Mechanika kwantowa/Równanie Schrödingera

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Równanie Schrödingera

Podstawowym równaniem w mechanice kwantowej jest równanie Schrödingera:


i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\vec{r},t) + V(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t)


Powyższa postać równania Schrödingera dotyczy jedynie pojedynczej cząstki.

Równanie Schrödingera spełnia każda cząstka będąca nierelatywistyczna oraz bezspinowa. Równanie Schrödingera jest jednym z postulatów mechaniki kwantowej, więc nie może być wyprowadzone z żadnych bardziej fundamentalnych zasad lub praw fizycznych. Prawidłowość równania Schrödingera została wielokrotnie poparta doświadczalnie.


Jak można się domyślić do rozwiązania równania Schrödingera potrzebujemy warunku początkowego dla pewnej chwili t_{0} \,:


\psi(\vec{r},t_{0}) = \psi(\vec{r})


Przy czym należy pamiętać, że po prawej stronie równania znajduje się funkcja, a nie liczba.


Gdy potencjał jawnie jest niezależny od czasu:


V(\vec{r},t) \equiv V(\vec{r})


Wtedy równanie Schrödingera nazywamy równaniem stacjonarnym, a rozwiązania tego równania są tzw. rozwiązaniami stacjonarnymi mającymi postać:


\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r})e^{-\frac{iE}{\hbar}t}


Ogólne rozwiązanie równania Schrödingera można także przedstawić w postaci pakietu falowego:


\psi(\vec{r},t) = \int d^3kA(\vec{r})e^{i(\vec{k}\vec{r} - \omega t)}


Powyższą całkę da się przedstawić z zastosowaniem podstawień wynikających z postulatów de Broglie`a w innej postaci:


\vec{p} = \hbar \vec{k}


|\vec{k}| = \frac{2 \pi}{\lambda}


E = \hbar \omega


Po dokonaniu podstawień i zamianie zmiennej całkowania (stałe zostały wciągnięte do funkcji A(\vec{p})):


\psi(\vec{r},t) = \int p^3kA(\vec{p})exp(\frac{i\vec{r}\vec{p}}{\hbar} - \frac{iEt}{\hbar})


Zmieniono w powyższym równaniu notacje z e^x \, na exp(x) \,


Faktem wynikającym z nierelatywistyczności rówania Schrödingera jest to, że nie uwzględnia ono procesu anihilacji-kreacji par. Wynika z tego, że równianie Schrödingera musi być ciągłe w całej przestrzeni - cząstki nie mogą się w nim pojawiać ani znikać.


Spis treści
Źródło „http://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera”