Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści 1 Całka nieoznaczona 1.1 Całkowanie przez części 1.2 Całkowanie przez podstawienie 1.3 Metoda przewidywania 1.4 Inne 2 Całka oznaczona 2.1 Zmiana granic całkowania 3 Całka wielokrotna 4 Całka krzywoliniowa nieskierowana 4.1 Przykład 5 Całka krzywoliniowa skierowana 5.1 Przykład 6 Całka powierzchniowa

[edytuj] Całka nieoznaczona

W myśl powyższej definicji całkowanie funkcji Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): f(x)

polega na znalezieniu jej funkcji pierwotnej. Korzystając z alternatywnego zapisu pochodnej funkcji powyższe równanie przyjmie postać:

Po obustronnym pomnożeniu przez dx:

Po obustronnym całkowaniu powyższą relację możemy zapisać jako:

Można zatem powiedzieć z pewnym przybliżeniem, że operacja całkowania jest operacją odwrotną do różniczkowania. Powyższe przybliżenie wynika z faktu, iż, o ile różniczkowanie jest operacją jednoznaczną, to całkowanie już nie. Funkcja f(x) ma jedną i tylko jedną pochodną f'(x). Natomiast f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotych F(x). Mówimy zatem, że wyznaczamy całkę nieoznaczoną funkcji f(x) z dokładnością do stałej addytywnej C, co zapisujemy jako:

[edytuj] Całkowanie przez części

Z tablic całek wiemy, iż:

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): [ f(x) \cdot g(x) ]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int[f(x) \cdot g(x)]'dx = \int f'(x) \cdot g(x)dx + \int f(x) \cdot g'(x)dx

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): f(x) \cdot g(x) = \int f'(x) \cdot g(x)dx + \int f(x) \cdot g'(x)dx

Przykład:

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int \ln(x) dx = \int (1 \cdot \ln(x)) dx

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): g(x) = \ln(x) \implies g'(x)={1 \over x}

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): f'(x) = 1 \implies f(x)=x

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int \ln(x) dx = \int (1 \cdot \ln(x)) dx = x \cdot \ln(x) - \int \Big({{1} \over {x}} \cdot x\Big) dx = x \cdot \ln(x) - \int dx = x \cdot \ln(x) - x

[edytuj] Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie jest metodą z reguły wygodniejszą i szybszą od całkowania przez części, trzeba jednak zdawać sobie sprawę z tego, że nie do każdego wyrażenia możliwe jest jej zastosowanie.

Całkując przez podstawienie podmieniamy jedną z funkcji występujących pod znakiem całki na funkcję prostszą, obliczamy jej pochodną, a następnie całkę z takiego -- prostszego -- wyrażenia. Przy podawaniu końcowego wyniku powracamy do "starych" oznaczeń.

Na przykładzie :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{\frac{\ln{x}}{x}dx}

Takie wyrażenie możemy z łatwością obliczyć przez podstawienie. Oznaczmy jako Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): u

funkcję Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \ln{x}

. Tak więc, co wynika z podstaw rachunku różniczkowego, pochodna tego wyrażenia to Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): du = \frac{dx}{x} .

Zauważmy teraz, że wprowadzone nowe zmienne możemy zastosować w podanej całce, bo :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{\frac{\ln{x}}{x}dx} = \int{\ln{x} \cdot \frac{dx}{x}} = \int{u du}

Jako że

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{u du} = \frac{1}{2}u^2 + C

, to powracając do starych oznaczeń mamy

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{\frac{\ln{x}}{x}dx} = \frac{1}{2}\ln^2{x} + C

Trzeba jednak pamiętać, że powodzenie tej metody i to, ile uprości nam rachunki zależy głównie od tego, pod którą funkcję podstawimy nową zmienną. Jeśli widzimy na samym początku, że funkcji podcałkowej nie da się wyrazić przez iloczyn jednej z funkcji w niej występujących i jej pochodnej, to znaczy, że najprawdopodobniej nie jesteśmy w stanie zastosować metody całkowania przez podstawienie.

Przedstawmy teraz trochę trudniejszy przykład :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{x^3 e^{x^2} dx}

Na pierwszy rzut oka takiej całki nie da się rozwiązać przez podstawienie. Korzystając z własności działań na potęgach możemy ją jednak zapisać w sposób następujący :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{x^3 e^{x^2} dx} = \int{x x^2 e^{x^2} dx}

Wykonamy teraz podstawienie :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): t = x^2 \quad dt = 2x dx \quad x dx = \frac{1}{2}dt

Po zastosowaniu go do naszej wejściowej całki otrzymujemy całkę :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{x x^2 e^{x^2} dx} = \int{x^2 e^{x^2} x dx} = \int{t e^t \frac{1}{2}dt} = \frac{1}{2}\int{t e^t dt}

Którą rozwiążemy stosując całkowanie przez części. Tak więc :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): u = t \Rightarrow du = dt

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): dv = e^t dt \Rightarrow v = \int{e^t dt} = e^t

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int{t e^t dt} = t e^t - \int{e^t dt} = t e^t - e^t = e^t(t - 1)

Wracając do naszego wejściowego równania mamy :

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \frac{1}{2}\int{t e^t dt} = \frac{1}{2}e^t(t - 1) + C

I powracając do starych zmiennych, czyli podstawiając z powrotem Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): t = x^2

:

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \frac{1}{2}e^t(t - 1) + C = \frac{1}{2}e^{x^2}(x^2 - 1) + C

[edytuj] Metoda przewidywania

[edytuj] Inne

Funkcje, których całki nieoznaczonej nie można wyrazić poprzez funkcje elementarne: logarytm całkowy Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int \frac{dx}{\ln x} sinus całkowy Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int \frac{\sin x}{x} dx całka eliptyczna Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int \sqrt{1+x^3} dx funkcja dzwonowa Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int e^{-x^2} dx

[edytuj] Całka oznaczona

Całka oznaczona służy do obliczna pola powierzchni pod wykresem funkcji. W przeciwieństwie do całki nieoznaczonej rozwiązaniem całki oznaczonej jest liczba.

[edytuj] Zmiana granic całkowania

[edytuj] Całka wielokrotna

[edytuj] Całka krzywoliniowa nieskierowana

[edytuj] Przykład

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int_l xy dl

, gdzie l jest łukiem elipsy Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2
leżącym w  I ćwiartce układu współrzędnych

[edytuj] Całka krzywoliniowa skierowana

[edytuj] Przykład

Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \int_C (3x^2y - 3y) dx + (x^3+y^3) dy

, gdzie C jest okręgiem o środku (2,0) i promieniu 2

[edytuj] Całka powierzchniowa