Mechanika kwantowa/Równanie Kleina-Gordona

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Równanie Kleina-Gordona

Jednym z uogólnień równania Schrödingera do cząstek o energiach relatywistycznych jest równanie Kleina-Gordona. Stosując zasadę zamiany wartości klasycznych na odpowiadające im operatory kwantowo-mechaniczne można je dość łatwo wyprowadzić.

Podstawowym punktem wyjścia będzie jeden z podstawowych związków mechaniki relatywistycznej - związek energii i pędu:


E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 \,


Dokonując zamian na operatory i przemnażając obie strony równania przez funkcje falową \psi(\vec{r},t) :


p \rightarrow \hat{p} = -i\hbar\nabla


E \rightarrow \hat{E} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}


Otrzymujemy równanie Kleina-Gordona:


-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi(\vec{r},t) = -\hbar^2 c^2 \nabla^2\psi(\vec{r},t) + m^2c^4\psi(\vec{r},t)


Równanie to dobrze nadaje się do opisu bezspinowych bozonów (ponieważ nie występuje w nim żadna zmienna spinowa).

Jeżeli jako operator energii kinetycznej zdefiniujemy E = \frac{\hat{p}^2}{2m} to otrzymamy równanie falowe Schrödingera dla nierelatywistycznych cząstek bezspinowych.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/R%C3%B3wnanie_Kleina-Gordona”