Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności

Szczególna teoria względności jest współczesną teorią fizyczną. Teoria ta wraz z mechaniką kwantową stanowią podstawę współczesnej fizyki i techniki.

Postulaty szczególnej teorii względności

Postulat pierwszy - jest uogólnieniem zasady względności Galileusza na dowolne procesy fizyczne; postulat ten zwany jest zasadą względności lub relatywistyczną zasadą względności Einsteina. Brzmi on: prawa fizyki są spełnione we wszystkich inercjalnych układach wsþórzędnych, tzn. takich układach, w których poruszają się ze stałą prędkością względem innych układów inercjalnych.

Postulat drugi - we wszystkich układach współrzędnych prędkość światła jest jednakowa.

Kinematyka

Tutaj przedstawimy teorię nie wnikając w przyczyny ruchu danej cząstki w szczególnej teorii względności.

Kinematyka w teorii względności

Prawa transformacyjne położenia cząstki w czasoprzestrzeni z jednego układu współrzędnych do drugiego są:

$\overline{x}^'=\vec{f}(\overline{x})\;$

(1.1)

• gdzie położenie cząstki w starym układzie współrzędnych$\overline{x}=[ct,x_1,x_2,x_3]\;$ a także wielkości primowane w stosunku do poprzedniego mamy w postaci:$\overline{x}^'=[ct^',x_1^',x_2^',x_3^']\;$,
• jeśli potraktować czas jako zerową współrzędną w czterowymiarowej przestrzeni zwanej czasoprzestrzenią, ale tak naprawdę czas jest pseudowspółrzędną i nie jest współrzędną, ale zachowuje się jak współrzędna.

Różniczka zmiany położenia danej cząstki w czasie, korzystając z defiicji różniczki zupełnej z analizy matematycznej, jest przestawiona:

$d\overline{x}^'={{\partial \overline{f}(\overline{x})}\over{\partial \overline{x}}}d\overline{x}\;$

(1.2)

Założmy, że cząstka, która ma położenie w starym układzie współrzędnych w czasoprzestrzeni $\overline{x}\;$ po przesunięciu tego układu o wektor $\overline{a}\;$, wtedy cząstka będzie miała położenie $\overline{x}_0\;$, co tą transformację możemy piszać:

$\overline{x}=\overline{x}_0+\overline{a}\;$

(1.3)

• gdzie $\overline{a}=[a_0,a_1,a_2,a_3]\;$ jest pewną stałą wektorową.

Możemy podstawić (1.3) do wzoru na nieskończenie małą zmianę położenia cząstki w czasoprzestrzeni w nowym układzie współrzędnych względem jego starego, którą piszemy wzorem (1.2):

$d\overline{x}^'={{\partial \overline{f}(\overline{x}_0)}\over{\partial \overline{x}_0}}d\overline{x}_0\Rightarrow d\overline{x}^'={{\partial \overline{f}(\overline{x}_0)}\over{\partial \overline{x}_0}}d\overline{x}\;$

(1.4)

Z izotropowości czasu i przestrzeni w układzie według Einsteina wynika, że równanie (1.4) nie zależy od tego o jaki wektor $\overline{a}\;$ przesuniemy stary układ współrzędnych, wzór (1.4) możemy porównać ze wzorem (1.2), wtedy dostajemy, że wektor pochodnej cząstkowej $_{{{\partial\overline{f}(\underline{x})}\over{\partial\overline{x}}}}\;$ jest stałą wielkością o charakterze wektorowym, zatem transformacja ze starego układu współrzędnych do nowego przedstawia się:

Transformacja współrzędnych cząstki ze starego układu odniesienia do nowego w przestrzeni n-wymiarowej pamiętając, że czas jest pseudowspółrzędną, czyli występuje jako parametr, przedstawiają się czterema wzorami: $t^'=m_{00}t+{{m_{01}x_1}\over{c}}+{{m_{02}x_2}\over{c}}+{{m_{03}x_3}\over{c}}+...+{{m_{0n}x_n}\over{c}}+t_O\;$ (1.5) $x^'_1=m_{10}ct+m_{11}x_1+m_{02}x_2+m_{13}x_3+...+m_{1n}x_{1n}+x_{O1}\;$ (1.6) $x^'_2=m_{20}ct+m_{21}x_1+m_{22}x_2+m_{23}x_3+...+m_{1n}x_{1n}+x_{O2}\;$ (1.7) -------------------------------------------------------------------------------------------------------- $x^'_n=m_{n0}ct+m_{n1}x_1+m_{n2}x_2+m_{n3}x_3+...+m_{nn}x_n+x_{On}\;$ (1.8)

Na podstawie wzoru (1.6), (1.7) i (1.8) transformacja współrzędnych ze starego układu do nowego piszemy:

$\vec{X}'=M_p \vec{X}+M_{x0}ct+\vec{X_0}\;$

(1.9)

• gdzie $_{\vec{X}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{bmatrix}}\;$.

Wektor wodzący ciała względem którego będziemy określać nowy układ współrzędnych w nowym układzie współrzędnych z oczywistych powodów jest równa zero, zatem wzór (1.9) możemy napisać:

$0=M_p\vec{X_u}+M_{x0}ct+\vec{X}_0\;$

(1.10)

Jeśli we wzorze (1.10) wyznaczymy wielkość $M_{x0}ct+\vec{X}_0\;$ i podstawimy go do wzoru (1.9), wtedy dostajemy wzór na transformację położenia cząstki w starym układzie współrzędnych na nowy układ i jednocześnie wiedząc jakie jest położenie w przestrzeni ciała odniesienia w starym układzie odniesienia:

$\vec{X'}=M_p\left(\vec{X}-\vec{X_u}\right)\;$

(1.11)

Wzór (1.11) jest spełniony, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami ogólnie nieprostokątnymi, ale mając wektor z twierdzenia z algebry, że współrzędne wektora w układzie absolutnym X napiszemy w zależności od współrzędnych w układzie bazowym $B=[e_1,e_2,\cdots,e_n]\;$ wtedy $X=BX_p\;$, stąd $B^'X_p^'=BX_{p}\;$, jeśli $B^'\;$ jest macierzą wektorów prostokątnych, to w takim razie $BX_p=B^{\bot}X^{\bot}_p\Rightarrow X_p=B^{-1}B^{\bot}X^{\bot}_p\;$. Dalej wiedząc, że macierz przekształcenia z jednego układu odniesienia do drugiego przedstawia się:

$X^'=M_pX\Rightarrow B^{'-1}B^{'\bot}X^{'\bot}_p=M_pB^{-1}B^{\bot}X^{\bot}_p\Rightarrow X^{'\bot}=B^{'\bot -1}B^{'}M_pB^{-1}B^{\bot}X^{\bot}\Rightarrow \;$ $\Rightarrow M^{\bot}=B^{'\bot -1}B^{'}M_pB^{-1}B^{\bot}\;$

