązanie równania falowego dla obszaru 2:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi-U\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(11.19)

W prowadźmy oznaczenie zależne od energii cząstki, głębokości studni potencjału i stałych fizycznych:

$k^2={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\;$

(11.20)

Przy oznaczeniu przy stałej k² (11.20) równanie różniczkowe (11.19) przyjmuje inną równoważną postać:

${{d^2}\over{dx^2}}\psi=-k^2\psi\;$

(11.21)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (11.21) w obszarze 2 jest rozwiązanie w postaci kombinacji funkcji trygometrycznych, tzn. kosinusa i sinusa i piszemy ją dla tego obszaru w postaci:

$\psi_2=A_2\cos kx+B_2\sin kx\;$

(11.22)

Na granicy obszarów 1 i 2 oraz 2 i 3 funkcje oraz jego pochodne muszą być ciągłe, tzn. muszą zachodzić związki:

$\psi_1(-a)=\psi_2(-a)\;$ (11.23)	$\psi_2(a)=\psi_3(a)\;$ (11.24)
$\psi_1^'(-a)=\psi_2^'(-a)\;$ (11.25)	$\psi_2^'(a)=\psi_3^'(a)\;$ (11.26)

Na podstawie powyższych warunków otrzymujemy układ równań:

$\begin{cases} A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka+B_2\sin ka=0\\ A_1\kappa e^{-\kappa x}-A_2k\sin ka-B_2k \cos ka=0\\ B_3e^{-\kappa a}-A_2\cos ka-B_2\sin ka=0\\ -x\kappa B_3e^{-\kappa a}+A_2 \sin ka-B_2k \cos ka=0 \end{cases}\;$

(11.27)

Aby układ równań (11.27) miał niezerowe współczynniki musi być wyznacznik równy zero dla współczynników stojących przy niewiadomych.

$0=\begin{vmatrix} e^{-\kappa a}&-\cos ka&\sin ka&0\\ \kappa e^{-\kappa x}&-k\sin ka&-k\cos ka&0\\ 0&-\cos ka&-\sin ka&e^{-\kappa a}\\ 0&k\sin ka&-k\cos ka&-\kappa e^{-\kappa a} \end{vmatrix}=\;$ $=\begin{vmatrix} e^{-\kappa a}&-\cos ka&\sin ka&0\\ 0&-k\sin ka+\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka&0\\ 0&-\cos ka&-\sin ka& e^{-\kappa a}\\ 0&k\sin ka-\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka&0\end{vmatrix}=\;$ $= e^{-\kappa a}\begin{vmatrix} -k\sin ka+\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka&0\\ -\cos ka&-\sin ka&e^{-\kappa a}\\ k\sin ka-\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka&0 \end{vmatrix}=\;$ $= -e^{-2\kappa a}\begin{vmatrix} -k\sin ka+\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka\\ k\sin ka-\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka \end{vmatrix}=\;$ $= -e^{-2\kappa a}\begin{vmatrix} -k\sin ka+\kappa\cos ka&-k\cos ka-\kappa\sin ka\\ 0&-2k\cos ka-2\kappa\sin ka \end{vmatrix}=\;$ $=2e^{-2\kappa a}\left(-k\sin ka+\kappa\cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa\sin ka\right)\;$

(11.28)

Z wyznacznika (11.28) otrzymujemy wynik, który jest równy zero:

$\left(-k\sin ka+\kappa\cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa\sin ka\right)=0\;$

(11.29)

Rozwiązaniem równania (11.29) jest takie, że po skorzystaniu przy tym z twierdzenia o alternatywie równań, to rozwiązaniem powyższego równania są dwa równania łączące parametry k z parametrem κ, których te parametry zależą od energii cząstki kwantowej, więc dojdziemy do wniosku później, że energia cząstki jest skwantowana (dyskretna) w stanach związanych.

$\kappa=k\operatorname{tg} ka\;$ (11.30)

$\kappa=-k\operatorname{ctg} ka\;$ (11.31)

Współczynniki rozwiązań parzystych

Aby układ równań (11.27) miał rozwiązania w postaci niezerowych stałych, to musi być spełniona zależność (11.30) lub (11.31). Zajmijmy się dwiema pierwszymi równaniami (11.27) do którego podstawiamy wzór na κ (11.30):

$\begin{cases} A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka+B_2\sin ka=0\\ A_1k{{\sin ka}\over{\cos ka}}e^{-\kappa a}-A_2k\sin ka-B_2k\cos ka=0\Rightarrow A_1e^{-\kappa a}-A_2\cos ka-B_2{{\cos^2ka}\over{\sin ka}}=0 \end{cases}\;$

(11.32)

Możemy odejmnąc od siebie dwa równania ostatniego układu równań od siebie dochodząc do wniosku, że stała B₂ jest stałą równą zero.

$B_2\left(\sin ka+{{\cos^2ka}\over{\sin ka}}\right)=0\Rightarrow B_2=0\;$

Mając już wyliczoną stałą B₂ możemy wyznaczyć stałą A₂ z drugiego równania wynikowego układu równań (11.32), a także stałą B₃ z trzeciego równania układu równań (11.27), zatem wszystkie trzy stałe możemy napisać przy pomocy stałej A₁, oprócz stałej B₂ równą zero:

$\begin{cases} B_2=0\\ A_2=A_1e^{-\kappa a}/\cos ka\\ B_3=A_2e^{\kappa a}\cos ka=A_1e^{-\kappa a}/\cos ka e^{\kappa a}\cos ka=A_1\; \end{cases}$

(11.33)

Współczynniki rozwiązań nieparzystych

Mając rozwiązanie (11.31), zajmijmy się dwoma ostatnimi równaniami układu równań (11.27), możemy napisać:

$\begin{cases} B_3e^{-\kappa a}-A_2\cos ka-B_2\sin ka=0\\ k{{\cos ka}\over{\sin ka}} B_3e^{-\kappa a}+A_2k\sin ka-B_2k\cos ka=0\Rightarrow B_3e^{-\kappa a}+A_2{{\sin^2ka}\over{\cos ka}}-B_2\sin ka=0 \\ \end{cases}\;$

(11.34)

Odejmując od siebie dwa równania ostatniego układu równań, dochodzimy do wniosku, że stała $A_2\;$ jest równa zero:

$A_2\left({{\sin^2ka}\over{\cos ka}}-\cos ka\right)=0\Rightarrow A_2=0\;$

Znając już policzoną stałą A₂=0 możemy policzyć stałą B₂ z pierwszego równania układu równań (11.27), a także stałą B₃ przy pomocy trzeciego równania wspomnianego układu równań, do której wyznaczenia dalszego jest potrzebna wyznaczona stała B₂, którą podamy w tym samym układzie rozwiązań dla stałych poniżej. Wszystkie te stałe są w zależne od stałej A₁, nie licząc stałej A₂, która jest równa zero.

$\begin{cases} A_2=0\\ B_2=-A_1e^{-\kappa a}/\sin ka\\ B_3=B_2e^{\kappa a}\sin ka=-A_1e^{-\kappa a}/\sin kae^{\kappa a}\sin ka=-A_1\; \end{cases}\;$

(11.35)

Funkcje parzyste i nieparzyste

Mamy już rozwiązania parzyste dla (11.30) przy stałych (11.33) i nieparzyste dla (11.31) przy stałych (11.35), te oba rozwiązania dla skończonej studni potencjału są:

Funkcje parzyste dla (11.30)	Funkcje nieparzyste dla (11.31)
$\begin{cases} \psi_1=A_2\cos ka e^{\kappa (x+a)}\\ \psi_2=A_2\cos kx\\ \psi_3=A_2\cos ka e^{\kappa (a-x)} \end{cases}\;$ (11.36)	$\begin{cases} \psi_1=-B_3\sin ka^{\kappa (x+a)}\\ \psi_2=B_3\sin kx\\ \psi_3=B_3\sin kae^{\kappa (a-x)} \end{cases}\;$ (11.37)

Należy pamiętać, że funkcja $\psi_1\;$ jest dla przedziału $(-\infty,-a)\;$, funkcja $\psi_2\;$ dla $(-a,a)\;$, a także funkcja $\psi_3\;$ dla $(a,\infty)\;$. Ogólnie dla nieskończonego przedziału niech rozwiązaniem będzie funkcja $\psi\;$, którą można podzielić na poszczególne przedziały jak dla rozwiązania parzystego (11.36) i nieparzystego (11.37). Aby unormować rozwiązania parzyste (11.36) lub rozwiązania nieparzyste (11.37) należy dokonać całkowania z kwadratem:

$1=\int^{\infty}_{\infty}|\psi|^2dx=\left(\int_{-\infty}^{-a}+\int_{-a}^{a}+\int_{a}^{\infty}\right)|\psi|^2dx= \int_{-\infty}^{-a}|\psi|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi|^2dx=\;$ $\int_{-\infty}^{-a}|\psi_1|^2dx+\int_{-a}^{a}|\psi_2|^2dx+\int_{a}^{\infty}|\psi_3|^2dx\;$

(11.38)

Normowanie funkcji parzystych

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji typu parzystych (11.36) dla skończonej jamy potencjału o głębokości U pisząc całkę z kwadratu modułu funkcji parzystych w całym przedziale nieskończonym jednowymiarowym według (11.38).

$1=A_2^2\cos^2ka\int_{-\infty}^{-a}e^{2\kappa(a+x)}dx+A_2^2\int_{-a}^{a}\cos^2kx+ A_2^2\cos^2ka\int_{a}^{\infty}e^{2\kappa(a-x)}dx=\;$
$= {{A_2^2}\over{2\kappa}}\cos^2ka+{{A_2^2}\over{2}}\int_{-a}^{a}(1+\cos 2ka)dx+{{A_2^2}\over{2\kappa}}\cos^2ka= {{A_2^2}\over{\kappa}}\cos^2ka+A_2^2a+{{A_2^2}\over{2k}}\sin 2ka=\;$
$= A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}\cos^2ka+a+{{1}\over{k}}\sin ka\cos ka\right]\;$

Do powyższych przekształceń skorzystamy z rozwiązania parzystego (11.30) jako warunku łączącego te nasze dwa parametry w tym wspomnianym równaniu, czyli z tego wspomnianego równania $_{\kappa=k\operatorname{tg}ka\Rightarrow \cos ka={{k}\over{\kappa}}\sin ka}\;$ możemy wyjaśnić ile wynosi stała A₂ dla rozwiązań parzystych:

$1=A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}\cos^2ka+a+{{1}\over{k}}\sin ka {{k}\over{\kappa}}\sin ka\right]= A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}\left(\cos^2ka+\sin^2ka\right)+a\right]=\;$
$= A_2^2\left[{{1}\over{\kappa}}+a\right]= A_2^2{{\kappa a+1}\over{\kappa}}$

Warunek normujący funkcje parzyste (11.36) na podstawie powyższych obliczeń jest w postaci:

$A_2=\sqrt{{{\kappa}\over{\kappa a+1}}}\;$

(11.39)

Ta stała κ występująca w definicji stałej A₂ jest zależna od skwantowanej energii kwantowego układu, która wynika z normowania funkcji parzystych.

Normowanie funkcji nieparzystych

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji nieparzystych (11.37) w skończonej jamie potencjału o głębokości U z całkowaną z kwadratem w przypadku naszej funkcji własnej, które obowiązują w poszczególnych przedziałach sklejając je dochodzimy do wniosku, że one całkowite wypełniają przestrzeń nieskończoną i ta norma jest równa jeden:

$1=B_3^2\sin^2ka\int_{-\infty}^{-a}e^{2\kappa(a+x)}dx+B_3^2\int_{-a}^{a}\sin^2kx dx+B_3^2\sin^2kx\int_{-a}^{\infty}e^{2\kappa(a-x)}dx=\;$
$= {{B_3^2}\over{2\kappa}}\sin^2ka+{{B_3^2}\over{2}}\int_{-a}^{a}(1-\cos 2kx)dx+\sin^2ka{{B_3^2}\over{2\kappa}}= {{B_3^2}\over{\kappa}}\sin^2ka+B_3^2a-{{B_3^2}\over{2k}}\sin 2ka=\;$
$= {{B_3^2}\over{\kappa}}\sin^2ka+B_3^2a-{{B_3^2}\over{k}}\sin ka\cos ka\;$

Skorzystamy, ze wzoru (11.31) jako równania wiążące parametr κ z k, co przekształcając go do postaci $_{\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow\sin ka=-{{k}\over{\kappa}}\cos ka}\;$, to powyższy warunek normowania piszemy w postaci:

$1={{B_3^2}\over{\kappa}}\sin^2ka+B_3^2a-{{B_3^2}\over{k}}(-{{k}\over{\kappa}})\cos ka\cos ka= B_3^2\left[{{1}\over{\kappa}}\left(\sin^2ka+\cos^2ka\right)+a\right]\Rightarrow 1=B_3^2{{1+\kappa a}\over{\kappa}}\;$

Stała normująca dla funkcji nieparzystych jest wyrażona przy pomocy stałej κ, która z kolei zależy od skwantowanej energii układu:

$B_3=\sqrt{{{\kappa}\over{\kappa a+1}}}\;$

(11.40)

co kończy obliczenia dotyczące nieparzystych funkcji falowych.

Energie własne stanów związanych

Wykorzystując związki (11.15) i (11.20) wyznaczmy wyrażenie:

$(\kappa^2+k^2)a^2=\left(-{{2mE}\over{\hbar^2}}+{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\right)a^2={{2mUa^2}\over{\hbar^2}}=C^2\;$

(11.41)

Udowodniliśmy, że powyższe wyrażenie, nie zależy od energii cząstki, ale zależy od głębokości studni U. Podstawiamy warunek (11.30) dla rozwiązań parzystych do (11.41), dostajemy, że:

$\left(k^2\operatorname{tg}^2(ka)+k^2\right)a^2=C^2\Rightarrow (ka)^2\operatorname{tg}^2(ka)=C^2-(ka)^2\Rightarrow\operatorname{tg}(ka)={{\sqrt{C^2-(ka)^2}}\over{ka}}\;$

(11.42)

Powyżej przyjęliśmy, że tg(ka) jest dodatnie według (11.30). Podobnie dla odpowiedzi (11.31):

$\operatorname{ctg}^2(ka)={{C^2-(ka)^2}\over{(ka)^2}}\Rightarrow\operatorname{ctg}(ka)=-{{\sqrt{C^2-(ka)^2}}\over{ka}}\Rightarrow \operatorname{tg}(ka)=-{{ka}\over{\sqrt{C^2-(ka)^2}}}\;$

(11.43)

Ponieważ w (11.41) przyjęliśmy, że ctg(ka) jest wartością ujemną przy dodatnich k² (11.20) i κ² (11.15). Wykreślamy prawe strony równań (11.42) i (11.43) dla wszystkich możliwych wartości ka, dla których wykres wykreślanej funkcji ma sens, dla różnych stałych C, która również zależy od głębokości jamy potencjału według wzoru (11.41). Następnie wykreślamy wykres tangensa z argumentu ka, który jest lewą stroną wzorów (11.42) i (11.43). Aby obie strony były sobie równe, tzn. prawa i lewa obu równań, to na wykresie te dwa wykresy w ściśle określonych punktach powinny się pokrywać. I to jest właśnie rozwiązanie ka, z którego ze wzoru (11.20) możemy wyznaczyć skwantowaną energię cząstki. Ilość rozwiązań skwantowanych energii E zależy od głębokości jamy potencjału. dalsze powiększanie jamy powoduje wzrost liczby rozwiązań kwantowej energii całkowitej cząstki E.

Graficzne rozwiązanie równań (11.30) i (11.31). Punkty α,β,γ,δ odpowiadają energiom dla parzystych rozwiązań, a punkty α',β' odpowiadają energiom dla nieparzystych rozwiązań.

Według ostatniego rysunku widzimy, że dla skończonej jamy potencjału U istnieje co najmniej jedna wartość ka dla rozwiązań parzystych, ale dla rozwiązań nieparzystych w ogóle może nie istnieć odpowiednie ka.

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału nazywamy wyrażenie dla stanów parzystych (11.36) lub nieparzystych (11.37) ze stałą $A_2\;$(11.39) lub $B_2\;$(11.40), których ich ostateczna postać jest taka sama.

$P^{\pm}_S={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\int_{-a}^{a}\begin{Bmatrix} \cos^2kx\\ \sin^2kx\\ \end{Bmatrix}dx={{\kappa}\over{2(\kappa a+1)}}\int_{-a}^{a}\begin{Bmatrix} 1+\cos 2kx\\ 1-\cos 2kx \end{Bmatrix}dx=\;$ $={{\kappa}\over{2(\kappa a+1)}}\left[2a\pm{{1}\over{2k}}\sin 2k a\right]= {{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a\pm{{\sin 2ka}\over{2k}}\right]={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a\pm{{\sin ka\cos ka}\over{k}}\right]\;$

(11.44)

Jest to ogólny wzór na prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz studni potencjału. Dla rozwiązań parzystych obowiązuje wzór (11.30), z którego można napisać $_{\kappa=k\operatorname{tg} ka\Rightarrow \cos ka={{k\sin ka}\over{\kappa}}}\;$, zatem mając wzór (11.44), po wykorzystaniu tego dochodzimy do wniosku:

$P^+_S={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\sin (ka) k\sin (ka)}\over{k\kappa}}\right]={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\sin^2ka}\over{\kappa}}\right]\;$

(11.45)

Z elementarnych wiadomości trygonoometri, a także skorzystamy ze wzoru ze wzoru (11.30) i wyznaczmy zależność między kwadratem sinusa a kwadratem funkcji tangens.

${{1}\over{\sin^2ka}}={{\cos^2ka+\sin^2ka}\over{\sin^2ka}}=1+\operatorname{ctg}^2(ka)= 1+{{k^2}\over{\kappa^2}}={{\kappa^2+k^2}\over{\kappa^2}}\;$

(11.46)

Prawdopodobieństwa dla rozwiązań parzystych powstaje podstawiając odwrotność wyrażenia (11.46) do równania (11.45) wyrażające prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału.

$P^+_S={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa^2}\over{\kappa(\kappa^2+k^2)}}\right]= {{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa}\over{\kappa^2+k^2}}\right]={{\kappa}\over{\kappa a+1}}{{a\kappa^2+ak^2+\kappa}\over{\kappa^2+k^2}}=\;$ $={{\kappa^2(a\kappa+1)+ak^2\kappa+k^2-k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}= {{\kappa^2(a\kappa+1)+k^2(a\kappa+1)-k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}=\;$ $= {{(a\kappa+1)(\kappa^2+k^2)-k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}=1-{{k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}$

(11.47)

Dla rozwiązań nieparzystych obowiązuje wzór (11.31), z tego wzoru możemy otrzymać tożsamość $\kappa=-k\operatorname{ctg}ka\Rightarrow \sin ka=-{{k\cos ka}\over{\kappa}}\;$ i podstawiając go do (11.44) zaznaczaniem, że mamy do czynienia, ze stanami nieparzystymi:

$P^-_S={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\cos^2ka}\over{\kappa}}\right]\;$

(11.48)

Z elementarnych wiadomości o trygonometrii, mamy:

${{1}\over{\cos^2ka}}={{\cos^2ka+\sin^2ka}\over{\cos^2ka}}=1+\operatorname{tg}^2ka=1+{{k^2}\over{\kappa^2}}= {{\kappa^2+k^2}\over{\kappa^2}}\;$

(11.49)

Wzór (11.48) przy pomocy pomocniczych obliczeń (11.49) przyjmuje następną postać:

$P^-_S={{\kappa}\over{\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa}\over{\kappa^2+k^2}}\right]\;$

(11.50)

Wyrażenie (11.50) jest takie same jak wyrażenie (11.45), zatem dla obu przypadków mamy nie oznaczając je parzystością lub nieparzystością rozwiązań:

$P_S=1-{{k^2}\over{(\kappa a+1)(\kappa^2+k^2)}}\;$

(11.51)

Możemy wykorzystać wzory, które są definicjami pewnych stałych zależne od energii własnej układu, czyli od stałej (11.15) κ² i od stałej (11.20) k², i dalej należy je następnie podstawić do wzoru (11.51), dostajemy:

$P_S=1-{{E+U}\over{U}}{{1}\over{\sqrt{-{{2mE}\over{\hbar^2}}} a+1}}= 1-{{\hbar(E+U)}\over{U(\sqrt{-2mE}}a+\hbar)}\;$

(11.52)

Na podstawie wzoru (11.52) prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w studni potencjału, która jest niezależna od parzystości i nieparzystości rozwiązania dla naszego równania własnego, którą tutaj rozpatrywaliśmy dla naszej studni potencjału o skończonej objętości, ale jest za to zależna od energii E uzyskanej z (11.30) (rozwiązanie parzyste) lub z (11.31) (rozwiązanie nieparzyste).

Stany rozproszeniowe

W stanach rozproszeniowych całkowita energią cząstki jest większa niż maksymalny potencjał studni potencjału. Dla stanów stacjonarnych równanie Schrödingera dla obszarów 1 i 3, w których potencjał skalarny znika i jego równanie opisujących ten stan jest:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(11.53)

Dla obszaru 2-ego istnieje równanie stacjonarne, w którym mamy potencjał skalarny o wartości -U, piszemy:

$-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}\psi-U\psi=E\psi\Rightarrow {{d^2}\over{dx^2}}\psi=-{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(11.54)

W ostanich dwóch równaniach wprowadźmy dwie stałe, które są zależne od dodatniej energii układu stanu rozproszeniowego i ta druga stała jest zależna od głębokości studni potencjału U, są one napisane wedle:

$k^2={{2mE}\over{\hbar^2}}\;$ (11.55)

$\kappa^2={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}\;$ (11.56)

Prz definicjach stałych (11.55)($k^2\;$) i (11.56)($\kappa^2\;$) równania różniczkowe (11.53) (stan 1 i 3) i (11.54) (stan 2) przyjmują wygląd:

${{d^2}\over{dx^2}}\psi=-k^2\psi\;$ :obszar 1 i 3 (11.57)

${{d^2}\over{dx^2}}\psi=-\kappa^2\psi\;$ :obszar 2 (11.58)

Rozwiązania dla wszystkich obszarów wedle dwóch ostatnich rozwiązań są przedstawiane:

$\psi(x)=\begin{cases} Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&\mbox{ dla }x<-a\\ Ce^{i\kappa x}+De^{-i\kappa x}&\mbox{ dla }|x|<a\\ Fe^{ikx}+Ge^{-ikx}&\mbox{ dla }x>a \end{cases}\;$

(11.59)

Powyższe trzy równania należy zszyć dla punktów |x|=a, dla także dla ich pochodnych, by te wielkości w tych punktach były ciągłe, zatem mamy cztery równania, a sześć niewiadomych, a do tego dochodzi nienormowalność funkcji falowych symbolizującej fale płaskie. Można powiedzieć, że fala płaska dociera z lewej strony (ze strony x równy minus nieskończoność), dla punktu x=-a, część fali ulega odbicia, a następna część dobiega do drugiej granicy studni potencjału, tzn. x=a, i tak ulega ponownemu częściowemu odbiciu. Ze strony x>a, nie ma żadnej fali, która biegnie do studni potencjału i tam należy przyjąć, że G=0.

Współczynnik odbicia i transmisji

Współczynniki odbicia R i transmisji T definiujemy za pomocą kwadratów modułów odpowiednich stałych występujące w rozwiązaniu falowym równania niezależnego od czasu dla stanów rozproszeniowych, zatem współczynnik odbicia jest to stosunek kwadratu modułu stałej B przez kwadrat modułu stałej A, a współczynnik transmisji jest to stosunek kwadratu modułu stałej F przez kwadrat modułu stałej A. Należy zauważyć, że stałe B i F trzeba wyrazić przez stałą A, co o tym będziemy pamiętać i tak będziemy robić.

$R={{|B|^2}\over{|A|^2}}\;$ (11.60)

$T={{|F|^2}\over{|A|^2}}\;$ (11.61)

Widzimy, że przy wybranej metodzie dla funkcji falowych tracimy jego metodę probabilistyczną, tzn. nie możemy liczyć prawdopodobieństwa znalezienia pewnej cząstki w specjalnie obranym obszarze. Ciągłość funkcji i jej pochodnych będziemy badać dla punktu x=-a i x=a. Zatem ciągłość funkcji falowych dla x=-a prowadzi do warunku:

$Ae^{-ika}+Be^{ika}=Ce^{-i\kappa a}+De^{i\kappa a}\;$

(11.62)

Ciągłość pochodnych w tym samym punkcie prowadzi do następnego warunku:

$Ake^{-ika}-Bke^{ika}=C\kappa e^{-i\kappa a}-D\kappa e^{i\kappa a}\;$

(11.63)

Ciągłość funkcji (11.59) dla punktu x=a prowadzi do równania:

$Ce^{i\kappa a}+De^{-i\kappa a}=Fe^{ika}\;$

(11.64)

A ciągłość pochodnych w tym samym punkcie dla takiego samego układu równań prowadzi do wzoru:

$C\kappa e^{i\kappa a}-D\kappa e^{-i\kappa a}=Fke^{ika}\;$

(11.65)

Równania (11.62), (11.63), (11.64) i (11.65) stanowi układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi. Zajmijmy się równaniami (11.64) i (11.65), wymnażając te pierwsze równanie obustronnie przez stałą $\kappa\;$:

$\begin{cases} C\kappa e^{i\kappa a}+D\kappa e^{-i\kappa a}=F\kappa e^{ika}\\ C\kappa e^{i\kappa a}-D\kappa e^{-i\kappa a}=Fke^{ika} \end{cases}\;$

(11.66)

Dwa równania ostatniego układu, tzn. układu równań (11.66) i odejmijmy je od siebie dostając równanie przy wyznaczaniu stałej C w zależności od stałej F:

$2C\kappa e^{i\kappa a}=F(k+\kappa)e^{ika}\Rightarrow C={{F}\over{2}}\left(1+{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika-i\kappa a}\;$

(11.67)

I następne otrzymane równanie według wcześniejszych omówień, tym razem dodając je do siebie dostając teraz stałą D w zależności od stałej F:

$2D\kappa e^{-i\kappa a}=F(\kappa-k)e^{ika}\Rightarrow D={{F}\over{2}}\left(1-{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika+i\kappa a}\;$

(11.68)

Kolejny etapem rozwiązania układu równań jest wykorzystanie równań (11.62) i (11.63) i podstawienie do nich za stałą C wyliczoną w punkcie (11.67) i stałej D obliczoną w punkcie (11.68), te owe równania możemy zapisać w postaci:

$\begin{cases} Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F}\over{2}}\left(1+{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika-2i\kappa a}+{{F}\over{2}}\left(1-{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika+2i\kappa a}\\ Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F}\over{2}}\left(k+\kappa\right)e^{ika-2i\kappa a}-{{F}\over{2}}\left(\kappa-k\right)e^{ika+2i\kappa a}\\ \end{cases}\;$

(11.69)

Następnym chwytem jest zastąpienie funkcji wykładniczej $e^{\pm 2ika}\;$ odpowiednimi funkcjami trygometrycznymi $\cos2ka\pm i\sin 2ka\;$ które oznaczają tą samą wielkość zespoloną.

$\begin{cases} Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F}\over{2}}\left(1+{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika}\left(\cos 2ka-i\sin 2ka\right)+{{F}\over{2}}\left(1-{{k}\over{\kappa}}\right)e^{ika}\left(\cos 2ka+i\sin 2ka\right)\\ Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F}\over{2}}\left(k+\kappa\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a-i\sin 2\kappa a\right)-{{F}\over{2}}\left(\kappa-k\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a+i\sin 2\kappa a\right)\end{cases}\;$

(11.70)

Po dalszych przekształceniach dostajemy:

$\begin{cases}Ae^{-ika}+Be^{ika}=Fe^{ika}\cos 2ka-iF{{k}\over{\kappa}}e^{ika}\sin 2ka\\ Ae^{-ika}-Be^{ika}=Fe^{ika}\cos 2ka-iF{{\kappa}\over{k}}e^{ika}\sin 2ka \end{cases}\;$

(11.71)

Możemy dodać do siebie dwa równania układu równań (11.71):

$2Ae^{-ika}=2Fe^{ika}\cos 2ka-iFe^{ika}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka\Rightarrow F={{Ae^{-ika}}\over{e^{ika}\cos 2ka-{{i}\over{2}}e^{ika}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka}}\;$

Licznik i mianownik wyrażenia na F ostatnio napisanego mnożymy przez funkcję eksponencjalną zespoloną,. tzn. e^ika, dostajemy jego odpowiednik w bardziej uproszczonej postaci:

$F={{Ae^{-2ka}}\over{\cos 2ka-{{i}\over{2}}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka}}\;$

(11.72)

By wyznaczyć stałą B odejmijmy oba równania od siebie układu równań (11.71) i wyrażając je na razie za pomocą stałej F:

$2Be^{ika}=-iF\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)e^{ika}\sin 2ka\Rightarrow B=-{{i}\over{2}}F\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka\;$

(11.73)

Wtedy ostatecznie stałą B wedle końcowych obliczeń (11.73) wyznaczyć możemy przy pomocy stałej κ (11.15) i stałej k (11.20) i podstawiamy do niej wyrażenie na stałą F (11.72), która jest wyrażona przy pomocy stałej A:

$B={{{{i}\over{2}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka}\over{\cos 2ka-{{i}\over{2}}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka}}Ae^{-2ika}\;$

(11.74)

Do obliczeniach współczynników C i D wystarczą wzory (11.67) i (11.68) oraz wyrażenie F poprzez A, wystarczy skorzystać ze wzoru (11.72). Wyznaczmy kwadrat modułu wyrażenia występującej w miianowniku (11.74):

$\left|\cos 2ka-{{i}\over{2}}\left({{k}\over{\kappa}}+{{\kappa}\over{k}}\right)\sin 2ka\right|^2= \cos^22ka+{{1}\over{4}}\left({{k^2+\kappa^2}\over{\kappa k}}\right)^2\sin^22ka=\;$ $= \cos^22ka+{{1}\over{4}}{{k^4+\kappa^4+2k^2\kappa^2}\over{\kappa^2k^2}}\sin^22ka= 1+\sin^2(2ka)\cdot{{k^4+\kappa^4+2k^2\kappa^2-4\kappa^2k^2}\over{4\kappa^2k^2}}=\;$ $= 1+\sin^2(2ka){{k^4+\kappa^4-2k^2\kappa^2}\over{4\kappa^2k^2}}= 1+\sin^2(2ka){{1}\over{4}}\left({{k^2-\kappa^2}\over{\kappa k}}\right)^2= 1+\sin^2(2ka){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\;$

(11.75)

Współczynniki odbicia (11.60) (R) zdefiniowanej przy pomocy (11.74) i transmisji (11.61) (T) przy pomocy (11.72) przedstawiają się:

$R={{ {{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2\sin^2 2ka}\over{1+\sin^2(2ka){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;$ (11.76)

$T={{1}\over{1+\sin^2(2ka){{1}\over{4}}\left({{k}\over{\kappa}}-{{\kappa}\over{k}}\right)^2}}\;$ (11.77)

Od razu widać, że współczynniki odbicia (11.76) i transmisji (11.77), co jest trywialne, spełniają na pewno nastepującą zależność:

$1=R+T\;$

(11.78)

Co obrazuje prawo zachowania liczby cząstek odbitych i przechodzących przez skończoną studnię potencjału.

Rezonanse

Współczynniki odbicia i transmisji mają jeszcze jedną właściwość, gdy spełniony jest warunek:

$\sin 2\kappa a=0\Rightarrow 2\kappa a=n \pi\;$

(11.79)

Wtedy współczynniki odbicia R =0 (11.76) i transmisji T=1 (11.77), czyli dochodzimy do wniosku, że wszystkie cząstki przechodzą przez studnię potencjału. Możemy skorzystać ze wzoru na $_{\kappa^2}\;$ (11.56) i biorąc końcowy warunek wynikowy (11.79):

$n\pi=2\sqrt{{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}}a\Rightarrow {{n^2\pi^2}\over{4}}={{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}a^2\Rightarrow E+U={{n^2\pi^2\hbar^2}\over{8m a^2}}\;$

(11.80)

Dla stanów rezonansowych energia cząstki w zależności od liczby kwantowej "n" z jej własności uwikłanej (11.80) jest zapisana wzorem:

$E=-U+{{n^2\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\;$

(11.81)

Wzór (11.81) przestawia energię cząstki dla stanów rozproszeniowych, gdy dana cząstka znajduje się w stanie rezonansu.

Dyskusja nad energiami rezonansowymi nad rozpraszaniem niskoenergetycznym

Wprowadźmy oznaczenie głębokości potencjału U zdefiniowanej przy pomocy nowej stałej v:

$U={{v^2\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\;$

(11.82)

Wyrażenie na energię stanów rozproszeniowych rezonansowych (11.81), którego można zapisać jako głębokość studni potencjału zdefiniowanego w (11.82), który jest zapisany przy pomocy parametry v, zatem całkowita energia cząstki jest przedstawiana w sposób:

$E=(n^2-v^2){{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}=(n+v)(n-v){{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\;$

(11.83)

Ale (11.83) zachodzi dla stanów rezonansowych, to energia tych stanów zwanych stanami rozproszeniowymi w porównaniu z głębokością studni, gdy mamy rozpraszanie niskoenergetyczne, to całkowita energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż głębokość studni:

$E<<U\Rightarrow (n^2-v^2){{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}<<v^2{{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\Rightarrow n^2{{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}<<2v^2 {{v^2\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\Rightarrow \;'$
$\Rightarrow n^2<<2v^2\Rightarrow n<<\sqrt{2}v\;$

to dla stanów zwanych rozproszonymi nazywamy energię E dla których zachodzi $n>v\;$, to można zapisać przy pomocy p, który jest ograniczony do najbliższych liczb naturalnych, bo zachodzi ostatnie wyrażenie, czyli zachodzi własność $p<<v\;$, dla której powinno mieć miejsce:

$n=[v]+p\;$

(11.84)

• gdzie: $[v]\;$ jest to największa liczba całkowita nieprzekraczająca v.

Można napisać na podstawie wcześniejszych obliczeń i przestawienia liczby n poprzez liczby p i v, czyli poprzez wzór (11.84), na podstawie tego możemy powiedzieć:

$n<<\sqrt{2}v\Rightarrow [v]+p<<\sqrt{2}v\Rightarrow p<<\sqrt{2}v-[v]\Rightarrow {{p}\over{v}}<<v\left(\sqrt{2}-{{[v]}\over{v}}\right)\;$

Nasz stosunek $_{{{p}\over{v}}}\;$ wedle ostatnich rozważań możemy napisać, dla której $_{0\leq{{[v]}\over{v}}\leq 1}\;$ jest liczbą bardzo małą dodatnią, czyli zachodzi $_{p<<v}\;$, zatem możemy napisać wzór na energię rezonansowe w niskoenergetycznym rozpraszaniu wedle sposobu:

$E=([v]+p+v)([v]+p-v){{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}\simeq 2vp{{\pi^2\hbar^2}\over{8ma^2}}=vp{{\pi^2\hbar^2}\over{4ma^2}}\;$

(11.85)

Relację na głębokość studni (11.82), którego wyznaczmy wielkość v i podstawimy to do wzoru (11.85), dostajemy wzór na energię całkowitą cząstki dla stanów rozproszeniowych, w zalezności od liczby kwantowej p i za pomocą głębokości studni potencjału:

$E=p\sqrt{{{U8ma^2}\over{\pi^2\hbar^2}}}{{\pi^2\hbar^2}\over{4ma^2}}=p{{\pi\hbar}\over{a}}\sqrt{{{U}\over{2m}}}\;$

(11.86)

Odległość między najbliższymi poziomami rezonansowymi na podstawie wzoru napisanego w punkcie (11.86) możemy zapisać w schematycznej postaci:

$\Delta E^{rez}=E^{rez}_{p+1}-E^{rez}_p={{\pi\hbar}\over{a}}\sqrt{{{U}\over{2m}}}\;$

(11.87)

Widzimy, że według wzoru (11.87) odległość między stanami rezonansowymi zależy od głębokości studni potencjału i innych parametrów, tzn. parametrów charakteryzujących samą cząstkę, czyli od jego masa, i szerokości studni potencjału o głębokości U, czyli od wielkości "a".

Rozpraszanie niskoenergetyczne

Rozpatrzmy stany rozproszeniowe, czyli dla których panuje energia stanów rozproszeniowych E>0 niskoenergetycznych i głębokość studni jest o wiele większa niż energia cząstki czyli stany niskoenergetyczne $E<<U\;$ lub równoważnie można zapisać:

${{E}\over{U}}<<1\;$

(11.88)

Możemy wykorzystać wzory (11.55)($k\;$) i (11.56)($\kappa\;$), można zapisać stosunek tej drugiej stałej przez pierwszą, dojdziemy do wniosku, że ten obiekt jest o wiele większy od jedynki, a więc jego odwrotność jest o wiele mniejsza od jedynki.

${{\kappa}\over{k}}={{\sqrt{{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}}}\over{\sqrt{{{2mE}\over{\hbar^2}}}}}=\sqrt{{{E+U}\over{E}}}= \sqrt{1+{{U}\over{E}}}>>1\Rightarrow {{k}\over{\kappa}}<<1\;$

(11.89)

Przy warunku (11.89) współczynnik odbicia R (11.76) i transmisji T (11.77) dla rozpraszania niskoenergetycznego możemy zapisać wedle sposobu:

$T={{1}\over{1+{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22ka}}\;$ (11.90)

$R={{{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22ka}\over{1+{{\kappa^2}\over{4k^2}}\sin^22ka}}\;$ (11.91)

Gdy zachodzi $E\rightarrow 0\;$, dochodzimy do wniosku, że ${{k}\over{\kappa}}\rightarrow 0\;$, co wynika ze wzoru (11.55), to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:

$R\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}0\;$ (11.92)

$T\xrightarrow[E\rightarrow 0]{}1\;$ (11.93)

Dla rozpraszania niskoenergetycznego liczba cząstek odbitych od studni potencjału jest równa zero, a liczba cząstek przechodzących jest ich w istocie sto procent.

Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki

Możemy wykorzystać definicję stałych (11.55)($k^2\;$) i (11.56)($\kappa^2\;$), to wzory na współczynnik odbicia R (11.90) i na współczynnik transmisji T (11.91) przy rozpraszaniu niskoenergetycznymi, wiedząc jeszcze, że zachodzi warunek na naszych wspomnianych parametrach:

${{\kappa^2}\over{k^2}}={{E+U}\over{E}}\;$

(11.94)

wtedy te owe współczynniki "R" i "T" przedstawiamy dla bardzo dużej głębokości studni potencjału U w postaci:

$R={{ {{E+U}\over{4E}}\sin^2\left(2\sqrt{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}a\right)}\over{1+{{E+U}\over{4E}}\sin^2\left(2\sqrt{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}a\right)}}\;$ (11.95)

$T={{1}\over{1+{{E+U}\over{4E}}\sin^2\left(2\sqrt{{2m(E+U)}\over{\hbar^2}}a\right)}}$ (11.96)

Poniżej przedstawiono wykresy zależności współczynnika transmisji T od energii cząstki:

Wykres zależności współczynnika transmisji od stosunku energii przez głębokość studni, współczynniki tak dobrano by wykres był wyraźny.

Szerokość rezonansów

Ostatni wykres sugeruje, że rezonanse są bardzo cienkie, w tym celu wprowadźmy funkcję, która z oczywistych powodów zależy od energii cząstki E, a także od głębokości studni potencjału:

$f(E)={{1}\over{2}}\sqrt{{{U+E}\over{E}}}\sin\left[2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}\left(U+E\right)}\right]\;$

(11.97)

wtedy wyrażenie na współczynnik transmisji T (11.96) dla rozpraszania niskoenergetycznego, ale przy pomocy wzoru (11.97), zapisujemy jako funkcję energii cząstki znajdującej się w skończonej studni potencjału lub poza nią:

$T(E)={{1}\over{1+f^2(E)}}\;$

(11.98)

Gdy zachodzą rezonanse (częstości rezonansowe), wtedy T(E)=1 (11.98), co stąd wynika patrząc na nasz wspomniany wzór, że dla funkcji (11.97) własność jest takowa:

$f(E^{rez})=0\;$

(11.99)

Rozwijamy w szereg Taylora funkcję f(E), dla bardzo małych ΔE (wokół punktów rezonansowych E^rez, która jest małą liczbą z porównaniu z energiami rezonansowymi), dla których oczywiście mamy:

$E=E^{rez}+\Delta E\;$

(11.100)

Możemy rozłożyć wzór (11.97) w szereg Taylora wokół punku rezonansowego na podstawie tożsamości zachodzącej wedle (11.100), korzystając przy tym, gdy we wzorze (11.97) mamy energię rezonansową i pomijając w tym szeregu wyrazy drugiego rzędu i wyższe:

$f(E)=f(E^{rez})+\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\Delta E+...\simeq\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\Delta E\;$

(11.101)

Transmisja T (11.98) po podstawieniu do niego równania przybliżonego (11.101), który jest spełniony w małym otoczeniu energii rezonansowej, który to wzór przyjmuje postać:

$T(E)={{1}\over{1+(\Delta E)^2\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)^2_{E=E^{rez}}}}\;$

(11.102)

Transmisja T (11.102) ma wartość 1/2, zatem powinno być, że iloczyn wielkości ΔE, która jest różnicą energii rezonansu i energii, dla której T(E) przyjmuje maksymalną wartość, przez pochodną funkcji cząstkowej funkcji f(E) względem energii, co obrazujemy:

$(\Delta E)^2\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}=1\;$

(11.103)

Wyznaczmy pochodną cząstkową funkcji f(E) zdefiniowaną w punkcie (11.101) względem energii cząstki E:

${{\partial f(E)}\over{\partial E}}={{d}\over{dE}}\left({{1}\over{2}}\sqrt{{{U+E}\over{E}}}\sin\left[2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}\left(U+E\right)}\right]\right)=\;$ $={{1}\over{2}}\Bigg\{-{{U}\over{2E^2}} \sqrt{{E}\over{U+E}}\sin\left[2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}\left(U+E\right)}\right]+\;$ $+ \sqrt{{{U+E}\over{E}}}\cos\left[2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}\left(U+E\right)}\right]\cdot 2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}}{{1}\over{2\sqrt{U+E}}} \Bigg\}$

(11.104)

Liczymy powyższą pochodną dla rezonansu, jeśli mamy dla 2κa=nπ, to zachodzi na pewno wynikającego z poprzedniego warunku $\sin 2ka=0\;$, czyli również można powiedzieć:

$\cos 2ak=\cos\left[2a\sqrt{{{2m}\over{\hbar^2}}\left(U+E\right)}\right]=\pm 1\;$

(11.105)

Pochodną cząstkową wyrażenia (11.97), przy znajomości tożsamości zachodzącej wedle punktu (11.105), dla punktów rezonansowych, można napisać:

$\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}= {{1}\over{2}}\sqrt{{{U+E^{rez}}\over{E^{rez}}}}a\sqrt{{2m}\over{\hbar^2(U+E^{rez})}}= \pm{{a}\over{\hbar}}\sqrt{{m}\over{2E^{rez}}}\;$

(11.106)

Jeśli zachodzi (11.106), to na podstawie wzoru (11.104) różnica energii pomiędzy rezonansem a wartością wielkości energii E, gdy transmisja T wynosi 1/2, jest napisana wzorem w zależności od energii rezonansowej w sposób:

$\Delta E={{1}\over{\left|\left({{\partial f(E)}\over{\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\right|}}= {{\hbar}\over{a}}\sqrt{{{2E^{rez}}\over{m}}}={{\hbar^2}\over{ma}}\sqrt{{{2mE^{rez}}\over{\hbar^2}}}= {{\hbar^2}\over{ma}}{k}^{rez}\;$

(11.107)

Szerokość rezonansowa definiujemy jako podwojona wartość bezwzględnej odległości energii rezonansowej od energii, w którym transmisja jest równa wartości połowie jedynki.

$\Gamma=2\Delta E={{2\hbar^2}\over{ma}}\sqrt{{{2mE^{rez}}\over{\hbar^2}}}={{2\hbar^2}\over{ma}}k^{rez}\;$

(11.108)

Jak widzimy, na podstawie wzoru (11.108), że szerokość rezonansu rośnie wraz z energią rezonansową E^rez. Widzimy, że szerokość rezonansów zależy od energii E^rez, w której występuje rezonans, od masy rozważanej cząstki dla studni potencjału, a także od jej szerokości. Wyznaczmy stosunek szerokości połówkowej rezonansu (11.108) przez odległość między rezonansami (11.87):

${{\Gamma}\over{\Delta E^{rez}}}= {{2\hbar}\over{a}}\sqrt{{{2E^{rez}}\over{m}}}{{a}\over{\pi\hbar}}\sqrt{{{2m}\over{U}}}={{4}\over{\pi}}\sqrt{{{E^{rez}}\over{V_0}}}<<1\;$

(11.109)

bo energia rezonansowa jest o wiele mniejsza niż głębokość studni przy rozpraszaniu niskoenergetycznym, zatem szerokość rezonansowa jest o wiele mniejsza niż odległość pomiędzy rezonansami.

Wybrane zagadnienia kwantowej fizyki klasycznej dla Hamiltonianu niezależnego od czasu

Równanie Ehrenfesta

Wiemy, że wartość średnia operatora $\hat{O}$ przy zadanych funkcjach falowych w mechanice kwantowej, jest zdefiniowana wzorem (9.1), więc dokonajmy wyliczenia pochodnej zupełnej względem czasu tejże omawianej średniej względem czasu, tą pochodną zupełną wkładamy pod całkę po prawej stronie definicji używanej tutaj wielkości, zamieniając ją na pochodną cząstkową względem czasu wyrażenia podcałkowego, który występuje pod całką, i który to z kolei z twierdzenia pochodnej iloczynu możemy tą wielkość bardziej rozpisać:

${{d\overline{O}}\over{dt}}=\int \left\{{{\partial \psi^*}\over{\partial t}}\hat{O}\psi+\psi^*\hat{O}{{\partial\psi}\over{\partial t}}+\psi^*{{\partial \hat{O}}\over{\partial t}}\psi\right\}d\tau$

(12.1)

Z równania falowego zależnego od czasu wyznaczmy pochodną czasową funkcji czasowej z równania (10.1), czyli te równania (10.44) (równanie falowe zależne od czasu) i (10.45) (sprzężone po zespolonemu równanie falowe zależne od czasu) podstawiamy do równania (12.1), otrzymujemy inne wynikowe równanie:

${{d\overline{O}}\over{dt}}=\int\left[\left({{i}\over{\hbar}}\right)\hat{H}^*\psi^*\hat{O}\psi+ \int\psi^*\hat{O}{{-i}\over{\hbar}}\hat{H}\psi+\int \psi^*{{\partial \hat{O}}\over{\partial t}}\psi\right]d\tau=$ $=\int\left[\psi^*\left({{i}\over{\hbar}}\hat{H}\right)\hat{O}\psi+ \int\psi^*\hat{O}{{-i}\over{\hbar}}\hat{H}\psi+\int \psi^*{{\partial \hat{O}}\over{\partial t}}\psi\right] d\tau$

(12.2)

Korzystając z definicji komutatora równanie (12.2) przechodzi w równoważne bardziej mniej skomplikowane równanie, którego jak widzimy, że średnia wartość danego operatora zależy od wartości średniej komutatora $_{\left[\hat{H},\hat{O}\right]}\;$ i od wartości średniej pochodnej cząstkowej względem czasu operatora dla której liczymy tą średnią:

${{d\overline{O}}\over{dt}}=\int\psi^*\left[{{i}\over{\hbar}}[\hat{H},\hat{O}]+{{\partial \hat{O}}\over{\partial t}}\right]\psi d\tau$

(12.3)

Biorąc definicję wartości średniej (9.1) znane z mechaniki kwantowej jako postulat trzeci, to równanie na zmianę wartości średniej w czasie (12.3) przechodzi w równoważne równanie:

${{d\overline{O}}\over{dt}}={{i}\over{\hbar}}\overline{[\hat{H},\hat{O}]}+\overline{{{\partial \hat{O}}\over{\partial t}}}$

(12.4)

Jeśli zachodzi (12.4) dla wartości średniej operatora $\hat{O}\;$, to zmiana operatora $\hat{O}\;$ w czasie policzona jest jako pochodna zupełna:

${{d\hat{O}}\over{dt}}={{i}\over{\hbar}}[\hat{H},\hat{O}]+{{\partial\hat{O}}\over{\partial t}}\;$

(12.5)

Równanie Ehrenfesta dla cząstki bez potencjału wektorowego magnetycznego

Niech operator$\hat{O}$ będzie operatorem pędu$\hat{p}\;$, który nie zależy od czasu, zatem policzmy komutator dla Hamiltonianu z definiowanego w (5.28), gdy potencjał wektorowy magnetyczny jest równy zero:

$\left[\hat{H},\hat{p}\right]=\left({{\hat{p}^2}\over{2m}}+V(r)\cdot\right)\hat{p}-\hat{p}\left({{\hat{p}^2}\over{2m}}+V(r)\cdot\right)= {{\hat{p}^3}\over{2m}}+V(r)\hat{p}-{{\hat{p}^{3}}\over{2m}}-\hat{p}V(r)\cdot=$ $=-\hat{p}V(r)\cdot+V(r)\hat{p}=-\hat{p}V(r)-V(r)\hat{p}+V(r)\hat{p}=-\hat{p}V(r) =-(-i\hbar)\nabla V(r)$

(12.6)

Wyliczony komutator w (12.6) podstawiamy do równania (12.4) i po krótkich przekształceniach dochodzimy do wniosku, że pochodna zupełna średniej pędu względem czasu jest równa średniej z gradientu potencjału skalarnego V(r):

${{d\overline{p}}\over{dt}}={{i}\over{\hbar}}i\hbar\overline{\nabla V(r)}\Rightarrow {{d\overline{p}}\over{dt}}=-\overline{\operatorname{grad}V(r)}$

(12.8)

Powyższy średni gradient można potraktować jako definicję siłę znanej z mechaniki klasycznej Newtona:

$\vec{F}=-\operatorname{grad}V(r)$

(12.9)

A średnią wielkość operatora pędu oznaczmy jako pęd cząstki znany z tej samej mechaniki co poprzednio i w ten sposób dostaliśmy drugie prawo Newtona.

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Wiadomo jednak, że gęstość prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej klasycznej zdefiniowana jest jako moduł kwadratu funkcji falowej opisywanej dany stan kwantowy:

$\rho(\vec{r},t)=|\psi|^2=\psi^{*}\psi\;$

(13.1)

Korzystając przy tym z równań (10.44) (równania zależnego od czasu równania Schrödingera) i (10.45) (sprzężonego po zespolonemu do równania Schrödingera), to pochodna cząstkowa gęstości prawdopodobieństwa (13.1) względem czasu:

${{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}={{\partial \psi^*\psi}\over{\partial t}}=\psi^{*}{{\partial \psi}\over{\partial t}}+\psi{{\partial \psi^{*}}\over{\partial t}}=\psi^{*}{{\hat{H}\psi}\over{i\hbar}}-\psi{{\hat{H}^*\psi^{*}}\over{i\hbar}}= {{1}\over{i\hbar}}\left\{\psi^{*}\hat{H}\psi-\psi\hat{H}^*\psi^{*}\right\}\;$

(13.2)

Operator energii całkowitej cząstki z uwzględnieniem potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się według wzoru (5.31), przy wykorzystaniu równania (13.2):

${{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}={{1}\over{i\hbar}}\left\{ \psi^{*}\left[{{\left(-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right)^2}\over{2m}}+q\phi\right]\psi- \psi\left[{{\left(-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right)^2}\over{2m}}+q\phi\right]^*\psi^{*} \right\}=$ $={{1}\over{2mi\hbar}}\left\{\psi^*\left[-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right]^2\psi-\psi{\left[-i\hbar\nabla-q\vec{A}\right]^2}^*\psi^*\right\}=$ $={{1}\over{2mi\hbar}}\Bigg\{ \psi^*\left[-\hbar^2\nabla^2+q^2\vec{A}^2+i\hbar q\nabla\vec{A}\cdot+i\hbar q\vec{A}\nabla\right]\psi+$ $-\psi\left[-\hbar^2\nabla^2+q^2\vec{A}^2+i\hbar q\nabla\vec{A}\cdot+i\hbar q\vec{A}\nabla\right]^*\psi^* \Bigg\}=$ $={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+ {{q}\over{2m}}\left[\psi^*\nabla\vec{A}\psi+\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\nabla\vec{A}\psi^*+\psi\vec{A}\nabla\psi^*\right]=\;$ $={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+$ $+ {{q}\over{2m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi^*\left(\nabla\vec{A}\right)\psi+\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec{A}\nabla\psi^*+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi\vec{A}\nabla\psi^* \right]=\;$ $={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi\nabla^2\psi^*-\psi^*\nabla^2\psi\right]+ {{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi^*\vec{A}\nabla\psi\right]\;$

(13.3)

Na podstawie (13.3) udowodniliśmy złożoną tożsamość, która mamy zamiar uprościć.

${{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}+{{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*\right]- {{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\left(\nabla\vec{A}\right)\psi^*+\psi^*\vec{A}\nabla\psi\right]=0\;$

(13.4)

Z definiujmy wyrażenie, które nazwiemy gęstością prądu prawdopodobieństwa i napiszemy go przy pomocy potencjału wektorowego magnetycznego i funkcji falowej opisującej cząstkę:

$\vec{j}={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\right]-{{q}\over{m}}\vec{A}\psi^*\psi\;$

(13.5)

Wyznaczmy dywergencję wielkości zdefiniowanej w (13.5), czyli gęstości prądu prawdopodobieństwa $_{\vec{j}}\;$:

$\nabla \vec{j}={{\hbar}\over{2mi}}\left[\nabla\psi^*\nabla\psi+\psi^*\nabla^2\psi-\nabla\psi\nabla\psi^*-\psi\nabla^2\psi^*\right]+$ $-{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec{A}\nabla\psi^*+\psi^*(\nabla\vec{A})\psi\right]=\;$ $={{\hbar}\over{2mi}}\left[\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*\right]-{{q}\over{m}}\left[\psi^*\vec{A}\nabla\psi+\psi\vec {A}\nabla\psi^*+\psi^*(\nabla\vec{A})\psi\right]\;$

(13.6)

Drugi i trzeci składnik razem wzięte w (13.4) są identyczne jak dywergencja gęstości prądu prawdopodobieństwa (13.6), zatem wyrażenie (13.4) piszemy:

${{\partial \rho(\vec{r},t)}\over{\partial t}}+\nabla\vec{j}=0\;$

(13.7)

Równanie (13.7) jest równaniem ciągłości znane z mechaniki kwantowej klasycznej z gęstością prądu zdefiniowaną w (13.5).

Cząstki o spinie połówkowym

Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron. W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0. Zależność między momentem magnetycznym, a spinem przyjmuje postać:

$\mu_z=2gs_z\Rightarrow\mu_z=2\underbrace{{{e}\over{2m_e}}}_{g}s_z\Rightarrow \mu_z=\underbrace{{{e}\over{m_e}}}_{g_s}s_z\;$

(14.1)

Wprowadzając operatory spinu elektronu s_x,s_y,s_z, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (6.12), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:

$[s_x,s_y]=i\hbar s_z\;$ (14.2)

$[s_y,s_z]=i\hbar s_x\;$ (14.3)

$[s_z,s_x]=i\hbar s_y\;$ (14.4)

Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (14.2), (14.3) i (13.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.

$[s_i,s_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}s_k\;$

(14.5)

Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:

$s={{1}\over{2}}\hbar\sigma\;$

(14.6)

Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (14.5) i definicji operatorów spinu (14.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:

$[\sigma_i,\sigma_j]=[{{2}\over{\hbar}}s_i,{{2}\over{\hbar}}s_j]={{4}\over{\hbar^2}}[s_i,s_j]={{4}\over{\hbar^2}}i\hbar\epsilon_{ijk}s_k= i{{4}\over{\hbar}}\epsilon_{ijk}s_k=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k\;$

(14.7)

Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (14.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (14.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:

$[\sigma_i,\sigma_j]=2i\epsilon_{ijk}\sigma_k\;$

(14.8)

Wzór (14.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.

$[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z\;\;$ (14.9)

$[\sigma_y,\sigma_z]=2i\sigma_x\;\;$ (14.10)

$[\sigma_z,\sigma_x]=2i\sigma_y\;\;$ (14.11)

Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ₁, oraz χ₂, tak że zachodzą warunki działania operatora σ_z na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:

$\sigma_z\chi_1=\chi_1\;$ (14.12)

$\sigma_z\chi_2=-\chi_2\;$ (14.13)

Według wzorów (14.12) i (14.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σ_z jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:

$\sigma^2_z\chi_1=\sigma_z\sigma_z\chi_1=\sigma_z\chi_1=\chi_1\;$ (14.14)

$\sigma^2_z\chi_2=\sigma_z\sigma_z\chi_2=-\sigma_z\chi_2=\chi_2\;$ (14.15)

Na podstawie (14.14) i (14.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ₁ i χ₂ zachodzi warunek, którego zapis:

$\sigma_z^2(a\chi_1+b\chi_2)=a\chi_1+b\chi_2\;$

(14.16)

Operator$\sigma_z^2\;$ w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo $\sigma^2_z=1\;$ na podstawie (14.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych wektorów Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:

$\sigma_x^2=\sigma_y^2=\sigma_z^2=1\;$

(14.17)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (14.10) i (14.11):

$\{\sigma_x,\sigma_y\}=\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x= {{1}\over{2i}}\sigma_x(\sigma_z\sigma_x-\sigma_x\sigma_z)+{{1}\over{2i}}(\sigma_z\sigma_x-\sigma_x\sigma_z)\sigma_x=\;\;$ $={{1}\over{2i}}(\sigma_x\sigma_z\sigma_x-\sigma^2_x\sigma_z+\sigma_z\sigma^2_x-\sigma_x\sigma_z\sigma_x) ={{1}\over{2i}}(-\sigma_z+\sigma_z)=0\;\;$

(14.18)

Podobnie wyznaczamy inne zależności antykomutacyjne pomiędzy macierzami Pauliego, tak jak w punkcie (14.18), co pozostawiamy czytelnikowi do samodzielnego wykonania ostatnich dwóch z podanych niżej własności antykomutacyjnych.

$\{\sigma_x,\sigma_y\}=0\;\;$ (14.19)

$\{\sigma_y,\sigma_z\}=0\;$ (14.20)

$\{\sigma_z,\sigma_x\}=0\;$ (14.21)

Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (14.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:

$\sigma_x\sigma_y-\sigma_y\sigma_x=2i\sigma_z\;$

(14.22)

Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (14.19), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:

$\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x=0\;$

(14.23)

Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (14.22) i warunku antykomutacyjnego (14.23) udowodnionych wcześniej, i dalej możemy dodać te dwa wzory do siebie, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:

$\sigma_x\sigma_y-(-\sigma_x\sigma_y)=2i\sigma_z\;$

(14.24)

Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (14.24) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:

$2\sigma_x\sigma_y=2i\sigma_z\Rightarrow \sigma_x\sigma_y=i\sigma_x\;\;$

(14.25)

Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (14.25), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:

$\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z\;$ (14.26)

$\sigma_y\sigma_z=i\sigma_x\;$ (14.27)

$\sigma_z\sigma_x=i\sigma_y\;$ (14.28)

Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów $\chi_1\;\;$ i $\chi_2\;\;$ jest napisana:

$\chi_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\;$ (14.29)

$\chi_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\;$ (14.30)

Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (14.29), (14.30):

$\chi^{+}_1\chi_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=1\;$ (14.31)

$\chi^{+}_2\chi_2=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1\;$ (14.32)

$\chi^{+}_1\chi_{2}=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=0\;$ (14.33)

Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (14.29), (14.30) jest bazą ortonormalną. Na podstawie rozważań (14.12) i (14.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σ_z przedstawia się:

$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\;$

(14.34)

Operatory σ_x i σ_y nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σ_z, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:

$\sigma_x\chi_1=a\chi_1+b\chi_2\;$ (14.35)

$\sigma_x\chi_2=c\chi_1+d\chi_2\;$ (14.36)

Z ostatnich dwóch równań, tzn. (14.35) i (14.36) mamy operator σ_x, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.

$\sigma_x=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\;$

(14.37)

Warunki działania operatora σ_x na wektor χ₁ opisujemy równaniem operatorowym (14.35), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ₂ opisujemy równaniem operatorowym (14.36), wtedy:

$\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\;$ (14.38)

$\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}\;$ (14.39)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₁ korzystając z warunków antykomutacji (14.21) oraz z warunku (14.12), otrzymujemy:

$\sigma_z\sigma_x\chi_1=-\sigma_x\sigma_z\chi_1=-\sigma_x\chi_1\;$

(14.40)

Wynika stąd na podstawie (14.40), że σ_xχ₁ jest proporcjonalny do χ₂, gdyż wartość własna σ_z wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (14.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₁ a χ₂:

$\sigma_x \chi_1\sim\chi_2\;\;$

(14.41)

Wektor σ_xχ₁ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$(\sigma_x\chi_1)^{+}(\sigma_x\chi_1)=\chi_1^{+}\sigma^{+}_x\sigma_x\chi_1=\chi_1^{+}\chi_1=1\;$

(14.42)

Zatem współczynnik stojący przy χ₂ w (14.41) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (14.35):

$\sigma_x\chi_1=e^{i\alpha}\chi_2\;$

(14.43)

Podziałajmy operatorem σ_z na wyrażenie σ_xχ₂ korzystając z warunków antykomutacji (14.21) oraz z warunku (14.12), otrzymujemy:

$\sigma_z\sigma_x\chi_2=-\sigma_x\sigma_z\chi_2=\sigma_x\chi_2\;$

(14.44)

Wynika stąd na podstawie (14.44), że σ_xχ₂ jest proporcjonalny do χ₁, gdyż wartość własna σ_z wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (14.13) proporcjonalność pomiędzy σ_xχ₂ a χ₁:

$\sigma_x\chi_2\sim\chi_1\;$

(14.45)

Wektor σ_xχ₂ jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

$(\sigma_x\chi_2)^+\sigma_x\chi_2=\chi_2^+\sigma_x^+\sigma_x\chi_2=\chi_2^+\chi_2=1\;$

(14.46)

Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ₁ w (14.45) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (14.46), a zatem powinno być.

$\sigma_x\chi_2=e^{i\beta}\chi_1\;$

(14.47)

Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:

$e^{i\alpha}\chi_2=\sigma_x\chi_1=\sigma_x(e^{-i\beta}\sigma_x\chi_2)=\sigma_x^2e^{-i\beta}\chi_2=e^{-i\beta}\chi_2\;$

(14.48)

Ze wzoru (14.48) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (14.43) i (14.47):

$\sigma_x\chi_1=\chi_2\;$ (14.49)

$\sigma_x\chi_2=\chi_1\;$ (14.50)

Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (14.49) i (14.50) otrzymujemy macierz σ_x, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:

$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\;$

(14.51)

Następnie wyprowadźmy operator σ_y, korzystając z rozwinięcia σ_z z warunku na operatorach Pauliego (14.28) i antykomutacyjnego (14.20), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:

$\sigma_y\chi_1=-i\sigma_z\sigma_x\chi_1=i\sigma_x\sigma_z\chi_1=i\sigma_x\chi_1=i\chi_2\;\;$

(14.52)

A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σ_y:

$\sigma_y\chi_2=-i\sigma_z\sigma_x\chi_2=i\sigma_x\sigma_z\chi_2=-i\sigma_x\chi_2=-i\chi_1\;\;$

(14.53)

Dla równań operatorowych (14.52) i (14.53), które są opisywane przez operator σ_y, wtedy ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:

$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\;$

(14.54)

Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:

$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\;$ (14.55)

$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\;$ (14.56)

$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\;$ (14.57)

Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla $l_x\;$, $l_y\;$ oraz $l_z\;$, dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:

$\sigma_{+}={{1}\over{2}}(\sigma_x+i\sigma_y)\;\;$ (14.58)

$\sigma_{-}={{1}\over{2}}(\sigma_x-i\sigma_y)\;\;$ (14.59)

$\sigma_0={{1}\over{2}}\sigma_z\;\;$ (14.60)

Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:

$\sigma_{+}={{1}\over{2}}\left(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\;$

(14.61)

$\sigma_{-}={{1}\over{2}}\left(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}-i\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\;$

(14.62)

$\sigma_{0}={{1}\over{2}}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\;$

(14.63)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (14.61) ($\sigma_+\;$) i (14.61) ($\sigma_-\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (14.9), dla pierwszego komutatora:

$[\sigma_{+},\sigma_{-}]={{1}\over{4}}\left(\sigma_x+i\sigma_y)(\sigma_x-i\sigma_y)-(\sigma_x-i\sigma_y)(\sigma_x+i\sigma_y)\right)=\;$ $={{1}\over{4}}\left(\sigma^2_x-i\sigma_x\sigma_y+i\sigma_y\sigma_x+\sigma_y^2 -\sigma_x^2-i\sigma_x\sigma_y+i\sigma_y\sigma_x-\sigma_y^2\right)=\;$ $=-{{1}\over{4}}2i[\sigma_x,\sigma_y]=-{{1}\over{2}}i2i\sigma_z=\sigma_z=2{{1}\over{2}}\sigma_z=2\sigma_0\;$

(14.64)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (14.61) ($\sigma_0\;$) i (14.62) ($\sigma_+\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (14.11), dla drugiego komutatora:

$[\sigma_0,\sigma_{+}]= {{1}\over{4}}\left(\sigma_z(\sigma_x+i\sigma_y)-(\sigma_x+i\sigma_y)\sigma_z\right) ={{1}\over{4}}\left(\sigma_z\sigma_x+i\sigma_z\sigma_y-\sigma_x\sigma_z-i\sigma_y\sigma_z\right)=\;$ $={{1}\over{4}}\left([\sigma_z,\sigma_x]-i[\sigma_y,\sigma_z]\right)={{1}\over{4}}\left(2i\sigma_y-i2i\sigma_x\right)={{1}\over{2}}\left(\sigma_x+i\sigma_y\right)=\sigma_{+}\;$

(14.65)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (14.61) ($\sigma_0\;$) i (14.62) ($\sigma_-\;$), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (14.10), dla pierwszego komutatora:

$[\sigma_0,\sigma_{-}]={{1}\over{4}}\left(\sigma_z(\sigma_x-i\sigma_y)-(\sigma_x-i\sigma_y)\sigma_z\right)= {{1}\over{4}}\left(\sigma_z\sigma_x-i\sigma_z\sigma_y-\sigma_x\sigma_z+i\sigma_y\sigma_z\right)=\;$ $={{1}\over{4}}\left([\sigma_z,\sigma_x]+i[\sigma_y,\sigma_z]\right)= {{1}\over{4}}\left(2i\sigma_y+i2i\sigma_x\right)=-{{1}\over{2}}\left(\sigma_x-i\sigma_y\right)=-\sigma_{-}\;$

(14.66)

Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (14.64), (14.65), (14.66):

$[\sigma_{+},\sigma_{-}]=2\sigma_0\;\;$ (14.67)

$[\sigma_{0},\sigma_{+}]=\sigma_{+}\;\;$ (14.68)

$[\sigma_{0},\sigma_{-}]=-\sigma_{-}\;\;$ (14.69)

Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu. Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ₊ i σ_- na wektory własne operatorów σ_z, czyli wektorów ortonormalnych χ₁ i χ₂.

$\sigma_{+}\chi_1=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0\;$ (14.70)

$\sigma_{+}\chi_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\chi_1\;$ (14.71)

$\sigma_{-}\chi_1=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\chi_2\;$ (14.72)

$\sigma_{-}\chi_2=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=0\;$ (14.73)

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

Według mechaniki klasycznej dwie cząstki należące do układu są rozróżnialne, nawet gdy są to cząstki jednakowego rodzaju. W mechanice kwantowej dwie jednakowe cząstki nie są rozróżnialne. Nawet wtedy, gdy początkowo funkcje falowe nie pokrywają się ze sobą, po pewnym czasie te owe funkcje mogą się pokryć i ta nierozróżnialność ma sens. Niech nasz Hamiltonian dla układu dwóch cząstek będzie:

$\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\Delta_1-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\Delta_2-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0|r_1-r_2|}}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_1}}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r_2}}\;$

(15.1)

Równanie falowe dla dwóch różnych cząstek przyjmuje kształt:

$\hat{H}(1,2)\psi(1,2)=E\psi(1,2)\;$

(15.2)

Dokonajmy przedstawienia współrzędnych obu cząstek w równania własnym dla dwóch cząstek w (15.2), otrzymujemy:

$\hat{H}(2,1)\psi(2,1)=E\psi(2,1)\;$

(15.3)

Ponieważ Hamiltonian (15.1) jest symetryczny względem zamiany miejscami dwóch cząstek, to mamy:

$\hat{H}(1,2)=\hat{H}(2,1)\;$

(15.4)

To równanie własne (15.3) na podstawie własności (15.4) przyjmuje postać:

$\hat{H}(1,2)\psi(2,1)=E\psi(2,1)\;$

(15.5)

Wprowadźmy operator wymiany cząstek, który zamienia miejscami współrzędne dwóch cząstek i jak się przekonamy istnieją dwa rodzaje funkcji, które napiszemy jako funkcję symetryczną i antysymetryczną. Działanie operatora wymiany cząstek piszemy:

$\hat{P}\psi(1,2)=\psi(2,1)\;$

(15.6)

Podziałajmy obustronnie równanie (15.6) jeszcze raz operatorem wymiany cząstek, w tym celu jeszcze raz skorzystamy z równania ostatnio wspomnianego:

$\hat{P}^2\psi(1,2)=\hat{P}\psi(2,1)\Rightarrow \hat{P}^2\psi(1,2)=\psi(1,2)\;$

(15.7)

Na podstawie (15.7) dla dowolnych funkcji (15.7) kwadrat operatora wymiany cząstek jest operatorem tożsamościowym:

$\hat{P}^2=\hat{I}\;$

(15.8)

W celu wyznaczenia wartości własnych operatora wymiany cząstek $\hat{P}\;$, napiszmy równanie własne operatora wymiany cząstek dla dwóch cząstek:

$\hat{P}\psi(1,2)=\pi\psi(1,2)\;$

(15.9)

Podziałajmy obustronnie równanie własne (15.9) operatorem $\hat{P}\;$ i jeszcze raz skorzystajmy z równania (15.9), a także z tożsamości (15.8), zatem:

$\hat{P}^2\psi(1,2)=\hat{P}\pi\psi(1,2)\Rightarrow \psi(1,2)=\pi\hat{P}\psi(1,2)\Rightarrow\psi(1,2)=\pi^2\psi(1,2)\;$

(15.10)

Aby powyższe równanie wynikowe było tożsamością dla dowolnego $\psi(1,2)\;$, to kwadrat liczby $\pi\;$ musi być jeden, czyli:

$\pi^2=1\;$

(15.11)

Z równości (15.11) wynika, że:

$\pi=-1,1\;$

(15.12)

Wartością własną operatora wymiany cząstek jest wartość minus jeden lub plus jeden. Mamy dwa stany symetryczny i antysymetryczny, dla tych stanów, w celu odróżnienia dwóch rodzajów funkcji, funkcję $\psi_S(1,2)\;$ nazwijmy funkcją symetryczną, a funkcję $\psi_A(1,2)\;$ nazwijmy funkcją asymetryczną, działanie operatora wymiany cząstek na te dwie rodzaje funkcji, które wspomnieliśmy, są napisane:

$\hat{P}\psi_S(1,2)=\psi_S(1,2)\;$ (15.13)

$\hat{P}\psi_A(1,2)=-\psi_A(1,2)\;$ (15.14)

Teraz zbudujmy funkcję falową całkowicie symetryczną i całkowicie antysymetryczną, stąd można powiedzieć, że te funkcje wyglądają:

$\psi_S(1,2)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left\{\psi(1,2)+\psi(2,1)\right\}\;$ (15.15)

$\psi_A(1,2)={{1}\over{\sqrt{2}}}\left\{\psi(1,2)-\psi(2,1)\right\}\;$ (15.16)

Operator wymiany współrzędnych (cząstek) $\hat{P}\;$, którego równanie własne jest (15.9) przy wartościach własnych (15.12) komutuje z Hamiltonianem, jeśli nasz komutator jest symetryczny względem wymiany cząstek wedle (15.4), a oto jego dowód:

$\hat{P}\hat{H}(1,2)\psi(1,2)=\hat{H}(2,1)\psi(2,1)=\hat{H}(1,2)\psi(2,1)=\hat{H}(1,2)\hat{P}\psi(1,2)\;$

(15.17)

A zatem na podstawie (15.17) mamy związek komutacyjny:

$[\hat{P},\hat{H}]=0\;$

(15.18)

Na podstawie wzoru Ehrenfesta (14.4) średnia wartość operatora wymiany współrzędnych jest zachowana, jeśli jest spełniona komutacja między operatorem wymiany współrzędnych, a operatorem energii całkowitej wedle tożsamości komutacyjnej (15.18), przy wspomnianych powyżej warunkach.

Rozważmy funkcję falową dwóch cząstek, zamiana miejscami dwóch cząstek z układu cząstek, która powinna zmienić najwyżej tylko znak funkcji lub pozostawiać bez zmiany znaku:

$\psi(1,3,2,..,n)=\pm\psi(1,2,3,..,n)\;$

(15.19)

Rozważmy przypadek, że zamiana cząstek jeden i trzy, to jego funkcja falowa nie zmienia znaku, a zamiana dwa i trzy zmienia znak jego funkcja falowa, zatem jeśli mamy, w pierwszym przypadku:

$\psi(1,2,3,...,n)=-\psi(1,3,2,...,n)=-\psi(3,1,2,...,n)=\psi(2,1,3,..,n)\;$

(15.20)

W drugim przypadku:

$\psi(1,2,3,...,n)=\psi(3,2,1,...,n)=-\psi(2,3,1,...,n)=-\psi(2,1,3,...,n)\;$

(15.21)

A zatem dochodzimy do sprzeczności. Takiej sprzeczności nie będzie, jeśli funkcja będzie całkowicie symetryczna lub całkowicie antysymetryczna. Dla układu n jednakowych i nieoddziaływających cząstek obsadzających n różnych stanów kwantowych$\{\alpha_i\}\;$ można utworzyć dużo funkcji całkowicie symetrycznych, ale jedną tylko funkcję antysymetryczną. Funkcje taką można zapisać za pomocą wyznacznika:

$\psi_a(1,2,...,n)={{1}\over{\sqrt{n!}}}\begin{vmatrix} \psi_{\alpha_1}(1)&\psi_{\alpha_2}(1)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(1)\\ \psi_{\alpha_1}(2)&\psi_{\alpha_2}(2)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(2)\\ \vdots&\vdots&\ddots\vdots\\ \psi_{\alpha_1}(n)&\psi_{\alpha_2}(n)&\cdots&\psi_{\alpha_n}(n) \end{vmatrix}\;$

(15.22)

Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej

Rozpatrzmy dwa hamiltoniany działające w dwóch różnych przestrzeniach funkcyjnych, tzn. nieoddziaływających ze sobą, a więc wyrażające w różnych zmiennych:

$H_1\psi=E_1\psi\;$ (16.1)

$H_2\psi=E_2\psi\;$ (16.2)

Te dwa Hamiltoniany można połączyć ze sobą, tak by ich funkcją własną była wspólna funkcja własna będąca iloczynem funkcji własnych dla tych cząstek z osobna:

$\psi=\psi_1\psi_2\;$

(16.3)

Równanie własne dla dwóch ciał działające w różnych zmiennych jest:

$(H_1+H_2)\psi_1\psi_2=\psi_2H_1\psi_1+\psi_1H_2\psi_2=\psi_2 E_1\psi_1+\psi_1 E\psi_2=(E_1+E_2)\psi_1\psi_2\;$

(16.4)

To równanie własne dla dwóch ciał na podstawie (16.4) przyjmuje postać:

$(H_1+H_2)\psi_1\psi_2=(E_1+E_2)\psi_1\psi_2\;$

(16.5)

Na podstawie (16.5) dowiadujemy się, że energia układu dwóch cząstek jest sumą energii dwóch osobnych cząstek. A więc pierwsza strona naszego twierdzenia jest spełniona, tzn. z równań własnych (16.1) i (16.2) wynika równanie własne (16.5), a teraz udowodnijmy jej drugą stronę, tzn. wychodząc z równania (16.5), czy wynikają równości (16.1) i (16.2):

$(H_1+H_2)\psi_1\psi_2=E_c\psi_1\psi_2\;$

(16.6)

• Gdzie $\psi_1\;$ oraz $\psi_2\;$ to są funkcję falowe dwóch osobnych cząstek.

Jeśli zachodzi równanie (16.6), to mamy na pewno:

$\psi_2H_1\psi_1+\psi_1H_2\psi_2=E_c\psi_1\psi_2\;$

(16.7)

Dzielimy obie strony równania (16.7) przez $\psi_1\psi_2\;$, otrzymujemy:

${{H_1\psi_1}\over{\psi_1}}+{{H_2\psi_2}\over{\psi_2}}=E_c\;$

(16.8)

Ponieważ poszczególne składniki są zależne od różnych zmiennych, więc poszczególne składniki w sumie po lewej stronie równości (16.8) są równe pewnym stałym, których suma jest równa całkowitej energii układu $E_c\;$.

${{H_1\psi_1}\over{\psi_1}}=E_1\;$ (16.9)

${{H_2\psi_2}\over{\psi_2}}=E_2\;$ (16.10)

Jak się przekonaliśmy i powiedzieliśmy suma wyrażeń (16.9) i (16.10) jest równa pewnej stałej $E_c\;$.

$E_1+E_2=E_c\;$

(16.11)

Według równania (16.9) i (16.10) zachodzą równoważne związki do równań (16.1) i (16.2), które są równaniami własnymi dla każdej cząstek z osobna, zatem doszliśmy do równoważności równań własnych opisujących każdą cząstkę z osobną i dwie razem.

Załóżmy dodatkowo, że dwie cząstki oddziaływują za pomocą pola, która zależy od odległości miedzy ciałami, ale nie od kierunku w jakim znajdują się te dwie cząstki. Czyli nasz hamiltonian opisujących te dwie cząstki jest:

$\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2m_1}}\Delta_1-{{\hbar^2}\over{2m_2}}\Delta_2+V(r)\;$

(16.12)

• gdzie:

$r=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}\;$

(16.13)

Określmy teraz zmienne określające każdą cząstkę z osobna przez inne zmienne określające odległości współrzędności-owe pomiędzy nimi, a także współrzędne współrzędnościowe środka masy tych dwóch mas.

$x=x_2-x_1\;$ (16.14)	$y=y_2-y_1\;$ (16.15)	$z=z_2-z_1\;$ (16.16)
$\xi={{m_1x_1+m_2x_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (16.17)	$\nu={{m_1y_1+m_2y_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (16.18)	$\zeta={{m_1z_1+m_2z_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (16.19)

Dokonajmy teraz przemianowania zmiennych licząc pierwszą pochodną względem w starych zmiennej wyrażonej przy pomocy nowych współrzędnych.

${{\partial}\over{\partial x_1}}={{\partial\xi}\over{\partial x_1}}{{\partial}\over{\partial\xi}}+{{\partial x}\over{\partial x_1}}{{\partial}\over{\partial x}}={{m_1}\over{m_1+m_2}}{{\partial}\over{\partial \xi}}-{{\partial}\over{\partial x}}\;$

(16.20)

Policzmy drugą pochodną względem pierwszej współrzędnej pierwszej masy, korzystając przy tym z operatora różniczkowania pierwszego rzędu cząstkowego w starych współrzędnych (16.20) przy pomocy nowych współrzędnych, które wspomnieliśmy wcześniej.

${{\partial^2}\over{\partial x_1^2}}={{\partial}\over{\partial x_1}}{{\partial}\over{\partial x_1}}={{\partial}\over{\partial x_1}}\left({{m_1}\over{m_1+m_2}}{{\partial}\over{\partial \xi}}-{{\partial}\over{\partial x}}\right)=\;\;$ $=\left({{m_1}\over{m_1+m_2}}{{\partial}\over{\partial \xi}}-{{\partial}\over{\partial x}}\right)\left({{m_1}\over{m_1+m_2}}{{\partial}\over{\partial \xi}}-{{\partial}\over{\partial x}}\right)=\;$ $=\left({{m_1}\over{m_1+m_2}}\right)^2{{\partial^2}\over{\partial \xi^2}}-{{2m_1}\over{m_1+m_2}}{{\partial^2}\over{\partial\xi\partial x}}+{{\partial^2}\over{\partial x^2}}\;$

(16.21)

Podobnie wyznaczamy pochodną drugą względem drugiej masy, zatem wykorzystują te drugie pochodne, nasz operator energii całkowitej mechanicznej dwóch cząstek zapisanych wedle (16.12) przyjmuje wygląd:

$-{{\hbar^2}\over{2m_1}}\Delta_1-{{\hbar^2}\over{2m_2}}\Delta_2=-{{\hbar^2}\over{2\mu}}\Delta_{\xi\nu\zeta}-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta_{xyz}\;$

(16.22)

• Gdzie masa całkowita całego układu $\mu\;$ i masa zredukowana całego układu jest równa:

$\mu=m_1+m_2\;$ (16.23)

$m={{m_1m_2}\over{m_1+m_2}}\;$ (16.24)

Ostatecznie otrzymujemy Hamiltonian (16.12) na podstawie (16.22):

$\left\{-{{\hbar^2}\over{2\mu}}\Delta_{\xi\nu\zeta}-{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta_{xyz}+V(xyz)\right\}\psi=E\psi\;$

(16.25)

Niech funkcją własną hamiltonianu (16.25) będzie iloczyn dwóch funkcji zależnej od odległości między dwoma masami f(xyz) i funkcji $g(\xi\nu\zeta)\;$ zależnej od współrzędnych środka masy tych rozważanych dwóch cząstek.

$\psi=f(xyz)g(\xi\nu\zeta)\;$

(16.26)

Zatem otrzymujemy dwa równania z równania własnego (16.25) zdefiniowanych we współrzędnych innych dla każdego równania z osobna opisanych w tym artykule, którego funkcje własne są w postaci (16.26), którego rozwiązujemy metodą zmiennych rozdzielonych dostając przy tym dwa równania, nazwijmy je równaniami własnymi z definiowanych w nienakładających się zmiennych:

${{\hbar^2}\over{2\mu}}\Delta_{\xi\nu\zeta}g(\xi\nu\zeta)=E_1g(\xi\nu\zeta)\;$ (16.27)

$\left\{ -{{\hbar^2}\over{2m}}\Delta_{xyz}+V(xyz)\right\}f(xyz)=E_2f(xyz)\;$ (16.28)

Pierwsze równanie jest równaniem cząstki w ruchu swobodnych w opisanych współrzędnych $(\xi,\nu,\zeta)\;$, a drugie jest to równanie jest napisane przy zdefiniowanym potencjale skalarnym $V(xyz)\;$ we współrzędnych $(x,y,z)\;$.

Kwantowy oscylator harmoniczny

Teraz opiszemy oscylator harmoniczny używając do tego celu mechanikę kwantową używając do tego układ współrzędnych jednowymiarowy jak i trójwymiarowy.

Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny

Energia potencjalna ciała w oscylatorze harmonicznym jest wyrażona jako wyrażenie proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi:

$V(x)={{1}\over{2}}m\omega^2x^2\;$

(17.1)

Hamiltonian oscylatora jednowymiarowa jest sumą operatorów energii kinetycznej i operatora energii potencjalnej (operator energii potencjalnej jest to operator mnożenia przez liczbę, podobnej jak operator współrzędnej położenia, który jest operatorem mnożenia) (17.1), jeśli założymy, że pomijamy spin cząstki kwantowej, to operator energii całkowitej kinetycznej wyrazimy:

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\cdot\;$

(17.2)

Równanie własne operatora energii $\hat{H}\;$, tuż potem po przekształceniu do postaci wygodnej, jest zapisane według:

$\left(-{{\hbar^2}\over{2m}}{{d^2}\over{dx^2}}+{{1}\over{2}}m\omega^2x^2\right)\psi=E\psi \Rightarrow \left({{d^2}\over{dx^2}}-{{m^2\omega^2}\over{\hbar^2}}x^2\right)\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\;$

(17.3)

Zamiana zmiennych

Jest to równanie stacjonarne wyprowadzone z niezależnego od czasu równania falowego Schrödingera i idąc dalej wprowadzimy nowe parametry i zmienne, dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, w celu uproszczenia obliczeń do wyznaczenia wartości i funkcji własnej naszego przekształconego równania (17.3), wtedy te oznaczenia:

$\alpha^2={{m\omega}\over{\hbar}}\;$ (17.4)

$\xi=\alpha x\;$ (17.5)

Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej (17.5) równanie (17.3) w tychże zmiennych jest:

$\alpha^2{{d^2}\over{d\xi^2}}-\alpha^4x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}\psi=0\Rightarrow {{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2mE}\over{\hbar^2}}{{\hbar}\over{m\omega}}\psi=0\Rightarrow {{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\alpha^2x^2\psi+{{2E}\over{\hbar\omega}}\psi=0\;$

(17.6)

Przyjmując jeszcze raz oznaczenie (17.5) oraz wprowadzony następny stały parametr w trzecim składniku sumy ostatniego wyrażenia, czyli parametr zależny od energii cząstki w oscylatorze harmonicznym i jest on zdefiniowany wedle sposobu:

$\lambda={{2E}\over{\hbar\omega}}\;$

(17.7)

to dostajemy równanie różniczkowe wyprowadzonej z (17.6) wyprowadzonej przy pomocy (17.7), z którego będziemy wyznaczali jego rozwiązania.

${{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi+\lambda\psi=0\;$

(17.8)

Z powyższego równania wyprowadzimy funkcję własne operatora energii całkowitej mechanicznej cząstki kwantowej dla ściśle określonych energii jako wartości własnej.

Rozwiązania asymptotyczne

Napiszmy równanie asymptotyczne spełnione dla $x\rightarrow\infty\;$, według definicji $\xi\;$ (17.5) zauważamy, że mamy warunek dla niej, gdy zmienna z kwadratem $\xi^2\;$ jest o wiele większa od parametru $\lambda\;$, czyli zachodzi warunek dla rozwiązania asymptotycznego$\xi^2>>\lambda\;$, odpowiednikiem asymptotycznym równania własnego (17.8) jest równanie:

${{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=0\;$

(17.9)

Rozwiązaniem powyższego równania jest zestaw funkcji, a znak występującej w tej funkcji przyjmiemy jako plus lub minus, i udowodnimy czy dla tego rozwiązania asymptotycznego właściwym znakiem jest znak minus, bo jest on rozwiązaniem asymptotycznym:

$\psi=e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;$

(17.10)

który udowodnimy poniżej rozpisując pierwszą i drugą pochodną, które podstawimy później do równania różniczkowego asymptotytycznego (17.9):

${{d}\over{d\xi}}\psi=\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;$ (17.11)

${{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left(\pm\xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\right)= \pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}\;$ (17.12)

Drugą pochodną wyrażenia (17.10) zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej $\xi\;$, czyli (17.12) i (17.10), podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego (17.9), dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla ξ nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:

${{d^2}\over{d\xi^2}}\psi-\xi^2\psi=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}+\xi^2e^{\pm {{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}\;$

(17.13)

Ponieważ wyznaczamy równanie asymptotyczne (17.8) dla $\xi\;$ bardzo dużego, zatem musi być spełniony warunek:

$\lim_{\xi\rightarrow\infty}\pm \xi e^{\pm{{\xi^2}\over{2}}}=0\;$

(17.14)

Aby powyższe wyrażenie w nieskończonościach dążyło do zera musimy wybrać znak minus, bo ze znakiem plus powyższe wyrazie dąży do nieskończoności i nie jest poprawnym wyrażeniem rozwiązania asymptotycznego:

$\lim_{\xi\rightarrow\infty}\left(-\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)=-\lim_{\xi\rightarrow \infty}{{\xi}\over{e^{{{\xi^2}\over{2}}}}}=-\lim_{\xi\rightarrow\infty}{{1}\over{\xi e^{{{\xi^2}\over{2}}}}}=0\;$

(17.15)

Doszliśmy do wniosku, że rozwiązaniem asymptotycznym równania (17.8), czyli dla (17.9), jest rozwiązanie w postaci funkcji ze znakiem minus, ale już nie ze znakiem plus:

$\psi=e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;$

(17.16)

Powyższe rozwiązanie jest rozwiązaniem całkowalnym z kwadratem po całej linii prostej $(-\infty,\infty)\;$, czyli dobrze zrobiliśmy.

Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego

Dla rozwiązania asymptotycznego (17.16) uzmiennijmy stałą zależącą od zmiennej ξ, którego rozwiązaniem pełnego rozwiązania równania różniczkowego jest (17.8):

$\psi=\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;$

(17.17)

Wyznaczmy dwie pierwsze pochodne funkcji (17.17) przy założeniu, że funkcja $\nu\;$ jest zależna od zmiennej ξ, które te pochodne i samą funkcję podstawimy do równania różniczkowego (17.8) z którego wyznaczymy funkcję aplitudową $\nu\;$ zależną od omawianej zmiennej.

• pierwsza pochodna funkcji (17.17) względem $\xi\;$.

${{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;$

(17.18)

• druga pochodna funkcji (17.17), a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej (17.18).

${{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left({{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=\;$ $={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}} \;$

(17.19)

Drugą pochodną (17.19) wyrażenia (17.17) i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego (17.8), dostajemy wyrażenie:

${{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\Rightarrow\;$ $\Rightarrow {{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\;$

(17.20)

Równanie różniczkowe (17.20) dzielimy obustronnie przez funkcję eksponecjalną $e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;$, która jest zawsze nierówna zero ze względu na jej własności, to dostajemy wynikowe równanie:

${{d^2\nu}\over{d\xi^2}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi +(\lambda-1)\nu=0\;$

(17.21)

Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej

Weźmy rozwiązaniem równania różniczkowego (17.21), co jest rozwiązaniem w postaci szeregu potęgowego zmiennej ξ o wykładnikach całkowitych, ale nieujemnych, i współczynnikach a_k, które tworzą w wyniku kombinacji liniowej funkcję ν zależną od zmiennej ξ zdefiniowaną w (17.5).

$\nu=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k\;$

(17.22)

A jego dwie kolejne pochodne licząc je po kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji (17.22), co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:

${{d\nu}\over{d\xi}}=\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}\;$ (17.23)

${{d^2\nu}\over{d\xi^2}}=\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}\;$ (17.24)

Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego (17.21) dostając następne wyrażenie:

$\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\xi\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;$

(17.25)

Dokonując drobnych obliczeń w (17.25) przenosząc w drugim wyrazie zmienną $\xi\;$ pod sumę i włączając ją do potęgi o wykładniku k-1 dostając wykładnik k:

$\sum^{\infty}_{k=2}a_k k(k-1)\xi^{k-2}-2\sum^{\infty}_{k=0}a_k k\xi^{k}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\;$

(17.26)

Dokonujemy zamiany zmiennych w pierwszym składniku sumy wedle schematu, tzn.$k-2\rightarrow k^'\;$ w ostatnim wyrażeniu różniczkowym:

$\sum^{\infty}_{k=0}a_{k+2} (k+2)(k+1)\xi^{k-2}-2\sum^{\infty}_{k=0}a_k k\xi^{k}+(\lambda-1)\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k=0\Rightarrow\;\;$ $\Rightarrow \sum^{\infty}_{k=0}\left(a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_k k+(\lambda-1)a_k\right)\xi^k=0\;$

(17.27)

Wszystkie współczynniki, wyrażone w postaci pewnych wyrażeń, leżące przy współczynnikach $\xi^k\;$ są równe zero dla dowolnych zmiennych $\xi\;$ rzeczywistych, zatem powinno zachodzić:

$a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_k k+(\lambda-1)a_k=0\Rightarrow a_{k+2}(k+2)(k+1)=(2k-\lambda+1)a_k\;$

(17.28)

Zatem dla współczynników wzory iteracyjne $a_k\;$ są wyrażone wzorem:

$a_{k+2}={{2k-\lambda+1}\over{(k+2)(k+1)}}a_k\;$

(17.29)

Dla dużych k powyższe wyrażenie iteracyjne zapisujemy:

$a_{k+2}\simeq{{2k}\over{(k+2)(k+1)}}a_k\Rightarrow a_{k+2}\simeq{{2}\over{k}}a_k\;$

(17.30)

Dla wyrażenia $e^{\xi^2}\;$ rozwińmy go w szereg Taylora:

$e^{\xi^2}=1+\xi^2+{{\xi^4}\over{2!}}+{{\xi^6}\over{3!}}+...=\sum^{\infty}_{k=0}{{\xi^{2n}}\over{n!}}\;$

(17.31)

Dla szeregu potegowego (17.31) napiszmy stosunek współczynnika o numerze k+2 do współczynnika o numerze "k" dostając przy tym pewne uproszczone wyrażenie, i wyraźmy go dla dużych k:

${{b_{k+2}}\over{b_k}}={{ {{1}\over{(k/2+1)!}} }\over{ {{1}\over{(k/2)!}} }}={{(k/2)}\over{(k/2+1)!}}={{(k/2)1}\over{(k/2)!(k/2+1)}}={{1}\over{(k/2+1)}}\simeq{{2}\over{k}}\;$

(17.32)

Na podstawie końcowego wyrażenia (17.30) i współczynników rozwinięcia funkcji (17.31) czyli ilorazem kolejnych wyrazów b_k w (17.32), zatem rozwiązaniem równania różniczkowego (17.21) są takie funkcje, które z (17.17) były niecałkowalne z kwadratem, a rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego powinny być funkcje całkowalne z kwadratem, zatem szereg (17.22) należy urwać na pewnym wyrazie, tzn. $a_{k}\neq 0\;$ i $a_{k+1}=0\;$, zatem w (17.28) musi być spełniony warunek by była zachowana całkowalność z kwadratem funkcji (17.22):

$2k-\lambda+1=0\;$

(17.33)

Do równania (17.33) za parametr λ należy podstawić wyrażenie oznaczone (17.7):

$2k-{{2E}\over{\hbar\omega}}+1=0\Rightarrow {{2E}\over{\hbar\omega}}=2k+1\Rightarrow 2E=(2k+1)\hbar\omega\Rightarrow E=\left(k+{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;$

(17.34)

Energie E są skwantowane w zależności od parametru naturalnego k i napiszmy go w postaci zamieniając k na n:

$E_n=\left(n+{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;$

(17.35)

Energia własna jednowymiarowego oscylatora harmonicznego jest skwantowana i zależna od liczby kwantowej n, mówi ona, że dla zerowej liczby kwantowej n układ będzie miał jeszcze energię równą $1/2\hbar\omega\;$.

Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego

Szeregiem (17.22) dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego z dokładnością do stałej są to unormowane funkcje Hermite'a z definiowane w postaci:

$v_n=H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}{{d^n}\over{d\xi^n}}\left(e^{-\xi^2}\right)\;$

(17.36)

Zatem rozwiązanie całkowite równania (17.8) można przepisać w postaci:

$\psi_n(\xi)=C_ne^{-{{\xi^2}\over{2}}}H_n(\xi)\;$

(17.37)

W równaniu (17.37) występująca funkcja Hermite'a dla małych współczynników można wyrazić go jako:

$H_0=(-1)^0e^{\xi^2}e^{-\xi^2}=1\;$ $H_1=(-1)^ne^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}e^{-\xi^2}=(-1)e^{\xi^2}(-2\xi)e^{-\xi^2}=2\xi\;$ $H_2=(-1)^2e^{\xi^2}{{d^2}\over{d\xi^2}}e^{-\xi^2}=e^{\xi^2}{{d}\over{d\xi}}\left[(-2)\xi e^{-\xi^2}\right]=-2e^{\xi^2}\left[e^{-\xi^2}-2\xi^2e^{-\xi^2}\right]=4\xi^2-2\;$

(17.38)

Funkcję (17.37) można unormować całkując ją z kwadratem wyznaczając z stąd stałą $C_n\;$ zależną od liczby kwantowej n i mając stałą $\alpha\;$ zdefiniowaną w (17.4), i przechodząc przez kolejne jego etapy tego unormowania, którego całka jest równa jeden:

$1=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n(\xi)|^2dx=C_n^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi){{d\xi}\over{\alpha}}=C_n^2\alpha^{-1}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}H_n^2(\xi)d\xi=C_n^2\alpha^{-1}2^nn!\sqrt{\pi}\;$

(17.39)

Z powyższego równania normalizacyjnego wyznaczamy stałą $C_n\;$, którego wygląd:

$C_n={{\alpha^{{{1}\over{2}}}}\over{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}}\;$

(17.40)

wtedy wyrażenie (17.37), które jest funkcją własna bazy dyskretnej rozwiązania kwantowego równania własnego (17.3) natomiast jest w postaci:

$\psi_n(\xi)={{\alpha^{{{1}\over{2}}}}\over{\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}H_n(\xi)\;$

(17.41)

Równanie własne operatora energii (17.2) ma energie własne (wartości własne) w postaci (17.35), zdefiniowane dla funkcji własnymi zdefiniowanej według (17.41), co odpowiada jemu energia (17.35).

Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny

Rozpatrzmy oscylator kwantowy o energii potencjalnej, który zależy od promienia radialnego (odległości radialnej) w przestrzeni trójwymiarowej w układzie kulistym:

$V(r)={{1}\over{2}}kr^2={{1}\over{2}}\underbrace{M\omega^2}_{k}r^2\;$

(17.42)

Równanie własne dla oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem potencjału tego oscylatora (17.42), przyjmuje postać:

$\left\{-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{1}\over{2}}M\omega^2r^2\right\}\psi=E\psi\;$

(17.43)

Powyższe równanie jest równaniem falowym Schrödinegera dla kwantowego oscylatora harmonicznego w przestrzeni trójwymiarowej.

Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego

Dokonując takich samych przekształceń jak dla atomu wodoru w potencjale kulombowskim, tylko w tym przypadku cząstka kwantowa znajduje w potencjale oscylatora harmonicznego trójwymiarowego, co w tym celu wykorzystujemy przy tym równanie (7.135)

${{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{{{2M}\over{\hbar^2}}\left(E-{{M\omega^2r^2}\over{2}}\right)-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;$

(17.44)

Widzimy, że powyższe równanie jest równaniem różniczkowym radialnym, który pozwala wyznaczyć R(r) względem zmiennej radialnej r, który z kolei zależy od liczby kwantowej momentu pędu l. Wprowadźmy do równania (17.44) nowe oznaczenia zastępujące pewne stałe w omawianym równaniu wiążące pewne stałe i parametry:

$\lambda={{2ME}\over{\hbar^2}}\geq 0\;$ (17.45)

$\nu={{M\omega}\over{\hbar}}\;$ (17.46)

Równanie (17.44) na podstawie nowych parametrów (17.45) i (17.46) przyjmuje bardziej prostą postać:

${{d^2R}\over{dr^2}}+\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}R=0\;$

(17.47)

Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra

Zakładamy, że funkcja $R(r)\;$, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego (17.47), która składa się z trzech części i na ostatku z funkcji L(r), którą musimy wyznaczyć, a całkowite rozwiązaniem naszego równania różniczkowego można przedstawić:

$R(r)=r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)\;$

(17.48)

Policzmy dwie kolejne pochodne ostatniej funkcji, która zależy od promienia r względem tejże zmiennej (radialnej), najpierw zabierzmy się za pierwszą pochodną naszej funkcji:

${{dR}\over{dr}}=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+1}\nu re^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;$ $=(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\;$

(17.49)

Jeśli już mamy pierwszą pochodną (17.49) funkcji radialnej (17.48), możemy zabrać się z kolei do obliczenia drugiej pochodnej naszej funkcji mając już pierwszą pochodną.

${{d^2R}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dR}\over{dr}}={{d}\over{dr}}\left\{(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}\right\}=\;$ $=l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+\;$ $-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL}\over{dr}}+\;$ $+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{dL(r)}\over{dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}= r^{l+1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\;$ $+{{dL}\over{dr}}\left\{-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+(l+1)r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}} \right\}+\;$ $+L(r)\left\{l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^2}\over{2}}}+r^{l+3}\nu^2e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\right\}=\;$ $=e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+\;$ $+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}\Bigg\}\;$

(17.50)

Obliczoną drugą pochodną (17.50) i wyrażenie (17.48) wstawiamy do równania różniczkowego (17.47), dostajemy:

$e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\Bigg\{r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+ 2}+(2l+2)r^l \right\}+\;$ $+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu+l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu^2\right\}+\;$ $+\left\{\lambda-\nu^2r^2-{{l(l+1)}\over{r^2}}\right\}r^{l+1}L(r)\Bigg\}=0\;$

(17.51)

Równanie (17.51) dzielimy obustronnie przez $e^{-{{\nu r^2}\over{2}}}\;$,która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości (17.51):

$r^{l+1}{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^l \right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;$

(17.52)

Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez $r^{l}\;$, otrzymujemy:

$r{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;$

(17.53)

Dokonajmy zamiany zmiennych w równaniu różniczkowym (17.53) zmienną r na zmienną x:

$x=\nu r^2\;$

(17.54)

licząc najpierw pierwszą pochodną funkcji $L\;\;\;$względem r, by potem je przekształcić względem x:

${{dL}\over{dr}}={{dL}\over{dx}}{{dx}\over{dr}}=2\nu r{{dL}\over{dx}}\;$

(17.55)

a także drugą pochodną funkcji L(r), korzystając z pierwszej pochodnej (17.55), przy definicji zmiennej x (17.54):

${{d^2L}\over{dr^2}}={{d}\over{dr}}{{dL}\over{dr}}={{d}\over{dr}}2\nu r{{dL}\over{dx}}=2\nu{{d}\over{dr}}r{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+2\nu r{{d}\over{dr}}{{dL}\over{dx}}=2\nu {{dL}\over{dx}}+4\nu^2r^2 {{d^2L}\over{dx^2}}=\;$ $=4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu{{dL}\over{dx}}\;$

(17.56)

Równanie (17.53) mnożymy przez $\nu r\;$, dostajemy:

$\nu r^2{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\nu r{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2\nu r^2\right\}+L(r)r^2\nu\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;$

(17.57)

Dokonujemy teraz wstędnej zamiany zmiennych (17.54) w równaniu różniczkowym (17.57), co w rezultacie otrzymujemy:

$x{{d^2L(r)}\over{dr^2}}+\nu r{{dL}\over{dr}}\left\{2l+2-2x\right\}+L(r)x\left\{\lambda-(2l+3)\nu\right\}=0\;$

(17.58)

Teraz dokonajmy, podstawień za pochodne, tzn. za pierwszą (17.55) i drugą (17.56) zapisaną względem r funkcji L(r) do (17.58), dochodzimy do wniosku:

$4\nu x^2{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}+2\nu x{{dL}\over{dx}}(2l+2-x)+L(r)x\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;$

(17.59)

Ponieważ mamy w ogólności, że zmienna x (17.54) spełnia takowy warunek $x\neq 0\;$, bo nielogiczne jest, że cząstka może przyjmować tylko położenie x=0, więc możemy dokonać dzielenia przez x we wzorze (17.59):

$4\nu x{{d^2L}\over{dx^2}}+2\nu {{dL}\over{dx}}(2l+3-x)+L(r)\left\{\lambda-(2l+3)\right\}=0\;$

(17.60)

Dzielimy obie strony przez niezerowy parametr $4\nu\;$ dla równania (17.60), dostajemy:

$x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{3}\over{2}}-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;$

(17.61)

Idąc dalej w (17.61) przekształcamy go do postaci bardzo podobnej do równania różniczkowego Laguerra:

$x{{d^2L}\over{dx^2}}+{{dL}\over{dx}}(l+{{1}\over{2}}+1-x)+L(r)\left\{{{\lambda}\over{4\nu}}-{{2l+3}\over{4\nu}}\right\}=0\;$

(17.62)

Obierzmy w równaniu (17.62) definicję nowych pomocnych parametrów, które jak się przekonamy będą dla nas bardzo potrzebne:

$a=l+{{1}\over{2}}\;$ (17.63)

$b={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}\;$ (17.64)

Oraz policzmy na podstawie (17.63) i (17.64) podane wyrażenie, które jak się przekonamy występuje w (17.62) jako różnica zmiennych b (17.64) i a (17.63):

$b-a={{\lambda}\over{4\nu}}+{{l}\over{2}}-{{1}\over{4}}-l-{{1}\over{2}}= {{\lambda}\over{4\nu}}-{{l}\over{2}}-{{3}\over{4}}={{\lambda}\over{4\nu}}- {{2l+3}\over{2}}\;$

(17.65)

Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra

Dochodzimy do wniosku, że równanie (17.62) według (17.63) i (17.65) przyjmuje dobrą postać, która jest dla nasz oczekiwanym równaniem różniczkowym Laguerra:

$x{{d^2L}\over{dx^2}}+\left\{a+1-x\right\}{{dL}\over{dx}}+(b-a)L=0\;$

(17.66)

Aby rozwiązanie równania różniczkowego (17.66) było zawsze skończone, które jest rozwiązaniem Laguerra, to musi zachodzić na podstawie (17.65), że poniższe wyrażenie musi mieć całkowitą skończoną podstać, z której możemy wyznaczyć zmienną b znając a z (11.63):

$b-a={{\lambda}\over{4\nu}}-{{l}\over{2}}-{{3}\over{4}}\equiv n-1\Rightarrow b=n-1+a=n-1+l+{{1}\over{2}}\Rightarrow b=n+l-{{1}\over{2}}\;$

(17.67)

• gdzie: $n=1,2,3,...\;$

Wartości własne energii własnych

Teraz mając już pierwszą postać wyrażenia (17.67), i odpowiednio przenosząc wyrazy w tym wyrażeniu, otrzymujemy oczekiwane wyrażenie, z której możemy wyznaczyć energię własne równania różniczkowego równania własnego operatora energii kwantowego oscylatora harmonicznego:

${{\lambda}\over{2\nu}}-l-{{3}\over{2}}=2n-2\Rightarrow{{\lambda}\over{2\nu}}=2n+l-{{1}\over{2}}\;$

(17.68)

Policzmy na podstawie (17.45) i (17.46) w celu wyznaczenia czemu jest równa lewa strona końcowego równania (17.68), korzystając z definicji podanych poprzednio nowych parametrów, to on przyjmuje postać:

${{\lambda}\over{2\nu}}={{2ME}\over{2\hbar^2}}{{\hbar}\over{M\omega}}={{E}\over{\hbar\omega}}\;$

(17.69)

Końcowe wyrażenie (17.68) powstaje, gdy po podstawieniu za jej lewą stroną ostatnią tożsamość (17.69), otrzymujemy:

${{E}\over{\hbar\omega}}=2n+l-{{1}\over{2}}\;$

(17.70)

Zatem ostatecznie w (17.70), dokonujemy wymnożenia przez wyrażenie $\hbar\omega\;$, z której możemy wyznaczyć energię oscylatora harmonicznego w postaci skwantowanej zależącą od dwóch parametrów naturalnych n i l:

$E=\left(2n+l-{{1}\over{2}}\right)\hbar\omega\;$

(17.71)

Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w (17.47) i tożsamości początkowej (11.67), to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:

$n=1,2,3,4,5\;$ (17.72)

$l=0,1,2,3,...\;$ (17.73)

Policzmy więc stopień degeneracji poziomu energii własnych oscylatora harmonicznego, w tym celu przedstawmy (17.71) troszeczkę w innej postaci wprowadzając całkowitą liczbę kwantową N:

$E_N=\hbar\omega\left\{N+{{3}\over {2}}\right\}\;$

(17.74)

w której ta liczba kwantowa N jest zdefiniowana w sposób:

$N=2n+l-2\;$,gdzie $N=0,1,2,3,4,..\;$

(17.75)

aby równanie (17.74) było zgodne z (17.71). Z (17.75) wyznaczamy $l\;$, aby później wyznaczyć stopień generacji dla kwantowego oscylatora harmonicznego.

$l=N+2-2n\;$,  wtedy mamy:$l=N,N-2,N-4,...,1\mbox{ lub } 0\;$

(17.76)

Ilość degeneracji, również z namiastką spinu, który ma dwa rzuty na oś zetową, przyjmuje postać dla N parzystego:

$2\sum_{0,2,...,N}(2l+1)=2{{1+2N+1}\over{2}}\left({{N}\over{2}}+1\right)=(N+1)(N+2)\;$

(17.77)

Dla N nieparzystego ilość degeneracji jest:

$2\sum_{1,2,..,N}(2l+1)=2{{3+2N+1}\over{2}}{{N+1}\over{2}}=(N+1)(N+2)\;$

(17.78)

Czyli stopień degeneracji na podstawie (17.77) lub (17.78) jest zależny od wprowadzonej liczby kwantowej naturalnej N, które to wyrażenie przyjmuje postać:

$g=(N+1)(N+2)\;\;$

(17.79)

Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego

jeśli mamy rozwiązanie R(r) (17.48) poprzez funkcję Laguerra i mając definicję funkcji jako ${{R(r)}\over{r}}\;$, i mając jeszcze funkcje kuliste, i uwzględniając jeszcze pojęcie spinu, to nasze rozwiązanie równania własnego (17.43) przyjmuje postać:

$\psi_{nlm_lm_s}\sim r^le^{-{{\nu r^2}\over{2}}}L^{a=l+{{1}\over{2}}}_{b=n+l-{{1}\over{2}}}(\nu r^2)Y_{lm_l}(\theta\phi)\chi_{m_s}\;$

(17.80)

Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita

Wcześniej w obliczeniach nie uwzględnialiśmy spinu, czyli w (17.43). Teraz uwzględniając spin, czyli mianowicie oddziaływanie spinu z orbitą cząstki, wtedy napiszmy nasz poprawiony Hamiltonian mając stałą D o pewnej ściśle określonej wartości:

$\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}+D\hat{s}\cdot \hat{l}\;$

(17.81)

Stała D w pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że jest stałą niezależną od odległości cząstki od położenia równowagi. Suma orbitalnego momentu pędu oraz jego spinu, jest to całkowity moment pędu i jest zdefiniowany:

$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}\;$

(17.82)

Podnosząc obie strony równania (17.82) do kwadratu mamy następne równanie wynikowe:

$\vec{j}^2=\vec{l}^2+\vec{s}^2-2\vec{l}\vec{s}\Rightarrow \vec{l}\vec{s}={{1}\over{2}}\left(\vec{j}^2-\vec{l}^2-\vec{s}^2\right)\;$

(17.83)

A zatem nasz Hamiltonian (17.83) przyjmuje następną równoważną postać, zastępując odpowiednie wektory momentów pędu czy to orbitalnego czy spinowego tejże wielkości fizycznej przez operatory i po podstawieniu tak otrzymanego operatora do (17.81), otrzymujemy:

$\hat{H}=-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}+{{D}\over{2}}\left(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\right)\;$

(17.84)

Napiszmy teraz równanie własne operatora zdefiniowanego w (17.84) wykorzystując równanie własne kwadratu całkowitego, orbitalnego, spinowego momentu pędu, wiedząc, że wszystkie te operatory mają wspólne funkcje własne i mają bardzo podobne wartości pod względem wyglądu:

$\hat{H}\psi^{(ls)}_{nljm}=\left\{-{{\hbar^2}\over{2M}}\Delta+{{M\omega^2r^2}\over{2}}\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}+ {{D}\over{2}}(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2)\psi^{(lm)}_{nljm}=\;$ $=\left\{(N+{{3}\over{2}})\hbar\omega+{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\right\}\psi^{(lm)}_{nljm}\;$

(17.85)

Poprawka do energii $\Delta E\;$ poziomów oscylatora harmonicznego trójwymiarowego przyjmuje logiczną postać:

$\Delta E={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D}\over{2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right)\;$

(17.86)

Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej $_{{{1}\over{2}}}\;$, jeśli cząstka posiada spin własny.

$j=l+{{1}\over{2}}\;$ (17.87)	$j=l-{{1}\over{2}}\;$ (17.88)

Znajdziemy poprawkę do energii (17.86) uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia (17.87):

$(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{3}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=\;$ $= {{D}\over{2}}\left(l^2+{{3}\over{2}}l+{{1}\over{2}}l+{{3}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)= {{D}\over{2}}l\;$

(17.89)

Znajdziemy poprawkę do energii (17.86) uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia (17.88):

$(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}\left[\left(l-{{1}\over{2}}\right)\left(l+{{1}\over{2}}\right)-l(l+1)-{{3}\over{4}}\right]=$ $= {{D}\over{2}}\left(l^2+{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}l-{{1}\over{4}}-l^2-l-{{3}\over{4}}\right)={{D}\over {2}}\left(-l-1\right)=-{{D}\over{2}}(l+1)\;$

(17.90)

Więc rozszczepienie przyjmuje wartość dla różnicy energii między dwoma skrajnymi poziomami dla tej samej orbitalnej liczby kwantowej, czyli dla najbliższych sąsiadów całkowita poprawka do energii, przy wykorzystaniu wzorów (17.89) i (17.90), piszemy jako poprawkę do energii elektronu:

$(\Delta E)_{l+{{1}\over{2}}}-(\Delta E)_{l-{{1}\over{2}}}={{D}\over{2}}(l+l+1)={{D}\over{2}}(2l+1)\;$

(17.91)

W wyrażeniu (17.91) widzimy, że po uwzględnieniu spinu cząstki rozszczepienie jest niezerowe.

Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana

Doświadczenie Sterna-Gerlacha polega na wykazaniu rozszczepieniu wiązki w niejednorodnym polu magnetycznym. Wyznaczymy skalanie moment magnetyczny w zależności od wektora momentu pędu:

$\mu=IS={{e}\over{T}}\pi r^2=re{{1}\over{2}}{{2\pi r}\over{T}}=re{{1}\over{2}}v={{e}\over{2m_e}}rm_ev={{e}\over{2m_e}}l\;$

(18.1)

Równanie (18.1) możemy zapisać w postaci wektorowej jako związek między orbitalnym momentem pędu elektronu a jej momentem magnetycznym podczas krążenia tego elektronu po orbicie kołowym wedle sposób:

$\vec{\mu}={{e}\over{2m_e}}\vec{l}$

(18.2)

Współrzędna zetowa momentu magnetycznego jest związana ze współrzędną zetową orbitalnego momentu pędu wedle wzoru wektorowego (18.2) napisaną:

$\mu_z={{e}\over{2m_e}}l_z$

(18.3)

Oczywiste jest, że $l_z$ posiada wartości własne przedstawiające się w zależności od magnetycznej liczby kwantowej "m" wedle przepisu (7.43), to moment magnetyczny $\mu_z$ też posiada skwantowaną współrzędną zetową na podstawie (18.3), którą określamy:

$\mu_z={{e\hbar}\over{2m_e}}m$

(18.4)

• Gdzie m to magnetyczna liczba kwantowa o wartościach (7.83).

A energia elektronu w polu magnetycznym, na podstawie rozważań ramki o momencie magnetycznym w polu magnetycznym jednorodnym, wyraża się:

$\Delta E_m=-\vec{H} \vec{\mu}$

(18.5)

Podstawiając do wzoru (18.5), która jest poprawką do energii elektronu w atomie definicję momentu magnetycznego$\vec{\mu}$ zdefiniowaną wedle (18.2):

$\Delta E_m=-{{e}\over{2m_e}}\vec{H}\vec{l}$

(18.6)

Jeśli pole magnetyczne ma kierunek równoległy do osi zetowej, to poprawka do energii elektronu (patrz:(18.6)) jest:

$\Delta E_m=-{{e}\over{2m_e}}H_z l_z\;$

(18.7)

Zastępując współrzędną zetową momentu pędu przez zetowy operator momentu pędu, a poprawkę energii przez poprawkę hamiltonianu, otrzymujemy operatorowy wzór na poprawkę energii cząstki ze spinem:

$\Delta\hat{H}=-{{e}\over{2m_e}}H_z\hat{l}_z\;$

(18.8)

Poprawka do hamiltonianu, czyli (18.8), jest zależna od natężenia pola magnetycznego w punkcie, w którym znajduje się elektron i od operatora zetowego momentu pędu. Napiszmy teraz Hamiltoniam według (5.28) z poprawką do rozważanego hamiltonianu (18.8):

$\hat{H}=\left\{-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\Delta-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}-{{e}\over{2m_e}}H_z\hat{l}_z\right\}$

(18.9)

A zatem nasze równanie własne dla operatora energii całkowitej elektronu w polu magnetycznym przedstawia się:

$\left\{-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\Delta-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}-{{e}\over{2m_e}}H_z\hat{l}_z\right\}\psi=E\psi$

(18.10)

Wiedząc jak wygląda równanie własne zetowego operatora momentu pędu, mając hamiltonian uzyskany z równania własnego (18.10), który komutuje z operatorem zetowym momentu pędu, a także też on komutuje z mniejszym operatorem energii (hamiltonian bez uwzględnienia pola magnetycznego), a także z zetowym operatorem momentu pędu, a także oba hamiltoniany (z polem magnetycznym lub bez) komutują ze sobą, to na podstawie tych przemyśleń dochodzimy do wniosku:

$\hat{H}\psi_{nlm}=\left\{-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\Delta-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}} \right\}\psi_{nlm}-{{e}\over{2m_e}}H_z\hat{l}_z\psi_{nlm}=$ $=E_0\psi_{nlm}-{{eH_z}\over{2m_e}}m\hbar\psi_{nlm}= \left\{E_0-{{e\hbar H_z}\over{2m_e}}m\right\}\psi_{nlm}$

(18.11)

Energia całkowita elektronu w polu magnetycznym z poprawką o energię związaną o spin elektronu, który ten elektron znajduje się w polu magnetycznym o wyróżnionym kierunku jest napisana według równania (18.11) i zachowuje się:

$E_c=E_0-{{e\hbar H_z}\over{2m_e}}m$

(18.12)

Ale energia $E_0\;$ bez pola magnetycznego jest zdefiniowana w (7.161), zatem całkowita energia układu w polu magnetycznym jest zależna od głównej i magnetycznej liczby kwantowej przyjmującą z poprawką na moment magnetyczny elektronu poruszającego się po torze klasycznym po okręgu, który jest równoważny przepływowi prądu na tej orbicie, po której przebywa propagujący się elektron.

$E_c=-{{m_ee^4}\over{8\epsilon_0^2h^2}}{{1}\over{n^2}}-{{e\hbar H_z}\over{2m_e}}m$

(18.13)

Zmiana energii elektronu poruszającego się wokół jądra atomowego atomu wodoru w zależności od liczb kwantowych, tzn. kwantowej liczbie głównej "n" i magnetycznej liczbie magnetycznej "m", jest wyrysowana:

$\Delta E={{hc}\over{\lambda}}={{m_ee^4}\over{8\epsilon_0^2h^2}}\left({{1}\over{n_1^2}}-{{1}\over{n_2^2}}\right)+{{e\hbar H_z}\over{2m_e}}(m_1-m_2)$

(18.14)

Podczas przejść kwantowych dozwolone są przejścia dla $\Delta m=0\;$ lub $\Delta m=\pm 1$, czyli dla takich liczb, dla których magnetyczna liczba kwantowa zmienia się o wartość o conaj wyżej jeden.

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Niech operator energii składa się z dwóch części, tzn. z członu niezaburzonego z poprawką do całkowitego Hamiltonianu $\delta \hat{H}\;$, co ten cały hamiltonian z zaburzeniem jest:

$\hat{H}=\hat{H}_0+\lambda \hat{H}'\;$

(19.1)

Parametr λ jest mały w porównaniu z energią stanu niezaburzonego stanu (bez poprawki), to dla stanu niezaburzonego piszemy ją:

$\hat{H}_0\psi^{(0)}_n=E^{(0)}_n\psi^{(0)}_n\;$

(19.2)

Dla stanu zaburzonego jest to równanie własne operatora energii stanu zaburzonego (19.1):

$(\hat{H}_0+\lambda \hat{H}')\psi_n=E_n\psi_n\;$

(19.3)

Funkcja własna stanu zaburzonego da się rozwinąć w szereg potęgowy względem $\lambda\;$:

$\psi_n=\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+\ldots\;$

(19.4)

A energia w stanie zaburzonym, też rozwijamy w szereg Taylora względem tego samego co poprzednio parametru $\lambda\;$, wtedy ta rozwinięta energia:

$E_n=E^{0}_n+\lambda E^{(1)}_n+\lambda^2E^{(2)}_n+\ldots\;$

(19.5)

Jeśli mamy równanie własne (19.3), to podstawiając do niego w operatorze hamiltonianu zaburzonego$\hat{H}\;$ rozwinięcie funkcji $\psi\;$ (19.4), a także rozwinięcie wartości własnej hamiltonianu zaburzonego $E\;$ (19.5) do równania własnego stanu zaburzonego, otrzymujemy:

$(\hat{H}_0+\lambda \hat{H}')(\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+...)=(E^{0}_n+\lambda E^{(1)}+\lambda^2E^{(2)}_n+\ldots)(\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n+\lambda^2\psi^{(2)}_n+...)\;$

(19.6)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń i grupowań wyrazów względem potęg $\lambda\;\;$ równania różniczkowego (19.6) po obu jego stronach:

$\hat{H}_0\psi^{(0)}+\lambda(\hat{H}_0\psi^{(1)}_n+\hat{H}'\psi^{0}_n)+\lambda^2(\hat{H}_0\psi_n^{(2)}+\hat{H}'\psi^{(1)}_n)+...=\;$ $=E_n^{(0)}\psi^{(0)}_n+\lambda(E_n^{(0)}\psi_n^{(1)}+E_n^{(1)}\psi^{0}_n)+\lambda^2(E_n^{(0)}\psi^{(2)}_n+E_n^{(1)}\psi^{(1)}_n+E_n^{(2)}\psi^{(0)}_n)+\ldots\;$

(19.7)

Porównajmy obie strony otrzymanego równania (19.7) do siebie względem tych samych potęg parametru$\lambda\;\;$:

$\hat{H}_0\psi^{(0)}=E_n^{(0)}\psi^{(0)}_n\;$

(19.8)

$\hat{H}_0\psi^{(1)}_n+\hat{H}'\psi^{0}_n=E_n^{(0)}\psi_n^{(1)}+E_n^{(1)}\psi^{0}_n\;$

(19.9)

$\hat{H}_0\psi_n^{(2)}+\hat{H}'\psi^{(1)}_n=E_n^{(0)}\psi^{(2)}_n+E_n^{(1)}\psi^{(1)}_n+E_n^{(2)}\psi^{(0)}_n\;$

(19.10)

W bazie funkcji $\psi^{0}_k\;$ własnych hamiltonianu niezaburzonego rozwińmy funkcję $\psi^{(1)}_n\;$ w sposób:

$\psi^{(1)}_n=\sum_ka^{(n)}_k \psi^{0}_k\;$

(19.11)

Wykorzystajmy teraz wzór na rozwinięcie pierwszej pochodnej o numerze n względem funkcji własnej rozwiązania hamiltonianu niezaburzonego (19.11) i podstawiając go (19.9), otrzymujemy:

$\hat{H}'\psi^{(0)}_n+\hat{H}_0\sum_k a^{(n)}_k \psi^{0}_k=E_n^{(0)}\sum_ka^{(n)}_k \psi^{0}_k+E_n^{(1)}\psi^{(0)}_n\;$

(19.12)

Mając równanie własne (19.2), to równanie (19.12) przyjmuje postać:

$\hat{H}'\psi^{(0)}_n+\sum_ka_k^{(n)}E_k^{(0)}\psi^{(0)}_k=E_n^{(0)}\sum_ka^{(n)}_k \psi^{0}_k+E_n^{(1)}\psi^{(0)}_n\;$

(19.13)

Dokonajmy teraz mnożenia powyższego równania przez funkcję ${\psi^{(0)}_l}^*\;\;$ oraz obie strony tego równania jednocześnie całkując, otrzymujemy:

$\int{\psi^{(0)}_l}^*\hat{H}'\psi^{(0)}_n+\sum_ka_k^{(n)}E_k^{(0)}\int{\psi^{(0)}_l}^*\psi^{(0)}_k=E_n^{(0)}\sum_ka^{(n)}_k\int{\psi^{(0)}_l}^* \psi^{0}_k+E_n^{(1)}\int{\psi^{(0)}_l}^*\psi^{(0)}_n\;\;$

(19.14)

Wykorzystując, że wektory bazy hamiltonianu niezaburzonego są z ortonormalizowane do delty Kroneckera, to wyrażenie całkowe (19.14), piszemy:

$\int{\psi^{(0)}_l}^*\hat{H}'\psi^{(0)}_n+\sum_ka_k^{(n)}E_k^{(0)}\delta_{lk}=E_n^{(0)}\sum_ka^{(n)}_k\delta_{lk}+E_n^{(1)}\delta_{ln}\;\;$

(19.15)

Zatem ostatecznie z równania całkowego (19.15) po niezbędnych działaniach dzięki deltom Kroneckera, które to działania należy wykonać, by one możliwie nie występowały, jeśli się da:

$\int {\psi_l^{0}}^{*}\hat{H}'\psi^{(0)}_nd\tau+a_l^{(n)}E_l^{(0)}=E_n^{(0)} a_l^{(n)}+E_n^{'}\delta_{ln}\;$

(19.16)

Rozpatrzmy dwa przypadki występujące w (19.16), pierwszy przypadek jest dla l=n, a drugi dla warunku $l\neq n\;$. Rozpatrzmy teraz pierwszy przypadek względem ostatniego wspomnianego równania, to w naszym ostatnim równaniu delta Kroneckera staje się równa jeden, ze względu na równość obu parametrów opisujących deltę i to równanie zapisujemy dla tego przypadku:

$\int {\psi_n^{0}}^{*}\hat{H}'\psi^{(0)}_nd\tau+a_n^{(n)}E_n^{(0)}=E_n^{(0)} a_n^{(n)}+E_n^{'}\;$

(19.17)

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych wyznaczając $E^'_n\;\;$ w (19.17), dostajemy:

$E_n^{'}=\int{\psi^{(0)}_n}^*\hat{H}'\psi^{(0)}_nd\tau\;$

(19.18)

A zatem poprawka do energii zaburzonego hamiltonianu jest iloczynem parametru $\lambda\;$ i wartości policzonej za pomocą równania (19.18).

$\lambda E_n^{'}=\int{\psi^{(0)}_n}^*(\lambda\hat{H}')\psi^{(0)}_nd\tau\;$

(19.19)

Teraz rozpatrzmy drugi przypadek według (19.16), tzn. gdy zachodzi warunek $l\neq n\;$, to drugi wyraz lewej strony wspomnianego równania wskaźnikowego znika, ze względu na różność parametrów "l" i "n", co wynika z własności delty Kroneckera, która w tym przypadku jest równa zero.

$\int {\psi_l^{0}}^{*}\hat{H}'\psi^{(0)}_nd\tau+a_l^{(n)}E_l^{(0)}=E_n^{(0)} a_l^{(n)}\;$

(19.20)

Policzmy teraz współczynnik $a^{(n)}_l\;$ przy pomocy równania (19.20):

$a_l^{(n)}(E_n^{(0)}-E_l^{(0)})=\int {\psi^{(0)}_{l}}^{*}\hat{H}'\psi^{(0)}_n d\tau\;$

(19.21)

A zatem te współczynniki, według tożsamości (19.21), są zależne od energii własnej równania własnego niezaburzonego względem współczynników "n" i "l" i elementu macierzonego $\hat{H}^'_{ln}\;$ występującego w (19.21), którego to równanie jest definicją wspomnianego elementu macierzowego:

$a_l^{(n)}={{\int {\psi^{(0)}_{l}}^{*}\hat{H}'\psi^{(0)}_n d\tau}\over{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}}={{\hat{H}^{'}_{ln}}\over{E_n^{(0)}-E_l^{(0)}}}\;$

(19.22)

A także przyjmujemy czynnik rozwinięcia w funkcji stojącej przy $\lambda\;$ przy (19.4) w równaniu własnym zaburzonego hamiltonianu względem samych funkcji własnych niezaburzonego hamiltonianu, które są funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu wedle (19.11), a zatem poprawka do funkcji falowej jest taka, że nie ma w nim wyrazów dla k=n, który jest równy zero, zatem poprawka do omawianej funkcji falowej (19.11) przy definicji współczynników (19.22) przedstawia się jako:

$\lambda\psi^{'}_n=\lambda\sum_{k,k\neq n}{{\hat{H}^{'}_{kn}}\over{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}}\psi^0_k\;$

(19.23)

W rachunku zaburzeń pierwszego rzędu, na podstawie (19.19) (poprawka do energii własnej danego układu dla niezaburzonego hamiltonianu, stąd otrzymujemy w ten sposób wyniku obliczeń przybliżonych całkowitą energię opisywanego układu) i (19.23) (poprawka do funkcji własnej do niezaburzonego hamiltonianu), dochodzimy więc do wniosku, że poszczególne energie (wartości własne) i funkcje falowe (funkcje własne) są napisane z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

$E_n=E_0+\lambda E^{'}_n=E_0+\lambda H^{'}_{nn}\;$ (19.24)

$\psi_n=\psi^{(0)}_n+\lambda\psi^{(1)}_n=\psi^{(0)}_n +\lambda\sum_{k,k\neq n}{{\hat{H}^{'}_{kn}}\over{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}}}\psi^0_k\;$ (19.25)

Napiszmy teraz równanie własne poprawki do operatora całkowitej energii własnej układu, z którego wynikają pewne wartości własne, które są poprawkami do energii własnej układu opisującego przez hamiltonian zaburzony:

$\lambda\hat{H}'\psi=E\psi\;$

(19.26)

A kolejne elementy macierzowe operatora $\lambda\hat{H}^'\;$ przedstawiają się:

$(\lambda\hat{H})_{mn}=\int\psi^{(0)}_{m}(\lambda\hat{H}')\psi^{(0)}_{n}d\tau\;$

(19.27)

Czyli na podstawie tego możemy policzyć równanie macierzowe, przy czym wiedząc, że ψ jest to macierz funkcji własnych operatora energii, a $\lambda\hat{H}^'\;$ jest macierzą elementów macierzonych obliczonych przy pomocy wzoru (19.27):

$\lambda \hat{H}^'\psi=E^'\psi\Rightarrow (\lambda \hat{H}^'-\hat{I} E^')\psi=0\;$

(19.28)

Zastępując operator $\hat{H}^'\;$ przez macierz $H^'\;$ według jej definicji (19.27), a operator jednostkowy w (19.28) macierzą jednostkową $I\;$, a funkcjami własnymi w ten sposób otrzymanego równania jest wektor funkcji własnych równania (19.26):

$(\lambda H^'-IE^')\vec{\psi}=0\;$

(19.29)

Musi być jednocześnie spełnione, aby funkcje własne $\vec{\psi}\;$ nie były tożsamościowo równe zero w równaniu (19.29):

$\det(\lambda H'-I E^')=0\;$

(19.30)

Wyrażenie (19.30) przedstawiamy:

$\begin{vmatrix} \lambda H'_{11}-E^'&\lambda H'_{12}&\cdots&\lambda H'_{1k}\\ \lambda H'_{21}&\lambda H'_{22}-E^'&\cdots&\lambda H'_{2k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda H'_{k1}&\lambda H'_{k2}&\cdots&\lambda H'_{kk}-E^' \end{vmatrix}=0\;$

(19.31)

Z powyższego równania możemy wyznaczyć poprawkę do wartości własnej energii dla całego układu stanu niezaburzonego i dodając właśnie tą poprawkę do całkowitej energii opisywanego przez hamiltonian niezaburzony.

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

Własności wektorów "bra" i "ket"

Zdefiniujmy nowe wielkości matematyczne w sposób: $|\cdot\rangle\;$ jako "ket", a $\langle\cdot|\;$ jako "bra".

Sprzężeniem hermitowskim wektora ket'a Diraca jest równy wektorowi bra nazywamy:

${|\cdot\rangle}^{+}=\langle\cdot|\;$

(20.1)

Zdefiniujmy ket jako wektor pionowy i podziałajmy na niego sprzężeniem hermitowskim, dostaniemy wektor bra:

$|a\rangle\rightarrow\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\;$ (20.2)

$\langle a|\equiv(|a\rangle)^{+}\rightarrow(a_1^*,a_2^*,\ldots,a_n^*)\;$ (20.3)

Iloczyn skalarny z definiowany przy pomocy wektorów "bra" (20.3) i "ket" (20.2), jest zdefiniowany za pomocą wektorów bra i ket:

$\langle a|b\rangle=\begin{pmatrix}a_1^*&a_2^*&\cdots&a_n^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\;$

(20.4)

Ponieważ wynik iloczynu skalarnego, może być liczbą zespoloną, a skalar można traktować jako macierz o wymiarze 1x1, a zatem z definicji iloczynu skalarnego (20.4) działanie sprzężenia hermitowskiego na ten obiekt jest sprzężeniem zespolonym piszemy według przepisu:

$(\langle a|b\rangle)^{+}=(\langle a|b\rangle)^{*}=\sum_i b_i^*a_i=\begin{pmatrix}b_1^*&b_2^*&\cdots&b_n^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\langle b|a\rangle\;$

(20.5)

Gdy wektor bra jest równy po sprzężeniu hermitowskim wektorowi ket i po utworzeniu z nich iloczynu skalarnego wedle (20.5) i podziałaniu na niego sprzężeniem hermitowskim nie zmienia się wartość tego iloczynu.

