Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki

Przestrzeń nieeuklidesowa - przestrzeń, która nie jest płaska, tzn. promień krzywizny jest na ogół różny od nieskończoności, co oznacza że krzywizna jest różna od 0.

Konwencja Einsteina

W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego Tⁿ i kowariantnego S_n, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać:

$P=\sum_pT^pS_p\;$

(2.1)

A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład (2.1) zapisujemy w prostszej postaci:

$P=T^pS_p\;$

(2.2)

Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej).

Tensor kowariantny

Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi m, na nowe o takiej samej liczbie zmiennych:

$\widehat{B}_{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,..,\widehat{q}_m)= \sum^{}_{k_i}\left[\prod^{m}_{j=1}{{\partial q^{k_i}}\over{\partial \widehat{q}^{p_j}}}\right]B_{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;$

(2.3)

Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina.

$\widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_2)\;$

(2.4)

A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy:

$\widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_1,...,\widehat{q}_m)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_1,..,q_m)\;$

(2.5)

Tensor kontrawariantny

Tensorem kotrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu:

$\widehat{A}^{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)=\sum_{k_i}\left[\prod^n_{j=1}{{\partial\widehat{q}^{p_j}}\over{\partial q^{k_i}}}\right]A^{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;$

(2.6)

Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina:

$\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}\widehat{A}^{k_1k_2}(q_1,q_2)\;$

(2.7)

A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy:

$\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}A^{k_1k_2}(q_1,q_2,...,q_m)\;$

(2.8)

Definicja prostego tensora metrycznego

Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu:

$ds=\sqrt{ dx^i dx^{i}}=\sqrt{\delta_{ij}dx^idx^j}=\sqrt{\delta_{ij} {{\partial x_i}\over{\partial p^k}} {{\partial x^j}\over{\partial p^r}}dp^kdp^r}=\sqrt{g_{kr}dp^kdp^r}\;$

(2.9)

W obliczeniach (2.9) wprowadziliśmy tensor g_kr, mając zmienne xⁱ przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym:

$g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{ \partial p^r}}\;$

(2.10)

Mając powyższy wzór (2.10) tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji.

Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że:

$g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}} ={{1}\over{2}}\left(\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ \delta_{ji}{{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) ={{1}\over{2}}\delta_{ij}\left({{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ {{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right) \;$

(2.11)

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy g_kr=g_rk, czyli tensor metryczny jest symetryczny, co oznacza, że dla macierzy g tensora metrycznego mamy: g=g^T, bo $g=[g_{ij}]_{nxn}\;$.

Definicja odwrotnego tensora metrycznego

Tensor odwrotny do tensora metrycznego g_kr definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie (2.10), wedle wzoru:

$g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}$

(2.12)

Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny (2.12) jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej:

$g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}={{1}\over{2}}\left(\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+\delta^{ji}{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)= {{1}\over{2}}\delta^{ij}\left({{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)$

(2.13)

W powyższym wzorze, gdy zamienimy miejscami k na r i odwrotnie, mamy g^kr=g^rk, zatem możemy dojść do wniosku, że odwrotny tensor metryczny przestawionej w punkcie (2.12) jest tensorem symetrycznym ze względu na zmianę wskaźników k i r między sobą.

Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach

Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów:

$A^p=A_sg^{sp}\;$ (2.14)

$A_p=A^sg_{sp}\;$ (2.15)

Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do (2.14) lub (2.15).

Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego

Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego (2.10) i odwrotnego (2.12) oraz podobnych przekształceń do (2.14) i (2.15), kolejno postępując:

${g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={\delta^j}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}=\;$ $= {{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m$

(2.16)

Na podstawie obliczeń (2.16) dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:

${g_k}^{m}={\delta_k}^m$ (2.17)

${g^m}_k={\delta^m}_k$ (2.18)

Macierz g^m_k jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g_ij jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g^ij wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (2.16).

Baza krzywoliniowa a tensor metryczny

W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych:

$\vec{r}=\vec{k}_i x^i(q^j)\;$

(2.19)

Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego (2.19) względem współrzędnej krzywoliniowej q^m:

$\vec{e}_m={{\partial \vec{r}}\over{\partial q^m}}={{\partial \left(\vec{k}_i x^i\right)}\over{\partial q^m}}=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;$

(2.20)

Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w (2.20) o wskaźnikach m i n, wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym (2.10), co wynika z definicji wektora kowariantnego (2.20):

$\vec{e}_m\vec{e}_n=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}} \vec{k}_j{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=g_{mn}\;$

(2.21)

Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie (2.21), który jest analogiczną definicją do (2.10). Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu:

$g_{mn}=\vec{e}_m\vec{e}_n\;$

(2.22)

Podnieśmy wskaźnik m do góry we wzorze (2.22), który jest wektorem (2.20) i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy przez n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n:

${g^{m}}_{n}=\vec{e}^m\vec{e}_n\;$

(2.23)

Definicja symboli Christoffela

Symbol Christofela zdefiniowany jest w rachunku tensorowym dla wektorów bazy kowariantnych i kontrawariantnych:

$\nabla_le_j={\Gamma^k}_{lj}e_k.\;$ (2.24)

$\nabla_le^j=-{\Gamma^j}_{lk}e^k\;$ (2.25)

Udowodnijmy teraz równoważność obu definicji symboli Christoffela zdefiniowanych w punktach (2.24) i (2.25). W pierwszej definicji symbolu Christofela pomnóżmy przez e_r zdefiniowanych w punkcie (2.20), a dalej wykorzystajmy wzór (2.22), który jest definicją tensora metrycznego prostego:

$(\nabla_le_j)e_r={\Gamma^k}_{lj}e_ke_r\Rightarrow(\nabla_le_j)e_r={\Gamma^k}_{lj}g_{kr}\;$

(2.26)

Pomnóżmy wynikowy wzór (2.26) przez podwójnie kontrawariantny tensor metryczny g^kr obustronnie. Jeśli wykorzystamy tożsamość (2.18), wtedy możemy dojść do wniosku:

$(\nabla_le_j)e_rg^{kr}={\Gamma^k}_{lj}\;$

(2.27)

Następnie pomnóżmy obustronnie równanie (2.27) przez wektor kontrawariantny e^j zdefiniowany wcześniej, otrzymujemy:

$(\nabla_le_j)e_rg^{kr}e^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

(2.28)

Jeśli skorzystamy z własności tensora metrycznego, tzn. e_rg^kr=e^k, do których wykorzystamy definicję (2.20), które przedstawiają pewne wektory:

$e^ie_k=e^i g_{sk}e^s=g_{sk}e^ie^s=g_{sk}g^{is}={g^i}_k={\delta^i}_k\;$

(2.29)

Równanie (2.28), wykorzystując przy tym udowodnioną tożsamość (2.29), możemy przekształcić do poniższej postaci (według praw rachunku tensorowego):

$(\nabla_le_j)e^ke^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow\nabla_l (e_je^ke^j)-(\nabla_l e^k) e_je^j-(\nabla_l e^j)e_je^k={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow$ $\Rightarrow(\nabla_le^kg^{j}_j)-(\nabla_l e^k) g^j_j-(\nabla_l e^j)g^k_j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

(2.30)

Jeśli wykorzystamy tożsamość (2.18) na tensor metryczny kowariantno-kontrwariantno, wtedy możemy końcowy wzór (2.30) zapisać w sposób:

$(\nabla_l e^k)g^{j}_j-(\nabla_le^k)g^{j}_j-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

(2.31)

Pierwsze dwa wyrazy we wzorze w punkcie (2.31) redukują się, po tym uproszczeniu możemy zapisać wyrażenie w ostatecznej formie:

$-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k)=-{\Gamma^k}_{lj}e^j\;$

(2.32)

W tej chwili w końcowym punkcie (2.32) otrzymaliśmy drugą definicję (2.25) symboli Christoffela z pierwszej (2.24).

Pochodna kowariantna o współrzędnych kowariantnych

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, weźmiemy w tym celu wektor A, który można rozłożyć na składowe Aⁱ względem wersorów e_i wedle sposobu:

$A=A^ie_i\;\;$

(2.33)

Policzmy teraz różniczkę wielkości wektorowej A zdefiniowaną wedle wzoru (2.33), wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości, którą możemy rozpisać w taki sposób:

$dA=dA^i e_i+A^i de_i\;\;$

(2.34)

Możemy również wykorzystując tożsamość (2.24), używając jej dla wzoru na różniczkę wektora e_i. Wtedy będziemy mogli napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kowariantnego o wskaźniku "i":

$de_i={{\partial e_i}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_i dx^l={\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

(2.35)

Na podstawie napisanej tożsamości na różniczkę zupełną wektora kowariantnego (2.35) możemy wpisać go do wzoru na różniczkę zupełną wielkości A (2.34), którą można zapisać tożsamością przy pomocy tensora Christoffela:

$dA={{\partial A^i}\over{\partial x^l}}dx^le_i+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

(2.36)

A teraz, po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.36), możemy wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości A, jako różniczkę wielkości absolutnej:

$dA={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}dx^le_k+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;$

(2.37)

Obie strony (2.37) podzielmy przez różniczkę du i wyłączmy za nawias pewne wyrażenie, która jest pochodną zupełną wielkości x^l względem wielkości u pomnożonej przez wektor e_k:

${{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li} \right){{dx^l}\over{du}}e_k\;$

(2.38)

A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru (2.38) pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu zapisujemy ją jako wielkość kontrawiantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości A i symbolu Christoffela:

${A^k}_{;l}={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li}\;$

(2.39)

Wyrażenie (2.38) nazywamy pochodna absolutną, a (2.39) jest pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej.

Pochodna kowariantna o współrzędnych kontrawariantnych

W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B_i względem wektorów kontrawiantnych eⁱ, wedle sposobu:

$B=B_je^j\;\;$

(2.40)

A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru (2.40) wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka dB wyraża się wzorem:

$dB=dB_je^j+Bde^j\;\;$

(2.41)

Możemy również, wykorzystując tożsamość (2.25) i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e_i, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym:

$de^j={{\partial e^j}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e^jdx^l=-{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;$

(2.42)

Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej (2.42) możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B (2.41), którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem:

$dB={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}e^jdx^l+B_j\nabla_le^jdx^l={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}dx^le^j-B_j{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;$

(2.43)

Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze (2.43) możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną:

${{dB}\over{du}}=\left({{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k=\left( {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k\;$

(2.44)

A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru (2.44) pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela:

$B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;$

(2.45)

Wyrażenie (2.44) nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór (2.45) nazywamy pochodną kowariantną wielkości kowariantnej.

Pochodna tensorowa iloczynu tensorów

Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać:

$(A^iB^j)_{;k}={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;$

(2.46)

Wyznaczmy lewą stronę równania (2.46), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.39), po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać:

$(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+ {\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;$ $={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=\;$ $=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)=\;$ $={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;$

(2.47)

Co kończy dowód.

Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci:

$(A_iB_j)_{;k}={A_i}_{;k}B_j+A_i{B_j}_{;k}\;$

(2.48)

Wyznaczmy lewą stronę równania (2.48), wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej (2.45), i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony:

$(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;$ $=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=\;$ $=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=\;$ $=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;$

(2.49)

Co kończy dowód.

Właściwości przemienne kolejności wskaźników tensora Christoffela

Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy φ napisaną względem wielkości α i β, co wyrazimy:

$\phi_{,\alpha,\beta}={{\partial}\over{\partial x^{\alpha}}}{{\partial}\over{\partial x^{\beta}}}\phi\;$

(2.50)

Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:

$\phi_{;\beta;\alpha}=\phi_{;\alpha;\beta}\;$ (2.51)

$\phi_{,\alpha}=\phi_{;\alpha}\;$ (2.52)

Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:

$\phi_{,\beta,\alpha}-\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}=\phi_{,\alpha,\beta}-\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

(2.53)

Pochodna cząstkowa względem parametru x^α, a potem od parametru x^α jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej:

$\phi_{,\beta,\alpha}=\phi_{,\alpha,\beta}\;$

(2.54)

W takim bądź razie wyrażenie (2.53), przy pomocy tożsamości (2.54) wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci:

$\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}=\phi_{,\mu}{\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

(2.55)

Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej φ i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji φ (2.54), tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników:

${\Gamma^{\mu}}_{\beta\alpha}={\Gamma^{\mu}}_{\alpha\beta}\;$

(2.56)

Udowodnijmy teraz inne twierdzenie, które jest zapisywane wedle schematu:

${\Gamma^k}_{ij}={{\Gamma_i}^k}_j\;$

(2.57)

Obok definicji (2.24) poprawny również jest zapis:

$\nabla_i e_j={{\Gamma_i}^k}_je_k\;$

(2.58)

Odejmując obie strony równań (2.24) i (2.58) otrzymujemy poniższą pierwszą tożsamość, które jest zawsze równa zero, z czego wynika że nawias powinien być zawsze równy zero i dochodzimy do drugiego wniosku:

$0=({{\Gamma_i}^k}_j-{\Gamma^k}_{ij})e_k\Rightarrow{{\Gamma_i}^k}_j={\Gamma^k}_{ij}\;$

(2.59)

Uogólnienie tensora absolutnego

Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e_ki:

$A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}e_{k_1}e_{k_2}\cdot ...\cdot e_{k_r} e^{r_1}e^{r_2}\cdot ... \cdot e^{r_m}\;\;$

(2.60)

Oznaczmy $(k_1,k_2,..k_r)=up\;\;$ oraz $(r_1,r_2,...,r_m)=down\;\;$, wtedy (2.60) piszemy:

$A=A^{up}_{down}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;$

(2.61)

Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów (2.33) i (2.40).

Pochodna kowarianta o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych

Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu (2.61), dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:

$dA=d\left[(A^{up}_{down})(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})\right]=\;$ $=d(A^{up}_{down})(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})+A^{up}_{down}(\sum^r_{q=1}de_q\prod^r_{i=1}e_{k_i})+A^{up}_{down}(\sum^m_{q=1}de^q\prod^m_{i=1}e^{k^i})\;$

(2.62)

Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów (2.24) i (2.25), aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:

$de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;$ (2.63)

$de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;$ (2.64)

A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru (2.62) do którego podstawiamy dwie tożsamości (2.63) i (2.64), wtedy dostajemy:

$dA={{\partial A^{up}_{down}}\over{\partial x^l}}dx^l(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i})+A^{up}_{down}\sum^r_{q=0}{\Gamma^k}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}+\sum^m_{q=1}-{\Gamma^{q}}_{lj}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l)\;$

(2.65)

Jeśli wzór (2.65) podzielimy przez wielkość du, dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x^l względem wielkości u i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:

${{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{f_q,f_2,f_3,..,f_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{q=1} A^{...,q,...}_{down}{\Gamma^{k_q}}_{lq}-\sum^m_{q=1} A^{up}_{...,q,...}{\Gamma^q}_{lf_q}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;$

(2.66)

A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie (2.66) względem wielkości x^l, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela:

$A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{f_q,f_2,f_3,..,f_m;l}={{\partial A^{up}_{down}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{q=1} A^{...,q,...}_{down}{\Gamma^{k_q}}_{lq}-\sum^m_{q=1} A^{up}_{...,q,...}{\Gamma^q}_{lf_q}\;$

(2.67)

Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub górnych podamy ogólny wzór określony według wzoru (2.67), dla przykładów poniżej:

${A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;$ (2.68)

$A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;$ (2.69)

Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru (2.67), które zapisujemy:

${A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;$

(2.70)

Własności tensora metrycznego

Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać:

$V_{\alpha}=g_{\alpha\mu} V^{\mu}\;\;$

(2.71)

Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie (2.71) wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu:

$V_{\alpha;\beta}=g_{\alpha\mu;\beta}V^{\mu}+g_{\alpha\mu}{V^{\mu}}_{;\beta}\;\;$

(2.72)

Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku μ, przy operacjach na wskaźnikach:

$g_{\alpha\mu}{V^{\mu}}_{;\beta}=V_{\alpha;\beta}\;\;$

(2.73)

Równość (2.72) do której zastosujemy tożsamość tensorową (2.73), którą zapisujemy z własności tensora metrycznego:

$V_{\alpha;\beta}=g_{\alpha\mu;\beta}V^{\mu}+V_{\alpha;\beta}\;\;$

(2.74)

Patrząc na wzór (2.74) i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości:

$g_{\alpha\mu;\beta}=0\;\;$

(2.75)

Wyznaczanie symboli Christoffela

Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi (2.75), to wykorzystując przy okazji wzór (2.69), możemy powiedzieć, że:

(j,r,l)->

${{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-\Gamma^k_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;$ (2.76)

Poprzez permutację wskaźników we wzorze (2.76) otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:

(r,l,j)->

${{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;$ (2.77)

