Mechanika kwantowa/Równania Weyla

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Równania Weyla

Jak można zauważyć, równanie Schrödingera jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu w pochodnych względem zmiennych przestrzennych ( $\nabla^2$ ), a pierwszego względem czasu ( $\frac{\partial}{\partial t}$ ). Faktem z tego wynikającym jest to, że równanie Schrödingera nie nadaje się do opisu cząstek wysokoenergetycznych, ponieważ oddziaływania takich cząstek muszą być opisane w sposób relatywistycznie niezmienniczy, dlatego od równania opisującego ich zachowanie wymaga się by współrzędne i czas występowały w nim w sposób równorzędny.

Próbę stworzenia równania falowego pierwszego rzędu, relatywistycznie niezmienniczego i mającego pochodne współrzędnych i czasu występujące w sposób symetryczny podjął się Paul Dirac. Dla cząstek bezmasowych to równanie przyjmuje postać równań Weyla:

$\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial t} = \pm (\sigma_{1}\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial x} + \sigma_{2}\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial y} + \sigma_{3}\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial z}) = \pm\hat{\sigma}\frac{\partial \psi(\vec{r},t)}{\partial {\vec{r}}}$

W równaniach Weyla czynniki $σ$ są nieznananymi współczynnikami, które dobieramy tak, aby rozwiązanie powyższych równań spełniało także równanie Kleina-Gordona.

Podnosząc wszystkie strony równania do kwadratu i porównując współczynniki otrzymujemy następujące zależności:

$\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \sigma_{3}^{2} \,$

$\sigma_{1}\sigma_{2} + \sigma_{2}\sigma_{1} = 0 \,$ itd.

$m = 0 \,$

Powyższe zależności muszą być spełnione uwzględniając wszystkie możliwe znaki stron w równaniu. Jak można zauważyć, mnożenie współczynników $σ$ nie jest przemienne, więc mogą być przedstawione w postaci macierzy. Jeżeli ktoś miał styczność z fizyką atomową, to pewnie wie, że powyższe zależności dla współczynników spełniają macierze Pauliego o wymiarze 2x2. Wiążą się one z opisem spinowych stopni swobody elektronu (lub ogólniej fermionu):

$\sigma_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \,$

$\sigma_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,$

Czynnik $\vec{\sigma} \,$ po prawej stronie równań Weyla oznacza operator wektorowy, którego kartezjańskie współrzędne są macierzami Pauliego $\sigma_{1} \,$ , $\sigma_{2} \,$ , $\sigma_{3} \,$ :