Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Aksjomaty
2 Definicje i operacje

[edytuj] Aksjomaty

[edytuj] Aksjomat jednoznaczności

$\forall_{A,B}\ A=B \iff \Big( \forall_{x}\ x\in A \iff x\in B \Big)$

Aksjomat ten mówi, że jedynym kryterium, które rozstrzyga o tym, czy dane zbiory są takie same, jest to jakie elementy się w nim znajdują. Nie istnieje natomiast żadna inna cecha, która może wpływać na równość zbiorów. Z drugiej strony - jeżeli chcemy pokazać, że dane dwa zbiory są równe należy pokazać, że wszystkie elementy należące do jednego z nich, należą też do drugiego i odwrotnie. Żeby pokazać, że dwa zbiory są różne - należy znaleźć element, który należy tylko do jednego z nich.

Zawieranie zbioru A w zbiorze B jest własnością, którą przypisujemy, gdy zachodzi następujący warunek:

$\forall_{A,B}\ A\subset B \iff \Big( \forall_{x}\ x\in A \Rightarrow x\in B \Big)$

Mówimy czasmi też, że A jest podzbiorem zbioru B.

Przy oznaczaniu nie panuje jednomyślność - czasami używa się też następującego, równoważnego symbolu: $A \subseteq B$ , który dodatkowo podkreśla możliwość równości zbiorów - formalnie oznacza jednak to samo i dlatego, w dalszej części książki będzie stosowany $\subset$ . Natomiast symbol $\subsetneq$ oznacza:

$A \subsetneq B \iff \big( A \subset B \wedge A \not = B\big)$ .

Podzbiór spełniający powyższą właściwość nazywany jest podzbiorem właściwym.

Uwaga 1: $A \subset B \iff B \supset A$ , $A \subseteq B \iff B \supseteq A$ itd.

Uwaga 2: $\forall_{A,B}\ A=B \iff \big( A \subset B \wedge B\subset A\big)$ .

[edytuj] Aksjomat zbioru pustego

$\exists_{\emptyset}\ \forall_{x}\ x\not \in \emptyset$

Aksjomat mówi, że istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element - innymi słowy zbiór pusty. Znak $\emptyset$ jest standardowym oznaczeniem zbioru pustego. Co więcej - na podstawie aksjomatu jednoznaczności możemy zauważyć, że istnieje tylko jeden taki zbiór.

Dowód:

Niech $\emptyset_1,\emptyset_2$ - dwa zbiory puste. Na mocy aksjomatu zbioru pustego zachodzi:

$\forall_x\ x \not \in \emptyset_1$

$\forall_x\ x \not \in \emptyset_2$

A tym samym - $\forall_x\ x \in \emptyset_1 \iff x \in \emptyset_2$ .

Z kolei na mocy aksjomatu jednoznaczności ostatnia równoważność jest równoważna równości zbiorów. Stąd $\emptyset_1=\emptyset_2=\emptyset$ .

[edytuj] Aksjomat pary

$\forall_{A,B}\exists_C\forall_x\ \left(x \in C \iff x=A \or x=B\right)$

Aksjomat ten postuluje istnienie dla każdej pary zbiorów istnienie takiego zbioru, którego elementami są tylko i wyłącznie te dwa zbiory i nic więcej. Dla zbiorów A i B taki zbiór oznaczamy przez ${A, B}$ . Warto zwrócić tutaj uwagę, że kolejność wypisywania elementów nie ma znaczenia, tzn. ${A, B}$ = ${B, A}$ .

Uwaga 1: $\emptyset \not = \{\emptyset\} = \{\emptyset,\emptyset\}$ - zarówno równość jak i nierówność wynikają z aksjomatu jednoznaczności.

Uwaga 2: Dysponując wymienionymi aksjomatami możemy niejako wyprodukować nieskończenie wiele zbiorów. Zauważmy: $\emptyset$ , $\{\emptyset\}$ , $\{\{\emptyset\}\}$ , ...

[edytuj] Aksjomat sumy

$\forall_A\exists_{\bigcup A}\forall_y\ \Big(\exists_{x\in A}\ y \in x \iff y \in \bigcup A\Big)$

Dla każdego zbioru A istnieje zbiór którego elementami są elementy elementów zbioru A. Jest to pojęcia dużo ogólniejsze od zwyczajnej, "naturalnej" sumy, którą można teraz łatwo zdefiniować:

$A \cup B = \bigcup \{A,B\}$

[edytuj] Aksjomat zbioru potęgowego

$\forall_A\exists_{\mathcal{P}(A)}\forall_x\ \Big(x \subset A \iff x \in \mathcal{P}(A)\Big)$

Dla każdego zbioru A istnieje zbiór składający się tylko i wyłącznie z jego podzbiorów. Zbiory takie nazywamy zbiorami potęgowymi danego zbioru A. Czasami pojawia się też równoważne oznaczenie: $2^A=\mathcal{P}(A)$ .

Uwaga 1: $\forall_X\ X \in \mathcal{P}(X) \wedge \emptyset \in \mathcal{P}(X)$

[edytuj] Aksjomat zastępowania

Niech P(X,Y) - dwuargumentowy predykat.

$\Big( \forall_x \exists !_y\ P(x,y) \Big) \Rightarrow \bigg(\forall_A\exists_B\forall_b\ \Big( b \in B \iff \exists_a \ a \in A \wedge P(a,b) \Big) \bigg)$

Niech istnieje warunek dwuargumentowy P taki, że jeżeli P(q,p) i P(q,r) jest prawdą, to zachodzi p=r.

Wówczas dla każdego zbioru A istnieje taki zbiór, który składa się tylko z tych elementów, które odpowiadają elementom zbioru A względem predykatu P.

Predykat tego typu bywa nazywany predykatem funkcyjnym, ponieważ można go zastąpić funkcją (pojęcie i definicja funkcji pojawi się w dalszej części książki). Poprzednik implikacji jest właśnie warunkiem predykatu funkcyjnego.

Intuicyjnie powyższy aksjomat możemy rozumieć następująco: jeżeli mamy jakieś elementy, spośród których możemy wskazać zbiór A, a każdy element możemy jednoznacznie połączyć w parę z innym elementem, to możemy też wskazać zbiór elementów sparowanych z elementami zbioru A.

[edytuj] Aksjomat wycinania

Czasami podając aksjomatykę teorii mnogości zamiast aksjomatu zastępowania podaje się słabszy aksjomat wycinania. Aksjomat ten można wyprowadzić z powyższych aksjomatów (dlatego nie jest potrzebny, jeżeli przyjmujemy aksjomat zastępowania), mimo to warto go tutaj zaprezentować:

Niech P - jednoargumentowy predykat.

$\forall_A \exists_B \forall_x\ \Big(x \in B \iff x \in A \wedge P(x) \Big)$

Czyli dla każdego zbioru A istnieje taki jego podzbiór B, który składa się tylko z tych elementów zbioru A, które spełniają predykat P.

Dowód aksjomatu wycinania na gruncie aksjomatu zastępowania i aksjomatu zbioru pustego przebiega następująco: niech P₁ - predykat jednoargumentowy, taki jak w aksjomacie wycinania, niech P₂ - predykat dwuargumentowy, taki jak w aksjomacie zastępowania. Dla każdego predykatu P₁ definiujemy predykat P₂ następująco:

$P_1(x) = \left\{ \begin{matrix} \textrm{prawda} & \Rightarrow P_2(x,x) \\ \textrm{falsz} & \Rightarrow P_2(x,y) \\ \end{matrix} \right.$

przy czym P₁(y) jest prawdą i $y \in A$ . Jeżeli taki element y nie istnieje to zbiór B wymieniony w aksjomacie jest zbiorem pustym - $\emptyset$ .