(l,j,r)->

${{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;$ (2.78)

Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku:

${{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;$

(2.79)

Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g^kr tożsamość otrzymaną w punkcie (2.79) przechodzimy do tożsamości:

${\Gamma^p}_{lj}g_{pr}g^{kr}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;$

(2.80)

Po przekształceniach w punkcie (2.80) wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego (2.18), co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy:

${\Gamma^p}_{lj}{\delta^k}_p={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\Rightarrow{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;$

(2.81)

Końcowy wynik zapisany w punkcie (2.81) jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności:

${\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;$

(2.82)

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}\;$

(2.83)

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu (2.39), to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo:

${a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;$

(2.84)

Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową (2.84), to wyrażenie (2.83) możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm})_{;n}-({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm})_{;l}=\;$ $=\left[({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm})_{,n}+({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}){\Gamma^k}_{nr}-({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;$ $-\left[({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm})_{,l}+({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}){\Gamma^k}_{lr}-({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;$ $=(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l})+a^m({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr})+a^m({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}})\;$ $=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;$

(2.85)

Wyrażenie (2.83) wedle obliczeń (2.85) zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

${a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}={R^k}_{mnl}a^m\;$

(2.86)

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela:

${R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;$

(2.87)

Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych

Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}\;\;$

(2.88)

Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu (2.45), może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo:

$a_{k;l}= {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_j{\Gamma^j}_{lk}\;$

(2.89)

Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową (2.89), to wyrażenie (2.88) możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=\left({{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{;n} -\left({{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{;l}=\;$ $=\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{,n}-\left( {{\partial a_r}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lr} \right){\Gamma^r}_{nk}-({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}+a_m{\Gamma^m}_{sk}){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;$ $-\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{,l}- \left({{\partial a_r}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nr}\right){\Gamma^r}_{lk}-({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}-a_m{\Gamma^m}_{sk}){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;$ $=(a_{k,l,n}-a_{k,n,l})+a_m\left({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}\right)+a_m\left({\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}\right)\;$

(2.90)

Wyrażenie (2.88) wedle obliczeń (2.90) zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:

$a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=-{{R^{m}}}_{knl}a_m\;\;$

(2.91)

• gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy:

${{R^{m}}}_{kln}={{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}=-{R^m}_{knl}\;$

(2.92)

Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych

Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor metryczny (2.87) wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru (2.82), w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;$ $+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;$

(2.93)

Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu (2.75), to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość:

$0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\Rightarrow{g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;$

(2.94)

Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny (2.93). po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej (2.94), możemy zapisać:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+\;$ $-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+ {{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;$ ${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;$

(2.95)

Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru (9.25), korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego:

${\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}= {{\Gamma_p}^k}_n{\Gamma^p}_{lm}={\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}\;$

(2.96)

Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje (9.25), korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego:

${\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}={\Gamma_{pl}}^k{\Gamma^p}_{nm}={\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;$

(2.97)

Mając wzór (2.95), a także tożsamości (2.96) i (2.97), wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+ {{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}+\;$ $-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;$

(2.98)

Przepisując jeszcze raz końcowy wynik (2.98), wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu:

${R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;$

(2.99)

Inny równoważny do (2.99) czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci:

$R_{imnl}=g_{ik}{R^k}_{mnl}=g_{ik}{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;$

(2.100)

Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń (2.100) piszemy natomiast wedle wyobrażeń:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,m,n}-g_{lm,i,n}-g_{in,m,l}+g_{nm,i,l}\right)\;$

(2.101)

Tensorowy charakter tensora krzywizny

Z definicji pochodnej tensorowej (2.67) możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci:

${\Gamma^k}_{lm;n}={\Gamma^k}_{lm,n}+{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}- {\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^{k}}_{sm}-{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}\;$

(2.102)

Tożsamość (2.102) wstawiamy do wzoru (2.86) na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu:

${R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}- {\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+\;$ $+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;$

(2.103)

Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny (2.103) jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie (2.92). Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż:

${R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;$

(2.104)

Właściwości tensora krzywizny

Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny (2.101), dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{ml,in}-g_{lm,mn}-g_{mn,il}+g_{ni,ml}\right)=-R_{minl}\;\;$

(2.105)

Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny (2.101), dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= -{{1}\over{2}}\left(g_{in,ml}-g_{nm,il}-g_{il,mn}+g_{lm,in}\right)=-R_{imln}\;\;$

(2.106)

Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny (2.101), dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania:

$R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)= {{1}\over{2}}\left(g_{nm,li}-g_{ml,ni}-g_{ni,lm}+g_{il,lm}\right)=R_{nlim}\;\;$

(2.107)

Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń (2.105) przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, (2.106) przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie (2.107) przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje:

$R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;$

(2.108)

Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru (2.101). Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej:

$R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+\;\;$ $+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;$

(2.109)

Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie (2.109) przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy:

$R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;$

(2.110)

Tożsamość Bianchiego

Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie (2.101) przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym:

$R_{imnl,p}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)\;\;$

(2.111)

Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem (2.111).

$R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}= {{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)+\;\;$ $+{{1}\over{2}}\left(g_{in,mpl}-g_{nm,ipl}-g_{ip,mnl}+g_{pm,inl}\right)+ {{1}\over{2}}\left(g_{ip,mln}-g_{pm,iln}-g_{il,mpn}+g_{lm,ipn}\right)=0\;\;$

(2.112)

Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy:

$R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;$

(2.113)

Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci:

$K_{nl}=g^{im}R_{imnl}\;\;$

(2.114)

Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor (2.114) jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus:

$K_{nl}=-K_{ln}\;\;$.

(2.115)

A dowód (2.115) przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie (2.114) i korzystając przy tym z własności (2.106), dochodzimy do wniosku:

$K_{nl}=g^{im}R_{imnl}=g^{im}(-R_{imln})=-g^{im}R_{imln}=-K_{ln}\;\;$

(2.116)

Udowodniliśmy, że tensor K_nl (2.114), jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny.

Pochodna tensorowa tensora K_nl zapisanego w punkcie (2.114), przedstawia się wzorem wedle schematu:

$K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;$

(2.117)

Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości (2.117). Dzięki temu wiemy, że;

$K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+\;\;$ $+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})+\;\;$ $-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;$

(2.118)

Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń (2.118) zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach:

$K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;$

(2.119)

Teraz skorzystamy z definicji K_nl (2.114) i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu (2.75), a wtedy lewa strona (2.119) jest zapisana wzorem:

$L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=\;$ $=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;$

(2.120)

A także prawą stronę równości (2.119) zapisujemy:

$P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;$

(2.121)

Dochodzimy do wniosku, że jeśli $L=P\;$, czyli wyrażenia (2.120) i (2.121) są sobie równe, bo punkt (2.119), mamy:

$g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;$

(2.122)

Można udowodnić, że na pewno zachodzi własność powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny (2.101) nie zawiera w swojej definicji podwójnie kontrawariantnych tensorów metrycznych. Inaczej mówiąc tensor krzywizny zależy tylko od drugich pochodnych tensora metrycznego, a nie od samego tensora krzywizny, co przedstawiamy jako:

${{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;\;$

(2.123)

Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będzie przydatna do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości (2.122):

${{\partial (R_{imnl}g^{im})_{,p}}\over{\partial g^{ij}}}=\left({{\partial (R_{imnl}g^{im})}\over{\partial g^{im}}}\right)_{,p}=R_{imnl,p}\;$

(2.124)

Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego (2.122) względem g^im, wtedy otrzymujemy wniosek:

$R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}\;\;$

(2.125)

Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość (2.113). Zatem tożsamość Bianchiego po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do (2.125) pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku:

$R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=0\;\;$

(2.126)

Tensor Ricciego

Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym (2.87) piszemy wedle schematu:

$R_{ml}={R^k}_{mkl}=R_{lm}\;$

(2.127)

Powyższe skrajne równości są sobie równe w (2.127). Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny (2.101):

$R_{ml}={R^k}_{mkl}= {{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,mk}-g_{lm,rk}-g_{rk,ml}+g_{km,rl}\right)=\;$ $={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{km,rl}-g_{rk,ml}-g_{lm,rk}+g_{rl,mk}\right)=R_{lm}\;$

(2.128)

Co kończy dowód.

Tensor Ricciego (2.127) zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora:

$R_{ln}=g^{km}R_{klmn}={R^m}_{lmn}\;$

(2.129)

A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego (2.129) wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny:

$R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;$

(2.130)