$\langle a|a\rangle^{+}=\langle a|a\rangle\;$

(20.6)

Więc iloczyn $\langle a|a\rangle\;$ na podstawie (20.6) i wcześniejszych przemyśleń jest opisany przez liczbę rzeczywistą, gdy ten iloczyn jest równy zero dla tego samego "a", dojdziemy do wniosku, że wektor $|a\rangle\;$ jest wektorem zerowym, a oto jego zapis.

$\langle a|a\rangle=0\Rightarrow a=0\;$

(20.7)

Również wynika dla niezerowych wektorów Diraca dla tego samego "a" na podstawie (20.5), że tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest równy wartości niezerowej.

$\langle a|a\rangle\geq 0\;$

(20.8)

Ponieważ mamy z naszych rozważań przestawionych w punkcie (20.8), to można policzyć długość wektora "ket" następująco:

$||a\rangle|=\sqrt{\langle a|a\rangle}\;$

(20.9)

Jak widzimy, że długość naszego wektora ket dla ściśle określonego "a" jest liczbą rzeczywistą nieujemną.

Operatory w przestrzeni Hilberta

Transformacja jednego "ket'a" w drugi za pomocą operatora $\hat{A}\;$może być przedstawiona liniowo:

$\hat{A}|a\rangle=|b\rangle\;\;$

(20.10)

Również transformacja wektora "bra" w inny wektor "bra" przez operator $\hat{B}\;$ jest opsywany:

$\langle a|\hat{B}=\langle b|\;\;$

(20.11)

Operatory $\hat{A}\;$ i $B\;$ są to zwykle operatory tak zdefiniowane, by był spełniony warunek:

$\hat{A}^{+}=\hat{B}\;$

(20.12)

Operator $\hat{A}\;$ jest operatorem sprzężonym po hermitowsku z operatorem $\hat{B}\;$. Według wzoru operatorowego (20.12) równanie (20.10) jest sprzężony do (20.11) po hermitowsku, czyli te oba wzory są do siebie równoważne. Policzmy, sprzężenie zwrotne iloczynu skalarnego podczas działania przez jakiś operator $\hat{P}\;$:

$(\langle a|\hat{P}|b\rangle)^*=(\langle a|\hat{P}|b\rangle)^{+}=\langle b|\hat{P}^{+}|a\rangle\;\;$

(20.13)

Jeszcze raz biorąc sprzężenie zwrotne wyrażenia (20.13), dojdziemy do początkowej postaci (przed sprzężeniem), którego przemyślenia przedstawimy później.

$\left\{(\langle a|\hat{P}|b\rangle)^*\right\}^*=\langle a|\hat{P}|b\rangle=\langle a|(\hat{P}^{+})^{+}|b\rangle\;\;$

(20.14)

Ale wektory $|a\rangle\;$ i $|b\rangle\;$ zostały wybrane przypadkowo, zatem spełniony jest warunek, że podwójne sprzężenie hermowskie na dowolny operator $\hat{P}\;$ jest tym samym operatorem, tak jak by nie było sprzężenia.

$(\hat{P}^{+})^{+}=\hat{P}\;\;$

(20.15)

Rozważmy zapis i jego postać wedle przemyśleń:

$(|a\rangle\langle b|)|p\rangle=|a\rangle\langle b|p\rangle=\langle b|p\rangle|a\rangle\;\;$

(20.16)

Jeśli dodatkowo założymy, że $a=b\;$, to mamy:

$(|a\rangle\langle a|)|p\rangle=(\langle a|p\rangle)|a\rangle\;\;$

(20.17)

Wyrażenie (20.17) przedstawia rzut wektora $|p\rangle\;$ na wektor "ket" $|a\rangle;\;$.

Policzmy jeszcze sprzężenie hermitowskie wektora:$(|a\rangle\langle b\rangle)|p\rangle\;\;$

$((|a\rangle\langle b|)|p\rangle)^{+}=\langle p|(|a\rangle\langle b|)^{+}\;\;$

(20.18)

Z drugiej strony z definicji sprzężenia hermitowskiego na wektory Diraca wedle ogólnego wzoru (20.1) możemy napisać, że:

$(|a\rangle\langle b|p\rangle)^{+}=\langle a|\langle p|b\rangle=\langle p|(||b\rangle\langle a\rangle)\;\;$

(20.19)

Z porównania wyprowadzeń (20.18) i (20.19) możemy napisać następującą tożsamość:

$(|a\rangle\langle b|)^{+}=|b\rangle\langle a|\;\;$

(20.20)

Zagadnienie własne operatorów hermitowskich

Lemat 1: Wartości własne operatorów hermitowskich są liczbami rzeczywistymi: Operator $\hat{A}\;$ jest operatorem hermitowskim, a więc zachodzą warunki:

$\langle a|\hat{A}|a\rangle=\langle a|\hat{A}a\rangle=a\langle a|a\rangle\;$ (20.21)

$\langle a|\hat{A}|a\rangle=\langle \hat{A}a|a\rangle=\overline{a}\langle a|a\rangle\;$ (20.22)

Przyrównujemy równanie (20.21) z (20.22), zatem mamy:

$\overline{a}=a\;$

(20.23)

Co jest jedynie możliwe gdy $a\;$ jest rzeczywiste. Z własności, że operator $\hat{A}\;$ jest operatorem hermitowskim, wynika że jego wartości własne są rzeczywiste.

Lemat 2: Dwa kety należące do różnych wartości własnych są ortogonalne.

$\hat{A}|a'\rangle=a'|a'\rangle\;$ (20.24)

$\hat{A}|a''\rangle a''=|a''\rangle\;$ (20.25)

Weźmy teraz iloczyny skalarne dwóch wektorów, mamy:

$\langle a''|\hat{A}|a'\rangle=a'\langle a''|a'\rangle\;$ (20.26)

$\langle a''|\hat{A}|a'\rangle=\langle \hat{A}a'',a'\rangle=a''\langle a''|a'\rangle\;$ (20.27)

Gdy równanie (20.26) odejmiemy od równości (20.27), to otrzymamy równanie wynikowe różnych jego wartości własnych operatora $\hat{A}\;$, tzn. $a^'\;$ i $a^{''}\;$, tak by zachodziło $a^'\neq a^{''}\;$, co wspomnieliśmy w tym zdaniu:

$0=(a'-a'')\langle a'|a''\rangle\;$

(20.28)

Ponieważ $a'\neq a''\;$, to mamy:$\langle a'|a''\rangle=0\;$, czyli wektory własne operatorów hermitowskich dla dwóch różnych wartości własnych są do siebie prostopadłe.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej

W bazie dyskretnej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest przedstawiony wedle wzoru:

$\langle a_i|a_j \rangle=\delta_{ij}\;$

(20.29)

Widzimy, że wedle zapisu (20.29) wektory rozważanej bazy są ortonornalne. Weźmy dowolny ket $|p\rangle\;$ i rozłóżmy go w ketach bazy $|a_i\rangle\;$ pisząc go przy pomocy współczynników liniowych rozwinięcia $c_i\;$:

$|p\rangle=\sum_{i=1}c_i|a_i\rangle\;$

(20.30)

W celu wyznaczenia współczynników, mnożymy obie strony równania (20.30) przez wektor $\langle a_k|\;$ i wykorzystując warunek ortonormalności wedle (20.29) dla dwóch dowolnych wektorów bazy dyskretnej i z własności delty Kroneckera dla sum, można otrzymać wzór na owe współczynniki:

$\langle a_k|p\rangle=\sum_i c_i\langle a_k|a_i\rangle=\sum_ic_i\delta_{ik}=c_k\;$

(20.31)

I już mamy wyznaczone owe współczynniki, a zatem równanie (20.30)(rozkład dowolnego keta w bazie dyskretnej) na podstawie (20.31)(współczynniki $c_i\;$) przyjmuje postać:

$|p\rangle=\sum_i\langle a_i|p\rangle|a_i\rangle=\left\{\sum_i|a_i\rangle\langle a_i|\right\}|p>\;$

(20.32)

Z równania (20.32) (ostatnia równość) dostajemy, że operator jedynkowy jest w postaci:

$\hat{I}=\sum_{i=1}^r|a_i\rangle\langle a_i|\;$

(20.33)

Dochodzimy więc do wniosku, że (20.33) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym wektorem, wykorzystując przy tym warunek ortonormalizacji:

$I^2=\left(\sum_{i=1}^r|a_i\rangle\langle a_i|\right)^2= \left(\sum_{i=1}^r|a_i\rangle\langle a_i|\right)\left(\sum_{j=1}^r|a_j\rangle\langle a_j|\right)= \sum^r_{ij=1}|a_i\rangle\langle a_i||a_j\rangle\langle a_j|=$ $=\sum^r_{ij=1}|a_i\rangle\langle a_i|a_j\rangle\langle a_j|=\sum^r_{ij=1}\delta_{ij}|a_i\rangle\langle a_j|=\sum^r_{i=1}|a_i\rangle\langle a_i|=\hat{I}\;$

(20.34)

Zatem udowodniliśmy, co chcieliśmy.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej

W bazie ciągłej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest zdefiniowany wedle:

$\langle a(k)|a(k^') \rangle=\delta(k-k^')\;$

(20.35)

Weźmy dowolny ket $|p\rangle\;$ i rozłóżmy go w ketach bazy $|a(k)\rangle\;$(ciągłej) w sposób:

$|p\rangle=\int c(k)|a(k)\rangle\;$

(20.36)

Teraz mnożymy obie strony równania (20.36) przez wektor $\langle a(k)|\;$, w celu wyznaczenia współczynników $c(k^')\;$ i wykorzystując warunek ortogonalności (20.35) oraz z własności delty Diraca dla całek, zaem można otrzymać owe współczynniki:

$\langle a(k^')|p\rangle=\int c(k)\langle a(k^')|a(k)\rangle dk=\int c(k)\delta(k^'-k)dk=c(k^')\;$

(20.37)

A zatem równanie (20.36) (rozkładu dowolnego keta w bazie ciągłej) na podstawie (20.37) (mając już współczynniki) przyjmuje takową postać:

$|p\rangle=\int \langle a(k)|p\rangle|a(k)\rangle dk=\left\{\int|a(k)\rangle\langle a(k)|dk\right\}|p>\;$

(20.38)

Z równania (20.38) (ostatnia równość) dostajemy operator jedynkowy:

$\hat{I}=\int |a(k)\rangle\langle a(k)|dk\;$

(20.39)

Dochodzimy więc do wniosku, że (20.39) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym operatorem, wykorzystując przy tym warunek ortogonalizacji (20.35):

$\hat{I}^2=\left(\int|a(k)\rangle\langle a(k)|dk\right)^2= \left(\int|a(k)\rangle\langle a(k)|dk\right)\left(\int|a(k^')\rangle\langle a(k^')|dk^'\right)=\;$ $= \int\int|a(k)\rangle\langle a(k)||a(k^')\rangle\langle a(k^')|dkdk^'=\int\int|a(k)\rangle\langle a(k)|a(k^')\rangle\langle a(k^')|dkdk^'=\;$ $=\int\int\delta(k-k^')|a(k)\rangle\langle a(k^')|dkdk^'=\int|a(k)\rangle\langle a(k)|dk=\hat{I}\;$

(20.40)

Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym

Napiszmy równanie własne w widmie wektorów bazy dyskretnej w postaci:

$\hat{A}|a_{i}\rangle=a_i|a_{i}\rangle\;$

(20.41)

• gdzie $a_i\;$ są to wartości własne operatora $\hat{A}\;$ przy wektorach własnych $|a_i\rangle\;$.

Wektory własne w równaniu własnym (20.41) spełniają warunek ortonormalności (20.29). Przedstawmy teraz bardziej ogólnie elementy macierzowe operatora $\hat{A}\;$ w sposób:

$A_{ij}=\langle a_i|\hat{A}|a_j\rangle=a_j\langle a_i|a_j\rangle=a_j\delta_{ij}\;$

(20.42)

A zatem z definicji elementów macierzowych w (20.42) elementy macierzowe operatora $\hat{A}\;$ piszemy:

$A_{ij}=\delta_{ij}a_j\;$

(20.43)

Czyli na podstawie tożsamości (20.43) macierz elementów macierzowych operatora $\hat{A}\;$, czyli$[A_{ij}]\;$ jest macierzą diagonalna. Zobaczmy, gdy na jakiś element macierzowy podziałamy sprzężeniem hermitowskim i zbadajmy jakie z niego wychodzą wnioski:

$A^{*}_{ij}=(\langle a_i|\hat{A}|a_j\rangle)^{+}=\langle a_j|\hat{A}|a_i\rangle=A_{ji}\;$

(20.44)

Według (20.44) dostaniemy, że te elementy są elementami rzeczywistymi macierzy diagonalnej $[A_{ij}]\;$, bo zachodzi (20.43).

$A^{*}_{ij}=A_{ji}\;$

(20.45)

Wektory i wartości własne w widmie ciągłym

Dla widma k ciągłego równanie własne możemy przestawić w zależnosci od ciągłego parametru:

$\hat{A}|a(k)\rangle=a(k)|a(k)\rangle\;$

(20.46)

Wektory własne operatora $\hat{A}\;$ we wzorze (20.46) spełniają warunek ortonormalności (20.35), jeśli je unormujemy i one są wektorami ciągłymi, które opisuje ciągły parametr k.

Wprowadzenie do transformacji unitarnej

Niech punktem wyjścia będzie n-wymiarowa baza dyskretna przestrzeni Hilberta, określona przez wektory własne pewnego operatora hermitowskiego:

$\hat{A}|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle\;$ dla $i=1,2,3,4,\ldots\;$

(20.47)

Dokonajmy transformacji liniowej wektorów bazy tak, by otrzymać nowe wektory bazy:

$|a_i\rangle^T\equiv \hat{U}|a_i\rangle=\sum_jc_{ij}|a_j\rangle\;$

(20.48)

Obierzmy tak operator $A^T\;$, tak by miał takie same wartości własne, co operator $A\;$(20.47) w nowej bazie według (20.48):

$A^T|a_i\rangle^T=a_i|a_i\rangle^T\;$

(20.49)

W równaniu (20.49) podstwiamy w prawej i lewej jego stronie wyrażenia odpowiedzialne za nową bazę opisanej przy pomocy jego odpowiednika starego według (20.48):

$\hat{A}^TU|a_i\rangle=a_i\hat{U}|a_i\rangle\;$

(20.50)

Mnożymy obustronnie wzór (20.50) przez operator $\hat{U}^{-1}\;$(odwrotność operatora $\hat{U}\;$), otrzymujemy:

$\hat{U}^{-1}\hat{A}^T\hat{U}|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle\;$

(20.51)

Prawą stronę równania (20.51) zastępujemy przez lewą stronę równania (20.47), otrzymujemy:

$\hat{U}^{-1}\hat{A}^T\hat{U}|a_i\rangle=\hat{A}|a_i\rangle\;$

(20.52)

Z równania (20.52) wynika, że możemy napisać wynikającą transformację operatora hermitowskiego $\hat{A}\;$, tak by posiadał te same wartości własne, niezależne w jakiej bazie ją opisujemy:

$\hat{A}=\hat{U}^{-1}\hat{A}^T\hat{U}\;$

(20.53)

Lub nawet po przekształceniu wyznaczając operator $\hat{A}\;$ zapisanej w nowej bazie, którego transformacja jest dokonana wedle wzoru (20.48) transformujących operatorem $\hat{U}\;$ wektory bazy $|a_i\rangle\;$ w inne wektory bazy, tak by ten nasz operator miał te same wartości własne, po prostu aby się one nie zmieniały.

$\hat{A}^T=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{-1}\;$

(20.54)

Transformacja jest taka, że zachowuje sumę i iloczyn przetransformowanych wektorów. Tzn. jeśli $\hat{A}=\hat{A}_1+\hat{A}_2\;$, to zachodzi według (20.54):

$\hat{A}^T=\hat{U}(\hat{A}_1+\hat{A}_2)\hat{U}^{-1}=\hat{U}\hat{A}_1\hat{U}^{-1}+\hat{U}\hat{A}_2\hat{U}^{-1}=\hat{A}_1^T+\hat{A}_2^T\;$

(20.55)

Nawet dla iloczynu dwóch operatorów $\hat{B}=\hat{B}_1\hat{B}_2\;$ transformacja zachowuje również iloczyn:

$\hat{B}^T=\hat{U}\hat{B}_1\hat{B}_2\hat{U}^{-1}=\hat{U}\hat{B}_1\hat{U}^{-1}\hat{U}\hat{B}_2\hat{U}^{-1}=\hat{B}_1^T\hat{B}_2^T\;$

(20.56)

Wyniku operacji unitarnych wymaga się by transformowany operator hermitowski był nadal operatorem hermitowskim, tzn. musi zachodzić przed i po transformacji operatorem $\hat{U}\;$ na wektory bazy, dla której mamy przyporządkowany operator $\hat{A}\;$ przed transformacją lub w nowej bazie operator $\hat{A}^T\;$ po transformacji, tak by one miały te same wartości własne. W naszych rozważaniach skorzystamy z transformacji operatora $\hat{A}\;$ z jednej bazy dyskretnej do drugiej wedle wzoru operatorowego (20.54):

$\hat{A}^{+}=\hat{A}\;$ (20.57)	$(\hat{A}^T)^{+}=\hat{A}^T\;$ (20.58)
$(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{-1})^{+}=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{-1}\;$ (20.59)	$(\hat{U}^{-1})^+\hat{A}\hat{U}^{+}=\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{-1}\;$ (20.60)

Równanie (20.53) po podstawieniu (20.54), wtedy będzie można wywnioskować dalsze wywody:

$\hat{U}^{-1}(\hat{U}^{-1})^{+}\hat{A}\hat{U}^{+}\hat{U}=\hat{A}\;$

(20.61)

Równość (20.61) zachodzi, gdy mamy:

$\hat{U}^{+}\hat{U}=\hat{1}\Rightarrow \hat{U}^{-1}(\hat{U}^{+})^{-1}=1\;$ (20.62)

$\hat{U}^{+}\hat{U}=-\hat{1}\Rightarrow \hat{U}^{-1}(\hat{U}^{+})^{-1}=-1\;$ (20.63)

Transformacja spełniająca warunek (20.62) nazywamy transformacją unitarną, a gdy spełnia warunek (20.63) nazywamy transformacją antyunitarną.

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

Przedstawimy tutaj kwantową teorię momentu pędu, przy sumowaniu odpowiedniej liczby momentów pędu. Zapoznamy się ze współczynniki Clebscha-Gordona (sumowanie dwóch wektorów momentu pędu) i współczynniki Racah (sumowanie trzech wektorów momentu pędu).

Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona

Mamy dwie wartości własne operatora momentu pędu $\vec{j}_1\;$ i $\vec{j}_2\;$, to suma tych wektorów momentów pędu jest przedstawiona:

$\vec{J}=\vec{j}_1+\vec{j}_2\;\;$

(21.1)

Całkowita liczba kwantowa charakteryzujący kwadrat całkowitego momentu pędu jest napisana poprzez cząstkowe liczby kwantowe charakteryzujące momenty pędu dla dwóch cząstek:

$J=|j_1-j_2|,|j_1-j_2+1|,...,j_1+j_2-1,j_1+j_2\;\;$

(21.2)

A magnetyczne liczby kwantowe zetowej współrzędnej operatora momentu pędu względem cząstkowych wartości liczb kwantowych charakteryzujący cząstkowe kwadraty momentów pędów są przestawione:

$-j_1\leq m_1 \leq j_2\;\;$ (21.3)

$-j_2\leq m_2\leq j_2\;\;$ (21.4)

Całkowita liczba magnetyczna orbitalnego momentu pędu jest:

$M=m_1+m_2\;\;$

(21.5)

Można udowodnić, że całkowita magnetyczna liczba falowa spełnia warunek:

$-j_1-j_2\leq M\leq j_1+j_2\;$

(21.6)

Funkcja falowa, po złożeniu dwóch momentów pędu operatora całkowitego momentu pędu w zależności od funkcji falowej cząstkowych operatorów momentu pędu $|j_1m_1\rangle\mbox{ i }|j_2m_2\rangle\;\;$, można ją przestawić jako:

$|(j_1j_2)JM\rangle=\sum^{m_1=j_1}_{m_1=-j_1}\sum^{m_2=j_2}_{m_2=-j_2}(j_1m_1,j_2m_2|JM)|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle\;\;$

(21.7)

Sumowanie (21.7) jest tak dokonane, by liczba kwantowa całkowitego operatora momentu pędu oraz całkowita magnetyczna liczba kwantowa miały pewną określoną wartość przy ustalonych wartościach momentów magnetycznych cząstkowych.

'Współczynniki $(j_1m_1,j_2m_2|JM)\;$ nazywamy współczynnikami Clebscha-Gordona.

Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona są symetryczne, tzn. mają wartości rzeczywiste, tzn. współczynnik Clebscha-Gordona ze w sprzężeniem hermitowskim jest równy współczynnikowi bez tego sprzężenia, tzn.:

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(JM|j_1m_1j_2m_2)\;$

(21.8)

Relacje ortogonalizacji współczynników Clebscha-Gordona spełniają zależności:

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'} \;$

(21.9)

A także spełniają drugą własność:

$\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}. \;$

(21.10)

Przy czym w (21.9) i (21.10) skorzystaliśmy z operatora jedynki zdefiniowanego w (20.33).

Tabela współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona w sposób bardziej ogólny można je zapisać według wzoru:

$(j_1m_1j_2m_2)=\sqrt{{{(2J+1)(J+j_1-j_2)!(J-j_1+j_2)!(j_1+j_2-J)!(J-M)!(J+M)!}\over{(J+j_1+j_2+1)!}}}\cdot\;$ $\times\sqrt{(j_1+m_1)!(j_2+m_2)!(j_1-m_1)!(j_2-m_2)!}\cdot\;$ $\cdot\sum_n{{(-1)^n}\over{n!(j_1+j_2-J-n)!(j_1-m_1-n)!(J-j_2+m_1+n)!}}\cdot$ $\cdot{{1}\over{(j_2+m_2-n)!(J-j_1-m_2+n)!}}\;$

(21.11)

Wzory rekurencyjne w bardziej szczególnych przypadkach można przedstawić:

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(j_2-m_2j_1-m_1|J-M)\;\;$

(21.12)

$(j_1m_1j_2m_2JM)=(-1)^{j_1+j_2-J}(j_2m_2j_1m_1|JM)\;$

(21.13)

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1+j_2-J}(j_1-m_1j_2-m_2|J-M)\;$

(21.14)

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1-m_1}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_2+1}}}(j_1m_1J-M|j_2-m_2)\;$

(21.15)

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_2+m_2}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_1+1}}}(J-Mj_2m_2|j_1-m_1)\;$

(21.16)

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_1-m_1}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_2+1}}}(j_1-m_1JM|j_2m_2)\;$

(21.17)

$(j_1m_1j_2m_2|JM)=(-1)^{j_2+m_2}\sqrt{{{2J+1}\over{2j_1+1}}}(j_2-m_2JM|j_1m_1)\;$

(21.18)

Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah

Złożenie trzech wektorów momentów pędu można przedstawić, jeśli najpierw będziemy dodawać liczby kwantowe operatorów momentów pędu $j_1\;$ i $j_2\;$ w sposób odpowiedni do $J_{12}\;$, to funkcja falowa całkowitego momentu pędu przy określonych liczbach kwantowych cząstkowych dwóch pierwszych momentów pędu, przy określonym $J_{12}\;$ i $J\;$ i $M\;$ spełnia zależność:

$|((j_1j_2)J_{12}j_3)JM\rangle = \sum_{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3} |(j_1j_2)J_{12}M_{12}\rangle |j_3m_3\rangle \langle J_{12}M_{12}j_3m_3|JM\rangle \;$

(21.19)

Także dodając najpierw liczby kwantowe $j_2\;$ i $j_3\;$ (dwóch ostatnich momentu pędu) odpowiednio do $J_{23}\;$, dostajemy:

$|(j_1,(j_2j_3)J_{23})JM \rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}} |j_1m_1\rangle |(j_2j_3)J_{23}M_{23}\rangle \langle j_1m_1J_{23}M_{23}|JM\rangle \;$

(21.20)

Wiemy jednak, że cząstkowe liczby kwantowe zetowego operatora momentu pędu spełniają warunki:

$m_1=-j_1,\ldots,j_1;\;\; m_2=-j_2,\ldots,j_2;\;\; m_3=-j_3,\ldots,j_3. \;$

(21.21)

Współczynniki: $\langle J_{12}M_{12}j_3m_3|JM\rangle\;$ a także: $\langle j_1m_1J_{23}M_{23}|JM\rangle\;$ nazywamy współczynnikami Racah.

Model jednocząstkowego momentu magnetycznego

Związek między operatorem orbitalnego momentu pędy lub spinowego momentu pędu z jego momentem magnetycznym dla orbity lub dla spinu przedstawiamy dla tych dwóch rodzajów momentów pędu:

$\hat{\mu}_l={{e}\over{2m_e}}\hat{l}\;$ :orbita (21.22)

$\hat{\mu}_s={{e}\over{m_e}}\hat{s}\;$ :spin (21.23)

Całkowity operator momentu magnetycznego na podstawie (21.22) i (21.23), jest w postaci

$\hat{\mu}=\hat{\mu}_l+\hat{\mu}_s={{e}\over{2m_e}}\hat{l}+{{e}\over{m_e}}\hat{s}={{e}\over{2m_e}}(\hat{l}+2\hat{s})=\mu_B(\hat{l}+2\hat{s})=\mu_B(\hat{l}+\hat{s}+\hat{s})=\mu_B(\hat{j}+\hat{s})\;$

(21.24)

• gdzie:

$\mu_B={{e}\over{2m_e}}\;$

(21.25)

Przepis (21.25) nazywamy magnetonem Bohra. Jeśli mamy wektor w przestrzeni Hilberta, jako$|lm_1sm_2\rangle\;$, to działając na niego zetowym operatorem momentu magnetycznego, wtedy:

$\mu_z|lm_1sm_2\rangle=\mu_B(m_1+2m_2)|lm_1sm_2\rangle\;$

(21.26)

Wartość średnia momentu magnetycznego zetowego jest przedstawiona w sposób:

$\overline{s}_z=\langle (ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle= \sum_{m_1m^'_2}(lm_1sm_2|jm)(lm_1^'sm_2^'|jm)(lm_1|lm_1^')(sm_2|s_z|sm_2^')=\;$ $=\sum_{m_1m_1^'}(lm_1sm_2|jm)(lm_1^'sm_2^'|jm)\delta_{m_1^'m_1^'}\delta_{m_2m_2^'}m_2^'=\sum_{m_1}m_2(lm_1sm_2|jm)^2\;$

(21.27)

To średnia wartość momentu magnetycznego współrzędnej zetowej, wykorzystując przy tym (21.24), jest równa:

$\langle(ls)jm|\hat{\mu}_z|(ls)jm\rangle=\langle(ls)jm|\mu_B(\hat{j}_z+\hat{s}_z)|(ls)jm\rangle=$ $=\mu_B\langle(ls)jm|\hat{j}_z|(ls)jm\rangle+\mu_B\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle=\mu_Bm+\mu_B\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle\;$

(21.28)

Wykorzystując wzory Clebscha-Gordona do wyrażenia (21.27), otrzymujemy:

$\langle(ls)jm|\hat{s}_z|(ls)jm\rangle=\pm{{m}\over{2l+1}}\;$

(21.29)

Mając średnią wartość na moment spinowy (21.29), to można policzyć średni całkowity moment magnetyczny według wzoru na średnią wartość zetowego momentu magnetycznego wedle wzoru (21.28).

$\overline{\mu}_z=\langle(ls)jm|\hat{\mu}_z|(ls)jm\rangle=\mu_B m\pm\mu_B{{m}\over{2l+1}}=\mu_Bm\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)\;$

(21.30)

Będziemy przyjmować, że moment magnetyczny określać będziemy dla stanu, w którym całkowity moment pędu, a właściwie liczba kwantowa charakteryzująca ten stan jest równy magnetycznej liczbie kwantowej$j=m\;$ odpowiedzialnej za zetowy całkowity moment pędu współrzędnej zetowej, to wzór (21.30) przyjmuje postać:

$\overline{\mu}_z=\mu_B(m=j)\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)=\mu_Bj\left(1\pm{{1}\over{2l+1}}\right)=\mu_Bjg\;$

(21.31)

• Współczynnik giromagnetyczny przyjmuje postać:

$g=1\pm{{1}\over{2l+1}}\;$

(21.32)

Ogólnie współczynnik giromagnetyczny, uwzględniający te dwa przypadki wedle wzoru (21.32) (tzn. z plusem lub z minusem), można zapisać w sposób bardziej ogólny według schematu:

$g=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\;$

(21.33)

Całkowity moment pędu "j"jest zależny od orbitalnej liczby kwantowej "l" i spinowej "s" (spin elektronu ma dwa wykluczające sie zwroty) przestawiamy przepisami przy załozeniu, że całkowity moment pędu "j" przedstawiamy w dwojaki sposób:

$j=l+{{1}\over{2}}\;$ (21.34a)

$j=l-{{1}\over{2}}\;$ (21.34b)

$s={{1}\over{2}}\;$ (21.35)

Udowodnimy, że dla tych "s" (21.35) i "j" (21.34a) nasz współczynnik giromagnetyczny (21.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (21.32), który jest zależny tylko od l:

$g_{j=l+{{1}\over{2}},s={{1}\over{2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}= 1+{{(l+{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}}+1)-l(l+1)-{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}}+1)}}=\;$ $=1+{{(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})-l(l+1)-{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=1+{{l^2+{{3}\over{2}}l+{{1}\over{2}}l+{{3}\over{4}}-l^2-l+{{3}\over{4}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}= \;$ $=1+{{l+{{3}\over{2}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}= 1+{{l+{{3}\over{2}}}\over{2(l+{{1}\over{2}})(l+{{3}\over{2}})}}=1+{{1}\over{2l+1}}\;$

(21.36)

Udowodnimy, że dla tych s (21.35) i j (21.34b) nasz współczynnik giromagnetyczny (21.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (21.32), który jest zależny tylko od l, ale tym razem wyrażony z minusem.

$g_{j=l-{{1}\over{2}},s={{1}\over{2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}= 1+{{(l-{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}}+1)-l(l+1)+{{3}\over{4}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(l-{{1}\over{2}}+1)}}=\;$ $=1+{{l^2+{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}l-{{1}\over{2}}-l^2-l+{{3}\over{4}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(l+{{1}\over{2}})}}=1-{{l-{{1}\over{2}}}\over{2(l-{{1}\over{2}})(2l+1)}}=1-{{1}\over{2l+1}}\;$

(21.37)

Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny (21.37) wyraża się wzorem (21.32) dla calego zestawy $j\;$.

W ogólnym przypadku moment magnetyczny cząstki przedstawiamy za pomocą współczynnika żyromagnetycznego orbitalnego $g_l\;$ i współczynnika żyromagnetycznego $g_s\;$:

$\hat{\mu}=g_l\hat{l}+g_s\hat{s}=g_l(\hat{j}-\hat{s})+g_s\hat{s}= g_l\hat{j}+g_s\hat{s}-g_l\hat{s}=g_l\hat{j}+(g_s-g_l)\hat{s}\;$

(21.38)

Dokonując podobnych rachunków jak poprzednio, możemy dojść do wniosku:

$g=g_l\pm{{g_s-g_l}\over{2l+1}}\;$

(21.39)

Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym

Energia układu o pewnym momencie magnetycznym przedstawiana jest wzorem (17.5), zatem operator energii jednocząstkowego modelu w polu magnetycznego zapisujemy:

$\hat{H}=\hat{H}_0+D\hat{l}\hat{s}-{{e}\over{2m_e}}\vec{H}\left(\hat{l}+2\hat{s}\right)\;$

(21.40)

• gdzie hamiltonian w (21.40) w centralnym polu elektrycznym jądra atomowego wodoru.

$\hat{H}_0=-{{\hbar^2}\over{2m_e}}\nabla^2-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r^2}}\;$

(21.41)

Widzimy, że w hamiltonianie (21.40) uwzględniono oddziaływanie orbity ze spinem elektronu (drugi wyraz naszego hamiltonianu $\hat{H}\;$), a także uwzględniono oddziaływanie całkowitego momentu magnetycznego (wraz z momentem magnetycznym pochodzących od spinu elektronu) z polem magnetycznym zewnętrznym (trzeci wyraz rozważanego hamiltonianu).

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że w (21.40) czwarty wyraz jest o wiele większy niż jego drugi składnik, biorąc pod uwagę, że kwantowe momenty pędu spinowego czy orbitalnego są rzędu stałej kreślonej Plancka.

${{e\hbar}\over{2m_e}}>>|D|\hbar^2\;$

(21.42)

We wzorze (21.42) uwzględniono, że oddziaływanie spin-orbita nie jest na tyle mocne od oddziaływania momentu magnetycznego elektronu w polu jadra atomowego w polu silnego zewnętrznego pola magnetycznego. W tym przypadku zaburzeniem w rachunku zaburzeń dla rozważanego hamiltonianu (21.40) nazywamy wyrażenie:

$\delta \hat{H}=D\hat{l}\hat{s}\;$

(21.43)

Cały hamiltonian wraz zaburzeniem uwzględniający wzór (21.43), przyjmuje postać:

$\hat{H}=\hat{H}^'+\delta\hat{H}\;$

(21.44)

• gdzie pierwszy wyraz (operator) w (21.44) jest hamiltonianem niezaburzonym i jest zdefiniowany:

$\hat{H}^'=\hat{H}_0-{{e\vec{H}}\over{2m_e}}(\hat{l}+2\hat{s})\;$

(21.45)

Jeśli założymy, że pole magnetyczne jest zwrócone wzdłuż osi z, to hamiltonian niezaburzony zdefiniowany wedle definicji (21.45) zapisujemy w postaci:

$\hat{H}^'=\hat{H}_0-{{e H_z}\over{2m_e}}(\hat{l_z}+2\hat{s}_z)\;$

(21.46)

Równanie własne przy operatorze (21.46) jest dobrze znane i rozwiązane jest podobne do tego, gdy nie ma spinowego momentu pędu wedle rozdziału Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana. Energia własna operatora (21.46) wraz zaburzeniem do tej energii przyjmuje postać:

$E=E^'+\delta E\;$

(21.47)

• gdzie $E^'\;$ jest to wartość własna dla równania własnego (21.46).

Energia własna hamiltonianu niezaburzonego jest zapisana:

$E^'=E_n-{{e \hbar H_z}\over{2m_e}}(m_l+2m_s)\;$

(21.48)

• Ale $E_n\;$ jest to dobrze znana energia rozpatrywana dla atomu wodoru bez uwzględniania jego spinu i bez oddziaływania spin-orbita.

A zaburzenie do energii, który należy dodać do wartości własnej hamiltonianu, która razem z tą poprawką jest opisywana przez hamiltonian zaburzony (21.47):

$\delta E=D\langle nlm_lsm_s|\hat{l}\hat{s}|nlm_lsm_s\rangle\;$

(21.49)

Wyznaczmy więc to zaburzenie według wzoru (21.49), tak by wyznaczyć wzór (21.47) na całkowitą energię zaburzonego hamiltonianu:

$\langle nlm_lsm_s|\hat{l}\hat{s}|nlm_lsm_s\rangle= \sum_{j^'j}\langle lm_lm_s|jm\rangle\langle lm_lsm_s|j^'m\rangle \langle nlsjm|\hat{l}\hat{s}|nlsj^'m\rangle=\;$ $=\sum_j{{\hbar^2}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]{\langle lm_lsm_s|jm\rangle}^2=(-1)^{m_s-{{1}\over{2}}}{{m_l}\over{2}}\hbar^2\;$

(21.50)

Wzór na całkowitą energię w silnym polu magnetycznym (założenie (21.42)) przedstawia się:

$E=E_n-{{eH_z\hbar}\over{2m_e}}(m_l+2m_s)+(-1)^{m_s-{{1}\over{2}}}{{m_l}\over{2}}\hbar^2D\;$

(21.51)

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że trzeci wyraz (21.40) od drugiego wyrazu są takiego rzędu, że ten pierwszy jest o wiele mniejszy niż drugi:

${{e \hbar H_z}\over{2m_2}}<<|D|\hbar^2\;$

(21.52)

Powyżej wykorzystano, że momenty pędu, czy to spinowe, czy to orbitalnego momentu pędu są rzędu kreślonej stałej Plancka. Widzimy, że pole magnetyczne jest na tyle słabe od oddziaływania spin-orbita, to Hamiltonian (21.40) wraz zaburzeń zapisujemy:

$\hat{H}=\hat{H}^'+\delta \hat{H}\;$

(21.53)

Pierwszy wyraz we wyrażeniu (21.53) jest napisany wedle schematu:

$\hat{H}^'=\hat{H}_0+D\hat{l}\hat{s}\;$

(21.54)

Zaburzenie w (21.53) (drugi wyraz) w całkowitym hamiltonianie zaburzonym jest równe:

$\delta\hat{H}=-{{eH_z}\over{2m_2}}(\hat{l}_z+2\hat{s}_z)\;$

(21.55)

Energia zaburzenia dla operatora zaburzonego (21.55), zapisujemy wedle wzoru (19.18):

$\delta E=\langle nlsjm|\delta\hat{H}|nlsjm\rangle\;$

(21.56)

A całkowita energia układu jądra z elektronem jest równa energii jako wartości hamiltonianu niezaburzonego (21.54) wraz zaburzeniem zdefiniowanym w punkcie (21.56).

$E=E^'+\delta E\;$

(21.57)

Wartość własna stanu niezaburzonego według poprawki obliczonej w (16.56) cząstki ze spinem, gdy mamy oddziaływanie spinu z orbitą wedle wzoru (17.86), mamy tutaj na myśli tylko samą poprawkę, tylko zamiast oscylatora harmonicznego tutaj mamy na myśli elektron krążący wokół jądra atomowego, ale poprawka jest ta sama.

$E^'=E_n+\hbar^2{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\;$

(21.58)

Na podstawie wcześniej obliczonego średniej wartości zetowego momentu pędu $\overline{\mu}_z\;$(spin i orbita) ale przedtem musimy wykorzystać definicję momentu magnetycznego (21.31) ze współczynnikiem zdefiniowanej w sposób ogólny wedle wzoru (21.53), wtedy poprawka do energii własnej operatora energii, czyli wartości własnej zaburzenia hamiltonianu:

$\delta E=-{{em\hbar H_z}\over{2m_2}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\right]\;$

(21.59)

Całkowita energia wraz z obliczonym zaburzeniem do energii hamiltonianu niezaburzonego (21.59) jest równa:

$E=E_n+\hbar^2{{D}\over{2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]+$ $-{{em\hbar H_z}\over{2m_2}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}\over{2j(j+1)}}\right]\;$

(21.60)

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

Zasada superpozycji stanów

Naszym punktem wyjścia będzie równanie własne operatora $\hat{B}\;$, który przedstawiamy wedle przepisu:

$\hat{B}\psi_i=b_i\psi_i\;\;$

(22.1)

Rozwiązaniem tego równania są wektory własne ortogonalne do siebie do delty Diraca lub Kroneckera. Ze względu na zupełność bazy, dowolny stan funkcji$\phi\;$, można przedstawić jak kombinację wektorów bazy $\psi_i\;$, które są rozwiązaniami równania własnego (22.1) przy współczynnikach rozwinięcia $c_i\;$ wedle sposobu:

$\phi=\sum_ic_i\psi_i\;\;$

(22.2)

Jeśli funkcja stanu jest sumą dwóch wektorów prostopadłych do siebie, to funkcję własną tego stanu piszemy:

$\phi=c_1\psi_1+c_2\psi_2\;$

(22.3)

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest opisany przez kwadrat modułu funkcji stanu (22.3):

$|\phi|^2=\phi^*\phi=c_1^2|\psi_1|^2+c_2^2|\psi_2|^2+c_1c_2(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)\;$

(22.4)

W równaniu (22.4) występuje człon interferencyjny, tzn.

$c_1c_2(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)\;$

(22.5)

który nijak nie ma się do doświadczenia. Np. jeśli detektor, który obserwuje z gęstością prawdopodobieństwa $|\psi_1|^2\;$, lub $|\psi_2|^2\;$, i dodatkowo mamy dużo fotonów, i jeśli pierwszy detektor wykrył $n_1\;$ fotonów z pierwszym prawdopodobieństwem w szczelinie 1, a drugi detektor $n_2\;$ w drugiej szczelinie z drugim prawdopodobieństwem, to gęstość znalezienia fotonu jest równa wyrażeniu z teorii prawdopodobieństwa:

${{n_1}\over{n_1+n_2}}|\psi_1|^2+{{n_2}\over{n_1+n_2}}|\psi_2|^2\;$

(22.6)

Widzimy, na podstawie naszych rozważań, że w oświadczeniu układ wybiera pewne funkcje będące wektorami bazy, które są rozwiązaniami równania własnego (22.1), a więc też on wybiera wartości własne odpowiadające tym ściśle określonym wektorom bazy. Tzn. Jeśli w wyniku doświadczenia została wybrana funkcja własna $\psi_i\;$, to zmierzyliśmy obserwable o wartości $b_i\;$, czyli ta funkcja własna odpowiada temu wektorowi ściśle określonemu.

Zespoły czyste i mieszane

Rozważmy dwie szczeliny, przez który mogą przechodzić fotony, to takim stanom, należy przyporządkować funkcje:

$\left({{n_1}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_1$ (22.7)

$\left({{n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_2$ (22.8)

Gęstość uderzenia cząstki w detektor jest równa kwadratowi modułu, który w tym obiekcie funkcja podmodułowa jest sumą funkcji (22.7) i (22.8) wyrażona przez:

$|\psi|^2=\left|\left({{n_1}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_1+\left({{n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_2\right|^2$

(22.9)

Gęstości prawdopodobieństwa wykrycia cząstki w przeciwieństwie do wzoru (22.9) jest to gęstość zaobserwowania fotonu przez detektor jest napisana w sposób:

$\left|\left({{n_1}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_1\right|^2+\left|\left({{n_2}\over{n_1+n_2}}\right)^{1\over 2}\psi_2\right|^2$

(22.10)

Pierwszy wzór dopuszcza superpozycję a drugi nie. Ale jak wiadomo z doświadczenia, drugi wzór realizuje doświadczenie, czyli (22.10), a nie (22.9). Jeśli mamy funkcje własne $f_1,f_2,\ldots,f_n\;$, które są rozwiązaniami określonego równania własnego i które są niezależnymi funkcjami bazy n-wymiarowej, to można dokonać superpozycji tych stanów ze współczynnikami rozwinięcia $c_i\;$:

$f=\sum_ic_i f_i\;$

(22.11)

A więc gęstość znalezienia cząstki, uderzenia elektronu w dany punkt jest równa kwadratowi modułu z funkcji własnej będących kombinacją n-wymiarową bazy i jest przedstawiona wzorem:

$|f|^2=|\sum_ic_if_i|^2\;$

(22.12)

A prawdopodobieństwo wykrycia przez detektor redukuje się do gęstości prawdopodobieństwa $|f_i|^2\;$ jako wyboru jednej funkcji z bazy $f_i$.

Obrazy według Schrodingera i Heisenberga

Rozważmy równanie zależne od czasu równanie Schrödingera, która wprowadza zależność od czasu funkcji falowej, który jest rozwiązaniem równania własnego (10.1), gdy mamy przedstawienie funkcji falowej rozwiązania niezależnego od czasu (7.121) i te dwie funkcje można ze sobą połączyć używając operatora ewolucji (10.35) a tą operację przedstawiamy przy pomocy wzoru (10.42), co tutaj przepiszemy w postaci:

$\psi(x,y,z,t)=e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi(x,y,z)$

(22.13)

Lub odwrotną zależność do (22.13), gdy mamy funkcję $\psi(x,y,z,t)\;$ (która jest rozwiązaniem równania falowego zależnego czasu), to będziemy mogli wyznaczyć funkcję niezależną od czasu $\phi(x,y,z)\;$ (która jest rozwiązaniem równania falowego niezależnego od czasu):

$\phi(x,y,z)=e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi(x,y,z,t)$

(22.14)

Wyznaczmy elementy macierzowe operatora $A^{(S)}\;$ Schrodingera względem funkcji falowych zależnych od czasu przedstawionym wzorem (22.13):

$A^{(S)}_{mm}=\int \psi^{*}\hat{A}^{(S)}\psi_md\tau=\int \left(e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi_m\right)^{*}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi_md\tau= \int \phi^{*}_m e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi_md\tau=$ $=\int\phi^{*}_m\hat{A}^{(H)}\phi_md\tau$  gdzie:  $d\tau=dxdydz$

(22.15)

W powyższym wzorze wprowadzono oznaczenie, które nazwiemy operatorem Heisenberga $\hat{A}^{(H)}\;$:

$\hat{A}^{(H)}=e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}$

(22.16)

Według wzoru (22.15) przedstawia on elementy macierzowe operatora $\hat{A}^{(H)}\;$ względem funkcji własnych niezależnych od czasu równania własnego falowego niezależnego od czasu.