(1.12)

Wiemy jednak, że posługujemy się macierzami ($B_p,M_p\;$) o wymiarze n, wiedząc jednocześnie, że czas jest pseudowspółrzędną, zatem transformacja macierzy bazy ze starego układu współrzędnych na nowy piszemy:

$B_p^{'\bot}=B^{\bot}_pM^{\bot}_p\;$

(1.13)

Wersory w $B_p^{\bot}\;$ są ortonormalne o takiej samej długości, natomiast w $B_p^'\;$ są też tylko ortogonalne o takiej samej długości, czyli dla n-wymiarowej macierzy jednostkowej iloczynu skalarnego w przestrzeni absolutnej przy macierzy n-wymiarowej jednostkowej macierzy iloczynu skalarnego powinno zachodzić:

$(B^{'\bot T}_p,B^{'\bot}_p)={B^{\bot T}_p}^'{{B}^{\bot}_p}^'={M^{\bot}_p}^T{B^{\bot}_p}^TB^{\bot}_pM_p^{\bot}=M_p^{\bot T}\alpha IM^{\bot}_p=\alpha M_p^{\bot T}M^{\bot}_p=\alpha \gamma^2I\Rightarrow\;$ $\Rightarrow M_p^{\bot T}M^{\bot}_p=\gamma^2I\;$

(1.14)

Parametr γ jest to parametr zależny od prędkości nowego układu współrzędnych względem starego i ona jest równa $_{\gamma=\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}}\;$. co jego postać udowodnimy później. Baza $B^{\bot}\;$ jest ortonormalna, a baza w nowym układzie współrzędnych ortogonalna nie może być ortonormalna, to otrzymujemy $B^{'\bot}\;$ w której wersory mają pewną określoną taką samą długość na podstawie (1.14), a w tej bazie $X^{'\bot}_p\;$ jest jakieś tam, wtedy na podstawie tego powiemy, że (1.11) przedstawia się wzorem:

$\vec{X'}=M_p\left(\vec{X}-\vec{X_u}\right)\Rightarrow B^{'-1}B^{'\bot}\vec{X'}^{\bot}=M_p\left(B^{-1}B^{\bot}\vec{X}^{\bot}-B^{-1}B^{\bot}\vec{X_u}^{\bot}\right)\Rightarrow\;$ $\Rightarrow\vec{X'}^{\bot}=B^{'\bot -1}B^{'}M_pB^{-1}B^{\bot}\left(\vec{X}^{\bot}-\vec{X}_u^{\bot}\right)\Rightarrow\vec{X'}^{\bot}=M_p^{\bot}\left(\vec{X}^{\bot}-\vec{X_u}^{\bot}\right)\;$

(1.15)

• czyli wzór (1.11) jest spełniony nie tylko w układzie nieprostokątnym, ale też w prostokątnym, czyli tą równość przekształcając ze starego i nowego układu współrzędnych na prostokątny otrzymamy wzór (1.12), ale ponieważ wzory (1.15) i (1.11) są praktycznie takie same, czyli od tej pory będziemy się posługiwali równaniem (1.11) ze starym i nowym układzie współrzędnym, które są prostokątnymi układami współrzędnych i nie będziemy się posługiwali prawym górnym oznaczeniem $\bot\;$.
• Teraz zajmować się będziemy się iloczynem skalarnym. W bazie ortonormalnym iloczyn skalarny jest jakiś tam, a przy przetransformowaniu iloczynu skalarnego z układu ortonormalnego do drugiego otrzymujemy ten sam iloczyn skalarny. A przy transponowaniu z układu ortonormalnego do trzeciego układu mamy też sam iloczyn skalarny, zatem iloczyn skalarny układu drugiego i trzeciego jest taki sam, zatem iloczyn skalarny nie zmienia się przy przejściu z jednego układu współrzędnych ogólnie nieprostokątnych do drugiego układu ogólnie nieprostokątnego.

Wyprowadźmy wzór ma wielkość M_x0, wiemy jednak przecież, że prędkość ciała odniesienia, względem którego będziemy określać położenie w nowym układzie współrzędnych jest napisana$_{{{d\vec{X_u}}\over{dt}}=\vec{u}}\;$, i dalej zróżniczkujmy wzór (1.10) względem czasu w starym układzie współrzędnych i wyznaczmy z niego tą wspomnianą macierz:

$0=M_p\vec{u}+M_{x0}c\Rightarrow M_{0x}=-M_p{{\vec{u}}\over{c}}\;$

(1.16)

Z końcowych rozważań (1.16) możemy napisać, że niektóre elementy macierzy transformacji przedstawiamy:

$m_{i0}=-m_{ij}{{u_j}\over{c}}\;$ dla $j=1,2,3\;$

(1.17)

Transformacje prędkości od układu odniesienia K do K', i odwrotnie

Prędkość w układzie K' względem układu K jest liczona jako pochodna zupełna wielkości (1.11) względem czasu w nowym układzie współrzędnych (1.5):

$\vec{v'}={{M_p(\vec{v}-\vec{u})}\over{m_{00}+{{M_{0x}\vec{v}}\over{c}}}}\;$

(1.18)

• gdzie $\vec{v'}\;$-jest to prędkość ciała względem układu K'.
• $\vec{v}\;$-jest to prędkość ciała w układzie K.
• Ale idąc dalej,$\vec{u}\;$ jest to prędkość nowego układu współrzędnych względem starego.

Macierz iloczynu skalarnego obowiązującego w przestrzeni n-wymiarowej jest macierzą tożsamościową i jest wyrażona wzorem:

$A^'=A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \;$

(1.19)

Natomiast długość pewnego wektora w tej przestrzeni wyrażamy za pomocą iloczynu skalarnego, przedstawia się jako:

$v^2=\vec{v}^TA\vec{v}\;$

(1.20)

Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, podczas poruszania się tego układu względem starego z prędkością $\vec{u}\;$, to nowy układ odniesienia ulega obróceniu o pewien kąt, zatem jeśli rzutować ten owy układ poruszający się na stary układ współrzędnych ale nieporuszający się, z wiadomości z algebry wszystkie rzutowane przestrzenne wersory zostają wydłużeniu o współczynnik γ względem wspomnianego nieporuszającego się układu współrzędnych. Zatem już wiadomo dlaczego w (1.18) występuje te właśnie współczynnik proporcjonalności γ².

Jeśli wykorzystamy definicję iloczynu skalarnego (1.20) i samą transformację (1.18), wtedy transformacja wartości prędkości ze starego układu odniesienia do nowego piszemy:

$v'^2={{(\vec{v}-\vec{u})^TM_p^TA^'M_p(\vec{v}-\vec{u})}\over{{({m_{00}+{{M_{0x}\vec{v}}\over{c}}})}^2}}\;$

(1.21)

W tożsamości (1.21) możemy pomnożyć obustronnie przez mianownik prawego ułamka w tym obiekcie:

$c^2\left (m^2_{00}+2m_{00}{{M_{0x}\vec{c}}\over{c}}+\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}} \right ) ^2 \right )=\gamma^2(c^2+u^2-2(\vec{c},\vec{u}))\;$

(1.22)

Weźmy w równości (1.22) zamienienie według schematu$\vec{c}\rightarrow -\vec{c}\;$, tak powstały układ równań, którego równości dodajmy i odejmijmy od siebie, i wtedy mamy w rezultacie dwa końcowe równania po dokonaniu tejże operacji. Te równania wyglądają:

$c^2\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}}\right )m_{00}=-\gamma^2(\vec{c},\vec{u})\;$ (1.23)

$c^2\left[m^2_{00}+\left ({{M_{0x}\vec{c}}\over{c}} \right ) ^2 \right]=\gamma^2\left(c^2+u^2\right)\;$ (1.24)

Weźmy $\vec{c}=\vec{c_i}=c[\delta^i_{j}]_{nx1}\;$, czyli będziemy rozpatrywali, gdy światło porusza się wzdłuż jednej osi, wtedy nasz iloczyn skalarny zapisujemy:$(\vec{c_i},\vec{u})=c a_{ij}u_j\;$, zatem na podstawie tychże dysput równość (1.23) zapisujemy:

$c^2m_{0i}m_{00}=-c\gamma^2 a_{ij}u_j\;$

(1.25)

Mnożymy obie strony równania (1.25) przez prędkość ciała vⁱ, i wykorzystując definicję iloczynu skalarnego, wtedy możemy napisać:

$c^2m_{0i}v_im_{00}=-c\gamma^2v_ia_{ij}u_j\Rightarrow{{m_{0i}v_i}\over{c}} m_{00}=-\gamma^2{{(\vec{v},\vec{u})}\over {c^2}}\Rightarrow{{m_{0i}v_i}\over{c}}=-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over {c^2}}\;$

(1.26)

Jeśli dla i-tej współrzędnej mamy v_i=c, a dla pozostałych współrzędnych oczywiście jest v_i=0, bo prędkość światła wynosi c wedle wzoru $_{|v|=\sqrt{v_iv_i}}\;$ dla przestrzeni n-wymarowej, która jest podprzestrzenią przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni):

${{m_{0j}c}\over {c}}=-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{u_jc}\over{c^2}}\Rightarrow m_{0j}=-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{u_j}\over{c}}\;$

(1.27)

Zajmijmy się teraz równaniem (1.22) podstawiając do niego wyprowadzoną tożsamość (1.27), w takim przypadku mamy równanie poniżej, w którym pomnożymy obustronnie przez wyrażenie m₀₀²:

$c^2\left[m_{00}^2+{{\gamma^4}\over{m_{00}^2}}{{u^2}\over{c^2}}\right]=\gamma^2\left(c^2+u^2\right)\Rightarrow c^2\left(m_{00}^4+\gamma^4{{u^2}\over{c^2}}\right)=\gamma^2m_{00}^2\left(c^2+u^2\right)\;$

(1.28)

W równości (1.26) przegrupujmy wyrazy względem m₀₀, w taki sposób by otrzymać równanie kwadratowe:

$c^2m_{00}^4-m_{00}^2\gamma^2\left(c^2+u^2\right)+\gamma^4u^2=0\;$

(1.29)

Jeśli w (1.27) potraktować m₀₀=t, wtedy wyróżnik trójmianu powyższego równania kwadratowego jest:

$\Delta=\gamma^4\left(c^2+u^2\right)^2-4c^2\gamma^4u^2=\gamma^4(c^4+u^4+2c^2u^2)-4c^2\gamma u^2=\gamma^4(c^4+u^4-2c^2u^2)=\gamma^4(c^2-u^2)^2\;$

(1.30)

Zatem pierwiastki równania (1.30) są:

$m_{00}^2={{\gamma^2(c^2+u^2)\pm\gamma^2|c^2-u^2|}\over{2c^2}}=\begin{cases} {{\gamma^2(c^2+u^2)+\gamma^2(c^2-u^2)}\over{2c^2}}={{2\gamma^2c^2}\over{2c^2}}=\gamma^2\Rightarrow m_{00}=\pm\gamma\\ {{\gamma^2(c^2+u^2)-\gamma^2(c^2-u^2)}\over{2c^2}}={{2\gamma^2u^2}\over{c^2}}=\gamma^2{{u^2}\over{c^2}}\Rightarrow m_{00}=\pm\gamma{{u}\over{c}} \end{cases}\;$

(1.31)

Pierwsze rozwiązanie m₀₀ w szczególnej teorii względności

Równanie transformacyjne prędkości ciała względem starego układu współrzędnych na nowe współrzędne jest wyrażone wzorem (1.16), co po podstawieniu do niego tożsamości (1.25) otrzymujemy tożsamość:

$\vec{v'}={{M_p(\vec{v}-\vec{u})}\over{m_{00}-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}\;$

(1.32)

Ze wzoru (1.30) możemy wyprowadzić prędkość starego układu współrzędnych względem nowego:

$u'=-{{M_pu}\over{m_{00}}}\;$

(1.33)

Transformacja prędkości względem nowego układu współrzędnych do prędkości względem starego układu współrzędnych wygląda tak jak poniżej, do której później podstawialiśmy wzór (1.32) i (1.33) wykorzystując przy tym pierwsze rozwiązania na m₀₀ (1.29), wtedy w ten sposób otrzymujemy transformację tej samej prędkości na tą samą względem starego układu współrzędnych:

$\vec{v}={{M_p(\vec{v'}-\vec{u'})}\over{m_{00}-{{\gamma^2}\over{_{m_{00}}}}{{(\vec{v'},\vec{u'})}\over{c^2}}}}={{M_p \left ( {{M_p(\vec{v}-\vec{u})}\over{m_{00}-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}-({-{{M_pu}\over{m_{00}}})} \right ) }\over{m_{00}-{{\gamma^2}\over{_{m_{00}}}}{{\left ( {{M_p(\vec{v}-\vec{u})}\over{m_{00}-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}},-{{M_pu}\over{m_{00}}}\right ) }\over{c^2}}}} ={{{M_p^2 \left [ m_{00}(\vec{v}-\vec{u})+u\left (m_{00}-{{\gamma^2}\over{m_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right )\right ] }\over{m^2_{00}\left ( 1-{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right ) }} \over{ m_{00}\left (1+{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}} {{\gamma^2\left ((\vec{v},\vec{u})-\vec{u}^2\right ) }\over{c^2m^2_{00}\left (1-{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right ) }} \right ) }}\;$ $={{{{m^2_{00}M_p^2\left (\vec{v}-\vec{u}{{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{c^2}}}\right )}\over{m^2_{00}\left (1-{{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{c^2}}}\right )}}}\over{{{m^4_{44}c^2\left (1-{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right )+\gamma^4((\vec{v},\vec{u})-u^2)}\over{c^2m^2_{00}\left (1-{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right )}}}}\;\xrightarrow[m^2_{00}=\gamma^2]{}\; {{\gamma^2c^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over c^2}}})}\over{\gamma^4c^2\left (1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}\right )+\gamma^4((\vec{v},\vec{u})-u^2)}}=\;$ $={{c^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{({\vec{u},\vec{v}})}\over{c^2}})}\over{\gamma^2c^2(1-{u^2\over{c^2}})}}={{M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{({\vec{u},\vec{v}})}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\Rightarrow\vec{v}={{M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{({\vec{u},\vec{v}})}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\;$

(1.34)

Mamy sobie wektor $\vec{v}\;$, i rozłóżmy sobie go na wektor równoległy i prostopadły do prędkości nowego układu odniesienia $\vec{u}\;$:

$\vec{v_{\perp}}+\vec{v_{||}}=\vec{v}\;$

(1.35)

Pozłóżmy prędkość względem nowego układu współrzędnych na część jego prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu odniesienia, wtedy możemy napisać $\vec{v_{||}}=\lambda\vec {u}\;$, w takim razie możemy wyznaczyć iloczyn skalarny poniżej, wiedząc że zachodzi (1.35):

$(\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v}_{\perp}+\vec{v}_{||})=(\vec{u},\vec{v}_{||})=\lambda u^2\;$

(1.36)

W takim przypadku składowa prędkość równoległej do prędkości nowego układu współrzędnych wygląda:

$\vec{v_{||}}=\lambda \vec{u}=\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{u^2}}=\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}\;$

(1.37)

Sprawdź co wyjdzie, gdy m₀₀, jest równe drugiemu rozwiązaniem (1.29), czyli (1.31), gdy to podstawimy do ostatniego wyrażenia przed szczałką (1.34):

$\vec{v}= {{\gamma^2u^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over u^2}}})}\over{\gamma^4{{u^4}\over{c^2}}\left (1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}\right )+\gamma^4((\vec{v},\vec{u})-u^2)}}={{u^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over u^2}}})}\over{\gamma^2{{u^4}\over{c^2}}\left (1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}\right )+\gamma^2((\vec{v},\vec{u})-u^2)}}=\;$ $= {{u^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over u^2}}})}\over{\gamma^2\left({{u^4}\over{c^2}}\left (1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}\right )+((\vec{v},\vec{u})-u^2)\right)}}= {{u^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over u^2}}})}\over{\gamma^2\left({{u^4}\over{c^2}}-u^2{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}+(\vec{v},\vec{u})-u^2\right)}}=\;$ $={{u^2M_p^2(\vec{v}-\vec{u}{{{(\vec{u},\vec{v})\over u^2}}})}\over{\gamma^2\left[(\vec{v},\vec{u})\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)-u^2\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)\right]}}={{M_p^2u^2\vec{v}_{\bot}}\over{\gamma^2\left[\left(\vec{v},\vec{u})-u^2\right)\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)\right]}}$

(1.38)

Gdy $\vec{v}=\vec{u}\;$, to (1.38) jest równaniem logicznie sprzecznym, tzn. drugie rozwiązanie (1.31) jest logicznie sprzeczne. Macierz M_p² możemy rozłożyć na składową równoległą i prostopadłą, dla której dla składowej równoległej jej iloczyn przez jakaś składową prostopadłą do prędkości nowego układu współrzędnych daje nam wektor zerowy. Gdy tą macierz zamienimy na prostopadłą daje nam wartość niezerową. Natomiast podobnie, jeśli pomnożymy macierz prostopadłą przez jakąś prędkość równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych daje nam wektor zerowy, natomiast gdy prędkość zamienimy na prostopadła względem prędkości nowego układu współrzędnych daje nam wynik niezerowy. Rozkład macierzy M_p na składową równoległą i prostopadłą napiszemy według:

$M_p=M_{p||}+M_{p\perp}\Rightarrow M_p^2=M^2_{p||}+M_{p||}^2\mbox{ bo }M_{p||}M_{p\perp}=M_{\perp}M_{p||}=0\;$

(1.39)

Macierze M_p||, M_p⊥ mają takie własności, że spełniają warunki:

$M_{p||}\vec{v}_{\perp}=0\;$ (1.40a)

$M_{p\perp}\vec{v}_{||}=0\;$ (1.40b)

Jeśli do wzoru na całkowitą prędkość cząstki względem starego układu współrzędnych (1.35) podstawić wyrażenie (1.37), a na podstawie tego możemy napisać wyrażenie opisujące prędkość prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych $\vec{u}\;$ w jednym równaniu:

$\vec{v}_{\perp}+\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}={{M_p^2(\vec{v}_{\perp}+\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}-\vec{u}{{({\vec{u},\vec{v}_{||}})}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\Rightarrow\;$ $\Rightarrow \vec{v}_{\perp}+\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}={{M_{p\perp}^2\vec{v}_{\perp}+M_{p||}^2\left(\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}-\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{c^2}}\right)}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\;$

(1.41)

Równanie (1.40) możemy rozłożyć na dwa niezależne równania transformujące dla prędkości równoległej, czy to dla prostopadłej prędkości, względem prędkości nowego układu odniesienia w starym układzie odniesienia.

$\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}={{M_{p||}^2(\vec{u}{{(\vec{u},\vec{v}_{||})}\over{u^2}}-\vec{u}{{({\vec{u},\vec{v}_{||}})}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\;$ (1.42a)

$\vec{v_{\perp}}={{M_{p\perp}^2\vec{v_{\perp}}}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\;$ (1.42b)

Równość (1.42a) dzielimy obustronnie przez $(\vec{u},\vec{v}_{||})\;$, która jest w ogólności wielkością niezerową:

${{1}\over{u^2}}={{M_{p||}^2({{1}\over{u^2}}-{{1}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{{u^2}\over{c^2}})}}\;$

(1.43)

A teraz mnożymy obie strony końcowego równania (1.43) przez kwadrat wartości prędkości nowego układu współrzędnych, czyli przez u², i w końcu otrzymamy rozwiązanie:

$I={{M^2_{p||}(1-{{u^2}\over{c^2}})}\over{\gamma^2(1-{{u^2}\over{c^2}})}}\Rightarrow M_{p||}^2=\gamma^2 I\Rightarrow M_{p||}=\gamma C_{p||}\;$

(1.44)

W końcu możemy wykorzystać równość (1.39) i otrzymamy własność na macierz $M_{p\perp}\;$, którą to przekształcamy do wzoru:

$\vec{v_{\perp}}={{M_{p\perp}^2\vec{v_{\perp}}}\over{\gamma^2(1-{u^2\over{c^2}})}}\Rightarrow M_{p\perp}^2=I\Rightarrow M_{p\perp}=C_{p\perp}\;$

(1.45)

Mając już określone M_p|| i M_p⊥ możemy transformować prędkość równoległą i prostopadłą do prędkości nowego układu współrzędnych ze starego układu współrzędnych.

