Mechanika kwantowa/Podstawowe operatory w mechanice kwantowej

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Podstawowe operatory w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej podstawową rolę odgrywają operatory (hermitowskie i unitarne) zwane obserwablami. Każdy tego typu operator (obserwabla) wiąże się z jakąś mierzalną wartością fizyczną układu (np. spin, energia, pęd, etc.).

Każdy operator ma swój odpowiednik w mechanice klasycznej, np. operator k-tej składowej pędu i jego odpowiednik klasyczny:


p_{k} = m v_{k} \, - mechanika klasyczna

\hat{p}_{k} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial {x_{k}}} - mechanika kwantowa


Warto tu też wspomnieć o bardzo ważnej zasadzie mechaniki kwantowej związanej z operatorami:


Jeżeli w rówaniu mechaniki klasycznej nie występuje operacja różniczkowania, to zamieniając wartości klasyczne na ich odpowiedniki kwantowe (operatory) równanie to staje się także prawdziwe dla mechaniki kwantowej.


Przykładowa zamiana:


p_{k} = m v_{k} \rightarrow \hat{p}_{k} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial {x_{k}}}

Przykład zastosowania tej zasady zostanie podany na przykładzie równania Kleina-Gordona.


Przedstawione tu zostaną najczęściej używane operatory i ich działanie na funkcje falową:


Operator k-tej składowej położenia:


\hat{x}_{k} \psi(\vec{r},t) = x_{k} \psi(\vec{r},t)


Jak widać opiera się na przemnożeniu k-tej składowej położenia przez funkcje falową.


Operator k-tej składowej pędu:


\hat{p}_{k} \psi(\vec{r},t) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial {x_{k}}} \psi(\vec{r},t)


lub ogólniej:


\hat{p} \psi(\vec{r},t) = -i\hbar\nabla \psi(\vec{r},t)


Operator energii kinetycznej:


\hat{T} \psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi


Operator energii potencjalnej:


\hat{V} \psi = V(\vec{r},t) \psi


Ważna uwaga : w mechanice kwantowej przyjęło się nazywanie energii potencjalnej i jej operatora po prostu potencjałem

Jak w przypadku operatora położenia - opiera się po prostu na przemnożeniu potencjału przez funkcje falową.


Operator energii całkowitej (hamiltonian):


\hat{H} \psi = \hat{T} \psi(\vec{r},t) + \hat{V} \psi(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\vec{r},t) + V(\vec{r},t) \psi(\vec{r},t)


W mechanice kwantowej ważną kwestią jest umiejętność konstrukcji hamiltonianu dla danego układu fizycznego (układu cząstek) - jednym z przykładów jest uwzględnienie petrubacji związanych z odziaływaniem kilku cząstek w operatorze potencjału hamiltonianu.


Operator energii:


\hat{E} \psi(\vec{r},t) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t)


Szczegóły dotyczące operatorów i ich własności zostaną przedstawione w dalszej sekcji podręcznika.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Podstawowe_operatory_w_mechanice_kwantowej”