Wprowadzamy $\psi(x,y,z,t)=\psi^{(S)}$,oraz $\phi(x,y,z)=\psi^{(H)}$, otrzymujemy:

$\psi^{(H)}=e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(S)}$

(22.17)

Operator $\hat{U}=e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}$ jest operatorem unitarnym, ponieważ zachodzi warunek dla tych operatorów w postaci (20.62), a jego dowód jest:

$(e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t})^{+}e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=e^{-i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}e^{i{{\hat{H}}\over{\hbar}}t}=e^0=1$

(22.18)

Wyznaczmy element macierzowy operatora $\hat{A}^{(H)}\;$ względem funkcji falowych Heisenberga, które są rozwiązaniami równania falowego niezależnego od czasu, korzystając przy tym, że operator energii jest operatorem hermitowskim:

$A^{(H)}_{nm}=\langle m|\hat{A}^{(H)}|n\rangle=\int{\psi^{(H)}_m}^*\hat{A}^{H}\psi^{(H)}_n d\tau=\int{\psi^{(H)}_m}^{*}e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_nd\tau=$ $=\int(e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_m)^*\hat{A}^{(S)}e^{-i{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi^{(H)}_nd\tau$

(22.19)

Ponieważ zachodzi na podstawie (10.37), to można rozpisać działanie operatora ewolucji na funkcję falową Heisenberga:

$e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\psi_k^{(H)}=\left(1+(-{{i}\over{\hbar}})\hat{H}+\left(-{{i}\over{\hbar}}\right)\hat{H}^2+...\right)\psi^{(H)}_n=\;$ $= \left(1+(-{{i}\over{\hbar}})E_n+\left(-{{i}\over{\hbar}}\right)E^2_n+...\right)\psi^{(H)}_n= e^{-{{iE_k}\over{\hbar}}t}\psi_k^{(H)}$

(22.20)

A zatem równanie (22.19) na podstawie obliczeń (22.20) przyjmuje postać:

$A^{(H)}_{mn}=e^{{{i(E_m-E_n)}\over{\hbar}}t}\int{\psi^{(H)}_m}^*\hat{A}^{(S)}\psi^{(H)}_n d\tau=e^{{{i(E_m-E_n)}\over{\hbar}}t}A^{(S)}_{mn}$

(22.21)

Widzimy, że elementy macierzowe operatora Heisenberga są wyrażone przy pomocy operatorów Schrödingera. Gdy zachodzi n=m, to te dwa operatory są sobie równe

Operatory kreacji i anihilacji

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów

Zapiszmy przy pomocy ketu Diraca stan r-nieoddziaływujących fermionów w postaci wektora Diraca "ket", który opisuje r liczb kwantowych, które są zapisywane przez liczby kwantowe napisana w postaci symbolu ξ_r^(xr), co opisujemy wzorem:

$|\xi_1^{(x_1)}\xi_2^{(x_2)}\ldots\xi_r^{(x_r)}\rangle\;$

(22.22)

• gdzie dolny wskaźnik oznacza numer cząstki, a górny oznacza stan w jakim dana cząstka się znajduje. Np. dla dwóch cząstek definicja tego stanu jest przedstawiana jest jako iloczyn dwóch stanów kwantowych osobnych fermionów, co opisujemy wzorem:

$|\xi^{(x_1)}\xi^{(x_2)}\rangle\equiv|\xi_1^{(x_1)}\rangle|\xi_2^{(x_2)}\rangle\;$

(22.23)

Układ dwóch fermionów dla którego funkcja falowa opisuje stan przez funkcję całkowicie antysymetryczną, tzn. przy zamianie dwóch cząstek pojawia się znak minus przed tą funkcją falową, zatem ten stan opisujemy przez funkcję falową:

$\hat{A}|\xi^{(x_1)}\xi^{(x_2)}\rangle={{1}\over{\sqrt{2}}}\left\{|\xi_1^{(x_1)}\rangle|\xi_2^{(x_2)}\rangle-|\xi_2^{(x_1)}\rangle|\xi_1^{(x_2)}\rangle\right\}\;$

(22.24)

Ustalając w pewien ustalony sposób kolejność stanów, dla wszystkich możliwych, możemy je ponumerować naturalnym wskaźnikiem $i=1,2,3,\ldots\;$, i napisać je będzie można z definicji wprowadzając zamiast parametrów opisujących dany stan kwantowy wprowadzamy liczbę cząstek ν_kznajdujący się w danym stanie kwantowym:

$\hat{A}|\xi_1^{(x_1)}\xi_2^{(x_2)}\ldots\xi_r^{(x_r)}\rangle\equiv|\nu_1\nu_2\nu_3\ldots\nu_s\ldots\rangle\;$

(22.25)

• gdzie $\hat{A}\;$ jest to operator przekształcający stan ξ_k w liczbę cząstek w stanie k z kolei.

Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie

Określmy przez operator$\hat{n}_k\;$ liczby cząstek w danym stanie kwantowym o numerze k i działanie tego operatora na funkcję stanu fermionowego, które to przedstawiamy wedle sposobu poniżej. Widzimy, że podczas działania operatora liczby cząstek działający na stan k-ty, powoduje, że przed funkcją falową wyskakuje liczba cząstek znajdujących się w stanie k, co obrazujemy wzorem:

$\hat{n}_k|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle\equiv \nu_k|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle\;$

(22.26)

• gdzie ν_k jest to liczba cząstek w stanie k z kolei.

Operatory liczby cząstek komutuje z tym samym operatorem liczby cząstek, których te dwa operatory działają na ten sam stan lub różne stany kwantowe fermionowe:

$[\hat{n}_k,\hat{n}_l]=0\;$

(22.27)

a oto dowód wzoru napisanego w punkcie (22.27), wykorzystujący przy tym wzór (22.26), co można zapisać w postaci:

$[\hat{n}_k,\hat{n}_l]|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=\hat{n}_k\hat{n}_l|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle-\hat{n}_l\hat{n}_k|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=\;$ $=(\nu_k\nu_l-\nu_l\nu_k)|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=0\;$

(22.28)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.28) wzór (22.27) został udowodniony w sposób natychmiastowy.

Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji

Wprowadźmy przy pomocy właściwości komutacyjnych nowe operatory $\hat{a}_k\;$ oraz sprzężone po hermitowsku operator $\hat{a}_k^{+}\;$ do operatora a_k, gdzie operator $\hat{a}_k\;$ jest operatorem anihilacji na k-tym miejscu fermionu, a $\hat{a}_k^{+}\;$,jest operatorem kreacji na k-tym miejscu fermionu. Z powodów oczywistych możemy powiedzieć na podstawie powyższych rozważań:

$(\hat{a}_k)^{+}=\hat{a}_k^{+}\;$

(22.29)

Na pomocy definicji sprzężenia podwójnego po hermitowsku dochodzimy do wniosku, że operator $\hat{a}_k^+\;$ jest sprzężony po hermitowsku z operatorem $\hat{a}_k\;$:

$(\hat{a}_k^{+})^{+}=\hat{a}_k;\;$

(22.30)

Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy

Działanie operatora kreacji na stan fermionowy, otrzymujemy pewien stan, gdzie ν_k przyjmują wartości takie jak zero lub jeden, które to w k-tym stanie zwiększa się liczba cząstek o jeden, tzn. jeśli nie było fermionu, to tam pojawia się fermion, a jeśli jest tam fermion, to działanie funkcji operatora kreacji daje nam wynik zerowy w rezultacie.

$\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p(1-\nu_{k})|\nu_1\nu_2...\nu_k+1..\rangle\;$

(22.31)

• gdzie wykładnik p występujący we wzorze (22.31) określamy jako sumę liczby cząstek dla stanów mniejszych niż wskaźnik operatora kreacji.

$p=\sum_{s<k}n_{s}\;$

(22.32)

Działaniem operatora anihilacji na pewien stan fermionowy określamy wzorem poniżej. Widzimy, że operator anihilacji działający na k-ty stan fermionowy, to liczba cząstek w tym stanie zmniejsza się o jeden, tzn. jeśli tam była jakaś cząstka, to w tym stanie ona znika i pojawia się pustka. Jeśli tam nie było cząstki, to działanie operatora anihilacji powoduje zerowy wynik takiej operacji.

$\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_{k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.33)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem $\hat{a}_k^+\hat{a}_k\;$ na pewien stan fermionowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem kreacji na k-ty stan, stąd otrzymany wynik działamy operatorem kreacji, których to liczba k określa jednocześnie anihilację, a później kreację pewnej cząstki w stanie k-tej, wtedy na podstawie tego:

$\hat{a}_k^+\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_k\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle=\nu_k[1-(\nu_k-1)]|\nu_1\nu_2...\nu_k\rangle=\;$ $=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.34)

W obliczeniach (22.34) wykorzystaliśmy tożsamość, którą zapisujemy w postaci:$_{\nu_k[1-(\nu_k-1)]=\nu_k}\;$, co dowód przeprowadzamy wstawiając za n_k liczbę zero albo jedynkę. Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora $\hat{a}_k\hat{a}_k^+\;$, tzn. najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan fermionowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik, co powiemy:

$\hat{a}_k\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p(1-\nu_k)\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle= (1-\nu_k)(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;$ $=(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.35)

Zatem na podstawie wzoru napisanego w punkcie (25.34) (25.35) możemy określić anty-komutację operatora $_{\hat{a}_k^+}\;$ z operatorem $_{\hat{a}_k}\;$, w takim razie biorąc wyniki działania naszego operatora kreacji i anihilacji i odwrotnie, tzn. wynikające z wspominanych obliczeń:

$\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_k\}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(\hat{a}_k^+\hat{a}_k+\hat{a}_k\hat{a}_k^+)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;$ $=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle+(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.36)

Widzimy, że na podstawie obliczeń wynikających z (22.36) działanie składającego się z operatorów kreacji i anihilacji na stan fermionowy jest liczbie jeden pomnożonej przez stan fermionowy. Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania $_{\hat{a}^+_k\hat{a}_l}\;$, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l:

$\hat{a}_k^+\hat{a}_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k+1}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.37)

Naszym dalszym krokiem jest wyznaczenie działania operatorowego, który jest operatorem $\hat{a}_l\hat{a}_k^+\;$ dla k>l, zatem możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla złożenia operatora anihilacji i kreacji:

$\hat{a}_l\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.38)

Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:

$\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l\}|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\left(\hat{a}_k^+\hat{a}_l+\hat{a}_l\hat{a}_k^+\right)|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\;$ $= (-1)^{p_l}(-1)^{p_k+1}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle+\;$ $+(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle=0|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.39)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń (22.36) (dla k równego od l) i (22.39) (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:

$\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l\right\}=\delta_{kl}\;$

(22.40)

Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora $\hat{a}_k\hat{a}_k\;$, że na k-tym miejscu możemy raz anihilować jedną cząstkę, jeśli tam znajdowała się cząstka, ale puste miejsce w takim razie po anihilacji fermionu nie da się z anihilować, ale gdy by tam nie znajdowała się cząstka (fermion), to w takim razie wynik takiego operatora na ten nasz stan fermionowy jest równy zero, w takim razie możemy napisać tożsamość:

$\{\hat{a}_k,\hat{a}_k\}=0\;$

(22.41)

Dalej wyznaczmy działanie operatora $\hat{a}_k\hat{a}_l\;$, gdy zachodzi na pewno k>l, w takim przypadku działanie na wynik działania operatora anihilacji na stan l na funkcję stanu fermionowego jeszcze raz operatorem anihilacji działający tym razem na stan k określamy wzorem:

$\hat{a}_k\hat{a}_l|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k+1}\nu_k\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.42)

Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora $\hat{a}_l\hat{a}_k\;$, gdy zachodzi k>l, możemy napisać tożsamość opisujący działanie operatora anihilacji na k-ty stan fermionowy, którego to wynik działamy znów operatorem anihilacji działający n l-ty stan kwantowy, w takim razie możemy napisać tożsamość matematyczną:

$\hat{a}_l\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}\nu_l\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.43)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (22.43) możemy napisać, że zachodzi tożsamość, która jest również słuszna dla k=l a także dla dowolnego k i l:

$\{\hat{a}_k,\hat{a}_l\}|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(\hat{a}_k\hat{a}_l+\hat{a}_l\hat{a}_k)|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\;$ $=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k+1}\nu_k\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle+(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}\nu_l\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle=0\;$

(22.44)

Wedle przeprowadzonych wywodów (22.43) i (22.44) i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l zachodzi tożsamość poniżej. Ten dowód był przeprowadzany dla k>l lub k=l, ale jest on słuszny dla dowolnego k i l, co wynika symetryczności antykomutatora, ze względu na przestawienie tychże składników:

$\{\hat{a}_k,\hat{a}_l\}=0\;$

(22.45)

Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora $\hat{a}^+_k\hat{a}^+_k\;$, jeśli tam znajdowało się na k-tym miejscu puste miejsce, to tam zostanie wykreowany fermion. Powtórna kreacja fermionu jest niemożliwa, stąd wynika działania kwadrat operatora a_k jest równy zero. Zatem wynik działania antykomutatora określonego tuż poniżej jest równa tożsamościowo zeru.

$\{\hat{a}^+_k,\hat{a}^+_k\}=0\;$

(22.46)

Dalej wyznaczmy działanie operatora $\hat{a}_k\hat{a}_l\;$ gdy zachodzi k>l, zatem możemy napisać tożsamość działania dwóch operatorów anihilacji na stan najpierw na l-ty stan i później na k-ty, które to działają na osobne stany kwantowe fermionowe, zatem wynik takiego działania jest okreslony wzorem:

$\hat{a}^+_k\hat{a}^+_l|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l+1}(-1)^{p_k}(1-\nu_l)(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle\;$

(22.47)

Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora $\hat{a}_l\hat{a}_k\;$, dla którego zachodzi k>l, w których na dany k-ty stan kwantowy działamy operatorem anihilacji, a później na ten uzyskany wynik działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy.

$\hat{a}^+_l\hat{a}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)(1-\nu_l)|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle\;$

(22.48)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (22.47) oraz w punckie (22.48) możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla k>l, co również jest słuszne dla k=l wedle (22.45), stąd jest słuszne dla dowolnego k i l, co wynika z symetryczności po przestawieniu w naszym rozważanym antykomutatorze argumentów:

$\{\hat{a}^+_k,\hat{a}^+_l\}|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(\hat{a}_k\hat{a}_l+\hat{a}_l\hat{a}_k)|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\;$ $=(-1)^{p_l+1}(-1)^{p_k}|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle+(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle=0\;$

(22.49)

Wedle przeprowadzonych wywodów (22.48) i (22.49) i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l:

$\{\hat{a}^+_k,\hat{a}^+_l\}=0\;$

(22.50)

Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów

Operatory $\hat{a}_k\neq \hat{a}_k^{+}\;$ nie są to operatorami hermitowskimi i nie mogą reprezentować żadnej mierzalnej wielkości. Natomiast odpowiednie iloczyny są już operatorami hermitowskimi, bo zachodzi tożsamość poniżej:

$(\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k)^{+}=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$

(22.51)

Wobec tego operator $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$ posiada rzeczywiste wartości własne, i nietrudno je wyliczyć. A oto dowód własności (22.51):

$(\hat{a}^{+}_k\hat{a}_k)^2=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k=\hat{a}_k^{+} (1-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k)\hat{a}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$

(22.52)

Korzystaliśmy tu z właściwości antykomutatora (22.40), zatem otrzymaliśmy własność przy wykorzystaniu ostatnio wspomnianego komutatora. Na podstawie wzoru (22.51) operator $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$,ma wartości własne 0 i 1, a więc takie jak operator liczby cząstek $\hat{n}_k\;$ dla fermionów, bo ten nasz opisywany operator jest operatorem rzutowym, ale dla porządku dziennego udowodnijmy, że on posiada takie wartości własne, a nie inne, korzystając z warunku udowodnionego (22.51). Napiszmy najpierw równanie własne operatora $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$, w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość poniżej:

$\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k|v_i\rangle=\lambda|v_i\rangle\;$

(22.53)

Następnie podziałajmy nastepującym operatorem $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$ lewostronnie obie strony równania (22.53), korzystając na podstawie tożsamości (22.53) dla prawej jego strony, dostajemy równanie:

$(\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k)^2|v_i\rangle=\lambda^2|v_i\rangle\;$

(22.54)

Idąc dalej przekształcając lewą stronę według tożsamości (22.51), dochodzimy więc do wniosku:

$\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k|v_i\rangle=\lambda^2|v_i\rangle\;$

(22.55)

I ostatecznie, jeśli zastosujemy równanie własne (22.53) do równania (22.55) i zastosujemy dla lewej jego strony, dojdziemy więc do wniosku, że powinno zachodzić:

$\lambda|v_i\rangle=\lambda^2|v_i\rangle\;$

(22.56)

Przenosząc całą lewą stronę równania (22.56) na jego prawą stronę i włączając wielkość $|v_i\rangle\;$ za nawias, dochodzimy do wniosku:

$0=(\lambda^2-\lambda)|v_i\rangle\;$

(22.57)

co jedynie jest spełnione dla wartości λ równej 0 lub 1. Czyli operator :$\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k;\;$ ma wartości własne takie jak $\lambda=1\;$ lub $\lambda=0\;$, co zostało udowodnione.

Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$ i operatora $\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\;$ tak że zachodzi $k\neq l\;$, bo dla $k=l\;$ dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości (22.40), określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru (22.50), zatem:

$[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k= \hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l\hat{a}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\hat{a}_k=\;$ $= \hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l+\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l=0\;$

(22.58)

Wobec obliczonego związku (22.58) i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i i-tym stanie (22.27), operator $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$ ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora $\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$ z operatorem liczby fermionów w danym stanie $\nu_k\;$, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:

$\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$

(22.59)

Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji

Wprowadźmy fizyczny stan próżni, tzn. stanu opisywanego przez funkcję, których liczba cząstek we wszystkich stanach jest równa zero, w takim przypadku operator stanu fermionowego jest operatorem zerowym:

$|\nu_1=0,\nu_2=0,\ldots,\nu_s=0,\ldots\rangle\equiv|0\rangle\;$

(22.60)

Z definicji tego stanu otrzymujemy od razu, że operator liczby cząstek działający na k-ty stan kwantowy, daje nam liczbę cząstek równej zero, co zapisujemy wzorem$\hat{n}_k|0\rangle=0\;$, bo w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek.

Korzystając z definicji $\hat{n}_k\;$ zdefiniowanego w punkcie (22.59), dochodzimy do wniosku:

$\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k|0\rangle=0\;$

(22.61)

Ponieważ w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek i nie ma co operatorem anihilacji$\hat{a}_k\;$ robić (usunąć daną cząstkę z tego stanu), więc nic dziwnego, że w tym stanie, że działanie operatora liczby cząstek opisywanego wedle równania (22.61) daje nam końcowy wynik równy zero. Pomnóżmy lewostronnie przez $\langle 0|\;$ równanie (22.61), dostajemy tożsamość:

$\langle 0|\hat{a}^{+}_k\hat{a}_k|0\rangle=0\;$

(22.62)

Obierzmy definicję "ket"-a $|A\rangle\;$ wedle sposobu: $\hat{a}_k|0\rangle=|A\rangle\;$, to mamy $\langle A|A\rangle=0\;$, a zatem z definicji iloczynu skalarnego dostajemy odrazu, że zachodzi A=0.

Policzmy teraz dla przykładu wyrażenie, korzystając przy tym z własności na operatorach kreacji i anihilacji (22.40), a także korzystając z definicji operatora liczby cząstek poprzez operatory kreacji i anihilacji przeprowadzonych wedle punktu (22.58):

$\hat{n}_l\hat{a}^{+}_k|0\rangle=\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\hat{a}_k^{+}|0\rangle=\delta_{kl}\hat{a}^{+}_l|0\rangle-\hat{a}^{+}_l\hat{a}^{+}_k\hat{a}_k|0\rangle=\delta_{kl}\hat{a}_k^{+}|0\rangle\;$

(22.63)

bo drugim wyrazie operator anhilacji nie mam co anihilować w stanie k z kolei, a więc gdy zachodzi k≠1, to możemy powiedzieć:

$\hat{n}_l\hat{a}_k^{+}|0\rangle=0\;$

(22.64)

oraz gdy $k=l\;$, to dochodzimy do wniosku:

$\hat{n}_k\hat{a}_k^{+}|0\rangle=1\cdot \hat{a}_k^{+}|0\rangle\;$

(22.65)

Wyznaczmy wyrażenie w którym w k-tym stanie występuje cząstka i działamy operatorem anihilacji na l-ty stan:

$\hat{a}_l|0,..,1_k,0,..\rangle=\hat{a}_l\hat{a}_k^{+}|0\rangle=(\delta_{kl}-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l)|0\rangle=\delta_{kl}|0\rangle\;$

(22.66)

Zbierając razem interesujące nas wyniki z punktu (22.66), możemy napisać:

$\hat{a}_k|0\rangle=0\;$

(22.67)

bo zero, iż kreator anihilacji nie ma co anihilować w stanie k z kolei. A także równanie, na którym na stan fermionowym, którym na k-tym poziomie jest cząstka i działamy operatorem anihilacji na ten stan i wyniku czego po anihilacji tam cząstki powstaje w ogólności stan próżni:

$\hat{a}_k|0,\ldots,1_k,0,\ldots\rangle=|0\rangle\;$

(22.68)

Jeśli podziałamy operatorem kreacji na k-ty stan kwantowy, w której znajduje się jakiś fermion, to wyniku działania takiego operatora na ten stan powoduje działanie nie wykonalne, a więc wynik działania takiego operatora daje nam liczbę zero.

$\hat{a}_k^{+}|0\rangle=|0,\ldots,1_k,0,\ldots\rangle\;$

(22.69)

Cząstkę można kreować w stanie k ze stanu próżni w stan, której na k tym poziomie fermionowym będzie znajdowała się cząstka po tej operacji, i jeszcze raz działając na ten otrzymany tak stan tym samym operatorem kreacji otrzymamy wynik zerowym, bo nie można kreować na tym samym miejscu dwóch cząstek, które są fermionami. Połóżmy zatem:

$\hat{a}_k^{+}\hat{a}^{+}_k|0\rangle=0\;$

(22.70)

Jeśli działamy operatorem kreacji na stan k_r, a później na stan k_r-1, i na samym ostatku aż do operatora kreacji o numerze k₁, co działanie na stan próżni r- operatorów zapisujemy wzorem opisanych poniżej:

$\hat{a}_{k_1}^{+}\hat{a}_{k_2}^{+}\ldots \hat{a}_{k_r}^{+}|0\rangle=\prod^{r}_{i=1}\hat{a}_{k_i}|0\rangle\;$

(22.71)

Jest to sprzężenie (iloczyn) operatorów kreacji, które powodują powstanie na $k_i\;$-tych miejscach cząstek. Określmy jako liczba cząstek znajdująca się na wszystkich poziomach w stanie fermionowym, których tą liczbę cząstek oznaczamy przez parametr N.

$N=\sum_k\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;$

(22.72)

W równaniu (22.64) oznaczamy całkowitą liczbę cząstek we wszystkich stanach dla $k=0,1,2,3,4,\ldots\;$.

Zdefiniujmy dla przykładu operator, którego definicja jest:

$Q=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle \hat{a}_i^{+}\hat{a}_k\;$

(22.73)

Policzmy elementy macierzowe operatora Q zdefiniowanej w punkcie (22.73) przy pomocy operatora kreacji i anihilacji, w takim przypadku możemy napisać:

$Q_{pr}=\langle p|\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle \hat{a}_i^{+}\hat{a}_k|r\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\langle p|\hat{a}_i^{+}\hat{a}_k|r\rangle=\;$ $=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\langle 0|\hat{a}_p\hat{a}_i^{+}\hat{a}_k\hat{a}_r^{+}|0\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\delta_{pi}\delta_{kr}=\langle p|q|r\rangle\;$

(22.74)

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów

---

Działaniem operatora kreacji dla stanu bozonowego b_k⁺ nazywamy działaniem, która wyniku działania stanu bozonowego zwiększa się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator. Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy:

$\hat{b}_n^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle\;$

(22.75)

We wzorze (22.75) wykorzystaliśmy stan, że ν_l jest stanem, który jest opisany przez liczbę kwantową równej k=0,1,2,3,.. Działaniem operatora anihilacji dla stanu bozonowego a_k nazywamy działaniem, która wyniku działania stanu bozonowego zmiejsza się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator, Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy wzorem:

$\hat{b}_n|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle\;$

(22.76)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem $\hat{b}_k^+\hat{b}_k\;$ na pewien stan bozonowy, zatem na pewien stan kwantowy podziałajmy operatorem anihilacji na k-ty stanie, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji, na ten sam stan:

$\hat{b}_k^+\hat{b}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\hat{b}_n^+\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.77)

Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora $_{\hat{b}_k\hat{b}_k^+}$, tzn., najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan bozonowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik:

$\hat{b}_k\hat{b}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle =\hat{b}_k\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle =(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.78)

Na podstawie wzoru napisanego w punkcie (22.77) i (22.78) możemy określić antykomutację operatora $_{\hat{b}_k}\;$ z operatorem $_{\hat{b}_k^+}\;$:

$[\hat{b}_k,\hat{b}_k^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\left(\hat{b}_k\hat{b}_k^+-\hat{b}_k^+\hat{b}_k\right)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;$ $=(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle-\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=1|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.79)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.79) wynika tożsamość:

$[\hat{b}_k,\hat{b}_k^+]=1\;$

(22.80)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem $\hat{b}_k\hat{b}_l^+\;$ na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, wtedy:

$\hat{b}_k\hat{b}_l^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\hat{b}_k\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\nu_l+1...\rangle=\;$ $=\sqrt{\nu_k(\nu_l+1)}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\nu_l+1...\rangle=\hat{b}_k^+\hat{b}_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;$

(22.81)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.81) można zapisać właściwość:

$[\hat{b}_k,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;$

(22.82)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem $\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$ na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatorem kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji na k-tyn stan kwantowy:

$\hat{b}^+_k\hat{b}^+_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle=\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$

(22.83)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.83) możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia działania obu stron działania operatorów $\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$ i $\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$, co te zależności opisujemy razem we wspomnianym tutaj równaniu:

$[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\;$

(22.84)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem $\hat{b}_l\hat{b}_k\;$ na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:

$\hat{b}_k\hat{b}_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_l}|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle=\hat{b}_l\hat{b}_k\;$

(22.85)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.85) możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia obu stron działania operatorów $\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$ i $\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;$, co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj równaniu:

$[\hat{b}_k,\hat{b}_l]=0\;$

(22.86)

Mnożenie operatorów kreacji (22.86) lub anihilacji (22.84) jest całkowicie przemienne, tzn.:

$\hat{b}_k^{+}\hat{b}_l^{+}=\hat{b}_l^{+}\hat{b}_k^{+}$

(22.87)

stąd w ogólności, mamy: $\hat{b}_k^{+}\hat{b}_{k}^{+}|0\rangle\neq 0$, dla bozonów podobna zależność ma wartość zero. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (22.75) możemy powiedzieć, że operator $_{\hat{b}_k^+\hat{b}_k}\;$ oznacza liczbę cząstek znajdujących się w danym stanie kwantowym, czyli ten operator ma sens ilości cząstek w danym stanie kwantowym i jest zapisana wzorem:

$\hat{n}_k=\hat{b}_k^+\hat{b}_k\;$

(22.88)

Liczba cząstek znajdujących się we wszystkich stanach kwantowych jest zapisana przy pomocy wzoru (22.84):

$N=\sum_k\hat{n}_k=\sum_k\hat{b}^+_k\hat{b}_k\;$

(22.89)

Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Często operator energii całkowitej jest wyrażony poprzez operatory kreacji i anihilacji, np. kolejno nieoddziaływających fermionów, czy to bozonów, w takim przypadku możemy powiedzieć, że hamiltonian:

$\hat{H}=\sum_{\alpha\beta}H_{\alpha\beta}a_{\alpha}^+a_{\beta}\;$ (28.90)

$\hat{H}=\sum_{\alpha\beta}H_{\alpha\beta}b_{\alpha}^+b_{\beta}\;$ (28.91)

Symetrie a prawa zachowania wartości średniej

W prowadźmy pewne początkowe rozważania, które są potrzebne do wykazania, że dany operator powoduje, że jego wartość średnia pewnej wielkości względem hamiltonianu (operatora energii) jest zachowana. Jeśli mamy jakąś funkcję falową $|q\rangle\;$, to po przetransformowaniu jego, po zmianie jakiegoś parametru na przykład obrót o kąt lub przesunięcie o wektor, a nawet przesunięcia w czasie można zapisać w postaci działania operatora $\hat{T}\;$ na stan początkowy naszego układu, tzn. przed dokonaniem pewnych operacji na nim.

$|q'\rangle=\hat{T}|q\rangle\;$

(23.1)

Średnia wartość Hamiltonianu, korzystając przy tym ze wzoru (23.1) w układzie wyrażoną za pomocą funkcji falowej po dokonaniu tejże operacji, wyrazimy ją za pomocą funkcji falowej przed dokonaniem tej operacji:

$\overline{P}'=\int \langle q'|\hat{P}'|q'\rangle d\tau=\int \langle q|\hat{T}^{+}\hat{P}'\hat{T}|q\rangle d\tau\;$

(23.2)

Jeśli średnia ma być zachowana względem jakiegoś parametru bez względu na jakie operacji dokonujemy na układzie, to musi zachodzić:

$\overline{P}=\overline{P}'\;$

(23.3)

Zatem powinno zachodzić równanie opisujące transformację operatora $\hat{P}\;$ z układu po operacji do układu przez naszą operacją, czyli:

$\hat{P}=\hat{T}^{+}\hat{P}'\hat{T}\;$

(23.4)

A ze wzoru (23.4) możemy wyznaczyć operację odwrotną:

$\hat{P}'=\hat{T}\hat{P}\hat{T}^{+}\;$

(23.5)

Wyrażenie (23.5) pozwala przetransformować operator $\hat{P}\;$ z jednych współrzędnych do drugich przy transformacji $\hat{T}\;$, jeśli ket można przetransformować według (23.1). Ale nasz operator $\hat{P}\;$ lub $\hat{P}'\;$jest operatorem hermitowskim, to mamy również wyrażenie (23.5), które można zapisać inaczej:

$\hat{P}'=\hat{T}^{+}\hat{P}\hat{T}\;$

(23.6)

Szczególnym przypadkiem operatora $\hat{P}\;$ może być operator Hamiltonianu, czyli: $\hat{P}=\hat{H}\;$

Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania

Skonstrułujmy operator transformacji unitarnej w postaci wygodnej dla dalszych rozważań, niech tym operatorem będzie operator zdefiniowany przy pomocy operatora $\hat{S}\;$ charakteryzujący naszą wielkość zachowaną na podstawie (12.4), jeśli ten nasz operator nie zależy od czasu i komutacja operatora $\hat{S}\;$ z hamiltonianem jest równa zero, to energia układu jest zachowana względem transformacji $\hat{T}\;$:

$\hat{T}=e^{ia\hat{S}}\;$

(23.7)

Operator (23.7) jest on operatorem unitarnym wedle definicji (23.62), a oto jego dowód:

$\hat{T}^{+}\hat{T}=\left(e^{ia\hat{S}}\right)^{+}e^{ia\hat{S}}=e^{-ia\hat{S}}e^{ia\hat{S}}=e^0=1\;$

(23.8)

Jeśli mamy operator, którego transformujemy według przepisu (23.5), to:

$\hat{H}\rightarrow \hat{H}'=\hat{T}\hat{H}\hat{T}^{+}=e^{ia\hat{S}}\hat{H}e^{-ia\hat{S}}\;$

(23.9)

Rozłóżmy operator unitarny $\hat{T}\;$ (23.7) w szereg Taylora względem wykładnika w nim występującego w operatorze (23.7):

$\hat{T}=\sum_{k=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\;$

(23.10)

A teraz policzmy $\hat{H}^'\;$ (po przetransformowaniu operatorem $\hat{S}\;$ wstawiając operatory $\hat{T}\;$ wedle jego rozwinięcia (23.10) do wzoru na transformację hamiltonianu (23.9) z jednego układu do innego z primem.

$\hat{H}'=\sum_{k=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\hat{H}\sum_{p=0}{{(-ia)^p}\over{p!}}\hat{S}^p=\sum_{k,p=0}{{(ia)^k}\over{k!}}\hat{S}^k\hat{H}{{(-ia)^p}\over{p!}}\hat{S}^p=\;$ $=\sum_{p,n,n \geq p}{{(ia)^{n-p}}\over{(n-p)!}}\hat{S}^{n-p}H(-1)^p{{(ia)^{p}}\over{p!}}\hat{S}^{p}= \sum_{p,n,n \geq p}n!{{(ia)^n}\over{(n-p)!p!}}\left[(-1)^p \hat{S}^{n-p}H\hat{S}^p\right]=\;\;$ $=\sum_{p,n,n \geq p}(ia)^n\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}H\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]=\sum^{\infty}_{n=0}{{(ia)^n}\over{n!}}\hat{W}(n) \;$

(23.11)

Weźmy pod pretekst badań wyrażenie występujące (23.11), które można je prezestawić jako:

$\hat{W}(n)=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]\;$

(23.12)

A $\hat{W}(n)\;$ powinno być równe wyrażeniu zdefiniowanego za pomocą komutatorów, czyli

$\hat{K}(n)=[\hat{S},[\hat{S},[\hat{S},[\hat{S},....[\hat{S},\hat{H}]...]]]]\;$

(23.13)

• gdzie S-ów jest tyle co n

Równoważność wzorów (23.12) i (23.13) udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej. Sprawdźmy czy ta równoważność dla n=1 jest spełniona tożsamościowo. Zatem mamy dla tego "n", czyli $\hat{K}(1)=\hat{S}\hat{H}-\hat{H}\hat{S}=[\hat{S},\hat{H}]=\hat{W}(n)\;$ S-ów jest 1 czyli zgadza się, czyli dla n=1 nasze równoważność jest spełniona. Z założenia indukcyjnego, jeśli mamy $\hat{K}(n)=\hat{W}(n)\;$, to mamy udowodnić wyrażenie na $\hat{K}(n+1)=\hat{W}(n+1)\;$. W ten sposób napiszmy takie wyrażenie, które mamy wedle (23.13) i które jest równy temu wyrażeniu.

$\hat{K}(n+1)=\hat{S}\hat{W}(n)-\hat{W}(n)\hat{S}\;$

(23.14)

I udowodnijmy, że $\hat{K}(n+1)=\hat{W}(n+1)\;$ wedle twierdzenia indukcyjnego, bo udowodniamy równoważność wzorów (23.12) z (23.13). Z wyrażenia na $\hat{K}(n+1)\;$ i $\hat{W}(n)\;$ (23.12), dochodzimy do wniosku:

$\begin{align} \hat{K}(n+1)&=\hat{S}\hat{W}(n)-\hat{W}(n)\hat{S}=\hat{S}\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]-\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]\hat{S}=\\ &=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p+1}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]-\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p}\hat{H}\hat{S}^{p+1}}\over{p!(n-p)!}}\right] \end{align}\;$

(23.15)

W drugim wyrazie wzoru (23.15) zastępujemy wedle schematu $p\rightarrow p-1\;$:

$\hat{K}(n+1)=\sum^{p\leq n}_{p=0}n!\left[{{(-1)^p \hat{S}^{n-p+1}\hat{H}\hat{S}^p}\over{p!(n-p)!}}\right]- \sum^{p\leq n+1}_{p=1}n!\left[{{(-1)^{p-1} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{{(p-1)}!(n-p+1)!}}\right]=\;$ $=\sum^{p\leq n}_{p=1}n!{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\left({{1}\over{p}}+{{1}\over{n-p+1}}\right){{1}\over{(p-1)!(n-p)!}}+\hat{S}^{n+1}\hat{H}+(-1)^{n+1}\hat{H}\hat{S}^{n+1}=\;$ $=\sum^{p\leq n+1}_{p=0}n!{{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{p!(n+1-p)!}}(n+1)=\sum^{p\leq n+1}_{p=0}(n+1)!{{(-1)^{p} \hat{S}^{n+1-p}\hat{H}\hat{S}^{p}}\over{p!(n+1-p)!}}=\hat{W}(n+1)\;$

(23.16)

A zatem udowodniliśmy, że $\hat{W}(n)\;$(23.12) jest równe tożsamościowo wzorowi (23.13). W ten sposób możemy dojść do wniosku, że równanie (23.11), na podstawie udowodnionego ostatniego wzoru na W(n)(23.15), to równanie na $\hat{H}'\;$, który powstaje po przetransformowaniu $\hat{H}\;$ przez operator $\hat{T}\;$ (23.10) względem parametru "a" przy operatorze $\hat{S}\;$, jest wyrażone:

$\hat{H}'=\hat{H}+(ia)[\hat{S},\hat{H}]+{{(ia)^2}\over{2!}}[\hat{S},[\hat{S},\hat{H}]]+{{(ia)^3}\over{3!}}[\hat{S},[\hat{S},[\hat{S},\hat{H}]]]+...\;$

(23.17)

Widać z stąd, że jeśli $[\hat{S},\hat{H}]=0\;$, to $\hat{H}'=\hat{H}\;$, oznacza to, że operator $\hat{H}\;$ jest niezmienniczy ze względu na transformację unitarną $\hat{T}\;$ generowane przez hermitowski operator $\hat{S}\;$.

Wiemy, że zachodzi (12.5) dla operatora $\hat{S}\;$ niezależnego od czasu, i jeśli nasz operator jest niezmienniczy, ze względu na transformacje unitarne $\hat{S}\;$, to ${{d\hat{S}}\over{dt}}=0\;$, co oznacza: $\hat{H}'=\hat{H}\Leftrightarrow \hat{S}=const\;$.

Obroty a prawo zachowania momentu pędu

Napiszmy jak wygląda transformacja obrotu w prawie zachowania momentu pędu. Transformacja odwrotna przekształcająca nowe współrzędne na stare rozważająca obrót wokół osi z, o kąt $\theta\;$ jest napisana wedle schematu:

$x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\;$ (23.18)

$y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\;$ (23.19)

Ze wzorów transformacyjnych, tzn. (23.18) i (23.19) wynikają tożsamości, które bardzo łatwo możemy udowodnić:

${{\partial x}\over{\partial\theta}}=-y\;$ (23.20)

${{\partial y}\over{\partial\theta}}=x\;$ (23.21)

${{\partial z}\over{\partial \theta}}=0\;$ (23.22)

Napiszmy jak wygląda transformacja keta po obróceniu układu współrzędnych o pewien kąt, rozkładając nasz "ket" w szereg Taylora względem kąta $\theta\;$:

$|q\rangle'=|q\rangle+\theta{{\partial |q\rangle}\over{\partial\theta}}+{{\theta^2}\over{2!}}{{\partial^2|q\rangle}\over{\partial\theta^2}}+...\;$

(23.23)

Napiszmy czemu jest równa pochodna cząstkowa pewnego "keta" względem kąta $\theta\;$, korzystając przy tym z definicji operatora współrzędnej zetowego momentu pędu oraz ze wzorów, które wcześniej udowodniliśmy (23.20), (23.21), (23.22):

${{\partial |q\rangle}\over{\partial \theta}}=\sum_i{{\partial|q\rangle}\over{\partial q_i}}{{\partial q_i}\over{\partial \theta}}=-(x{{\partial}\over{\partial y}}-y{{\partial}\over{\partial x}})=-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}|q>\;$

(23.24)

Operator (23.24), wiedząc, że jest to pochodna cząstkowa względem parametru azymutalnego w układzie kulistym, jest równy:

${{\partial}\over{\partial\theta}}=-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}\;$

(23.25)

Definicja wzoru (23.25) jest tożsama z równaniem (5.59).

A zatem do wzoru (23.23) podstawiamy tożsamość (23.25) do rozwiniętego "keta" względem kąta obrotu θ w szereg Taylora według wzoru (23.23):

$|q\rangle'=|q>+\theta(i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}})|q\rangle+{{\theta^2}\over{2!}}(i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}})^2|q\rangle+...=\left\{1+\theta(-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}})|q\rangle+{{\theta^2}\over{2!}}(-i{{\hat{L}_z}\over{\hbar}})^2+...\right\}|q\rangle=\;$ $=e^{-i\theta{{\hat{L}_z}\over{\hbar}}}|q\rangle\;$

(23.26)

A zatem operator transformacyjny, według szeregu (23.26), który można zapisać w postaci zwartej, który działa na ket, i który jest szukanym operatorem $\hat{T}\;$. Uogólnimy nasz wniosek, czyli wzór (23.26) na dowolną oś obrotu równoległą do wektora $\vec{n}\;$:

$\hat{T}=e^{-i\theta{{\vec{n}\hat{L}}\over{\hbar}}}\;$

(23.27)

Jeśli ma być spełnione prawo zachowania momentu pędu, czyli Hamiltonian ma być niezmienniczy przy transformacji generowanej przez operator $\hat{L}\;$, to musi być spełniony warunek:

$0=[H,\vec{n}\hat{L}]=[H,\hat{L}_x]\cos\alpha+[H,\hat{L}_y]\cos\beta+[H,\hat{L}_z]\cos\gamma\;$

(23.28)

co ma być spełnione dla dowolnego wektora $\vec{n}\;$:

$0=[\hat{L}_x,H]=[\hat{L}_y,H]=[\hat{L}_z,H]\;$

(23.29)

Jeśli uwzględnimy spin cząstki, jeśli jakaś cząstka posiada (np. elektrony), tzn. całkowity moment pędu jest równa sumie orbitalnego momentu pędu i spinowego momentu pędu, zatem równanie na tą wielkość zapisujemy:

$\hat{J}_z=\hat{L}_z+\hat{S}_z\;$

(23.310)

to dla osi "z' prawo całkowiego zachowania momentu pędu, czyli korzystając ze związku (23.310), jest wyrażone przez równanie komutacyjne jako suma dwóch komutatorów:

$[\hat{L}_z,\hat{H}]+[\hat{S}_z,\hat{H}]=0\;$

(23.31)

Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej a prawo zachowania pędu

Wcześniej wprowadziliśmy operator obrotu, a teraz wprowadźmy operator przesunięcia w przestrzeni (23.1). Przy przesunięciu o dowolny odcinek pewnego układ współrzędnych, musi być spełniony warunek:$|q(x)\rangle'=|q(x-a)\rangle\;$, co piszemy:

$\hat{T}|q(x)\rangle=|q(x-a)\rangle\;$

(23.32)

Po rozwinięciu w szereg Taylora prawej strony wyrażenia (23.32) względem zmiennej $-a\;$, wtedy działania można napisać wedle:

$\hat{T}|q(x)\rangle=|q(x)\rangle+(-a){{\partial |q(x)\rangle}\over{\partial x}}+{{(-a)^2}\over{2!}}{{\partial^2|q(x)\rangle}\over{\partial x^2}}+...=e^{-a{{\partial}\over{\partial x}}}|q(x)\rangle\;$

(23.33)

Operator przesunięcia $\hat{T}\;$, na podstawie wyrażenia (23.33) można przedstawić:

$\hat{T}=e^{i{{a}\over{\hbar}}i\hbar{{\partial}\over{\partial x}}}=e^{-i{{{a}}\over{\hbar}}\hat{p}_x}\;$

(23.35)

Jeśli uogólnimy to dla wektora operatora pędu, to operator transformacji podczas przesunięcia starego układu współrzędnych o wektor $\vec{a}\;$ jest napisany wedle schematu:

$\hat{T}=\hat{T}_x\hat{T}_y\hat{T}_z=e^{-i{{{a_x}}\over{\hbar}}\hat{p}_x}e^{-i{{{a_y}}\over{\hbar}}\hat{p}_y}e^{-i{{{a_z}}\over{\hbar}}\hat{p}_z}= e^{-i{{a_x\hat{p}_x+a_y\hat{p}_y+a_z\hat{p}_z}\over{\hbar}}}=e^{-i{{{\vec{a}}}\over{\hbar}}\hat{p}}\;$

(23.35)

Tak więc, jeśli Hamiltonian jest niezmienniczy, to komutacja hamiltonianu ze wszystkimi współrzędnymi z osobna jest równa zero, co można zapisać:

$[\hat{H},\hat{p}_x]=[\hat{H},\hat{p}_y]=[\hat{H},\hat{p}_z]=0\;$

(23.36)

Na podstawie (23.37) średni pęd układu jest zachowany.

Transformacja inwersji przestrzeni a prawo zachowania parzystości

Definicja działania operatora inwersji $\hat{P}\;$ na funkcję falową $\psi(\vec{r})\;$ jest przedstawiana:

$\hat{P}\psi(\vec{r})=\psi(-\vec{r})\;$

(23.37)

Widzimy, że podczas działania operatora inwersji argument naszej funkcji falowej, czyli wektor położenia $\vec{r}\;$ zmienia się na wartość z minusem.

Jeśli jeszcze raz podziałamy operatorem parzystości obustronnie na równość (23.37), który przedstawia działanie operatora parzystości:

$\hat{P}^2\psi(\vec{r})=\hat{P}\psi(-\vec{r})=\psi(\vec{r})\;$

(23.38)

Stąd według wyrażenia (23.38), dwa razy działanie operatora inwersji na funkcję falową powoduje, że otrzymamy taką samą funkcję jak przez działaniem, zatem kwadrat operatora inwersji jest operatorem tożsamościowym, co napiszemy poniżej:

$\hat{P}^2=I\;$

(23.39)

Równanie własne operatora inwersji, jak każde inne równanie własne mozemy je przestawić przy pomocy jej wartości własnej:

$\hat{P}\psi(\vec{r})=\pi\psi(\vec{r})\;$

(23.40)

Jeśli podziałamy obustronnie operatorem inwersji ponownie na równanie własne (23.40) korzystając jeszcze raz (23.41) oraz z liniowości operatora inwersji:

$\hat{P}^2\psi(\vec{r})=\hat{P}\pi\psi(\vec{r})\Rightarrow \psi(\vec{r})=\pi\hat{P}\psi(\vec{r})\Rightarrow \psi(\vec{r})=\pi^2\psi(\vec{r})\;$

(23.41)

Aby powyższe równanie było prawdziwą tożsamością dla dowolnego $\psi(\vec{r})\;$, że kwadrat operatora inwersji jest równa jeden wedle (2.39), to musi na pewno zachodzić:

$\pi^2=1\;$

(23.42)

Na podstawie (23.42) wartością własną operatora inwersji, która jest wartością własną równania własnego (23.40), przyjmująca dwie wartości:

$\pi=-1,1\;$

(23.43)

Operatory hamiltonianu i inwersji są operatorami inwersji komutującymi, jeśli założymy, że hamiltonian jest operatorem parzystym, tzn. $\hat{H}(\vec{r})=\hat{H}(-\vec{r})\;$, którego dowód przeprowadzimy poniżej:

$\hat{P}\hat{H}(\vec{r})\psi(\vec{r})=\hat{H}(-\vec{r})\psi(-\vec{r})=\hat{H}(\vec{r})\psi(-\vec{r})=\hat{H}(\vec{r})\hat{P}\psi(\vec{r})\Rightarrow \left(\hat{P}\hat{H}-\hat{H}\hat{P}\right)\psi(\vec{r})=0\;$

(23.44)

Na podstawie obliczeń, które przeprowadziliśmy w punkcie (23.44) i samej definicji komutatora dostajemy, że operator całkowitej energii i operator hamiltonianu komutują ze sobą, czyli te operatory wobec siebie są przemienne:

$[H,\hat{P}]=0\;$

(23.45)

Co oznacza, że operator inwersji$\hat{P}\;$ i $\hat{H}\;$ mają jednakowe funkcje własne. Podziałajmy operatorem $\hat{P}\;$ na funkcję $\hat{H}\psi(r)\;$, korzystając przy tym, że hamiltonian $\hat{H}\;$ komutuje z operatorem inwersji $\hat{P}\;$, to otrzymamy pewne wyrażenie z funkcją $\hat{H}\psi(r)\;$ i przy nim stojącym czynnikiem $\pi\;$:

$\hat{P}(\hat{H}\psi(r))=\hat{H}\hat{P}\psi=\hat{H}\pi\psi(r)=\pi(\hat{H}\psi(r))\;$

(23.46)

Z powyższych obliczeń wynika własność:

$\pi=(-1)^p\;$

(23.47)

A więc dla p parzystych wartość własna operatora parzystości jest$\pi=1\;$, a dla p nieparzystych zachodzi $\pi=-1\;$.

Napiszmy funkcję, która jest rozwiązaniem pewnego równania, która dzieli się na cześć radialną i kątową, która przy założeniu naszym musi być funkcją kulistą.

$\psi_{nlm}=f_n(r)Y_{lm}(\theta\phi)\;$

(23.48)

Korzystając z (7.90) i (7.105) oraz korzystając z tego że zmienna u jest równa dokładnie wyrażeniu $\cos\phi\;$, a zatem napiszmy czemu jest równe to wyrażenie:

$Y(180^o+\theta,180^o-\phi)=\;$ $=e^{im(180^o+\theta)}(1-u(180^o-\phi)^2)^{|m|}{{d^{l+|m|}}\over{du^{l+|m|}(180^o-\phi)}}\left\{(1-u(180^o-\phi)^2)^l\right\}=\;$ $=(-1)^me^{im\theta}(1-u^2)^{|m|}{{1}\over{(-1)^{l+|m|}}}{{d^{l+|m|}}\over{du^{l+|m|}}}\left\{(1-u^2)^l\right\}={{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}Y_{lm}(\theta\phi)\;$

(23.49)

Gdy magnetyczna liczba kwantowa $m\;$ jest większa lub równa zero, to współczynnik w równaniu (23.49) ma się:

${{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}=(-1)^{-l}=(-1)^l\;$

(23.50)

Gdy magnetyczna liczba kwantowa $m\;$ jest mniejsza niż zero, to współczynnik w równaniu (23.49) ma się:

${{(-1)^m}\over{(-1)^{l+|m|}}}={{({-1})^m}\over{(-1)^{l-m}}}=(-1)^{m-l+m}=(-1)^{-l+2m}=(-1)^{l}\;$

(23.51)

Z własności funkcji sferycznych (na podstawie (23.50) lub (23.51)), wynika:

$Y(180^o+\theta,180^o-\phi)=(-1)^lY_{lm}(\theta\phi)\;$

(23.52)

A teraz podziałajmy operatorem inwersji na funkcję falową zdefiniowanej za pomocą funkcji falowej zdefiniowaną wedle wzoru (23.49) jako iloczynu funkcji radialnej i funkcji kulistej:

$\hat{P}\psi_{nlm}(\vec{r})=\psi_{nlm}(-\vec{r})=f_n(r)Y(180^o+\theta,180^o-\phi)\;$

(23.53)

Według wzoru (23.53) (działania operatorem inwersji na funkcję falową), korzystając przy tym z równania (23.52) (czemu jest równe Y(180^o+θ,180^o-φ)), wtedy:

$\hat{P}\psi_{nlm}(r)=(-1)^l\psi_{nlm}(r)\;$

(23.55)

Z stąd wniosek na podstawie równania (23.54), który mamy na pewno, że wartość własna zależna od orbitalnej liczby kwantowej, która jest wykładnikiem potęgi o podstawie równej minus jeden:

$\pi=(-1)^l\;$

(23.55)

Co jest wartością własną rozwiązania operatora parzystości funkcji własnej (23.48), a która z kolei jest iloczynem funkcji radialnej i funkcji kulistej Y_lm(θφ). Ponieważ operator parzystości nie zależy od czasu, a także operator całkowitej energii całkowitej (hamiltonian) (hamiltonian jest parzysty) komutuje według z nim według (23.45), według wzoru (12.4) operator parzystości jest niezależny od czasu.

Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona

Wyprowadzimy teorie kwantową relatywistyczną Kliena-Gordona, która nie uwzględnia spinu opisywanej cząstki w porównaniu z teorią Diraca, który uwzględnia spin tejże cząstki. Z szczególnej teorii względności mamy wyrażenie wiążące energię relatywistyczną cząstki z jej wartością pędu oraz masą spoczynkową, która może przyjmować każdą nieujemną wartość tejże wielkości:

$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\;$

(24.1)

Wykorzystując równanie (24.1) i zastępując kwadrat wektora relatywistycznego pędu kwadratem operatora pędu (5.8), dostajemy:

$E\psi=(-c^2\hbar^2\nabla^2+m_0^2c^4)\psi\;$

(24.2)

A równanie zależne od czasu zapisujemy podobnie jak (24.2), wychodząc z równania (24.1), piszemy:

$\left(i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}\right)^2\psi=\left(-\hbar^2c^2\nabla^2+m_0^2c^4\right)\psi\;$

(24.3)

W lewej stronie równania (24.3) wykonujemy podnoszenie do kwadratu operatora pochodnej względem czasu wraz z pewnym urojonym czynnikiem:

$-\hbar^2{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\psi=\left(-\hbar^2c^2\nabla^2+m_0^2c^4\right)\psi\;$

(24.4)

Dzielimy obie strony równania (24.4) przez wyrażenie, która jest w pewnym rodzaju stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła: $-\hbar^2c^2\;$:

${{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\psi=\left(\nabla^2-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi\;$

(24.5)

Przenosimy wyrazy z drugimi pochodnymi cząstkowymi względem czasu i położenia na lewą stronę równania (24.5), a pozostałe na jej prawą stronę, otrzymujemy:

$\left(\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\right)\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(24.6)

Prowadźmy nowe oznaczenie i oznaczmy je operatorem d'Alemberta wiążące drugie pochodne względem wszystkich współrzędnych czasoprzestrzennych jakie występują w szczególnej teorii względności:

$\square=\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\;$

(24.7)

Wtedy równanie różniczkowe drugiego rzędu (24.6), korzystając przy tym z definicję operatora d'Alemberta (24.7), przechodzi w bardzo prostą postać, w której z prawej strony występują tylko stałe, tzn. masa spoczynkowa cząstki masowej i w sposób liniowy funkcja falowa, a jeśli masa cząstki jest równa zero (np. cząstki, które są fotonami), ta prawa strona jest zawsze równa zero niezależnie jaką mamy do dyspozycji funkcję falową jaką otrzymamy w wyniku rozwiązania funkcji falowej równania zależnego od czasu Klieina-Gordona.

$\square\psi={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi\;$

(24.8)

Jeżeli cząstka znajduje się w polu elektromagnetycznym, to dodatkowa energia w tym polu jest związana z energią potencjalną cząstki mającej ładunek o wartości "q", jest to całkowita energia w tymże polu potencjalnym, z którego wyprowadzimy energią cząstki, którą miałby bez pola skalarnego elektrycznego $E\;$, ma wartość:

$E'=E+q\varphi\Rightarrow E=E'-q\varphi\;$

(24.9)

Podobnie uogólniony pęd cząstki może być zmieniony przez wektorowy potencjał pola elektromagnetycznego związany o dodatkowy człon związany z ładunkiem cząstki i potencjałem wektorowym:

$p'=p+q\vec{A}\Rightarrow p=p'-q\vec{A}\;$

(24.10)

Po tych udogodnieniach, tzn.: (24.9) (energia całkowita primowana cząstki w polu skalarnym elektrycznym) i (24.10) (pęd primowany cząstki w polu potencjału wektorowego magnetycznego), mamy:

$\left\{i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}-q\varphi\right\}^2\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi+m_0^2c^4\psi\;$

(24.11)

Jest to równanie Kleina-Gordona zależne od czasu analogiczne do (24.3), bo w nim nie występuje parametr skalarny energii cząstki, ale w nim zamiast niego są pochodne czasowe funkcji falowej. A równanie Kleina-Gordona niezależne od czasu, w którym nie występują pochodne zależne od czasu, natomiast parametr energii cząstki występuje, przyjmuje kształt:

$\left\{E-q\varphi\right\}^2\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi+m_0^2c^4\psi\;$

(24.12)

Równanie Schrödingera jako szczególny przypadek teorii kwantów Kliena-Gordona

Równanie niezależne od czasu jest w postaci (24.12). Energia całkowita cząstki możemy wyrazić w zależności od sumy jej energii mechanicznej znanej z mechaniki klasycznej będących sumę energii kinetycznej i potencjalnej, też składa się z energii spoczynkowej (ta energia posiadana jest przez cząstkę, gdy ona spoczywa) znanej ze szczególnej teorii względności, która jest przestawiona jako:

$E=m_0c^2+E^'\;$

(24.13)

Równanie (24.13), która jest równaniem dokładnym podstawmy do równania Kliena-Gordona nie zależnego od czasu (24.12), dostajemy równość:

$(m_0c^2+E^'-q\varphi)^2\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi+m_0^2c^4\psi\;$

(24.14)

Dokonujemy działań z lewej stronie równości różniczkowej (24.14), która występuje przed funkcją falową, dostajemy:

$(m^2_0c^4+{E^'}^2+q\varphi+2m_0c^2E^'-2m_0c^2q\varphi)\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi+m_0^2c^4\psi\;$

(24.15)

Dokonując redukcji pewnych wyrazów, które są takie same jak po lewej i prawej stronie naszego równania:

$({E^'}^2+q\varphi+2m_0c^2E^'-2m_0c^2q\varphi)\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi\;$

(24.16)

Ponieważ energia mechaniczna cząstki i jego energia potencjalna są o wiele mniejsza od jego energii spoczynkowej tej samej korpuskuły, więc możemy to nasze równanie zapisać w przybliżeniu:

$2m_0c^2(E^'-q\varphi)\psi=(-i\hbar c\nabla-qc\vec{A})^2\psi\;$

(24.17)

Dzielimy obie strony równania (24.17) przez podwojoną energię spoczynkową naszej badanej cząstki$2m_0c^ 2\;$, dostajemy:

$(E^'-q\varphi)\psi={{(-i\hbar \nabla-q\vec{A})^2\psi}\over{2m_0}}\;$

(24.18)

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, która jest iloczynem potencjału skalarnego cząstki i wartości ładunku cząstki na jej prawą stronę równania (24.18):

$E^'\psi=\left({{(-i\hbar \nabla-q\vec{A})^2}\over{2m_0}}+q\varphi\right)\psi\;$

(24.19)

Równanie (24.19) jest równaniem niezależnym od czasu Schrödingera (7.123). Zatem udowodniliśmy, że równanie Schrödingera jest szczególnym przypadkiem równania z mechaniki kwantowej relatywistycznej Kliena-Gordona dla energii cząstki mechanicznej o wiele mniejszej od jej energii spoczynkowej, którą można obliczyć z równań z szczególnej teorii względności.

Ruch swobodny elektronu według teorii Kliena-Gordona

Mamy sobie równanie Kliena-Gordona zależne od czasu w postaci (24.8), a jego funkcje własne opisujących cząstkę swobodną nieoddziaływającej z żadnym polem skalarnym i wektorowym pola elektromagnetycznego zapisujemy w postaci:

$\psi=Ae^{{{i}\over{\hbar}}\left(\vec{p}\vec{r}-Et\right)}\;$

(24.20)

Widzimy, że jest to funkcja falowa związana z wektorem pędu cząstki i jej energii relatywistycznej, który jest opisana dla wszystkich punktów czasowych i położeniowych cząstki o wszystkich wektorach wodzących jaką dana cząstka może posiąść. Podstawmy rozwiązanie w postaci funkcji falowej (24.20) do równania Kliena-Gordona zależnego od czasu (24.8), dostajemy wtedy równanie algebraiczne:

$A\left(-{{\vec{p}^2}\over{\hbar^2}}+{{E^2}\over{c^2\hbar^2}}\right)e^{{{i}\over{\hbar}}\left(\vec{p}\vec{r}-Et\right)}={{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}Ae^{{{i}\over{\hbar}}\left(\vec{p}\vec{r}-Et\right)}\;$

(24.21)

Podzielmy równość (24.21) przez zawsze niezerową wielkość ${{A}\over{\hbar^2}}e^{{{i}\over{\hbar}}\left(\vec{p}\vec{r}-Et\right)}\;$, bo funkcja eksponecjalna jest zawsze niezerowa przy niezerowym parametrze A, dostajemy tożsamość:

$-\vec{p}^2+{{E^2}\over{c^2}}=m_0^2c^2\;$

(24.22)

Pomnóżmy obie strony równania (24.22) przez kwadrat prędkości światła w próżni: $c^2\;$, i przemieszczając odpowiednie wyrazy w nim, tak by po prawej stronie był tylko kwadrat całkowitej relatywistycznej energii cząstki, wtedy mamy:

$\vec{p}^2c^2+m_0^2c^4=E^2\;$

(24.23)

W ruchu swobodnym elektronu według teorii Kleina-Gordona energia cząstki E jest powiązana z jej wartością pędu według (24.23) i z masą spoczynkową taką samą zależnością jak w szczególnej teorii względności.

Atom wodoru według teorii Kleina-Gordona

W teorii Kleina-Gordona przy opisie atomu wodoru przyjmujemy potencjał w polu jądra atomowego wodoru, którego ładunek wynosi e, który charakteryzuje prawo Coulomba, który jest potencjałem skalarnym elektrycznym zależnych od promienia kulistego r w odległości od położenia jądra atomu, który zapisujemy w postaci:

$\varphi={{e}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\;$

(24.24)

A ponieważ elektron "krążący" wokół jadra ma ładunek ujemny, równy ładunkowi elementarnemu ze znakiem minus, czyli:$q=-e\;$, zatem samo równanie zależne od czasu (24.11) przyjmuje postać przy zerowym potencjale wektorowym i potencjale skalarnym różnych od zera wyraźnie według wzoru (24.24):

$\left(i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)^2\psi\left(r,t\right)=\left(-i\hbar c\nabla\right)^2\psi\left(r,t\right)+m_0^2c^4\psi\left(r,t\right)\;$

(24.25)

W pierwszym wyrazie z prawej strony wykonujemy w nim napisane potęgowanie iloczynu operatora pierwszej pochodnej względem współrzędnych przestrzennych i wartości urojonej, stąd w ostatecznych perypetiach dochodzimy:

$\left(i\hbar{{\partial}\over{\partial t}}+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)^2\psi\left(r,t\right)=-\hbar^2c^2\nabla^2\psi\left(r,t\right)+m_0^2c^4\psi\left(r,t\right)\;$

(24.26)

Obierzmy rozwiązanie równania różniczkowego (24.26) jako funkcję falową o amplitudzie zależnym od wektora położenia jakie ten nasz elektron może przyjmować:

$\psi\left(r,t\right)=\varphi\left(r\theta\phi\right) e^{-{{iE}\over{\hbar}}t}\;$

(24.27)

Widzimy, że te nasze rozwiązanie jest zależne od całkowitej relatywistycznej energii cząstki, którego wartość liczymy w czasie "t", po podstawieniu prawdopodobnego rozwiązania (24.27) do równania (24.26), otrzymujemy równość różniczkową:

$\left(E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)^2\varphi\left(r\right)e^{-{{iE}\over{\hbar}}t}=-\hbar^2c^2\nabla^2\varphi\left(r\right)e^{-{{iE}\over{\hbar}}t}+m_0^2c^4\varphi\left(r\right) e^{-{{iE}\over{\hbar}}t}\;$

(24.28)

Dzieląc obie strony przez niezerową zawsze funkcję eksponencjalną, która wynika z jej własności, czyli przez$e^{-{{iE}\over{\hbar}}t}\;$ dla równania różniczkowego (24.28):

$\left(E^2+{{e^4}\over{16\pi^2r^2}}+2E{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0r}}\right)\varphi=-\hbar^2c^2\Delta\varphi+m_0^2c^4\varphi\left(r\right)\;$

(24.29)

Przenosimy wszystkie wyrazy z jej prawej strony na jej lewą w równaniu (24.29) i dzielimy obustronnie owe równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła$\hbar^2c^2\;$, dostajemy równanie różniczkowe drugiego stopnia względem współrzędnej przestrzennej:

$\Delta\varphi\left(r\right)+ \left\{{{E^2-m_0^2c^4}\over{\hbar^2c^2}}+{{2Ee^2}\over{\hbar^2c^2 4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r}}+{{e^4}\over{\hbar^2c^216\pi^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{r^2}}\right\}\varphi=0\;$

(24.30)

Napiszmy jako rozwiązanie równania (24.30), który posiada amplitudę rozwiązania zależnego tylko od położenia radialnego i współrzędnych przestrzennych elektronu podanej w punkcie we wzorze (24.27), który jest w iloczynem funkcji kulistej $Y\left(\theta\phi\right)\;$ przez iloraz pewnej funkcji zależnej od położenia radialnego przez to właśnie położenie radialne, innymi słowy jest to funkcja zależne od zmiennych kątowych i położenia radialnego w układzie kulistym jakie może przyjmować elektron:

$\varphi\left(r\right)={{u_l\left(r\right)}\over{r}}Y\left(\theta\phi\right)\;$

(24.31)

Wykorzystujemy definicję kwadratu operatora nabla$\nabla^2\;\;$, czyli operatora delty $\Delta\;$, we współrzędnych kulistych jako funkcję położeń radialnych i kątowych w postaci (5.41), równanie (24.30) po podstawieniu naszego rozwiązania (24.31), w którym chcemy znaleźć funkcje $u_l(r)\;$ zależne od liczby falowej l i położenia radialnego:

${{1}\over{r}}{{\partial^2}\over{\partial r^2}}u_l\left(r\right)Y\left(\theta\psi\right)+{{u_l\left(r\right)}\over{r^3}}\Lambda\left(\theta\psi\right)Y\left(\theta\psi\right)+ \left\{{{E^2-m_0^2c^4}\over{\hbar^2c^2}}+{{2Ee^2}\over{\hbar^2c^2 4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r}}+{{e^4}\over{\hbar^2c^216\pi^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{r^2}}\right\}\cdot\;$$\cdot{{u_l\left(r\right)}\over{r}}Y\left(\theta\psi\right)=0\;$

(24.32)

Mnożymy obie strony strony równania różniczkowego (24.32) przez współrzędną radialną $r\;$, dostajemy równość:

${{\partial^2}\over{\partial r^2}}u_l\left(r\right)Y\left(\theta\psi\right)+{{u_l\left(r\right)}\over{r^2}}\Lambda\left(\theta\psi\right)Y\left(\theta\psi\right)+ \left\{{{E^2-m_0^2c^4}\over{\hbar^2c^2}}+{{2Ee^2}\over{\hbar^2c^2 4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r}}+{{e^4}\over{\hbar^2c^2 16\pi^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{r^2}}\right\}\cdot\;\;$ $\cdot u_l\left(r\right)Y\left(\theta\psi\right)=0\;$

(24.33)

Dzielimy obie strony równania (24.33) przez funkcję kulistą, którą jak wiemy jest zależna tylko od współrzędnych kątowych azymutalnej i zenitalnej, czyli$Y\left(\theta\psi\right)\;$, zatem otrzymujemy wyrażenie:

${{\partial^2}\over{\partial r^2}}u_l\left(r\right)+{{u_l\left(r\right)}\over{r^2}}{{\Lambda\left(\theta\psi\right)Y\left(\theta\psi\right)}\over{Y\left(\theta\psi\right)}}+ \left\{{{E^2-m_0^2c^4}\over{\hbar^2c^2}}+{{2Ee^2}\over{\hbar^2c^2 4\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r}}+{{e^4}\over{\hbar^2c^2 16\pi^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{r^2}}\right\}u_l\left(r\right)=0\;$

(24.34)

Napiszmy równość własną kwadratu momentu pędu przez jego wartości własne zależne od kwantowej liczby orbitalnej l, czyli jako równania własnego:$\hat{l}^2\psi=\hbar^2 l(l+1)\psi\;$, i wykorzystując definicję kwadratu operatora momentu pędu w postaci (5.43) i wykorzystujemy, że funkcje własne rozważanego operatora są to funkcje kuliste $Y_{lm}\;$, a wartości własne kwadratu operatora momentu pędu to są wartości (7.86), wtedy równanie (24.34) przechodzi w wyrażenie zależne tylko od położenia radialnego r we współrzędnych kulistych w równanie:

${{\partial^2u}\over{\partial r^2}}+\left\{{{E^2-m_0^2c^4}\over{\hbar^2c^2}}+ {{2Ee^2}\over{\hbar^2c^24\pi\epsilon_0}}{{1}\over{r}}-{{l\left(l+1\right)-\left({{e^2}\over{\hbar c 4\pi\epsilon_0}}\right)^2}\over{r^2}}\right\}u=0\;$

(24.35)

Obierzmy jako stałe występujące w dyspucie (24.35), które są zależne od energii całkowiej cząstki relatywistycznej, ale nie wszystkie, są one zdefiniowane:

$\gamma={{\sqrt{m_0^2c^4-E^2}}\over{\hbar c }}\;$ (24.36)

$\beta={{2Ee^2}\over{\hbar^2c^24\pi\epsilon_0}}\;$ (24.37)

$\alpha={{e^2}\over{\hbar c 4\pi\epsilon_0}}\;$ (24.38)

Po dokonanych podstawieniach zdefiniowanych stałych (24.36) (stała $\gamma\;$ zależna od masy spoczynkowej cząstki i jej energii relatywistycznej E), (24.37) (stała $\beta\;$ zależna tylko od energii relatywistycznej cząstki) i (24.38) (stała $\alpha\;$ zwana inaczej stałą struktury subtelnej), ponadto wszystkie te stałe zależą od stałych fizycznych, omawiane stałe w powyższych trzech ostanich równaniach podstawiamy do równania różniczkowego (24.35), mamy ostatecznie inny równoważny wzór:

${{d^2u}\over{dr^2}}+\left[-\gamma^2+{{\beta}\over{r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha^2}\over{r^2}}\right]u=0\;$

(24.39)

Równaniem asyptotycznym do wyrażenia (24.39), które jest słuszne dla r nieskończonego, jest równaniem w postaci równania różniczkowego:

${{d^2u\left(r\right)}\over{dr^2}}=\gamma^2 u\left(r\right)=0\;$

(24.40)

*gdzie jego rozwiązaniem jest wyrażenie funkcja eksponencjalna z argumentem iloczynu stałej $\gamma\;$ przez położenie radialne r i ten obiekt jest ze znakiem minus:

$u\left(r\right)=e^{\pm\gamma r}\;$

(24.41)

Wybieramy znak minus, bo w nieskończoności nasze wyrażenie znika, ze względu by funkcja (24.41) była całkowalna z kwadratem dla całej jego zmienności względem r, bo dla rozwiązania z plusem w nieskończonościach dąży do plus nieskończoności, czyli to rozwiązanie odrzucamy i pozostaje nam rozwiązanie eksponencjalne z minusem.

$u\left(r\right)=e^{-\gamma r}\;\;$

(24.42)

Obierzmy rozwiązanie równania (24.39) według rozwiązania asymptotycznego (24.42) przy amplitudzie zależnym tylko od współrzędnej r:

$u\left(r\right)=v\left(r\right)e^{-\gamma r}\;$

(24.43)

I policzmy pochodne wyrażenia (24.43), tzn. jego pierwszą i drugą podchodną względem współrzędnej radialnej:

• pierwsza pochodna (24.43) względem współrzędnej radialnej r.

${{du}\over{dr}}={{dv\left(r\right)}\over{dr}}e^{-\gamma r}-v\left(r\right)\gamma e^{-\gamma r}=e^{-\gamma r}\left({{dv\left(r\right)}\over{dr}}-v\left(r\right)\gamma\right)\;$

(24.44)

• druga pochodna (24.43), a więc jego pierwsza pochodna wyrażenia pierwszej pochodnej (24.44) względem współrzędnej radialnej r.

${{d^2u}\over{dr^2}}=e^{-\gamma r}\left({{d^2v\left(r\right)}\over{dr^2}}-2{{dv\left(r\right)}\over{dr}}\gamma+\gamma^2\right)\;$

(24.45)

Podstawiamy (24.44) (pierwszą pochodną (24.23)) i (24.45) (druga pochodna (24.23)) do równania różniczkowego (24.39), otrzymujemy równanie różniczkowe opisującą funkcję v(r) względem współrzędnej r:

$e^{-\gamma r}\left({{d^2v\left(r\right)}\over{dr^2}}-2{{dv\left(r\right)}\over{dr}}\gamma+v\left(r\right)\gamma^2\right)+\left\{-\gamma^2+{{\beta}\over{r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha^2}\over{r^2}} \right\}v\left(r\right)e^{-\gamma r}=0\;$

(24.46)

Równanie (24.46) dzielimy obustronnie przez zawsze niezerową i dodatnią funkcję eksponencjalną $e^{-\gamma r}\;$ i redukujemy po pewnych wyrazach:

${{d^2v\left(r\right)}\over{dr^2}}-2{{dv\left(r\right)}\over{dr}}\gamma+\left\{{{\beta}\over{r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha^2}\over{r^2}}\right\}v\left(r\right)=0\;$

(24.47)

Obierzmy szereg, który jest funkcją tylko względem współrzędnej radialnej, w której występuje nieskończenie wiele współczynników $a_i\;$, którego jest rozwiązaniem równości (24.47) w postaci nieskończonego szeregu potęgowego:

$v\left(r\right)=\sum^{\infty}_{i=1}a_i r^{\omega+i}\;$

(24.48)

Policzmy pierwszą pochodną względem współrzędnej radialnej r szeregu potęgowego (24.48):

${{dv\left(r\right)}\over{dr}}=\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)r^{\omega+i-1}\;$

(24.49)

Policzmy teraz drugą pochodną v(r) względem r szeregu potęgowego (24.48), a więc pierwszą pochodną szeregu (24.49), która jest jakoby piszemy ją względem r w wspomnianym szeregu:

${{d^2u\left(r\right)}\over{dr^2}}=\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)r^{\omega+i-2}\;$

(24.50)

Podstawiamy funkcję potęgową (24.48) oraz pierwszą (24.49) i drugą pochodną (24.50), zależne od r, do tożsamości różniczkowej (24.47):

$\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)r^{\omega+i-2}-2\gamma\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)r^{\omega+i-1}+ \left\{{{\beta}\over{r}}-{{l\left(l+1\right)-\alpha^2}\over{r^2}}\right\}\sum^{\infty}_{i=1}a_i r^{\omega+i}=0\;$

(24.51)

Po lewej stronie równości (24.51) a właściwie jego ostatni wyraz, a w nim dokonajmy tam odpowiednich wymnożeń, dostajemy:

$\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)r^{\omega+i-2}-2\gamma\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)r^{\omega+i-1}+\beta\sum^{\infty}_{i=1}a_ir^{\omega+i-1}+\;\;$ $-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)\sum^{\infty}_{i=1}a_ir^{\omega+i-2}=0\;$

(24.52)

Dla drugiego i trzeciego wyrazu równania (24.52) podstawmy tam wedle schematu$i\rightarrow i-1\;\;$, w taki sposób, by otrzymać w tychże wspomnianych wyrazach potęgi położenia radialnego r o wykładnikach $\omega+i-2\;$, zatem:

$\sum^{\infty}_{i=1}a_i\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)r^{\omega+i-2}-2\gamma\sum^{\infty}_{i=2}a_{i-1}\left(\omega+i-1\right)r^{\omega+i-2}+\beta\sum^{\infty}_{i=2}a_{i-1}r^{\omega+i-2}+\;\;$ $-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)\sum^{\infty}_{i=1}a_ir^{\omega+i-2}=0\;$

(24.53)

W (24.53) dokonajmy tam odpowiednich grupowań wyrazów względem tych samych współczynników o tych samych indeksach dla tych samych potęg przy r-ach:

$-\sum^{\infty}_{i=2}a_{i-1}\left[2\gamma\left(\omega+i-1\right)-\beta \right] r^{\omega+i-2}+\sum_{i=2}^{\infty}a_ir^{\omega+i-2}\left[\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)\right]+\;$ $+a_1\left[\left(\omega+1\right)\left(\omega\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)\right]r^{\omega+i-2}=0\;$

(24.54)

Ponieważ $a_1\;$ w (24.54) powinno być dowolne, zatem współczynnik stojący przy tym współczynniku powinien być równy zero, a więc:

$\left(\omega+1\right)\left(\omega\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)=0\Rightarrow\omega^2+\omega-l\left(l+1\right)+\alpha^2=0\;$

(24.55)

Z którego wyróżnik trójmianu równania kwadratowego ostatniego wynikowego (24.55) jest równy:

$\Delta=1^2+4\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)=1+4l^2+4l-4\alpha^2=(1+2l)^2-4\alpha^2\;$

(24.56)

Widzimy, że jest ona zależna od kwadratu stałej struktury subtelnej $\alpha\;$ ((24.38)) i od orbitalnej liczby kwantowej l, która jest częścią wartości własnej operatora kwadratu momentu pędu. Stąd stała $\omega\;$ jest rozwiązaniem (24.55):

$\omega={{-1\pm\sqrt{\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2}}\over{2}}\;$

(24.57)

wybieramy wyrażenie $\omega\;$ ze znakiem plus a nie z minusem, ponieważ by szereg (24.48) nie miał minusowych potęg, bo gdy by miał, to osobliwość występowała by dla r=0, czyli musi zachodzić $\omega\geq -1\;$. Zatem sprawdźmy nasze przypuszczenia: ${{-1\pm\sqrt{\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2}}\over{2}}\geq-1\Rightarrow \pm\sqrt{\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2}\geq -1\Rightarrow \mp \sqrt{\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2}\leq 1\;$

Widzimy, że wyrażenie w (24.57) wyrażenie z plusem spełnia nasz warunek dla dowolnych l, a z minusem:

$\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2\leq 1\Rightarrow 1+2l\leq \sqrt{1+4\alpha^2}\;$

tylko dla l=0, zatem nasz wybór stał się trafny. Zatem wybieramy w (24.57) rozwiązanie równania kwadratowego (24.55) z plusem, czyli rozwiązanie w postaci:

$\omega={{-1+\sqrt{\left(1+2l\right)^2-4\alpha^2}}\over{2}}\;$

(24.58)

Podobnie jak mamy w mechanice nierelatywistycznej kwantowej przy opisie atomu wodoru, trzeba urwać tutaj na pewnym wyrazie, ponieważ rozwiązanie bez urwania dąży asyptotycznie do nieskończoności, a bez urwaniu dla dużych równanie (24.54) ma się jako:

$a_{i}=a_{i-1}{{2\gamma\left(\omega+i-1\right)-\beta}\over{\left(\omega+i\right)\left(\omega+i-1\right)-\left(l\left(l+1\right)-\alpha^2\right)}}\rightarrow a_i=a_{i-1}{{2\gamma}\over{i}}\Rightarrow a_n\sim {{\left(2\gamma\right)^n}\over{n!}}\;$

(24.59)

Zatem współczynniki $a_n\;$ są to współczynniki rozwinięcia funkcji $e^{2\gamma r}\;$ co jest oczywiste, że dla r nieskończonych, ta funkcja dąży do nieskończoności, zatem należy urwać na pewnym $i=\sigma+1\;$, by nie było nieskończonych funkcji własnych czyli niecałkowalnych z kwadratem, zatem na podstawie (24.50), jeśli $a_{\sigma}\neq 0\;$ i $a_{\sigma+1}\;$ i następne współczynniki by były równe zero, licznik czynnika stojącego przy $a_{\sigma}\;$ musi być równy zero, to na podstawie tego zachodzi:

$\beta-2\gamma\left(\omega+i-1\right)=0\Rightarrow\beta=2\gamma\left(\omega+i-1\right)\;$

(24.60)

Teraz podstawiamy, za $\omega\;$ obliczonego wedle wzoru (24.58) do tożsamości przedstawionej w (24.60):

$\beta=2\gamma\left(-{{1}\over{2}}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}+i-1\right)\;$

(24.61)

Ponieważ przyjeliśmy, że szereg (24.48) urywa się na wyrazie $\sigma>0\;$, bo jest spełniony warunek (24.60), czyli powinno zachodzić:

$v\left(r\right)=\sum^{\sigma}_{i=1}a_i e^{\omega+i}\;$

(24.66)

Zatem szereg się zeruje dla nie mniejszych niż$i=\sigma+1\;$, dla którego wyrazy szeregu potegowego (24.48) i na tej podstawie spełniony jest wzór (24.66), wedle tych dysput dostajemy wzór (24.61) w bardziej zwartej postaci zapisanej wedle:

$\beta=2\gamma\left(\sigma-{{1}\over{2}}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)\;$

(24.63)

Wzory opisujące pewne stałe, czyli:(24.36) (stała $\gamma\;$), (24.37) (stała $\beta\;$) i (24.38) (stała $\alpha\;$) podstawiamy do wyrażenia (24.63) pod te omawiane stałe, wtedy dostajemy równoważne do poprzedniewgo równanie:

${{2Ee^2}\over{\hbar^2c^24\pi\epsilon_0}}=2{{\sqrt{m_0^2c^4-E^2}}\over{\hbar c }}\left(\sigma-{{1}\over{2}}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)\;$

(24.64)

Podnieśmy obie strony tożsamości (24.64) do kwadratu, by w nim zlikwidować wszystkie występujące pierwiastki i dlatego dokonujemy tejże operacji:

${{E^2e^4}\over{\hbar^4c^4\pi^2\epsilon_0^2}}= \left[{\left(m_0^2c^4-E^2\right)\over{h^2c^2}}\right] \left({\sigma-{{1}\over{2}}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}}\right)^2\;$

(24.65)

Pomnóżmy obustronnie wyrażenie (24.65) przez pewną stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła $\hbar^2 c^2\;$, ono przyjmuje kształt:

${{E^2e^4}\over{\hbar^2c^216\pi^2\epsilon_0^2}}=\left[{\left(m_0^2c^4-E^2\right)}\right]\left(\sigma-{{1}\over{2}}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)^2\;$

(24.66)

Korzystajmy teraz z definicji $\alpha\;$ (24.38) dla wyrażenia (24.66), owe równanie da się przedstawić wedle uproszczonego sposobu:

$E^2\alpha^2=\left[m_0^2c^4-E^2\right]\left(\sigma-{{1}\over{2}}+ \sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)^2\;$

(24.67)

Idąc dalej, obierzmy parametr $\zeta\;$, który podstawimy do wzoru (24.67) ułatwiający nam pewne określone późniejsze przekształcenia, który ten parametr jest zdefiniowany:

$\zeta=\left(\sigma-{{1}\over{2}}+ \sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)^2\;$

(24.68)

A zatem z (24.67) według parametru zdefiniowanego w (24.68), otrzymujemy pewne wyrażenie z którego będziemy wyznaczać energię cząstki (elektronu):

$E^2\alpha^2=\left(m_0^2c^4-E^2\right)\zeta\Rightarrow E^2\left(\alpha^2+\zeta\right)=m_0^2c^4\zeta\;$

(24.69)

W ostatnim wynikowym równaniu (24.69) wyznaczamy czemu jest równa energia cząstki relatywistycznej w zależności od masy spoczynkowej elektronu, kwadratu struktury subtelnej i parametru $\zeta\;$

$E={{m_0c^2\sqrt{\zeta}}\over{\sqrt{\alpha^2+\zeta}}}\Rightarrow E={{m_0c^2}\over{{\sqrt{{{\alpha^2}\over{\zeta}}+1}}}}\;$

(24.70)

Następnie wykorzystując definicję $\zeta\;$ napisaną wedle wzoru (24.68) jako funkcję orbitalnej liczby kwantowej i parametru $\sigma\;$, biorąc to wszystko do równania (24.70), mamy:

$E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{\left(\sigma-{{1}\over{2}}+ \sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\right)^2}}}}}\;$

(24.71)

Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą $n^'\;$, która jest zależna od kwantowej liczby orbitalnej, stałej struktury subtelnej i elementu $\sigma\;$, który piszemy:

$n'=\sigma-{{1}\over 2}+\sqrt{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2-\alpha^2}\;$

(24.72)

Wzór (24.71) po podstawieniu do niego wyrażenia na zmienną $n^'\;$ napisaną wedle wzoru (24.72) ma się:

$E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{n'^2}}}}}\;$

(24.73)

Rozłóżmy wyrażenie (24.73) w szereg Taylora względem parametru $\alpha^2\;$, czyli kwadratu stałej strukury subtelnej. Wyrażenie (24.73) przyjmuje wartość dla $\alpha=0\;$:

$E\left(\alpha=0\right)=m_0c^2\;$

(24.74)

Pierwsza pochodna wyrażenie (24.73) zapisujemy wedle sposobu licząc ją względem kwadratu struktury subtelnej:

${{dE}\over{d\alpha}}=-{{1}\over{2}}{{m_0c^2}\over{\left(1+{{\alpha^2}\over{n'^2}}\right)^{{3}\over{2}}}}{{\alpha^2}\over{n'^2}}=-{{1}\over{2}}m_0c^2\left(1+{{\alpha^2}\over{n'^2}}\right)^{-{{3}\over{2}}}{{1}\over{n'^2}}\;$

(24.75)

Wartość pierwszej pochodnej (24.75) wyrażenia (24.73), względem kwadratu struktury subtelnej dla parametru α równej zero, piszemy:

${{dE}\over{d \alpha}}\left(\alpha=0\right)=-{{1}\over{2}}m_0c^2{{1}\over{n'^2}}\;$

(24.76)

Druga pochodna wyrażenia (24.73) względem kwadratu struktury subtelnej, a więc pierwsza pochodna (24.75) ma kształt:

${{d^2E}\over{d\alpha^2}}=\left(-{{1}\over{2}}\right)\left(-{{3}\over{2}}\right)m_0c^2{\left(1+{{\alpha^2}\over{n'^2}}\right)}^{-{5\over 2}}{{1}\over{n'^4}}\;$

(24.77)

Wyrażenie (24.77) jako druga pochodna względem wspomnianego parametru dla $\alpha=0\;$ przyjmuje postać:

${{d^2E}\over{d\left(\alpha^2\right)^2}}\left(\alpha=0\right)={{1 3}\over{2 2}}m_0c^2{{1}\over{n'^4}}\;$

(24.78)

A zatem rozwinięcie (24.73), według (24.74) (wartość funkcji dla stałej struktury subtelnej równej zero), (24.76) (pierwsza pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), (24.78) (druga pochodna względem kwadratu struktury subtelnej dla niej równej zero), te nasze rozwinięcie z dokładnością do wyrazów drugiego rzędu:

$E={m_0c^2}\left(1-{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{n'^2}}+{{3}\over{8}}{{\alpha^4}\over{n'^4}}+...\right)\;$

(24.79)

Wiemy, jednak że na podstawie definicji zmiennej $n^'\;$ zdefiniowanej wedle równości (24.72) i przybliżając ją względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, wtedy ten parametr piszemy:

$n'=\sigma-{{1}\over{2}}+\left(l+{{1}\over{2}}\right) \sqrt{1-{{\alpha^2}\over{{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2}}}}\simeq\;$ $\simeq\sigma-{{1}\over{2}}+\left(l+{{1}\over{2}}\right)\left\{ 1-{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^2}}-{{\alpha^4}\over{2\cdot4}}{{1}\over{\left(l+{{1}\over{2}}\right)^4}}+...\right\}\simeq\;$ $\simeq\sigma-{{1}\over{2}}+l+{{1}\over{2}}-{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{l+{{1}\over{2}}}}+ {{\alpha^4}\over{2\cdot4\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}=\sigma+l-{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{l+{{1}\over{2}}}}- {{\alpha^4}\over{8\left(l+{{1}\over{2}}\right)^3}}\;$

(24.80)

Określmy $n=\sigma+l\;$, zatem z definicji $\sigma\;$, która jest większa niż jeden, zatem orbitalna liczba kwantowa przyjmuje takowe wartości skwantowane:

$l=0,1,2,...,n-1\;$

(24.81)

Ostatecznie wzór na zmienną $n^'\;$ napisany w sposób przybliżony względem małego parametru kwadratu struktury subtelnej, dla którego ta nasza zmienna jest zdefiniowana wedle wzoru (24.80), jest napisana:

$n'\simeq n\left(1-{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{n\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}- {{\alpha^4}\over{8n\left(l+{{1}\over{2}}\right)^3}}\right)\;$

(24.82)

Określmy odwrotność parametru $n^'\;$ napisaną w sposób przybliżony (24.82), dokonując dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występująca po jedynce:

${{1}\over{n'}}\simeq {{1}\over{n}}{{1}\over{1-{{\alpha^2}\over{2n\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}- {{\alpha^4}\over{8n\left(l+{{1}\over{2}}\right)^3}}}}\simeq{{1}\over{n}}\left[1+{{\alpha^2}\over{2n\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}\right]=\;$

(24.83)

Dalej kwadrat odwrotności zmiennej $n^'\;$ wyrażenia (24.82), pisać go z dokładnością do wyrazów kwadratowych wielkości α, bo w (24.79) w drugim wyrazie w nawiasie występuje kwadrat tej wspomnianej wielkości:

${{1}\over{n'^2}}\simeq {{1}\over{n^2}}\left(1+{{1}\over{2}}{{\alpha^2}\over{\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}\right)^2\simeq{{1}\over{n^2}}\left(1+{{\alpha^2}\over{l+{{1}\over{2}}}}\right)\;$

(24.84)

Podstawiamy wzór (24.84) (kwadrat odwrotności zmiennej $n^'\;$) do (24.79) będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru do drugiego wyrazu w nawiasie, dostajemy:

$E\simeq{m_0c^2}\left(1-{{\alpha^2}\over{2n^2}}\left(1+{{\alpha^2}\over{n\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}\right)+{{3}\over{8}}{{\alpha^2}\over{n^4}}\right)={m_0c^2}\left[1-{{\alpha^2}\over{2n^2}}-{{\alpha^4}\over{2n^3\left(l+{{1}\over{2}}\right)}}+{{3}\over{8}}{{\alpha^4}\over{n^4}}\right]=\;$ $=m_0c^2\left[1-{{\alpha^2}\over{2n^2}}-{{\alpha^4}\over{2n^3}}\left({{{1}\over{l+{{1}\over{2}}}}}-{{3}\over{4n}}\right)\right]\;$

(24.85)

Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne jest równy energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od orbitalnej liczby kwantowej, ale głównej w trzecim jego składniku, jest ona również zależna od czynnika struktury subtelnej $\alpha\;$, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany, zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa:

$E=m_0c^2+E_0+E_0{{\alpha^2}\over{n}}\left({{1}\over{l+{{1}\over{2}}}}-{{3}\over{4n}}\right)\;$

(24.86)

• gdzie energia $E_0\;$, którą jak udowodnimy jest energią obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej:

$E_0=-m_0c^2{{\alpha^2}\over{2n^2}}=-m_0c^2{{e^4}\over{\hbar^2 c^2 16\pi^2\epsilon_0^2}}{{1}\over{2n^2}}=-{{m_0c^2 e^4}\over{\hbar^2c^2 32\pi^2\epsilon_0^2}}=-{{m_0e^4}\over{8h^2\epsilon_0 n^2}}\;$

(24.87)

Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową l=0, a l=n-1, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle (24.81):

$E_n\left(l=n-1\right)-E_n\left(l=0\right)=E_0{{\alpha^2}\over{n}}\left({{1}\over{n-{{1}\over{2}}}}- {{1}\over{{{1}\over{2}}}}\right)=E_0{{\alpha^2}\over{n\left(2n-1\right)}}\left(2-2\left(2n-1\right)\right)=\;$$=E_0\alpha^2{{-4n+4}\over{n\left(2n-1\right)}}\simeq-2E_0{{\alpha^2}\over{n}}\;$

(24.88)

Jak widać rozszczepienie jest rzędu $10^{-4}\;$, jednak rozszczepienie przewidywane przez teorię Kleina-Gordona jest dwukrotnie większe niż uzyskano doświadczalnie.

Relatywistyczna teoria kwantów Diraca

Poniższy wywód ma na celu wprowadzenie równań mechaniki kwantowej relatywistycznych Diraca. Głównym zarzutem do relatywistycznych równań Kleina Gordona w postaci zależnej i niezależnej od czasu polegał na zakwestionowaniu postaci kwadratowej równań relatywistycznej mechaniki kwantowej:

$\hat{H}^2\psi=E^2\psi$ (25.1)

$(i\hbar)^2{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}=\hat{H}^2\psi$ (25.2)

A zamiast równań (25.1) (równania niezależnego od czasu) i (25.2) (równania zależnego od czasu) należy włożyć natomiast równania, w których operator całkowitej energii cząstki jest w potędzie pierwszej:

$\hat{H}\psi=E\psi$ (25.3)

$\hat{H}\psi=i\hbar{{\partial\psi}\over{\partial t}}$ (25.4)

Chcemy napisać równanie kwantowe relatywistyczne w analogii do równania (24.1) wychodząc z wyrażenia na energię relatywistyczną cząstki, znana w szczególnej teorii względności jako związek energii relatywistycznej związaną z jej wartością pędu i masą spoczynkową cząstki, jeśli istnieje:

$E=\sqrt{c^2p^2+m_0^2c^2}$

(25.5)

Zastępując w (25.5) kwadrat wektora pędu przez kwadrat operatora pędu, wtedy możemy określić operator Hamiltonianu:

$\hat{H}=\sqrt{c^2\hat{p}^2+m_0^2c^4}$

(25.6)

Dokonajmy lineryzacji Hamiltonianu (25.6) pisząc go:

$\hat{H}=\sqrt{c^2\hat{p}^2+m_0^2c^4}=c\hat{\alpha}\hat{p}+m_0c^2\hat{\beta}$

(25.7)

Podnosimy obie strony operatorowej tożsamości operatorowej (25.7) do kwadratu, by otrzymać pewne związki operatorowe na operatorach $\hat{\alpha}^2\;$ i $\hat{\beta}\;$, a także z operatorami pędu, po zrobieniu tej operacji otrzymujemy tożsamość operatorową:

$c^2\hat{p}^2+m_0^2c^4=c^2(\alpha\hat{p})^2+m_0^2c^4\hat{\beta}+m_0c^3(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+m_0c^3\hat{\beta}(\hat{\alpha}\hat{p})$

(25.8)

Ponieważ prawa i lewa strona tożsamości (25.8) oznacza to samo wyrażenie operatorowe, więc możemy je porównać, by otrzymać jakie związki operatorowe zachodzą, zatem porównujemy prawą i lewą stronę prawdziwej tożsamości wspomnianej tożsamości, ostatecznie otrzymujemy:

$\hat{p}^2=(\hat{\alpha}\hat{p})^2$ (25.9)

$1=\hat{\beta}^2$ (25.10)

$0=(\alpha\hat{p})\hat{\beta}+\hat{\beta}(\hat{\alpha}\hat{p})$ (25.11)

Równanie operatorowe (25.9) możemy rozpisać, wykonując po prawej jego stronie pod potęgowanie, rozpisując coś w rodzaju iloczynu skalarnego, ale to wyrażenie nim nie jest, w postaci kwadratu sumy iloczynów odpowiednich współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$ i odpowiednich operatorów pędu:

$\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=(\hat{\alpha}_x \hat{p}_x+\hat{\alpha}_y \hat{p}_y+\hat{\alpha}_z\hat{p}_z)^2$

(25.12)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi prawej strony tożsamości (25.12) i wykonując je na operatorach:

$\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2= \hat{\alpha}_x^2\hat{p}_x^2+\hat{\alpha}_y^2\hat{p}_y^2+\hat{\alpha}_z^2\hat{p}_z^2+\alpha_x\alpha_yp_xp_y+\alpha_y\alpha_x\hat{p}_y\hat{p}_x+\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_z \hat{p}_x\hat{p}_y+\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\hat{p}_y\hat{p}_z+$ $+\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z \hat{p}_y\hat{p}_z+\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_y\hat{p}_z\hat{p}_y$

(25.13)

Po dalszych przekształceniach (25.13), korzystając z definicji antykomutatorów grupując odpowiednie wyrazy występujące w nim:

$\hat{p}^2=\hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2=\hat{\alpha}_x^2\hat{p}_x^2+\hat{\alpha}_y^2\hat{p}_y^2+\hat{\alpha}_z^2\hat{p}_z^2+\{\alpha_x,\alpha_y\}\hat{p}_x\hat{p}_y+\{\hat{\alpha}_x,\hat{\alpha}_z\} \hat{p}_x\hat{p}_y+\{\hat{\alpha}_y,\hat{\alpha}_z\}\hat{p}_y\hat{p}_x$

(25.14)

Porównujemy lewą i prawą stronę tożsamości operatorowej (25.14), otrzymujemy, że kwadrat współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$ jest równy jedynce, czyli:

$\alpha^2_x=\alpha^2_y=\alpha_x^2=1$

(25.15)

a także wychodzą definicję antykomutatorów napisanych za pomocą współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$:

$\{\alpha_x,\alpha_y\}=0\;$ (25.16)

$\{\alpha_y,\alpha_z\}=0\;$ (25.17)

$\{\alpha_x,\alpha_z\}=0\;$ (25.18)

Lub ogólnie można zapisać wykorzystując (25.15), a także działania na antykomutatorach (25.16), (25.17) oraz (25.18), wykorzystując te wszystkie wymienione związki, możemy zapisać ogólną tożsamość operatorową:

$\{\alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij}\;$

(25.19)

Natomiast wiemy, że zachodzi (25.10), oraz wiemy, że operatory współrzędnych pędu$\hat{p}_i$ i operator $\hat{\beta}$ komutują ze sobą. zatem możemy dojść do wniosku:

$\{\alpha\hat{p},\hat{\beta}\}=0\Rightarrow\{\alpha_i\hat{\beta}\}=0\mbox{ i=x,y,z}$

(25.20)

Z tożsamości (25.10) możemy dojść do wniosku, że to równanie możemy zapisać w postaci operatorowej, którego pokrótce udowodnimy:

$(\hat{\beta}-1)(\hat{\beta}+1)=0\;$

(25.21)

A oto dowód tożsamości (25.21), gdy zachodzi (25.10), udowodnimy, że te równości oznaczają to samo:

$(\beta-1)(\beta+1)=\hat{\beta}^2+\beta-\beta-1=0$

(25.22)

Na podstawie obliczeń (25.22) wychodząc z (25.21) dochodzimy do tożsamości operatorowej (25.10). Co oznacza, że wartościami własnymi operatora $\hat{\beta}$ według równości operatorowej (25.21) są jego wartości własne w postaci liczb 1 oraz -1. Również operatory $\hat{\alpha}_i$, dla których zachodzi (25.15), podobnie jak przy $\hat{\beta}\;$ posiadają one wartości własne równe 1 lub -1, bowiem można je zapisać w postaci podobnej do (25.21), tylko zamiast operatora $\hat{\beta}\;$ występują odpowiednie współrzędne operatora $\hat{\alpha}\;$, zatem każda taka sama współrzędna ma takie same wartości własne.

Równanie własne Diraca w polu potencjalnym elektrycznym i w potencjale wektorowym otrzymujemy podstawiając (24.9) (energia cząski w polu potencjalnym elektrycznym) oraz (24.10) (pęd cząstki w polu potencjału wektorowego magnetycznego) podstawiając do definicji hamiltonianu Diraca do (25.7) i ostatecznie wykorzystując równanie własne operatora energii (25.3):

$\left[c\hat{\alpha}(\hat{p}-q\hat{A})+m_0c^2\hat{\beta}\right]\psi=\left(E-q\varphi\right)\psi$

(25.23)

zatem nasz Hamiltonian określmy przenosząc wyraz związany z polem potencjalnym skalarnym elektryczny w równaniu własnym (25.23) na jej lewą stronę, otrzymamy równanie własne operatora, który nazwiemy hamiltonianem, a jego definicja jest wedle:

$\hat{H}=c\hat{\alpha}(\hat{p}-q\vec{A})+m_0c^2\hat{\beta}+q\varphi$

(25.24)

Widzimy, że hamiltonian (25.24) jest zależny od potencjału wektorowego pola magnetycznego i skalarnego pola elektrycznego.

Uogólnienie klasycznego Hamiltonianu o moment magnetyczny elektronu

Ukrytą zaletą równań Diraca jest to, że zawiera w sobie informacje o spinie elektronu. Jeśli taki elektron umieścimy w polu magnetycznym, to ono uzyska dodatkową energię$\Delta E=-\vec{\mu}\vec{H}$, którą wyrazimy za pomocą momentu magnetycznego znajdujący się w polu magnetycznym o pewnym natężeniu.

Przenosimy wyraz związany z energią potencjalną cząstki, czyli$e\varphi$ na lewą stronie równania (25.3) z prawej jego strony, a następnie podzielmy obustronnie przez c, też obustronnie podnosimy do kwadratu, wszystkie te operację przedstawiamy je jako:

${{\hat{H}+e\varphi}\over{c}}=\hat{\alpha}(\hat{p}-e\vec{A})+m_0c\hat{\beta}\Rightarrow\left({{\hat{H}-e\varphi}\over{c}}\right)^2=[\hat{\alpha}(\hat{p}-e\vec{A})+m_0c\hat{\beta}]^2$

(25.25)

Następnie korzystamy, że operatory współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$, czyli $\hat{\alpha}_i\;$ i operatora $\hat{\beta}\;$, które za sobą antykomutują, zatem na podstawie równości (25.20) tożsamość (25.25) można przestawić przez:

$\left({{\hat{H}+e\varphi}\over{c}}\right)^2=[\alpha(\hat{p}-e\hat{A})]^2+m_0^2c^2$

(25.26)

Pierwszy wyraz występujący po prawej stronie wzoru (25.26) możemy rozpisać jako iloczyn dwóch takich samych operatorów i wymnożyć je względem siebie. W tym rozpisaniu tego iloczynu występują wyrazy mieszane i niemieszane, przy czym pierwszy wyraz niemieszany zapisujemy:

$[\alpha_x(\hat{p}_x-eA_x)]^2=\alpha_x(\hat{p}_x-eA_x)\alpha_x(\hat{p}_x-eA_x)=\alpha_x^2(\hat{p}_x-eA_x)^2=(\hat{p}_x-eA_x)^2$

(25.27)

A teraz podejmować się będziemy do wyznaczenia wyrazów mieszanych, tzn. wyrazów, w których występują różne współrzędne tej samej wielkości operatorowej, w tym przypadku poniżej występując współrzędne iksowe i ikregowe:

$\alpha_x(\hat{p}_x-eA_x)\alpha_y(\hat{p}_y-eA_y)+\alpha_y(\hat{p}_y-eA_y)\alpha_x(\hat{p}_x-eA_x)=$ $=-e\alpha_x\alpha_y\left[\hat{p}_x(A_y\cdot)-A_x\hat{p}_y +\hat{p}_y(A_x\cdot)-A_y\hat{p_x}\right]=$ $=-e\alpha_x\alpha_y \left[\hat{p}_xA_y+A_y\hat{p}_x-A_x\hat{p}_y+A_x\hat{p_y}+p_yA_x-A_y\hat{p_x}\right]=$ $=-e\alpha_x\alpha_y(-i\hbar)\left({{\partial A_y}\over{\partial x}}-{{\partial A_x}\over{\partial y}}\right)=e\hbar(i\alpha_x\alpha_y)H_z$

(25.28)

Niech będą zdefiniowane nowe operatory $\hat{\sigma}\;$, który ma odpowiednie trzy współrzędne, które zapisujemy za pomocą współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$:

$\hat{\sigma}_x=-i\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z$ (25.29)

$\hat{\sigma}_y=-i\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x$ (25.30)

$\hat{\sigma}_z=-i\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y$ (25.31)

Na podstawie (25.29), (25.30), (25.31) oraz (25.28), także na podstawie obliczeń pomocniczych (25.27) (wyrazy niemieszane) i (25.28) (wyrazy mieszane) równanie (25.26) przyjmuje kształt:

$\left({{\hat{H}+e\varphi}\over{c}}\right)^2=\left(\hat{p}-e\vec{A}\right)^2+m_0^2c^2-e\hbar\sigma\vec{H}$

(25.32)

Operatory $\sigma_i$ są to operatory hermitowskie, co można udowodnić, korzystając przy tym z tożsamości (25.29), a także z (25.17), a dowód jego przebiega:

$\sigma_x^{+}=(-i)i\alpha^{+}_z\alpha_y^{+}=i\alpha_z\alpha_y=-i\alpha_y\alpha_z=\sigma_x$

(25.33)

Dla pozostałych współrzędnych operatora $\hat{\sigma}_x^+\;$ dowód ich hermitowskości przebiega podobnie, napiszmy czemu jest równy kwadrat operatora $\sigma_i=1$, ale dowód przeprowadzimy dla jego współrzędnej iksowej. Dowód dla pozostałych współrzędnych przebega podobnie.

$\sigma_x^2=(-i\sigma_x\sigma_y)^2=(-i)^2\alpha_y\alpha_z\alpha_y\alpha_z =i\alpha_y\alpha_y\alpha_z\alpha_z=1\cdot 1=1$

(25.34)

A także operatory $\sigma_i\;$ o róznych współrzędnych antykomutują ze sobą, co udowodnimy poniżej:

$\{\sigma_y,\sigma_z\}=\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_y=-\alpha_z\alpha_x\alpha_x\alpha_y-\alpha_x\alpha_y\alpha_z\alpha_x=-\alpha_z\alpha_y-\alpha_y\alpha_z=-\alpha_z\alpha_y+\alpha_z\alpha_y=0\;$

(25.35)

Na podstawie dowodu (25.35) otrzymujemy antykomutację operatorów $\hat{\sigma}\;$ dla współrzędnych igrekowej i iksowej:

$\{\sigma_y,\sigma_x\}=0\;$

(25.36)

Powracając do naszego równania (25.32), to wydzielmy z Hamiltonianu energię spoczynkową cząstki ze spinem, natomiast nasz hamiltonian jest równy sumie energii spoczynkowej cząstki i relatywistycznego operatora energii kinetycznej cząstki, zapisujemy ten hamiltonian wedle schematu:

$\hat{H}=\hat{H}_1+m_0c^2\;$

(25.37)

A więc równość (25.32) na podstawie tożsamości operatorowej (25.37), w której hamiltonian Diraca jest zapisany jako suma hamiltonianu energii mechanicznej i operatora energii spoczynkowej naszego badanego ciała, piszemy:

$\left({{\hat{H}_1+e\varphi}\over{c}}+m_0c\right)^2=\left(\hat{p}-e\vec{A}\right)^2-e\hbar\vec{\sigma} \vec{H}+m_0^2c^2$

(25.38)

Wykonujemy działania związane z podnoszeniem do drugiej potęgi po lewej stronie w równości (25.38), tak jak się wykonuje podnoszenie do kwadratu operatorów, ale w tym przypadku należy zastosować wzór skróconego mnożenia znanego z gimnazjum:

$\left({{\hat{H}_1+e\varphi}\over{c}}\right)^2+2m_0\left\{\hat{H}_1+e\varphi\right\}+m_0^2c^2 =\left(\hat{p}-e\vec{A}\right)^2-e\hbar\vec{\sigma} \vec{H}+m_0^2c^2$ $\left({{\hat{H}_1+e\varphi}\over{c}}\right)^2+2m_0\left\{\hat{H}_1-e\varphi\right\}=(\hat{p}- e\vec{A})^2-e\hbar\vec{\sigma} \vec{H}$ $2m_0\left\{\hat{H}_1+e\varphi\right\}\left({{\left(\hat{H}_1-e\varphi\right)^2}\over{2m_0c^2\left\{\hat{H}_1-e\varphi\right\}}}+1\right)=(\hat{p}- e\vec{A})^2-e\hbar\vec{\sigma} \vec{H}\;$

(25.39)

W obliczeniach (25.39) możemy znaleźć taki wyraz, który znajduje się w nawiasie i jego pierwszy składnik przepisujemy i jednocześnie uproszczamy go:

${{\left(\hat{H}_1+e\varphi\right)^2}\over{2m_0 c^2\left\{\hat{H}_1-e\varphi\right\}}}={{(H_1-e\varphi)}\over{2c^2m_0}}$

(25.40)

Niech energia spoczynkowa jest o wiele większa od energii kinetycznej cząstki napisanej jako$\hat{H}_1-e\varphi$, wiedząc, że $\hat{H}_1\;$ jest operatorem całkowitej energii mechanicznej cząstki, zatem rozważmy przypadek, gdy zachodzi:

${{(H_1+e\varphi)}\over{2m_0c^2}}<<1$

(25.41)

A zatem pierwszy wyraz w nawiasie w (25.39) należy powinąć przy zachodzącym przybliżeniu (25.41), dostajemy:

$2m_0({\hat{H}+e\varphi})=(\hat{p}-e\vec{A})^2-e\hbar\vec {\sigma}\vec{H}$

(25.42)

Następnie dzielimy obie strony (25.42) przez podwojoną masę spoczynkową cząstki$2m_0\;$, wtedy hamiltonian cząstki można zapisać w przybliżeniu, gdy jego energia kinetyczna cząstki jest o wiele mniejsza niż energia spoczynkowa cząstki:

$\hat{H}={{(\hat{p}-e\vec{A})^2}\over {2m_0}}-\varphi e-{{e\hbar}\over{2m_0}}\vec{\sigma}\vec{H}$

(25.43)

Widzimy, że hamiltonian nierelatywistyczny cząstki w stosunku do (5.31) posiada dodatkowy człon związany, że elektron posiada spin, a zatem ma pewien moment magnetyczny, czyli posiada dodatkową energię, która występuje zawsze, gdy cząstka znajduje się w polu magnetycznym o natężeniu pola magnetycznego $\hat{H}\;$. Moment magnetyczny związany ze spinem cząstki według wzoru na operator energii całkowitej cząstki (25.43) przedstawia się:

$\mu=-{{e\hbar}\over{2m_0}}\sigma$

(25.44)

Minus we wzorze (25.44) jest związany z ujemnym ładunkiem elektronu ładunku elementarnego "e". a dla współrzędnych zetowej moment magnetyczny cząstki przedstawiamy w sposób ogólny wedle schematu (25.44) w postaci:

$\mu_z=-{{e\hbar}\over{2m_0}}\sigma_z$

(25.45)

Prawo zachowania momentu pędu a spin elektronu w teorii Diraca

Rozważmy Hamiltonian Diraca (25.24) swobodnego elektronu, tzn. gdy ta cząstka znajduje się w polu skalarnym elektrycznym zerowym i w polu potencjału wektorowego magnetycznego, ten operator energii całkowitej cząstki możemy zapisać:

$\hat{H}=c\hat{\alpha}\hat{p}+mc^2\hat{\beta}$

(25.46)

Jeśli jest zachowana jakaś współrzędna momentu pędu, stąd wynika, że ta współrzędna powinna komutować z hamiltonianem (25.46). Rozważmy komutator momentu pędu orbitalnego $\hat{l}_i$ z hamiltonianem $\hat{H}\;$, wiedząc że współrzędna operatora pędu komutuje z operatorem $\hat{\beta}\;$, zatem dowolna współrzędna operatora momentu pędu komutuje z operatorem $\hat{\beta}\;$:

$[\hat{l}_i,\hat{H}]=[\hat{l}_i,c\hat{\alpha}\hat{p}+mc^2\hat{\beta}]= [\hat{l}_i,c\hat{\alpha}\hat{p}]+ [\hat{l}_i,c^2\hat{\beta}]=[\hat{l}_i,c\hat{\alpha}\hat{p}]= c\hat{\alpha}_j[\hat{l}_i,\hat{p}_j]$

(25.47)

Policzmy następnie komutator współrzędnej momentu pędu z dowolną współrzędna pędu, który to jest potrzebne do dokończenia obliczeń w zapiskach (25.47):

$[\hat{l}_i,\hat{p}_l]=[-i\hbar\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}},-i\hbar{{\partial}\over{\partial x_l}}]=-\hbar^2(\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}}{{\partial}\over{\partial x_l}}-{{\partial}\over{\partial x_l}}\epsilon_{ijk}x_j{{\partial}\over{\partial x_k}})=$ $=-\hbar^2(\epsilon_{ijk}x_j{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}-\epsilon_{ijk}x_j{{\partial^2}\over{\partial x_k\partial x_l}}-\epsilon_{ijk}\delta_{jl}{{\partial}\over{\partial x_k}})=\hbar^2\epsilon_{ilk}{{\partial}\over{\partial x_k}}=i\hbar\epsilon_{ilk} (-i\hbar){{\partial}\over{\partial x_k}}=i\hbar \epsilon_{ilk}\hat{p}_k$

(25.48)

Komutator współrzędnej itowej momentu pędu i Hamiltonianu Diraca na podstawie obliczeń (25.47) i obliczeń pomocniczych (25.48) przedstawia się:

$[\hat{l}_i,\hat{H}]=c\hat{\alpha}_ji\hbar \epsilon_{ijk}\hat{p}_k$

(25.49)

Powyższy komutator udowadnia, że moment pędu nie jest zachowany. Tak się to dzieje, że nie jest zachowana ta wielkość, ponieważ nie uwzględniono spinu elektronu. Sprawdźmy własności komutacyjne operatora$\hat{\sigma}_i$ z hamiltonianem Diraca i obliczymy czemu jest on równy.

$[\hat{\sigma}_i,\hat{H}]=c[\hat{\sigma}_i,\hat{\alpha} \hat{p}]+mc^2[\hat{\sigma}_i,\hat{\beta}]$

(25.50)

Wyznaczmy czemu jest równy operator $\hat{\sigma}\;$ przy pomocy operatora $\hat{\alpha}\;$, dowiemy się, że on jest równy iloczynowi wektorowemu dwóch takich samych operatorów $\hat{\alpha}\;$ wiedząc jednocześnie, że współrzędne omawianego operatora są współrzędnymi nieprzemiennymi, Jeśli definicję $\hat{\alpha}\;$ przedstawimy jako:

$\sigma_i=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\alpha_j\alpha_k=-{{i}\over{2}}\hat{\alpha}\times\hat{\alpha}\;$

(25.51)

to jego współrzędne naszego operatora przedstawimy wedle:

$\hat{\sigma}=-{{i}\over{2}}\begin{bmatrix} \hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z-\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_y\\ \hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x-\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_z\\ \hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y-\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_x\end{bmatrix}=-{{i}\over{2}}\begin{bmatrix} 2\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z\\ 2\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\\ 2\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -i\hat{\alpha}_y\hat{\alpha}_z\\ -i\hat{\alpha}_z\hat{\alpha}_x\\ -i\hat{\alpha}_x\hat{\alpha}_y \end{bmatrix}\;$

(25.52)

Co kończy dowód na podstawie współrzędnych operatora $\hat{\sigma}\;$, czyli operatory (25.29)($\hat{\sigma}_x\;$), (25.30) ($\hat{\sigma}_y\;$) i (25.31) ($\hat{\sigma}_z\;$, to te wzory ostatnio wspomniane są równoważne wzorowi (25.51). Przeprowadźmy czemu jest równy komutator znajdujący się w (25.50) w pierwszym jego składniku:

$[\hat{\sigma}_i,\hat{\alpha}_l\hat{p}_l]= \hat{\sigma}_i\hat{\alpha}_l\hat{p}_l-\hat{\alpha}_l\hat{p}_l\hat{\sigma}_i= -i({{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\alpha_j\alpha_k\hat{\alpha}_l\hat{p}_l- \hat{\alpha}_l\hat{p}_l{{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k)=$ $=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\alpha}_l\hat{p}_l-\hat{\alpha}_l\hat{p}_l\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\right)=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left( \hat{\alpha}_j(-\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_k+2\delta_{lk})\hat{p}_l-\hat{\alpha}_l\hat{p}_l\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\right)=\;$ $=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(-\left\{\hat{\alpha}_j,\hat{\alpha}_l\right\}\hat{p}_l\alpha_k+2\delta_{lk}\hat{\alpha}_j\hat{p}_l\right)=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(-2\delta_{jl}\hat{p}_l\hat{\alpha}_k+2\delta_{lk}\hat{\alpha}_j\hat{p}_l\right)=\;$ $=i\epsilon_{ilk}\hat{p}_l\hat{\alpha}_k-i\epsilon_{ijl}\hat{\alpha}_j\hat{p}_l= i\epsilon_{ilj}\hat{p}_l\hat{\alpha}_j-i\epsilon_{ijl}\hat{p}_l\hat{\alpha}_j=-i\epsilon_{ijl}\hat{p}_l\hat{\alpha}_j-i\epsilon_{ijl}\hat{p}_l\hat{\alpha}_j=-2i\epsilon_{ijl}\hat{\alpha}_j\hat{p}_l$

(25.53)

Wyznaczmy drugi komutator występujący jako drugi składnik w (25.50), korzystając przy tym z antykomutatora (25.20), który jest zdefiniowany na operatorach $\hat{\alpha}_i\;$ i $\hat{\beta}\;$, tutaj rozwiniemy operator $\hat{\sigma}_i\;$ według schematu (25.51):

$[\hat{\sigma}_i,\hat{\beta}]=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}[\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k,\hat{\beta}]=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\beta}-\hat{\beta}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\beta}\right)=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\beta}+\hat{\alpha}_j\hat{\beta}\hat{\alpha}_k\right)=\;$ $=-{{i}\over{2}}\epsilon_{ijk}\left(\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\beta}-\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\hat{\beta}\right)=0\;$

(25.54)

Komutacja operatora $\hat{\sigma}_i\;$ zdefiniowaną według (25.51) z operatorem hamiltonianu Diraca (25.46), dla której ten nasz komutator na podstawie obliczeń pomocniczych (25.53) i (25.54) przedstawiamy wedle:

$[\hat{\sigma}_i,\hat{H}]=-2ic\epsilon_{ijl}\hat{\alpha}_j\hat{p}_l\;$

(25.55)

Policzmy następny komutator, którego pierwszym elementem jest współrzędna operatora momentu pędu plus wyrażenie równe współrzędnej operatora $\hat{\sigma}\;$ wraz z czynnikiem, który jest połówką stałej kreślonej Plancka, zatem:

$[\hat{l}_i+{{\hbar}\over{2}}\hat{\sigma}_i,\hat{H}]= [\hat{l}_i,\hat{H}]+{{\hbar}\over{2}}[\hat{\sigma}_i,\hat{H}]= i\hbar c\hat{\alpha}_j\epsilon_{ijk}\hat{p}_k-{{\hbar}\over{2}}2ic\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{p}_k=$ $=i\hbar c\hat{\alpha}_j\epsilon_{ijk}\hat{p}_k-\hbar ci\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{p}_k=0$

(25.56)

A więc moment pędu elektronu możemy zdefiniować tak jak poniżej, to on komutuje z operatorem całkowitej energii cząstki według Diraca (25.46), zatem całkowity operator momentu pędu jest zdefiniowany wedle:

$\hat{l}+{{\hbar}\over{2}}\hat{\sigma}\equiv \hat{j}$

(25.57)

Na podstawie obliczeń wedle (25.57) spin elektronu przedstawiamy:

$\hat{s}={{\hbar}\over{2}}\hat{\sigma}$

(25.58)

Operator momentu magnetycznego spinu elektronu na podstawie wzoru (25.44) (definicji momentu magnetycznego elektronu związanego z jego spinem) i (25.58) (definicja spinu) przedstawia się w zależności od spinu elektronu wedle:

$\hat{\mu}={{e\hbar}\over{2m_0}}\hat{\sigma}={{e}\over{m_0}}{{\hbar}\over{2}}\hat{\sigma}={{e}\over{m_0}}\hat{s}$

(25.59)

Z powyższych rozważań wynika, że równania Diraca zawierają również spin elektronu.

Atom wodoru według teorii Diraca

Rozważmy atom wodoru według teorii Diraca, w tym celu przyjmijmy potencjał wektorowy magnetyczny za równy zero a skalarny potencjał elekryczny w polu jądra atomowego wodoru jest zdefiniowany:

$\varphi={{e}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\;$

(25.60)

Wówczas operator Diraca (25.24) zapisujemy przy zerowym wektorowym potencjale magnetycznym i przy skalarnym potencjale elektryczny (25.60) w polu jądra atomowego, który wystepuje w równaniu własnym wspomnianego operatora energii całkowitej elektronu, wiedząc jednocześnie że ładunek elekronu jest ujemny, a jego wartość bezwzględna jest równa "e", wtedy jego równanie własne jest:

$\left[c(\hat{\alpha}\hat{p})+m_0c^2\beta-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right]\psi=E\psi\;$

(25.61)

Doprowadźmy nasze równanie tak by był opisywane we współrzędnych sferycznych, w prowadzając najpierw nowe operatory, za pomocą których opiszemy nasz Hamiltonian Diraca, których definicje są:

$\hat{k}=\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)\;$ (25.62)

$\hat{p}_r=r^{-1}(\vec{r}\hat{p}-i\hbar)=-i\hbar({{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}})\;$ (25.63)

$\hat{\epsilon}=r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\;$ (25.64)

Zauważmy, że operator $\hat{k}\;$ zależy tylko od współrzędnych kątowych, bo operator $\hat{l}\;$ zależy od współrzędnych kątowych na podstawie współrzędnych operatorów momentów pędu wyrażonych według wzorów (5.35), (5.36) i (5.37) wyrażonych we współrzędnych kulistych kątowych.

Operator $\hat{p}_r\;$ zależy od współrzędnych radialnych. A równanie na $\hat{\epsilon}\;$ od wektora jednostkowego, który jest wyznaczone według dwóch współrzędnych kątowych.

Podajmy kilka własności naszych nowych operatorów, po pierwsze można sprawdzić, że są to operatory hermitowskie, najpierw wykażmy to dla (25.62)$\hat{k}\;$:

$\hat{k}^{+}=\left[\hbar^{-1}\hat{\beta}\left(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar\right)\right]^{+}= \left(\hat{\sigma}^{+}\hat{l}^{+}+\hbar\right)\hbar^{-1}\hat{\beta}^{+}= \left(\hat{l}\hat{\sigma}+\hbar\right)\hbar^{-1}\hat{\beta}= \hbar^{-1}\hat{\beta}\left(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar\right)=\hat{k}\;$

(25.65)

A następnie sprawdźmy, czy operator (25.63)$\hat{p}_r\;$ jest operatorem hermitowskim, ten dowód jest trochę trudny i nie jest wcale oczywisty, że ten operator jest w ogóle hermitowski:

$\hat{p}_r^{+}=\left[r^{-1}\left(\vec{r}\hat{p}-i\hbar\right)\right]^{+}= (\hat{p}\vec{r}+i\hbar)r^{-1}=(\hat{p}_mx_m+i\hbar)r^{-1}=(x_m\hat{p}_m-i\hbar\delta_{mm}+i\hbar)r^{-1}=\;$ $= (x_m\hat{p}_m-2i\hbar)r^{-1}=(x_m\hat{p}_m r^{-1}-2i\hbar r^{-1})= x_mr^{-1}\hat{p}_m+i\hbar x_m{{x_m}\over{r^3}}-2i\hbar r^{-1}=\;$ $= r^{-1}\vec{r}\hat{p}+i\hbar r^{-1}-2i\hbar r^{-1}=r^{-1}\vec{r}\hat{p}-i\hbar r^{-1}=r^{-1}\left(\vec{r}\hat{p}-i\hbar\right)=\hat{p}_r\;$

(25.66)

W końcu operator (25.64)$\hat{\epsilon}\;$ też udowodnimy w sposób bardzo łatwy, że jest operatorem hermitowskim:

$\epsilon^{+}=\left[r^{-1}\left(\alpha \vec{r}\right)\right]^{+}=\left(\alpha^{+}\vec{r}^{+}\right)r^{-1}=r^{-1}\left(\vec{r}\hat{\alpha}\right)=r^{-1}\left(\hat{\alpha}\vec{r}\right)=\hat{\epsilon}\;$

(25.67)

Wykażmy, ile jest równy kwadrat operatora (25.64)$\hat{\epsilon}\;$, udowodniamy to korzystając z antykomutacji operatorów (25.19) dla różnych współrzędnych tegoż omawianego operatora:

$\hat{\epsilon}^2=\left(r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\right)=(\hat{\alpha}\vec{e}_r)^2=(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\vec{e}_r)=\sum_{ij}\hat{\alpha}_i\hat{\alpha}_je_{ri}e_{rj}=\sum_i\hat{\alpha}_i^2e^2_{ri}=\sum_ie^{2}_{ri}=1\;$

(25.68)

Następnie wyznaczmy antykomutator operatorów $\hat{\epsilon}\;$ i $\hat{\beta}\;$, wyznaczymy, że jest on równy zero, czyli te operatory antykomutują ze sobą. Udowodnimy to na podstawie antykomutacji operatorów $\hat{\alpha}_i\;$ i $\hat{\beta}\;$ wedle wzoru (25.20):

$\left\{\hat{\epsilon},\hat{\beta}\right\}=\hat{\epsilon}\hat{\beta}+\hat{\beta}\hat{\epsilon}=(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+\hat{\beta}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)= -\hat{\beta}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+\hat{\beta}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)=0\;$

(25.69)

Udowodnijmy wyrażenie poniżej skonstrułowanych przy pomocy operatorów (25.62)($\hat{k}\;$), (25.63)($\hat{p}_r\;$) i (25.64)($\hat{\epsilon}\;$), którego wyrażenie mamy udowodnić w postaci lematu dla:

$\hat{\alpha}\hat{p}=\hat{p}_r\hat{\epsilon}+i\hbar r^{-1}\hat{k}\hat{\epsilon}\hat{\beta}\;$

(25.70)

A zatem do dzieła udowodnijmy wyrażenie (25.70) korzystając przy tym z tożsamości (25.51) (wzór na współrzędne operatora $\hat{\sigma}\;$), a także z własności (25.19), który jest antykomutatorem zbudowanym na współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$:

$\hat{p}_r\hat{\epsilon}+i\hbar r^{-1}\hat{k}\hat{\epsilon}\hat{\beta}=-i\hbar({{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}})r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\hat{\beta}=\;$ $=-i\hbar {{\partial}\over{\partial r}}{{1}\over{r}}(\hat{\alpha}r)-i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}r) +ir^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\hat{\beta}=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}r)+ir^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i\hbar r^{-1}\hat{\beta}r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\hat{\beta}=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}r)+ir^{-2}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l})(\hat{\alpha}\vec{r})\hat{\beta}-i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}\vec{r})=-2i\hbar r^{-2}(\hat{\alpha}r)-ir^{-2}(\hat{\sigma}\hat{l})(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)-{{1}\over{2}}r^{-1}\hat{\alpha}\times\hat{\alpha}r(\vec{e}_r\times\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)-i{{1}\over{2}}\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\epsilon_{ilm}e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+{{1}\over{2}}\epsilon_{kji}\epsilon_{ilm}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+{{1}\over{2}}\left(\delta_{kl}\delta_{jm}-\delta_{km}\delta_{jl}\right)\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+{{1}\over{2}}\left(\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_m\right)e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+{{1}\over{2}}\left(2\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-2\delta_{lm}\right)e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\hat{p})-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})-(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{r})= -2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_lx_l\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{r})= -2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l[\hat{p}_mx_l+i\hbar\delta_{lm}](\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l\hat{p}_mx_l(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l\delta_{lm}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l\hat{p}_mre_{rl}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}\sum_m\hat{\alpha}_m^2(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l\left(r\hat{p}_m+(\hat{p}_mr)\right)e_{rl}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}\sum_m(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=-2i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)+(\hat{\alpha}\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{r}_l)^2-i\hbar r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l{{x_m}\over{r}}e_{rl}e_{rl}(\hat{\alpha}\vec{r})+3i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\hat{\alpha}\hat{p})\sum_{ml}\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_me_{rl}e_{rm}-i\hbar r^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rm}e_{rl}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\hat{\alpha}\hat{p})\sum_m\hat{\alpha}_m^2e_{rm}^2-i\hbar r^{-1}\sum_m\hat{\alpha}_m^2e_{rm^2}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\hat{\alpha}\hat{p})\sum_m e_{rm}^2-i\hbar r^{-1}\sum_m e_{rm}^2(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\hat{\alpha}\hat{p})-i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})+i\hbar r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=(\hat{\alpha}\hat{p})\;$

(25.71)

Co kończy dowód wyrażenia (25.70).

Równanie Diraca (25.61) na podstawie (25.70) przyjmuje zatem postać poniżej. Widzimy, że to równanie zależy od operatorów, tzn.: od (25.62), (25.63) oraz (25.64). Oczywiste jest, że to równanie Diraca jest równaniem niezależnym od czasu i jest równaniem własnym operatora energii:

$\left( c\hat{p}_r\hat{\epsilon}+i\hbar c r^{-1}\hat{k}\hat{\epsilon}\hat{\beta}+m_0c^2\hat{\beta}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)\psi=E\psi\;$

(25.72)

Sprawdźmy czy wszystkie operatory występujące w równaniu własnym operatora energii (25.72) komutują ze sobą, zatem sprawdźmy cztery poniższe komutacje:

1° Sprawdżmy, czy komutator $\hat{\epsilon}_\;$ komutuje z $\hat{p}_r\;$:

$[\hat{\epsilon},\hat{p}_r]=\hat{\epsilon}\hat{p}_r-\hat{p}_r\hat{\epsilon}= (\hat{\alpha}\vec{e}_e)(-i\hbar)\left({{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}}\right)+i\hbar\left({{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}}\right)(\hat{\alpha}\vec{e}_e)=\;$ $=-i\hbar\left[ \left((\hat{\alpha}\vec{e}_e){{\partial}\over{\partial r}}-{{\partial}\over{\partial r}}(\hat{\alpha}\vec{e}_e)\right)+\left((\hat{\alpha}\vec{e}_e){{1}\over{r}}-{{1}\over{r}}(\hat{\alpha}\vec{e}_e)\right)\right]=0 \;$

(25.73)

2° Sprawdźmy, czy $\hat{\epsilon}\;$ komutuje z $\hat{k}\;$:

$[\hat{\epsilon},\hat{k}]=\hat{\epsilon}\hat{k}-\hat{k}\hat{\epsilon}= r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)-\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar) r^{-1}(\hat{\alpha}\vec{r})=\;$ $=(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)-\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar) (\hat{\alpha}\vec{e}_r)=\;$ $= (\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hbar^{-1}\hat{\beta}\hat{\sigma}\hat{l}+(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hbar^{-1}\hat{\beta}\hbar-\hbar^{-1}\hat{\beta}\hat{\sigma}\hat{l} (\hat{\alpha}\vec{e}_r)-\hbar^{-1}\hat{\beta}\hbar (\hat{\alpha}\vec{e}_r)=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hbar^{-1}\hat{\beta}\hat{\sigma}\hat{l}-\hbar^{-1}\hat{\beta}\hat{\sigma}\hat{l} (\hat{\alpha}\vec{e}_r)=\;$ $= 2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\alpha}\times\hat{\alpha})(\vec{e}_r\times\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\epsilon_{ilm}e_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}-i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\epsilon_{ijk}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_k\epsilon_{ilm}e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\epsilon_{kji}\epsilon_{ilm}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\epsilon_{kji}\epsilon_{ilm}\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r) \left[\delta_{kl}\delta_{jm}-\delta_{km}\delta_{jl}\right]\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}+\;$ $+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\left[\delta_{kl}\delta_{jm}-\delta_{km}\delta_{jl}\right]\hat{\alpha}_j\hat{\alpha}_ke_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r) \left[\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_m\right]e_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta} +i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\left[\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_m\right]e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r) \left[2\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-2\delta_{lm}\right]e_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta} +i{{1}\over{2}}r\hbar^{-1}\left[2\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l-2\delta_{lm}\right]e_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}+\;$ $+ir\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m\hat{\beta}+ir\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rl}\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+\;$ $-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_lx_l\hat{p}_m\hat{\beta}+\;$ $+i\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_lx_l\hat{p}_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}+i\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)[-\hat{\alpha}_l\hat{\alpha}_m+2\delta_{lm}]x_l\hat{p}_m\hat{\beta}+\;$ $+i\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l[\hat{p}_mx_l+i\hbar\delta_{lm}](\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+2ri\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}+\;$ $+i\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l(\hat{p}_m re_{rl})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-\sum_m\hat{\alpha}_m^2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $=2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+ri\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}+\;$ $+ i\hbar^{-1}\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_l(r\hat{p}_m -i\hbar{{x_m}\over{r}}e_{rl})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-\sum_m(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $= 2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+ri\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}+\;$ $+ ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)^2\hat{\beta}+\hat{\alpha}_m\hat{\alpha}_le_{rm}e_{rl}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-3(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=\;$ $= 2(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-ir\hbar^{-1}(\vec{e}_r\hat{p})(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta} -ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+ri\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\vec{e}_r)(\vec{e}_r\hat{p})\hat{\beta}+\;$ $+ir\hbar^{-1}(\hat{\alpha}\hat{p})\hat{\beta}+(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}-3(\hat{\alpha}\vec{e}_r)\hat{\beta}=0\;$

(25.74)

3° Sprawdźmy, czy komutator $\hat{p}_r\;$ komutuje z $\hat{k}\;$, zatem:

$[\hat{p}_r,\hat{k}]=\hat{p}_r\hat{k}-\hat{k}\hat{p}_r=0\;$

(25.75)

Komutator (25.75) jest równy zero na podstawie, że operator $\hat{p}_r\;$, zależy od współrzędnych radialnych, a $\hat{k}\;$ od współrzędnych kątowych.