[edytuj] Aksjomat regularności

$\forall_A \ A \not = \emptyset \Rightarrow \exists_{B \in A}\forall_C\ C \not \in A \vee C \not \in B$

Aksjomat ten mówi tyle, że dla każdego zbioru A musi istnieć jakiś jego element a rozłączny z A tzn. nie posiadający elementów wspólnych.

Czasami rozważa się układ aksjomatów z pominięciem aksjomatu regularności - rozważane są wówczas tzw. hiperzbiory.

Uwaga 1: Z powyższego aksjomatu wynika, że $x\not\in x$ . Rozważmy zbiór {x}. W myśl aksjomatu regularności każdy element albo należy do zbioru x albo należy do zbioru {x}. Z tego wynika, że jedyny element zbioru {x} nie może należeć do zbioru x, czyli, że $x \not \in x$ .

[edytuj] Aksjomat nieskończoności

$\exists_{\mathcal{N}}\ \emptyset \in \mathcal{N} \wedge\forall x\, \bigg( x \in \mathcal{N} \Rightarrow \Big( \bigcup\{x,\{x\}\} \Big) \in \mathcal{N} \bigg)$

Istnieje zbiór $\mathcal{N}$ , do którego należy zbiór pusty a także dla dowolnego elementu x zbioru $\mathcal{N}$ należy do niego również suma teoriomnogościowa tego elementu i singletonu tego zbioru: $x \cup \{x\}=\bigcup \{x,\{x\}\}$ .

Uwaga 1: Szczególnym przykładem zbioru induktywnego jest zbiór liczb naturalnych o czym można będzie przeczytać dalej.

[edytuj] Aksjomat wyboru

Niech X - rodzina zbiorów (czyli zbiór zbiorów) niepustych i parami rozłącznych.

$\forall_X\exists_A \bigg(\forall_{z \in A}\exists!_{x \in X}\exists!_{y \in x}\ z=y \bigg) \wedge \bigg( \forall_{x \in X}\exists!_{y \in x}\forall_{z \in A}\ \Big( \big( z \in x \Rightarrow z = y\big) \wedge (y \in A)\Big)\bigg)$

Zbiór A bywa nazywany selektorem.

[edytuj] Hipoteza continuum

Hipoteza continuum pojawi się w dalszej części książki, gdzie będzie zrozumiałe skąd się wzięła i co się z nią wiąże. Tymczasem i dla porządku jej postać w formie słownej:

Nie istnieje zbiór mocy mniejszej od mocy zbioru liczb rzeczywistych i jednocześnie mocy większej niż zbiór liczb naturalnych.

Warto zaznaczyć, że rozważa się zarówno teorie przyjmujące hipotezę continuum jak i te przyjmujące jej zaprzeczenie.

[edytuj] Definicje i operacje

[edytuj] Suma zbiorów

mamy zbiory A, B i C. zbior C rowny jest sumie zbioru A i B tylko i tylko wtedy gdy kazdy jego element nalezy do zbioru A lub B

Teoria mnogości/Aksjomaty teorii mnogości i operacje na zbiorach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

[edytuj] Aksjomaty

[edytuj] Aksjomat jednoznaczności

[edytuj] Aksjomat zbioru pustego

[edytuj] Aksjomat pary

[edytuj] Aksjomat sumy

[edytuj] Aksjomat zbioru potęgowego

[edytuj] Aksjomat zastępowania

[edytuj] Aksjomat wycinania

[edytuj] Aksjomat regularności

[edytuj] Aksjomat nieskończoności

[edytuj] Aksjomat wyboru

[edytuj] Hipoteza continuum

[edytuj] Definicje i operacje

[edytuj] Suma zbiorów

[edytuj] Przekrój zbiorów

[edytuj] Różnica zbiorów

[edytuj] Suma rozłączna zbiorów

[edytuj] Para uporządkowana

[edytuj] Iloczyn kartezjański zbiorów

Widok

Osobiste

Nawigacja

Drukuj lub eksportuj

Szukaj

Narzędzia