Korzystając ze wzoru transformacyjnego prędkości ciała z układu K na K', dla wielkości$\vec{v}^'\;$ (1.32), możemy napisać wzory dla jego składowych równoległej i prostopadłej w nowym układzie współrzędnych względem prędkości nowego układu współrzędnych K':

$\vec{v_{||}}'={{M_{p||}(\vec{v_{||}}-\vec{u})}\over{m_{00}\left(1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}}\right)}}\xrightarrow{m_{00}=\gamma}{{\gamma C_{p||}(\vec{v_{||}}-\vec{u})}\over{\gamma(1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}})}={{C_{p||}(\vec{v_{||}}-\vec{u})}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}={{C_{p}(\vec{v_{||}}-\vec{u})}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}\;$

(1.46)

$\vec{v_{\perp}'}={{M_{p\perp}\vec{v_{\perp}}}\over{m_{00}(1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}{{\gamma^2}\over{m^2_{00}}})}}={{C_{p\perp}\vec{v_{\perp}}\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}={{C_{p}\vec{v_{\perp}}\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}}\;$

(1.47)

Ostatecznie można powiedzieć, że transformacja prędkości $\vec{v}\;$ z starego układu współrzędnych K do nowego K' jest napisana według transformacji (1.44) i (1.45), które to zbierając to wszystko razem:

$\vec{v'}=\vec{v_{\perp}'}+\vec{v_{||}'}={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} \left \{ (\vec{v_{||}}-\vec{u})+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\vec{v_{\perp}} \right \}=\;$ $={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} \left\{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{u^2}}-\vec{u}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{v}-\vec{u}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ] \right \}\;$

(1.49)

Jeśli we wzorze (1.49) wyrazimy prędkość prostopadłą i równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych:

$\vec{v'}={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} \left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{u^2}}-\vec{u}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}} \left [{\vec{v}-\vec{u}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}} \right ] \right \}\;$

(1.49)

Gdy $c\rightarrow \infty\;$, to mamy: $\vec{v'}=C_p(\vec{v}-\vec{u})\;$, czyli przechodzimy do transformacji Galileusza, czyli $C_p\;$ jest to macierz transformacji z układu K do K', czyli taką samą jak przy transformacji klasycznej w przestrzeni euklidesowej.

Spojrzenie na macierz transformacji

Spójrzmy na macierz transformacji ze starego układu odniesienia do nowego, wiedząc to co wcześniej wyprowadziliśmy w punktach (1.13) i (1.25) przy wykorzystaniu pierwszej równości końcowej (1.31):

$M=\begin{bmatrix} \gamma&-{{u_1}\over{c}}\gamma&-{{u_2}\over{c}}\gamma&\cdots&-{{u_n}\over{c}}\gamma\\ -\sum^n_{i=1}m_{1j}{u_j\over c}&m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\ -\sum^n_{i=1}m_{2j}{u_j\over c}&m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots\\ -\sum^n_{i=1}m_{nj}{u_j\over c}&m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn}\\ \end{bmatrix}\;$

(1.50)

lub krócej używając macierzy M_p i wektora prędkości nowego układu współrzędnych:

$M=\begin{bmatrix} \gamma&-{{\vec{u}^T}\over{c}}\gamma\\ -M_p{{\vec{u}}\over{c}}&M_p \end{bmatrix}\;$ gdzie: $M_p=\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}&\cdots&m_{1n}\\ m_{21}&m_{22}&\cdots&m_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ m_{n1}&m_{n2}&\cdots&m_{nn}\\ \end{bmatrix}\;$

(1.51)

Transformacie współrzędnych przestrzennych i współrzędnej czasowej

Wiadomo, że równania transformacji są niezmiennicze, tzn. nie zmieniają swej postaci w zależności od układu współrzędnych. Poniżej wychodząc z tego faktu udowodnimy ile wynosi parametr γ, co wcześniej w prowadziliśmy tylko jako nieudowodnioną zależność.

A teraz przejdźmy do transformacji składowej nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie odniesienia względem infinitezymalnej zmiany starego układu współrzędnego, wykorzystując przy tym transformację współrzędnych przestrzennych ze starego układu odniesienia do nowego (1.11) oraz wykorzystując warunek (1.43) i biorąc różniczkę tego pierwszego wyrażenia, wiedząc że macierz transformacji nie zależy od czasu rzeczywistego t, zatem transformacja różniczki zmiany położenia przestrzennego na nowy układ współrzędnych, czyli tą zależność możemy przedstawić wzorem:

$d\vec{r_{||}'}=M_{p||}(d\vec{r_{||}}-\vec{u} dt)=C_{p||}\gamma(d\vec{r_{||}}-\vec{u} dt)\;$

(1.52)

Nieskończenie mała zmiana czasu w nowym układzie współrzędnych można wyrazić przy pomocy wzoru (1.5) przy definicji m₀₀ według napisanej według (1.9) jako pierwsze rozwiązanie na ten parametr i dodatkowo wykorzystując zależność (1.15), wtedy mamy:

$dt'=\gamma\left(dt-{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)\;$

(1.53)

Transformację odwrotna do (1.52) oraz do (1.53) jako bardzo małej zmiany wektora wodzącego opisujących ruch danego ciała fizycznego i transformacji bardzo małej zmiany czasu względem nowego układu odniesienia na stary układ nazywamy przepisy zapisanych wedle:

$d\vec{r_{||}}=M_{p||}(d\vec{r_{||}'}-u' dt')=C_{p||}\gamma\left(d\vec{r_{||}'}-u' dt'\right)\;$ (1.54)

$dt=\gamma\left(dt'-{{(\vec{u'},d\vec{r'})}\over{c^2}}\right)\;$ (1.55)

Ze wzoru (1.47) wyprowadzimy prędkość starego układu odniesienia względem nowego układu współrzędnych:

$\vec {u}^'=-C_p\vec{u}=-C_{p||}\vec{u}\;$

(1.56)

wtedy będzie można do transformacji odwrotnej (1.55) podstawić transformacje (1.52) i (1.53), a także wykorzystując fakt ze wzoru (1.55) mamy:

$dt=\gamma\left(dt'-{{(\vec{u'},d\vec{r'})}\over{c^2}}\right) = \gamma\left (\gamma\left(dt-{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)- {{-C_{p||}\vec{u}}\over{c^2}}C_{p||}\gamma\left(d\vec{r_{||}}-\vec{u}dt\right) \right ) = \;$ $=\gamma^2 dt\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)+\gamma^2\left({{-(\vec{u},\vec{dr})+C_{p||}^2(\vec{u},\vec{dr})}\over{c^2}} \right)\Rightarrow dt=\gamma^2(1-{{u^2}\over{c^2}})dt\;$

(1.57)

Otrzymaną końcową tożsamość (1.57) tak by otrzymana równość była tożsamością należy napisać, że parametr γ jest wyrażony:

$\gamma^2={{1}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\Rightarrow \gamma={{1}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\;$

(1.58)

Wyznaczmy innym sposobem parametr γ i sprawdźmy co wyjdzie, do transformacji (1.56) podstawmy transformacje, tzn. (1.54) i (1.55), otrzymujemy:

$d\vec{r_{||}} = C_{p||}\gamma\left(d\vec{r'}_{||}-\vec{u}'dt'\right) = C_{p||} \gamma \left(C_{p||}\gamma\left(d\vec{r}_{||}+\vec{u}dt\right)+C_{p||}\vec{u}\gamma\left(dt-{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{c^2}}\right)\right )=\;$ $=d\vec{r_{||}}{\gamma^2(1-{{u^2}\over{c^2}})}+dt\gamma^2(\vec{u}-\vec{u})\Rightarrow d\vec{r_{||}}=d\vec{r_{||}}\gamma^2 (1-{{u^2}\over{c^2}})\;$

(1.59)

Z otrzymanej końcowej tożsamości (1.58) dostajemy że parametr γ jest w postaci wzoru (1.59). Nieskończenie mała zmiana położenia jakiegoś ciała możemy rozłożyć na jej składową równoległą i prostopadłą do prędkości nowego układu współrzędnych wedle sposobu:

$d\vec{r}=d\vec{r_{\perp}}+d\vec{r_{||}}\;$

(1.60)

Nieskończenie mała zmiana położenia ciała a właściwie jej składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych, a także jej składową prostopadłą przedstawiamy:

$d\vec{r_{||}}=\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}\;$ (1.61)

$d\vec{r_{\perp}}=d\vec{r}-\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}\;$ (1.62)

Wykorzystując definicję parametru γ (1.58), a także biorąc różniczkę zupełną wzoru (1.11), wtedy możemy napisać wzór transformacyjny na nieskończenie małą zmianę położenia ciała w postaci tożsamości:

$d\vec{r'}=C_{p||}{{d\vec{r}_{||}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}+C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}= C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp}\right)=C_p \left \{{{\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}-\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}\right \}\;$

(1.63)

Zestaw transformacji od układu współrzędnych K do K'

Poniżej przedstawiamy wzory ogólne na transformacie prędkości, czasu, zmiany położenia, przy wielkościach wektorowych prostopadłych i równoległych do prędkości nowego układu odniesienia $\vec{u}\;$.

---

Transformacja prędkości ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem prędkości prostopadłej i równoległej do prędkości nowego układu współrzędnych jest napisana:

$\vec{v'}={{C_p}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} \left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{u^2}}-\vec{u}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{v}-\vec{u}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ] \right \}=C_p\left\{{{\vec{v}_{||}-\vec{u}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} +{{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\vec{v}_{\perp}}\over{1-{{(\vec{v},\vec{u})}\over{c^2}}}} \right\} \;$

(1.64)

Wzór (1.64) jest spełniony tylko dla układu starego i nowego, które są układami prostokątnymi, czyli zamiast C_p napiszmy $C_p^{\bot}\;$, ale można udowodnić, że są spełnione w układzie, gdy stary i nowy układ współrzędnych są układami nieprostokątnymi, bo można powiedzieć, że $\vec{v}^{'\bot}_p=B^{'\bot -1}B^'\vec{v}^'_p\;$ i $\vec{v}^{\bot}=B^{\bot -1}B\vec{v}\;$, a także $C^{\bot}_p=B^{'\bot -1}B^{'}C_pB^{-1}B^{\bot}\;$, co jest już udowodnione.

---

Transformacje nieskończenie małej zmiany położenia ciała ze starego układu współrzędnych do nowego względem różniczki zmiany położenia i czasu w starym układzie odniesienia wyrażamy:

$d\vec{r'}=C_p\left \{{{\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}-\vec{u}{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{u^2}}\right \}= C_p\left\{ {{d\vec{r}_{||}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}+d\vec{r}_{\perp} \right\}\;$

(1.66)

Równanie (1.66) jest spełnione dla starego i nowego układu współrzędnych, które są układami prostokątnymi, ale można udowodnić, że one są spełnione dla układów nieprostokątnych starego i nowego tak jak to robiliśmy z (1.66).

---

Transformacja nieskończenie małego upływu czasu ze starego układu współrzędnych do nowego względem zmiany infinitezymalnego czasu i infinitezymalnej zmiany położenia ciała wyrażamy w sposób:

$dt'={{dt-{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}}\;$

(1.66)

Równanie (1.66) jest spełnione dla prostokątnego układu współrzędnych starego i nowego, ale z niezmienniczości iloczynu skalarnego w starym układzie współrzędnych podczas jego przejścia na nieprostokątny układ współrzędnych z prostokątnego równanie (1.66) jest spełnione też w układzie nieprostokątnym.

Interwał czasoprzestrzenny, jako niezmiennik transformacji

Udowodnimy, że interwał czasoprzestrzenny pozostaje zawsze stały dla ściśle określonego ciała przy jego definicji:

$ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}d\vec{r}^{'}=c^2dt^2-(Bd\vec{r})^{T}Bd\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^{T}\underbrace{B^{T}B}_{A}d\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^TAd\vec{r}\;$

(1.67)

Przy definicji nieskończenie małej różnicy czasu zapisanej wedle wzoru (1.66) i nieskończenie małej zmiany położenia ciała w nowym układzie współrzędnych napisanej w punkcie (1.64), wtedy wykorzystując te wspomniane wzory możemy wtedy interwał czasoprzestrzenny (1.67) wiedząc, że A jest macierzą iloczynu skalarnego, możemy zapisać dla układu prostokątnego:

$d{s'}^2=c^2dt^2-d\vec{r}^{'T}Id\vec{r}^{'}=c^2dt^{'}-d\vec{r'}^TId\vec{r}^'=c^2d{t'}^2-d\vec{r'}_{||}^TId\vec{r'}_{||}-d\vec{r'}^T_{\perp}Id\vec{r'}_{\perp} \;=\;\;$ $= c^2\left \{{{dt-{{(\vec{u},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-d\vec{r}_{\perp}\right)\right]^TI\left[C_p\left({{d\vec{r}_{||}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-d\vec{r}_{\perp}\right)\right]=\;$ $=c^2\left \{{{dt-{{(\vec{u},d\vec{r}_{||})}\over{c^2}}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\right \}^2- \left(C_{p||}{{d\vec{r_{||}}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}\right)^T \left(C_{p||}{{d\vec{r_{||}}-\vec{u}dt}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-C_{p\perp}d\vec{r}_{\perp}\right)=$ $={{c^2dt^2+{{\vec{u}^2d\vec{r}^T_{||}d\vec{r}_{||}}\over{c^2}}-dt\vec{u}^Td\vec{r}- d\vec{r_{||}}^Td\vec{r_{||}}-\vec{u}^2dt+d\vec{r_{||}}^T\vec{u}dt}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^Td\vec{r_{\perp}} \;=\;$ $=\; {{dt^2(c^2-u^2)-d\vec{r_{||}}(1-{{u^2}\over{c^2}})}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^2=\;$ $={{(1-{{u^2}\over{c^2}})(c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^Td\vec{r_{||}})}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}-d\vec{r_{\perp}}^Td\vec{r_{\perp}} \;=\; c^2dt^2-d\vec{r_{||}}^Td\vec{r_{||}}-d\vec{r_{\perp}}^Td\vec{r_{\perp}}=\;$ $=cdt^2-d\vec{r}^Td\vec{r}=c^2dt^2-d\vec{r}^2 \;= \; ds^2\;$

(1.68)

Na podstawie obliczeń (1.68) dowiadujemy się, że interwał czasoprzestrzenny (1.68) jest wielkością niezmienniczą i zdefiniowaną powyżej, czyli zachodzi $d{s'}^2=ds^2\;$. Stąd wniosek, interwał czasoprzestrzenny pozostaje stały niezależnie z jaką prędkością porusza się układ współrzędnych K', jeśli znamy jego nieskończenie małą różnice w starym układzie współrzędnych, to je znamy w nowym układzie współrzędnych.

Tensor metryczny w szczególnej teorii względności

Interwał czasoprzestrzenny w szczególnej teorii względności, w której przestrzeń jest euklidesowa, przedstawiamy w układzie nieprostokątnym i prostokątnym w sposób:

$ds^2=c^2d^2t-d\vec{r}^TAd\vec{r}\;$ (1.69)

$ds^2=c^2d^2t-d\vec{r}^TId\vec{r}=dt^2-dx^2_1-dx^2_2-\cdots-dx^2_n\;$ (1.70)

Na podstawie tak zdefiniowanego interwału czasoprzestrzennego (1.69) zdefiniujmy macierz tensora metrycznego kowariantnego (wskaźniki na dole) oraz kontrawariantnego (wskaźniki na górze).

$\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-A \end{bmatrix}\;$ (1.71)

$\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&-1&0&\cdots&0\\ 0&0&-1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&-1 \end{bmatrix}\;$ (1.72)

Powyżej przyjmujemy, że czas mierzymy w metrach, przy czym wiadomo x₀=ct. Ale ponieważ wartości własne macierzy iloczynu skalarnego nie zależą od wyboru bazy nieprostokątnej w ogólności (w szczególnym przypadku baza prostokątna), to wartości własne (1.71) są takie same co (1.72)

Stożek światła

Stożek światła

Wiadomo, że z poprzedniego punktu według wzoru (1.67), ale tym razem będziemy operować różnicami skończonymi, to kwadrat różnicy interwału czasoprzestrzennego definiujemy:

$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2\;$

(1.73)

Również zachodzi Δ s²≥ 0, bo 0 ≤ v≤ c, i korzystając z definicji prędkości, to wtedy ten nasz interwał zapisujemy:

$\Delta s^2=c^2\Delta t^2\left(1-{{v^2}\over{c^2}}\right)\;$

(1.74)

Dochodzimy do wniosku, że na podstawie wzoru (1.70):

$c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2\geq 0\Rightarrow \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2\leq(c\Delta t)^2\;$

(1.75)

Czyli wykresem (1.75) jest wykres stożka, w którego przekrój dla danego Δ t ma promień r=cΔ t, którego węzeł znajduje się w punkcie Δ t=0, którego brzeg jest spełniony dla Δ s²=0, a jego wnętrze jest dla Δ s²>0, na zewnątrz linii światła, żadna cząstka nie może się znaleźć. Wykres stożka z liniami światła jest pokazany na rysunku, obok.

Dynamika ruchu

Tutaj będziemy zajmowali się przyczynami ruchu ciał.

Druga zasada dynamiki

Tutaj wyprowadzimy wzór na drugą zasadę dynamiki w szczególnej teorii względności. Transformacja wektora prędkości ze starego układu odniesienia do nowego jest zapisana w punkcie (1.62), zatem policzmy różniczkę z jego prawej i lewej strony wspomnianego równania:

$d\vec{v'}={{C_p}\over{(1-{{(\vec{u},\vec{v})}\over{c^2}})^2}}\Bigg [ \left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{a})}\over{u^2}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{a}-\vec{u}{{(\vec{a},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ] \right \}{\left(1-{{(\vec{u},\vec{v})}\over{c^2}}\right)}dt+\;$ $-\left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{v})}\over{u^2}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{v}-\vec{u}{{(\vec{v},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ]\right \} \left(-{{(a,u)}\over{c^2}}\right) \Bigg]dt\;$

(1.76)

We wzorze (1.76) dokonajmy zamiany wedle schematu $\vec{v}\rightarrow \vec{u}\;$, a także niech macierz C_p będzie macierzą jednostkowa, mamy:

$d\vec{v'}={{C_p}\over{(1-{{u^2}\over{c^2}})^2}}\Bigg[\left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{a})}\over{u^2}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{a}-\vec{u}{{(\vec{a},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ] \right \}{\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)}dt+\;$ $-\left \{ \vec{u}{{u^2}\over{u^2}}-\vec{u}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{u}-\vec{u}{{u^2}\over{u^2}}}\Bigg ]\right \} \left(-{{(a,u)}\over{c^2}}\right)\right]dt\;$

(1.77)

Ostatecznie po krótkich obliczeniach i po zniknięciu pewnych wyrazów, ponieważ się zerują, znika drugi składnik wzoru (1.77) po prawej jego stronie, zatem wtedy dostajemy wzór na transformację prędkości z jednego układu współrzędnych do drugiego:

$d\vec{v'}={{1}\over{{({1-{{u^2}\over{c^2}}})}}}\left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{a})}\over{u^2}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{a}-\vec{u}{{(\vec{a},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ]\right \}dt\;$

(1.78)

Jeśli wykorzystamy wzór (1.67) i dokonajmy w nim zamiany, tak jak powyżej dla różniczki prędkości, wtedy transformacja różniczki czasu z jednego układu współrzędnych do drugiego, gdy ciało w nowym układzie współrzędnych porusza się z prędkością dążącą do zerową, a w starym z prędkością układu nowego układu współrzędnych, wtedy tą transformację piszemy:

$dt'={{dt-{{(\vec{u},d\vec{r})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}}\Rightarrow dt'={{1-{{(\vec{u},\vec{u})}\over{c^2}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}}dt\Rightarrow dt'=\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}dt\;$

(1.79)

Wzór (1.78) podzielmy obustronnie przez wzór napisanej w punkcie (1.79), wtedy w rezultacie dostaniemy nowy wzór na transformację przyspieszenia z jednego układu do drugiego, w którym to nowym układzie współrzędnych cząstka prawie spoczywa, a jego transformacja przyspieszeń piszemy:

$\vec{a'}={{{{1}\over{{({1-{{u^2}\over{c^2}}})}}}\left \{ \vec{u}{{(\vec{u},\vec{a})}\over{u^2}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\left [{\vec{a}-\vec{u}{{(\vec{a},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ]\right \}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\;$

(1.80)

Po krótkich operacjach przeprowadzonych w punkcie (1.80) dostaniemy wzór:

$\vec{a'}={{{{1}\over{{({1-{{u^2}\over{c^2}}})}^{3\over 2}}}\Bigg\{ \underbrace{\vec{u}{{(\vec{u},\vec{a})}\over{u^2}}}_{a_{||}}+\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\underbrace{\left [{\vec{a}-\vec{u}{{(\vec{a},\vec{u})}\over{u^2}}}\right ]}_{a_{\perp}}}}\Bigg\}\;$

(1.81)

Korzystając ze tożsamości (1.81) na transformację prędkości ze starego układu odniesienia na nowy przy zerowej prędkości w drugim nowym układzie, dostajemy dwa wzory na przyspieszenie równoległą i prostopadłą w nowym układzie odniesienia w zależności od jego odpowiedników w starym układzie odniesienia:

$\vec{a'_{||}}={{a_{||}}\over{(1-{{u^2}\over{c^2}})^{3\over 2}}}\;$ (1.82)

$\vec{a'_{\perp}}={{a_{\perp}}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\;$ (1.83)

Policzmy, czemu jest równa siła w układzie K, korzystając ze wzoru $\vec{a'}\;$, oraz zakładając że siła, bo rozłożeniu na $\vec{F'_{||}}\;$, którego wektor transformuje się ze współczynnikiem równym 1 do $\vec{F_{||}}\;$, oraz na $\vec{F'_{\perp}}\;$ transponuje się ze współczynnikiem równym $\beta(u)\;$ do $\vec{F_{\perp}}\;$, którego jego postać później wyprowadzimy.

$\vec{F}=\vec{F}^'+\beta(u)\vec{F}^'=m_0\vec{a}_{||}^'+\beta(u)m_0\vec{a}_{\perp}^'={{m_0{{{\vec{a_{||}}}\over{(1-{{u^2}\over{c^2}})}^{3\over 2}}}}+{\beta(u) m_0{{\vec{a_{\perp}}}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}}\;$

(1.84)

Policzmy nieoznaczoną całkę, która będzie nam potrzebna, by wyznaczyć końcową postać siły relatywistycznej występującego w szczególnej teorii względności.

$\int{{du}\over{(1-{{u^2}\over{c^2}})}^{3\over 2}}=\begin{Bmatrix} u=c \operatorname{sin}\gamma\\ du=c \operatorname{cos}\gamma d\gamma \end{Bmatrix} =\int {{c\operatorname{cos} \gamma d\gamma}\over{cos^3\gamma}}=c\int {{1}\over{cos^{2}\gamma}}=c \cdot\operatorname{tg}\gamma+A=\;$$=c{{\sin \gamma}\over{\sqrt{1-\sin^2 \gamma}}}+A={{u}\over{\sqrt{1-{({u\over c})}^2}}}+A \;$

(1.85)

A teraz przejdźmy do wyznaczania siły zapisanej pierwotnie w punkcie (1.84) przy pomocy obliczonej całki (1.85):

$\vec{F}=\vec{e_{||}}{{d}\over{dt}}{{um_0}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-\vec{e_{\perp}}{{m_0\beta(u)}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}{{u^2}\over{r}}={{d m_0\gamma\vec{u}}\over{dt}}+{{\vec{u}^2}\over{r}}m_0\gamma\vec{e}_{\perp}-\vec{e_{\perp}}{{m_0\beta(u)}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}{{u^2}\over{r}}=\;$ $={{d m_0\gamma\vec{u}}\over{dt}}+{{\vec{u}^2}\over{r}}m_0\vec{e}_{\perp}\left(\gamma-{{\beta(u)}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\right)={{dm\vec{v}}\over{dt}}+\vec{a}_{\perp}m_0\left(\gamma-{{\beta(u)}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\right)$

(1.86)

Aby wzór (1.86) nie zależał od kierunku, to musi zachodzić:

$\gamma-{{\beta(u)}\over{1-{{u^2}\over{c^2}}}}=0\Rightarrow\beta(u)=\gamma\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)={{1}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\left(1-{{u^2}\over{c^2}}\right)=\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}\;$

(1.87)

Pierwszy człon siły $\vec{F}\;$, którego kierunek jest zgodny $\vec{e_{||}}\;$, musimy przyjąć dla zgodności z mechaniką klasyczną i nazywając ją jednocześnie masą relatywistyczną:

$m={{m_0}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\;$

(1.88)

Przy drugim członie w (1.86), którego kierunek jest zgodny z $\vec{e_{\perp}}\;$, ale wzór na siłę nie powinien zależeć od kierunku zgodnego lub nie zgodnego z $\vec{u}\;$, a zatem przy założeniu masy relatywistycznej (1.88) musimy przyjąć $_{\beta(u)=\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}\;$, czyli relatywistyczna siła (1.86) przyjmuje postać:

$\vec{F}=\vec{e_{||}}{{d}\over{dt}}{{um_0}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}-\vec{e_{\perp}}{{u^2}\over{r}}{{m_0}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\;$

(1.89)

• gdzie r to jest promień krzywizny toru ciała poruszającego się po zakrzywionym torze.

Zdefiniujmy pęd relatywistyczny posiadanej przez ciało poprzez iloczyn masy relatywistycznej (1.86) posiadanej przez ciało przez pewną prędkość, przy tym wiedząc, że współczynnik γ jest podany w punkcie (1.59):

$\vec{p}=m\vec{v}={{m_0}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}\vec{v}=m_0\gamma\vec{v}\;$

(1.90)

Siłę relatywistyczną (1.89) możemy zapisać w formie skróconej jako pochodną zupełna pędu relatywistycznego względem czasu rzeczywistego w formie:

$\vec{F}={{d\vec{p}}\over{dt}}={{dm\vec{u}}\over{dt}}={{d}\over{dt}}{{m_0\vec{u}}\over{\sqrt{1-{{u^2}\over{c^2}}}}}\;$

(1.91)