4° Sprawdźmy czy operator $\hat{k}\;$ komutuje z $\hat{\beta}\;$:

$[\hat{k},\hat{\beta}]=\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)\hat{\beta}- \hat{\beta}\hbar^{-1}\hat{\beta}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)= \hbar^{-1}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)\hat{\beta}^2-\hat{\beta}^2\hbar^{-1}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)=\;$ $=\hbar^{-1}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)-\hbar^{-1}(\hat{\sigma}\hat{l}+\hbar)=0\;$

(25.76)

Zdefiniujmy operatory $\hat{\beta}\;$ i $\hat{\epsilon}\;$ jako zwykłe macierze wedle sposobu:

$\hat{\beta}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\;$ (25.77)

$\hat{\epsilon}=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}\;$ (25.78)

Sprawdźmy, czy zachodzi (25.10) na operatorze $\hat{\beta}\;$, czyli czy kwadrat tego operatora jest macierzą jednostkową, którego operator zdefiniowany jest wedle (25.77), a dowód tej własności przebiega:

$\hat{\beta}^2=\hat{\beta}\hat{\beta}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\hat{1}\;$

(25.79)

a także zachodzi (25.68) na operatorze $\hat{\epsilon}\;$, czyli czy kwadrat tegoż operatora jest macierzą jednostkową dla operatora zdefiniowanej wedle (25.78), zatem udowodnijmy tą własność:

$\hat{\epsilon}^2=\hat{\epsilon}\hat{\epsilon}=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=\hat{1}\;$

(25.80)

Sprawdźmy, czy na operatorach (25.77) ($\hat{\beta}\;$) i (25.78) ($\hat{\epsilon}\;$) zachodzi antykomutacja (25.69), stąd:

$\{\hat{\epsilon},\hat{\beta}\}=\hat{\epsilon}\hat{\beta}+\hat{\beta}\hat{\epsilon}=\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&i\\ i&0\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&-i\\ -i&0\\ \end{pmatrix}=0 \;$

(25.81)

Na podstawie (25.81) oraz (25.79) i (25.80) udowodniliśmy, że operatory $\hat{\beta}\;$ i $\hat{\alpha}\;$ mają postać (25.77) i (25.78).

Udowodniliśmy, że operator $\hat{k}\;$ komutuje z $\hat{p}_r\;$(25.75), a następnie z operatorem $\hat{\epsilon}\;$(25.74), dalej z $\hat{\beta}\;$ (25.76), na tej podstawie dochodzimy do wniosku, że równanie własne operatora hamiltonianu w (25.72), w którym występuje hamiltonian komutatujący z operatorem $\hat{k}\;$ (25.62):

$[\hat{k},\hat{H}]=0\;$

(25.82)

Pozwala to rozwiązywać równanie w bazie jednoczesnych funkcji własnych $\hat{H}\;$ i $\hat{k}\;$. Równanie własne operatora $\hat{k}\;$ jest w postaci (25.62):

$\hat{k}\psi=k\psi\;$

(25.83)

• gdzie k jest wartościa własną operatora $\hat{k}\;$.

Teraz zajmijmy się operatorem $\hat{k}\;$ podstawiając za $\hat{\sigma}\;$ , który można wyliczyć z (25.57) wyrażenie na $\hat{\sigma}\;$ w zależności od operatora spinu cząstki kwantowej:

$\hat{\sigma}={{2}\over{\hbar}}\hat{s}\;$

(25.84)

Iloczyn operatora $\hat{\sigma}\;$ i operatora momentu pędu na podstawie wzoru (25.84) można podstawić do poniższego wyrażenia otrzymując wyrażenie proporcjonalne do iloczynu operatora momentu pędu spinowego przez orbitalny:

$\hat{\sigma}\hat{l}={{2}\over{\hbar}}\hat{s}\hat{l}\;$

(25.85)

Wiemy, że operator całkowitego momentu pędu jest sumą operatora momentu pędu orbitalnego i spinowego momentu pędu badanej cząstki:

$\hat{j}=\hat{l}+\hat{s}\;$

(25.86)

Można podnieść do kwadratu wyrażenie operatorowe (25.86), to otrzymujemy inny wzór wynikowy, w którym występują kwadraty różnych operatorów momentu pęd oraz wyraz mieszany będącej iloczynem momentu pędu orbitalnego i spinowego elektronu:

$\hat{j}^2=\hat{l}^2+\hat{s}^2+2\hat{l}\hat{s}\;$

(25.87)

Z (25.87) wyznaczamy wyrażenie $2\hat{l}\hat{s}\;$, w tym celu przenieśmy wyraz mieszany na lewą stronę równania (25.87) z jego prawej strony, a pozostałe wyraży występujące po lewej stronie ostatniego wyrażenia na jego prawo stronę, dostajemy:

$2\hat{l}\hat{s}=\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\;$

(25.88)

Podstawiamy za $\hat{\sigma} \hat{l}\;$ wyrażenie (25.88) do wzoru operatorowego (25.85), wtedy dostajemy równoważne równanie do tego ostatniego równanie:

$\hat{\sigma} \hat{l}={{1}\over{\hbar}}(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2)\Rightarrow \hat{\sigma} \hat{l}=\hbar \left[\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\right]\;$

(25.89)

Operator (25.62) na podstawie własności operatorowej (25.89) możemy przestawić podstawiając do niego wyrażenie na $\hat{\sigma} \hat{l}\;$ wedle wzoru tego ostatniego, to dostaniemy inny równoważny wzór na operator $\hat{k}\;$ w stosunku do pierwotnej definicji (25.62):

$\hat{k}=\hbar^{-1}\hat{\beta}\hbar \left[\left(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2\right)+\hbar\right]=\hat{\beta}\left(\hat{j}^2-\hat{l}^2-\hat{s}^2+1\right)\;$

(25.90)

Mając wartości własne kwadratu operatora całkowitego momentu pędu$\hat{j}^2\;\;$ kwadratu operatora orbitalnego momentu pędu$\hat{l}^2\;$ i ostatecznie kwadratu operatora spinowego $\hat{s}^2\;$ i ze względu na elementy operatora $\hat{\beta}\;$, które mają wartość 1 lub -1 na podstawie wyrażenia (25.21), mamy:

$k=\pm\left[(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)+1\right]\;$

(25.91)

• gdzie:$s={{1}\over{2}}\;$

Mając liczbę kwantową całkowitego momentu pędu "j" dla cząstki o spinie równą połowie jedynki, to wyznaczymy z niego wzór na liczbę kwantową orbitalnego momentu pędu w zależności od liczby kwantowej całkowitego momentu pędu:

$j=l\mp {{1}\over{2}}\Rightarrow l=j\pm{{1}\over{2}}\;$

(25.92)

A więc dla $l=j-{{1}\over{2}}\;$ według (25.92) wartość własna równania własnego (25.83), na podstawie (25.91), przestawiamy:

$k=\pm\left[j(j+1)-(j-{{1}\over{2}})(j+{{1}\over{2}})+{{1}\over{4}}\right]= \pm\left[j^2+j-j^2-{{1}\over{2}}j+{{1}\over{2}}j+{{1}\over{4}}+{{1}\over{4}}\right]=\pm\left[j+{{1}\over{2}}\right]\;$

(25.93)

oraz dla $l=j+{{1}\over{2}}\;$ według (25.92), wtedy wartość własna równania własnego (25.83), na podstawie (25.91), przestawiamy:

$k=\pm\left[j^2+j-(j+{{1}\over{2}})(j+{{3}\over{2}})+{{1}\over{4}}\right]= \pm\left[j^2+j-j^2-j{{3}\over{2}}-j{{1}\over{2}}-{{3}\over{4}}+{{1}\over{4}}\right]=\mp\left[j+{{1}\over{2}}\right]\;$

(25.94)

Ponieważ wartości własne $\hat{j}\;$ całkowitego momentu pędu mają wartości ułamkowe połówkowe, zatem na podstawie (25.93) (dla (25.92) z minusem) i (25.94) (dla (25.92) z plusem) dochodzimy więc do wniosku, że wartościami własnymi operatora (25.62) są liczby całkowite bez zera:

$k=\pm1,\pm 2,\pm 3,...\;$

(25.95)

Mając na uwadze powyższe rozważania przedstawmy funkcję $\psi\;$ jako wektor funkcji, jako dwuskładnikowsy wektor kolumnowy, czyli spinor:

$\psi=\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\end{pmatrix}\;$

(25.96)

Biorąc spinor (25.96) jako wektor własny, a także definicję macierzy (25.77) i (25.78), to równanie Diraca (25.72) przyjmuje kształt:

$\left\{c\hat{p}_r\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}+{{i\hbar c\hat{k}}\over{r}}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=\;$ $=E\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}\;$

(25.97)

Po dalszych przekształceniach powyższego równania (25.97) dotyczące przemnożenia pewnych macierzy, otrzymujemy inne równoważne do poprzedniego macierzowe równanie Diraca dla elektronu:

$\left\{c\hat{p}_r\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}+{{i\hbar c\hat{k}}\over{r}}\begin{pmatrix} 0&i\\i&0\end{pmatrix}+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0\\0&-1\end{pmatrix}-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=E\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}\;$

(25.98)

Z równania macierzowego (25.98) stanowiących jakoby układ dwóch równań, otrzymujemy dwa równania zależne od siebie:

$\begin{cases} (m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}})\psi_1-(ic\hat{p}_r+{{\hbar c\hat{k}}\over{r}})\psi_2=0\\ -(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}})\psi_2+(ic\hat{p}_r-{{\hbar c\hat{k}}\over{r}})\psi_1=0\end{cases}$

(25.99)

Następnym naszym krokiem jest podstawienie za operator $\hat{p}_r\;$ (25.63) jego definicji w układzie równań (25.99):

$\begin{cases} \left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)\psi_1-\hbar c\left({{\hat{k}}\over{r}}+{{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}}\right)\psi_2=0\\ -hc\left({{\hat{k}}\over{r}}-{{\partial}\over{\partial r}}-{{1}\over{r}}\right)\psi_1-\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)\psi_2=0\end{cases}\;$

(25.100)

Ponieważ operator$\hat{k}\;$ zależy od współrzędnych kątowych, a nie radialnym, stąd wynika, że funkcje $\psi_1\;$ i $\psi_2\;$ mają jednakową funkcję kątową, co wynika, że dla obu równań (25.100) wartość własna operatora $\hat{k}\;$ powinna być taka sama, z definiujmy w takim wypadku te opisywane funkcje:

$\psi_1={{f_1(r)}\over{r}}\phi\;$ (25.101)

$\psi_2={{f_2(r)}\over{r}}\phi\;$ (25.102)

Zajmijmy się teraz pierwszym równaniem układu równań (25.100), do niego możemy wstawić funkcje, tzn.:$\psi_1\;$ (25.101) i $\psi_2\;$ (25.102) oraz za $\hat{k}\;$ należy wstawić wartość własną tego operatora, co wynika z definicji jego wartości własnej:

$\left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0r}}\right){{f_1(r)}\over{r}}\phi-\hbar c\left({{\hat{k}}\over{r}}+{{\partial}\over{\partial r}}+{{1}\over{r}}\right){{f_2(r)}\over{r}}\phi=0\;$

(25.103)

Pomnóżmy teraz lewostronnie (25.103) przez odległość radialną r:

$\left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_1(r)-\hbar c\left({{k}\over{r}}f_2(r)+r{{\partial}\over{\partial r}}{{f_2(r)}\over{r}}+{{1}\over{r}}f_2(r)\right)=0\;$

(25.104)

Rozpiszmy tożsamość poniżej korzystając z twierdzenia o pochodnej ilorazu:

$r{{d}\over{dr}}{{f_2}\over{r}}= r{{{{{df_2}\over{dr}}r-f_2}}\over{r^2}}=({{d}\over{dr}}-{{1}\over{r}})f_2(r)\;$

(25.105)

A zatem nasze pierwsze równanie uzyskujemy z (25.104), po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych wedle schematu (25.105), przyjmuje ona wtedy postać:

$\left(m_0c^2-E-{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_1(r)-\hbar c\left({{k}\over{r}}+{{d}\over{dr}}\right)f_2(r)=0\;$

(25.106)

W tej chwili zajmować się będziemy drugim równaniem (25.100) podstawiając do niego za $\psi_1\;$(25.101) i za $\psi_2\;$(25.102):

$-hc\left({{\hat{k}}\over{r}}-{{\partial}\over{\partial r}}-{{1}\over{r}}\right){{f_1(r)}\over{r}}\phi-\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right){{f_2(r)}\over{r}}\phi=0\;$

(25.107)

Przekształćmy nasze aktualne równanie:

$-hc\left({{k}\over{r}}{{f_1(r)}\over{r}}-{{\partial}\over{\partial r}}{{f_1(r)}\over{r}}-{{1}\over{r}}{{f_1(r)}\over{r}}\right)-\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right){{f_2(r)}\over{r}}=0\;$

(25.108)

Pomnóżmy lewostronnie równanie (25.108) przez odległość radialną r, wtedy otrzymujemy równość napisaną w zależności od funkcji $f_1(r)\;$ i $f_2(r)\;$:

$-hc\left({{k}\over{r}}f_1(r)-r{{\partial}\over{\partial r}}{{f_1(r)}\over{r}}-{{1}\over{r}}f_1(r)\right)-\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_2(r)=0\;$

(25.109)

Zatem ostatecznie drugie równanie wynikającego z (25.109) i po dokonaniu w nim obliczeń pomocniczych, wykorzystując tożsamość (25.105), przyjmuje postać:

$\hbar c\left({{k}\over{r}}-{{d}\over{dr}}\right)f_1(r)+\left(m_0c^2+E+{{e^2}\over{4\pi\epsilon_0 r}}\right)f_2(r)=0\;$

(25.110)

Dokonajmy podstawień do równań (25.106) (pierwsze równanie) i (25.110) (drugie równanie) w postaci:

$c_1={{\hbar c}\over{m_0c^2+E}}\;$ (25.111)

$c_2={{\hbar c}\over{m_0c^2-E}}\;$ (25.112)

$\alpha={{e^2}\over{4\pi\epsilon_0\hbar c}}\;$ (25.113)

Zatem równanie (25.106) i (25.110) na podstawie podstawień (25.111)($c_1\;$), (25.112)($c_2\;$) i (25.113)($\alpha\;$) przyjmują postacie zapisaną w układzie równań:

$\begin{cases} ({{1}\over{c_2}}-{{\alpha}\over{r}})f_1-({{k}\over{r}}+{{d}\over{dr}})f_2=0\\ ({{k}\over{r}}-{{d}\over{dr}})f_1+({{1}\over{c_1}}+{{\alpha}\over{r}})f_2=0\end{cases}\;$

(25.114)

Nastepnie wyodrębnijmy ten sam czynnik wykładniczy z funkcji $f_1\;$ i $f_2\;$, tzn.:

$f_1=u_1(r)e^{-ar}\;$ (25.115)

$f_2=u_2(r)e^{-ar}\;$ (25.116)

W (25.115) i (25.116) stała "a" jest zależna od energii całkowitej elektronu i od jego masy spoczynkowej, jest zdefiniowane jako stała:

$a={{\sqrt{m_0c^2-E^2}}\over{\hbar c}}\;$

(25.117)

Podstawiając te funkcje (25.115) i (25.116) do dwóch rozważanych równań (25.114), mamy:

$\begin{cases} ({{1}\over{c_2}}-{{\alpha}\over{r}})u_1-({{k}\over{r}}-a)u_2-{{du_2}\over{dr}}=0\\ ({{k}\over{r}}+a)u_1+({{1}\over{c_1}}+{{\alpha}\over{r}})u_2-{{du_1}\over{dr}}=0\end{cases}\;$

(25.118)

Dokonajmy podstawień za funkcje $u_1(r)\;$ i $u_2(r)\;$ pewnymi nieskończonymi szeregami potęgowymi zapisane jako kombinacja liniowa z pewnymi współczynnikami względem poszczególnych potęg odległości radialnych:

$u_1(r)=\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m}\;$ (25.119)

$u_2(r)=\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m}\;$ (25.120)

• gdzie $\mu\geq 0\;$, co gwarantuje rozpoczęcia w szeregu potęgowym opisanym powyżej, których wykładnik potęgi jest większy niż "m" w szeregach powyżej zdefiniowanych.

Dokonajmy podstawień szeregów $u_1(r)\;$(25.119) i $u_2(r)\;$(25.120), do pierwszego równania (25.118).

${{1}\over{c_2}}\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m}-\alpha\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m-1}-k\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m}+\;$ $-\sum^{\infty}_{m=1}d_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;$

(25.121)

Dokonajmy podstawień wedle schematu m'=m+1 dla pierwszego i czwartego wyrazu równania (25.121) w ten sposób, by w tym równaniu mieć te same potęgi, by później współczynnik stojący przy tej potędze przyrównać do zera, jeśli wszystkie wyrazy występując po przegrupowaniu występują w czynniku przy tym obiekcie, a zatem dochodzimy do wniosku po odpowiedniej zamianie parametrów m:

${{1}\over{c_2}}\sum^{\infty}_{m=2}b_{m-1}r^{\mu+m-1}-\alpha\sum^{\infty}_{m=1}b_mr^{\mu+m-1}-k\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=2}d_{m-1}r^{\mu+m-1}+\;$ $-\sum^{\infty}_{m=1}d_m (\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;$

(25.122)

Grupując względem tych samych potęg w (25.122), zależność na współczynnikach (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne pierwsze	Równanie brzegowe pierwsze
${{1}\over{c_2}}b_{m-1}-\alpha b_m+ad_{m-1}-(\mu+m+k)d_m=0\;$ (25.123)	$-\alpha b_1-kd_1-d_1(\mu+1)=0\;$ (25.124)

Dokonajmy teraz podstawień do drugiego równania (25.118) w szeregach potęgowych (25.119) i (25.120):

$k\sum^{\infty}_{m=1} b_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=1}b_m r^{\mu+m}+{{1}\over{c_1}}\sum^{\infty}_{m=1}d_m r^{\mu+m}+\alpha\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+\;$ $-\sum^{\infty}_{m=1}b_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;$

(25.125)

Podstawmy do drugiego i trzeciego wyrazu przy pomocy schematu m=m'-1 do powyższego równania, by w tym równaniu mieć te same potęgi "r", by później współczynniki stojący przy tej potędze przyrównać do zera:

$k\sum^{\infty}_{m=1} b_mr^{\mu+m-1}+a\sum^{\infty}_{m=2}b_{m-1} r^{\mu+m-1}+{{1}\over{c_1}}\sum^{\infty}_{m=2}d_{m-1} r^{\mu+m-1}+\alpha\sum^{\infty}_{m=1}d_mr^{\mu+m-1}+\;$ $-\sum^{\infty}_{m=1}b_m(\mu+m)r^{\mu+m-1}=0\;$

(25.126)

Grupując względem tych samych potęg w (25.126), zatem równanie iteracyjne między współczynnikami (pierwsze równanie poniżej) i warunek brzegowy (drugie równanie) przedstawia się:

Równanie iteracyjne drugie	Równanie brzegowe drugie
$ab_{m-1}-(\mu+m-k)b_m+{{1}\over{c_1}}d_{m-1}+\alpha d_m=0\;$ (25.127)	$kb_1+\alpha d_1-b_1(\mu+1)=0\;$ (25.128)

Następnie możemy wyregułować wyrazy z m-1, jeśli (25.123) pomnożymy przez "a" a (25.127) przez ${{1}\over{c_2}}\;$, pamiętając jednak, że zachodzi tożsamość: $a^2={{1}\over{c_1c_2}}\;$, mamy:

${{1}\over{c_1c_2}}={{(m_0c^2-E)(m_0c^2+E)}\over{\hbar^2 c^2}}={{mc^4-E^2}\over{h^2c^2}}=a^2\;$

(25.129)

Co kończy dowód powyższego lematu.

Po tych operacjach odejmujemy obustronnie tak otrzymane oba te równania, możemy napisać, że:

$-\alpha a b_m-(\mu+m+k)a d_m+(\mu+m-k){{1}\over{c_2}}b_m-\alpha{{1}\over{c_2}}d_m=0\;$

(25.130)

Grupujemy wyrazy względem $b_m\;$ i $d_m\;$ w (25.130), mamy:

$\left({{\mu+m-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)b_m-\left((\mu+m+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right)d_m=0\;$

(25.131)

Jest to ogólny związek wziążacy współczynniki $b_m\;$ z $d_m\;$. Zbieżność szeregu dla dużych m według (25.131) można tak zapisać, by we wspomnianym równaniu można pominąć wszystkie składniki za wyjątkiem wyrazów z m, bo wyrazy z m są o wiele większe niż bez niego, zatem dla dużego m ostatnie równanie możemy zapisać wedle schematu:

${{m}\over{c_2}}b_m-mad_m=0\Rightarrow{{m}\over{c_2}}b_m=m a d_m\Rightarrow b_m=c_2 ad_m\;$

(25.132)

Tożsamość (25.123) dla dużych m, podobnie jak przy pisaniu (25.132), przyjmuje postać:

${{1}\over{c_2}}b_{m-1}-\alpha b_m+ad_{m-1}-md_m=0\;$

(25.133)

Podstawiamy zależność (25.132) do ostatniego równania (25.133) w celu wyznaczenia zależności iteracyjnej współczynników $d_i\;$ występujących w (25.120), otrzymujemy:

$ad_{m-1}-\alpha c_2 ad_m+adm_{m-1}-md_m=0\;$

(25.134)

Dla dużych "m" prawie nieskończonych, równanie (25.134) przechodzi w równoważną równość:

$ad_{m-1}+adm_{m-1}=md_m\Rightarrow 2ad_{m-1}=md_m\;$

(25.135)

Ostatecznie otrzymujemy z równości (25.135) stosunek dwóch współczynników d_m występujących w szeregu (25.120) jako stosunek czynnika o wskaźniku dolnym m przez współczynnik o wskaźniku m-1:

${{d_m}\over{d_{m-1}}}={{2a}\over{m}}\;$

(25.136)

Tak samo jak w ilorazie (25.136), który zachodzi dla dużych m, które zachowują się jak współczynniki szeregu eksponencjalnego o wykładniku 2ar, że w ten sam w sposób, ale dla dużych m dokładnie to samo:

$e^{2ar}=1+{{2ar}\over{1!}}+{{(2ar)^2}\over{2!}}+...\;$

(25.137)

• gdzie:

${{a_m}\over{a_{m-1}}}={{(2m)^2}\over{m!}}{{(m-1)!}\over{(2a)^{m-1}}}={{2a}\over{m}}\;$

(25.138)

Funkcja e^2ar dąży w nieskończonościach do nieskończoności, zatem aby nasz szereg był zbieżny w nieskończoności musimy urwać nasz szereg u₂(r) (25.120) na pewnym wyrazie, by on był zbieżny w nieskończoności, podobnie wnioskujemy dla drugiego szeregu, czyli u₁(r) (25.119). Wiadomo,że jeśli b_m=0, to d_m=0 na podstawie (25.131). Jeśli nasze szeregi, zarówno dla u₁(r) lub dla u₂(r), należy urwać na pewnym wskaźniku m=s+1. Zbierając wszystko z równania (25.123), podstawiamy za wyrazy ze wskażnikiem m+1 jako zero (bo urywamy), a wyrazy ze wskaźnikiem m pozostawiamy i dalej zamieniamy m na s, jeśli ostatnio w naszym równaniu (25.127) dokonaliśmy podstawienia m=m^'+1, tylko wtedy można tak źrobić, a drugie wyrażenie (25.131) przepisujemy wstawiając za m wskaźnik s:

${{1}\over{c_2}}b_s+ad_s=0\;$ (25.139)

$\left({{\mu+s-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)b_s-\left[(\mu+s+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right]d_s=0\;$ (25.140)

Ponieważ oba współczynniki rozwinięcia nie mogą być równe zero, podstawiamy równanie wynikające z (25.139), tzn. wyznaczamy z niego wyrażenie na b_s, to wszystko podstawiamy za ten sam współczynnik do tożsamości (25.140), mamy:

$\left({{\mu+s-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)(-c_2)ad_s-\left[(\mu+s+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right]d_s=0\;$

(25.141)

Dzielimy obie strony (25.141) przez wyrażenie w ogólności niezerowe c₂d_s, otrzymujemy:

$a\left({{\mu+s-k}\over{c_2}}-\alpha a\right)+{{1}\over{c_2}}\left((\mu+s+k)a+{{\alpha}\over{c_2}}\right)=0\;$

(25.142)

Dokonujemy dalszych przekształceń w tożsamości (25.142), wtedy:

$2(\mu+s)a{{1}\over{c_2}}=a^2\alpha-{{\alpha}\over{c^2_2}}\;$

(25.143)

Po podstawieniu za a² wzoru napisanego według (25.129) do równania (25.143) wyrażając je względem stałych c₁ i c₂, narazie zapominając od definicji tychże stałych, mamy:

$2(\mu+s)a{{1}\over{c_2}}={{\alpha}\over{c_1c_2}}-{{\alpha}\over{c^2_2}}\;$

(25.144)

Równanie (25.144) mnożymy przez c₂, otrzymujemy:

$(\mu+s)a=\alpha\left({{1}\over{c_1}}-{{1}\over{c_2}}\right)\;$

(25.145)

Do równania (25.145) wstawiając stałe za "a" (25.129) (jego definicja zależy od energii całkowitej cząstki i zależności od jego masy spoczynkowej), c₁ (25.111)(definicja) oraz c₂ (25.112) (definicja)

$2(\mu+s){{\sqrt{m_0^2c^4-E^2}}\over{\hbar c}}={{2\alpha E}\over{\hbar c}}\;$

(25.146)

Pomnóżmy ostatnie równanie przez stałą zależną od stałej kreślonej Plancka i prędkości światła $_{{{\hbar c}\over{2}}}\;$, mamy:

$(\mu+s)\sqrt{m_0^2c^4-E^2}=\alpha E\;$

(25.147)

Podnieśmy równanie (25.147) do kwadratu w celu usunięcia niewymierności we wspomnianym ostatnio równaniu, można powiedzieć:

$(\mu+s)^2(m_0^2c^4-E^2)=\alpha^2E^2\;$

(25.148)

Wyznaczmy z (25.148) parametr E, który jest energią cząstki wynikająca z mechaniki kwantowej Diraca, która jest wartością własną operatorta energii całkowitej, zatem otrzymujemy ostatecznie:

$(\mu+s)^2m_0^2c^4-(\mu+s)^2E^2=\alpha^2E^2\Rightarrow E^2(\alpha^2+(\mu+s)^2)=(\mu+s)^2m_0^2c^4\Rightarrow\;$ $E^2={{m_0^2c^4(\mu+s)^2}\over{\alpha^2+(\mu+s)^2}}\Rightarrow E^2={{m_0^2c^4}\over{1+{{\alpha^2}\over{(\mu+s)^2}}}}\Rightarrow E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{(\mu+s)^2}}}}}\;$

(25.149)

Teraz zajmniemy się dwoma warunkami brzegowymi dla m=1, tzn. (25.124) i (25.128):

$-\alpha b_1-kd_1-d_1(\mu+1)=0\;\;$ (25.150)

$kb_1+\alpha d_1-b_1(\mu+1)=0\;\;$ (25.151)

Te dwa ostatnie równania możemy przekształcić, czyli (25.150) i (25.151), do równoważnej bardziej uproszczonej postaci:

$\alpha b_1=-(\mu+1+k)d_1\;\;$ (25.152)

$b_1(\mu+1-k)=\alpha d_1\;\;$ (25.153)

Dwa ostatnie dwa równania dzielimy obustronnie przez siebie, tzn. równości (25.152) przez (25.153), wtedy mamy pojedyńczy wzór na warunek brzegowy:

${{\alpha}\over{\mu+1-k}}=-{{\mu+1+k}\over{\alpha}}\;\;$

(25.154)

Następnie w (25.153) wyznaczmy wzór na stałą μ występujących w szeregach potęgowych w wykładnikach potęg, czyli w (25.119) i (25.120):

$(\mu+1-k)(\mu+1+k)=-\alpha^2\Rightarrow\alpha^2+(\mu+1-k)(\mu+1+k)=0\Rightarrow\;\;$ $\Rightarrow\alpha^2+(\mu+1)^2-k^2=0\Rightarrow k^2-\alpha^2=(\mu+1)^2\Rightarrow\mu+1=\sqrt{k^2-\alpha^2}\;\;$ $\mu=\sqrt{k^2-\alpha^2}-1\;\;$

(25.155)

A zatem energia całkowita elektronu otrzymujemy, podstawiając stałą μ zdefiniowaną wedle (25.155) do wzoru na całkowitą energię elektronu (25.149), wtedy mamy wniosek:

$E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{(\sqrt{k^2-\alpha^2}-1+s)^2}}}}}\;$

(25.156)

Dokonajmy przybliżeń w tym celu obierzmy stałą n^', która jest zależna od kwantowej liczby k zdefiniowanej wedle (25.95), stałej struktury subtelnej i elementu s, definiujemy ją wedle:

$n'=s-1+\sqrt{k^2-\alpha^2}\;$

(25.157)

Podstsawienie napisaną wedle tożsamości (25.157) podstawiamy do wzoru na energię (25.156):

$E={{m_0c^2}\over{\sqrt{1+{{\alpha^2}\over{n'^2}}}}}\;$

(25.158)

Rozłóżmy wyrażenie (25.158) w szereg Taylora względem parametru α², czyli kwadratu stałej struktury subtelnej, który wygląda tak samo jak w punkcie (24.79), tylko mamy inną definicję n', w przeciwieństwie dla atomu wodoru według Kleina-Gordona, czyli (24.72), a w teorii Diraca mamy definicję tego parametru w postaci (25.157):

$E=m_0c^2\left(1-{{\alpha^2}\over{2n'^2}}+{{1\cdot 3\alpha^4}\over{2\cdot 4 n'^4}}+...\right)\;$

(25.159)

Rachunki będziemy prowadzić do czwartej potęgi przy dokonaniu przybliżenia liczby n^' dla małego współczynnika kwadratu struktury subtelnej α²:

$n'=s-1+k\sqrt{1-{{\alpha^2}\over{k^2}}}=s-1+k\left(1-{{1\alpha^2}\over{2k^2}}- {{\alpha^4}\over{2\cdot 4 k^4}}\right)=n-{{\alpha^2}\over{2k^2}}-{{\alpha^4}\over{8}}=\;$ $=n\left(1-{{\alpha^2}\over{2nk}}-{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)\;$

(25.160)

• gdzie

$n=s-1+k\;$

(25.161)

Ponieważ s≥1 i k jest takie, że (25.95), a żeby zachodziło (25.161), to dostajemy dalsze ograniczenia na liczbę kwantową k jako wartości własnej równania własnego dla operatora (25.62), zatem:

$k=1,2,3,...,n\;$

(25.162)

Określmy odwrotność parametru n' napisaną w sposób przybliżony wyrażenia (25.160), dokonując w nim dalszych przybliżeń dla małości wyrazów występujących w nawiasie wspomnianego wyrażenia występującego po jedynce:

${{1}\over{n'}}\simeq{{1}\over{n}}{{1}\over{1-{{\alpha^2}\over{2nk}}-{{\alpha^4}\over{8nk^3}}}}\simeq {{1}\over{n}}\left[\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)+\left({{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)^2\right]\simeq\;$ $\simeq{{1}\over{n}}\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}+{{\alpha^4}\over{8nk^3}}\right)\simeq {{1}\over{n}}\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}\right)\;$

(25.163)

Odwrotność kwadratu z liczby n' (25.160) napiszemy wychodząc od (25.163) z dokładnością do drugiej potęgi z liczby α:

${{1}\over{n'^2}}\simeq{{1}\over{n^2}}\left(1+{{\alpha^2}\over{2nk}}\right)^2\simeq {{1}\over{n^2}}\left(1+{{\alpha^2}\over{nk}}\right)\;$

(25.164)

Odwrotność czwartej potęgi z liczby n' (25.160) napiszemy wychodząc od (25.164) z dokładnością do zerowej potęgi liczby α:

${{1}\over{n'^4}}\simeq{{1}\over{n^4}}\left(1+{{\alpha^2}\over{nk}}\right)^2\simeq{{1}\over{n^4}}\;$

(25.165)

Podstawiamy wzór (24.163) (odwrotność zmiennej n'), (25.164) (kwadrat odwrotności zmiennej n') do (25.159) będących rozwinięciem w szereg Taylora względem omawianego tam parametru, który zapiszemy z dokładnością do trzech wyrazów w nawiasie, dostajemy:

$E\simeq m_0c^2\left[1-{{\alpha^2}\over{2n^2}}\left(1+{{\alpha^2}\over{nk}}\right)+{{3\alpha^4}\over{8n^4}}\right]= m_0c^2\left[1-{{\alpha^2}\over{2n^2}}-{{\alpha^4}\over{2n^3}}\left({{1}\over{k}}-{{3}\over{4n}}\right)\right]\;$

(25.166)

Wyznaczmy energię E₀, którą jak udowodnimy jest to energia obliczoną z nierelatywistycznej teorii kwantowej, wychodząc z wyrażenia:

$E_0=-m_0c^2{{\alpha^2}\over{2n^2}}=-m_0c^2{{e^4}\over{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2 c^2}}=-{{m_0e^4}\over{8\epsilon_0^2h^2n^2}}\;$

(25.167)

Wyrażenie na całkowitą energię elektronu w polu jadra atomowego wodoru, uwzględniając efekty relatywistyczne, jest równa sumie energii spoczynkowej elektronu, energii obliczonej wedle mechaniki kwantowej nierelatywistycznej i z poprawką zależną od tej energii i od k-tej liczby kwantowej, ale też od głównej liczby kwantowej (jest ona również zależna od czynniku struktury subtelnej α, która jest względnie mała i dlatego w teorii nierelatywistycznej ten trzeci składnik jest często pomijany), zatem ta nasza energia elektronu w polu jądra atomowego atomu wodoru jest równa na podstawie (25.166) i obliczeń pomocniczych (25.167):

$E=m_0c^2+E_0+E_0{{\alpha^2}\over{n}}\left({{1}\over{k}}-{{3}\over{4n}}\right)\;$

(25.168)

Policzmy skrajną różnicę poziomów dla ściśle określonego n między orbitalną liczbą kwantową k=1 a k=n, bo ta liczba przyjmuje wartości skwantowane wedle schematu (25.162):

$\Delta E_n=E_n(k=n)-E_n(k=1)=E_0{{\alpha^2}\over{n}}\left[\left({1\over n}-{{3}\over{4n}}\right)-\left(1-{{3}\over{4n}}\right)\right]=\;$ $=E_0{{\alpha^2}\over{n}}\left({{1}\over{n}}-1\right)=-E_0{{\alpha^2}\over{n}}\;$

(25.169)

Co zgadza się z doświadczeniem, w porównaniu z teorią Kliena-Gordona mamy dwukrotną redukcję rozszczepienia poziomu n.

Ruch swobodny elektronu według teorii Diraca

W trym rozdziale rozważmy ruch swobodny elektronu w teorii Diraca, napiszemy czemu jest równa energia cząstki znając jej wartość pędu, rozważmy najpierw macierze w postaci czteroskładnikowych bispinorów, najpierw dla operatora $\hat{\beta}\;$:

$\hat{\beta}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}$

(25.170)

Oraz napiszmy operatory $\hat{\alpha}$ a właściwie jego współrzędne, które przedstawiamy w postaci trzech składowych:

$\hat{\alpha}_x=\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}$ (25.171)

$\hat{\alpha}_y=\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{pmatrix}$ (25.172)

$\hat{\alpha}_z=\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}$ (25.173)

Mając definicje odpowiednich współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$ wyprowadzimy operatory $\hat{\sigma}\;$, które zdefiniowaliśmy w (25.29), (25.30) i (25.31). Wyprowadzając najpierw operator $\hat{\sigma}_x\;$ z pierwszego wspomnianego wzoru:

$\hat{\sigma}_x=-i\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}$

(25.174)

Policzmy $\hat{\sigma}_y\;$ ze wzoru (25.30) znając definicję współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$ dla współrzędnej iksowej i zetowej:

$\hat{\sigma}_y=-i\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&-i&0&0\\ i&0&0&0\\ 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0 \end{pmatrix}$

(25.175)

Wyznaczmy $\hat{\sigma}_z\;$ ze wzoru (25.31) znając definicję współrzędnych operatora $\hat{\alpha}\;$ iksową i igrekową, można powiedzieć:

$\hat{\sigma}_z=-i\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}$

(25.176)

Mając reprezentację operatorów $\hat{\alpha}$ przystąpijmy do dyskusji zagadnienia własnego elektronu według teorii Diraca (25.24) bez pola elektromagnetycznego:

$\left\{ c(\hat{\alpha} \hat{p})+m_0c^2\hat{\beta}\right\}\psi=E\psi$

(25.176)

• gdzie: ψ jest bispinorem, którego współrzędne zależą od czasu i przestrzeni.

Zakładamy, że zależność czasowo-przestrzenną funkcji falowej jako rozwiązania zależnego od czasu, przedstawia się ona w postaci fali płaskiej, z dokładnością do amplitudy, która jest wektorem pionowym, gdy mamy cząstkę o pędzie $\vec{p}\;$ i o energii E:

$\phi=e^{{{i}\over{\hbar}}(\vec{p}\vec{r}-Et)}$

(25.177)

Wówczas bispinor z amplitudą, która jest wektorem pionowym, jako całkowita funkcja falowa rozwiązania Diraca, będzie miało postać:

$\psi=e^{{{i}\over{\hbar}}(pr-Et)}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=e^{{{i}\over{\hbar}}(pr-Et)}\vec{u}$

(25.178)

Po wstawieniu do równania Diraca elektronu swobodnego (25.176) wyrażenia (25.178), dochodzimy do wniosku:

$\left\{c(\hat{\alpha}\hat{p})+m_0c^2\hat{\beta} \right\}\vec{u}=E\vec{u}$

(25.179)

Następnie wstawiamy, za macierze $\hat{\alpha}_i$, gdzie i=x,y,z (25.171), (25.172) i (25.173) oraz $\hat{\beta}$(25.170) do wzoru (25.179), który stanowi równanie niezależne od czasu mechaniki kwantowej Diraca, otrzymujemy ostatecznie:

$\Bigg\{c\left[\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}p_x+\begin{pmatrix} 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0\\ 0&-i&0&0\\ i&0&0&0 \end{pmatrix}p_y+\begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}p_z\right]+$ $+m_0c^2\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}\Bigg\}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}= E\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}$

(25.180)

Dokonując niewielkich przekształceń w (25.180), tak by odpowiednie skalary i ich współrzędne pędu przenieść w granicę macierzy ściśle określonych:

$\Bigg\{c\begin{pmatrix} 0&0&p_z&p_x-ip_y\\ 0&0&p_x+ip_y&-p_z\\ p_z&p_x-ip_y&0&0\\ p_x+ip_y&-p_z&0&0 \end{pmatrix}+$ $+\begin{pmatrix} m_0c^2-E&0&0&0\\ 0&m_0c^2-E&0&0\\ 0&0&-m_0c^2-E&0\\ 0&0&0&-m_0c^2-E \end{pmatrix}\Bigg\}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=0$

(25.181)

I ostatecznie otrzymujemy układ równań różniczkowych, wychodząc od (25.181), w taki sposób by wszystko znajdowało się pod macierzą w pierwszym czynniku, a drugim czynnikiem jest wektor $\vec{u}\;$, wtedy w ten sposób otrzymaliśmy układ równań jednorodnych zapisanej w postaci działań na macierzach:

$\begin{pmatrix} m_0c^2-E&0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ 0&m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ cp_z&c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z&0&-m_0c^2-E \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=0$

(25.182)

Warunkiem niezerowania się bispinorów (niezerowych rozwiązań) jest wyznacznik macierzy, występujący w (25.182) przed bispinorem, który jest równy zero:

$0=\begin{vmatrix} m_0c^2-E&0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ 0&m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ cp_z&c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}=$

$=(m_0c^2-E)\begin{vmatrix} m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0\\ -cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}+cp_z\begin{vmatrix} 0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ -cp_z&0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}+$
$-c(p_x+ip_y)\begin{vmatrix} 0&cp_z&c(p_x-ip_y)\\ m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)&-cp_z\\ c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E&0 \end{vmatrix}=$
$=(m_0c^2-E)(-cp_z) \begin{vmatrix} c (p_x-ip_y)&-m_0c^2-E\\ -cp_z&0 \end{vmatrix}-(m_0c^2-E)(m_0c^2+E)\begin{vmatrix} m_0c^2-E&c(p_x+ip_y)\\ c(p_x-ip_y)&-m_0c^2-E \end{vmatrix}+$

$-cp_z(m_0c^2-E)\begin{vmatrix} cp_z&c(p_x-ip_y)\\ 0&-m_0c^2-E \end{vmatrix}-c^2p_z^2\begin{vmatrix} cp_z&c(p_x-ip_y)\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z \end{vmatrix}+$

$+(cp_x+ip_y)(m_0c^2-E)\begin{vmatrix} cp_z&c(p_x-ip_y)\\ -m_0c^2-E&0 \end{vmatrix}-c^2(p_x+ip_y)(p_x-ip_y)\begin{vmatrix} cp_z&c(p_x-ip_y)\\ c(p_x+ip_y)&-cp_z \end{vmatrix}=$
$=(m_0c^2-E)(m_0c^2+E)c^2p^2_z-(m_0^2c^4-E^2)(-(m_0^2c^4-E^2)-c^2(p_x^2+p_y^2))+cp_z(m_0c^2-E)cp_z(m_0c^2+E)+$
$-c^2p_z^2(-c^2p_z^2-c^2(p_x^2+p_y^2))+c(p_x+ip_y)(m_0c^2-E)c(p_x-ip_y)(m_0c^2+E)+$
$-c^2(p_x^2+p_y^2)(-c^2p_z^2-c^2(p_x^2+p_y^2))=(m_0^2c^4-E^2)c^2p_z^2+m_0^4c^4+E^4-2m_0^2c^4E^2+$

$+(m_0c^2c^4-E^2)c^2(p_x^2+p_y^2)+c^2p_z^2(m_0^2c^4-E^2)+c^4p_z^4+c^4p^2_z(p_x^2+p_y^2)+c^2(p_x^2+p_y^2)(m_0^2c^4-E^2)+$
$+ c^4p_z^2(p^2_x+p_y^2)+c^4(p_x^2+p_y^2)^2= (E^2-m_0^2c^4)^2+2c^2(m_0^2c^4-E^2)(p_x^2+p_y^2+p_z^2)+$
$+c^4p_z^4+2c^4p^2_z(p_x^2+p_y^2)+c^4(p_x^2+p_y^2)^2=(E^2-m_0^2c^4)^2+2(m_0^2c^4-E^2)c^2(p_x+p_y^2+p_z^2)+c^4(p_x^2+p_y^2)^2+$
$+2fc^4p_z^2(p_x^2+p_y^2)+c^4p_z^4=(E^2-m^2_0c^4-c^2(p_x^2+p_y^2+p_z^2))^2=(E^2-m_0^2c^4-p^2c^2)^2$

Z zerowania się wyznacznika otrzymujemy zależność energii elektronu w zależności od jego wartości pędu i jego masy spoczynkowej:

$E^2-m_0^2c^4-p^2c^2=0\Rightarrow E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$

(25.183)

Co daje nam z (25.183) wyrażenie na całkowitą energię elektronu tejże cząstki, jako wartość własna równania własnego operatora energii elektronu swobodnego (25.179):

$E=\pm\sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4}$

(25.184)

Widzimy z (25.184), że energia całkowita elektronu przyjmuje zarówno energię dodatnie jak i ujemne przy tym samym jego wartości pędu, którego interpretację podamy w następnym rozdziale.

Stany elektronu o ujemnej energii a istnienie pozytonu

W dyskusji swobodnego elektronu mamy energię dodatnią i energię ujemną według (25.184). Jeśli każdy stan według szczególnej teorii względności można przedstawić:

$E=mc^2\;$

Co by odpowiadało ujemnej masie dla ujemnych energii. Różnica energii pomiędzy dwoma stanami jest:

$\Delta E=2m_ec^2=1.02MeV\;$

W mechanice kwantowej są możliwe przeskoki energetyczne, ze stanu o energii ujemnej do dodatniej i odwrotnie. Oczywiste przejście od energii ujemnej do dadatniej jest możliwe poprzez dostarczenie pewnej energii. Przeskok elektronu pomiędzy stanami o tych energiach może odbywać się zgodnie z zakazem Pauliego. W powyższej interpretacji jest to po prostu, gdy mamy stan zerowy, co odpowiada powstawaniu pary elektron-pozyton.