Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

[edytuj] Przekształcenia ciągłe

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

[edytuj] Funkcje ciągłe

[edytuj] Definicja

Niech: $(X,\mathcal{O}_X)$ , $(Y,\mathcal{O}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy funkcją ciągłą, o ile $\forall_{U\in \mathcal{O}_Y}f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X$ .

Innymi słowy funkcja $f:X\to Y$ jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja $f:X\to Y$ , w zależności od topologii na zbiorach $X$ i $Y$ może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach $X, Y$ są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji $f:X\to Y$ nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie $\mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2$ na zbiorze $X$ , zapis $f:X\to X$ przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali: $f:(X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ zamiast $f:X\to Y$ .

[edytuj] Własności

Niech $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y),(Z,\mathcal{O}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy $X, Y$ są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są funkcjami ciągłymi, to funkcja $(g\circ f):X\to Z$ jest ciągła.

Dowód:

Weźmy dowolny zbiór $U\in\mathcal{O}_Z$ . Musimy pokazać, że $(g\circ f)^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X$ . Zauważmy, że $(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U))$ . Z ciągłości $g$ mamy $g^{-1}(U)\in\mathcal{O}_Y$ . Zatem, z ciągłości $f$ , $f^{-1}(g^{-1}(U))\in\mathcal{O}_X$ . $\square$
Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
1. $f:X\to Y$ jest ciągła,
2. $\forall_{F\in\mathcal{F}_Y}f^{-1}(F)\in\mathcal{F}_X$ ,
3. Dla pewnej podbazy otwartej $\mathcal{P}_Y$ w $Y$ : $\forall_{U\in\mathcal{P}_Y}f^{-1}(P)\in\mathcal{O}_X$ ,
4. Dla pewnej bazy otwartej $\mathcal{B}_Y$ w $Y$ : $\forall_{U\in\mathcal{B}_Y}f^{-1}(P)\in\mathcal{O}_X$ ,
5. Dla pewnych systemów otoczeń $\{\mathcal{B}(x)\}_{x\in X}$ , $\{\mathcal{G}(y)\}_{y\in Y}$ odpowiednio w $X$ i $Y$ : $\forall_{x\in X}\forall_{G\in\mathcal{G}(f(x))}\exists_{B\in\mathcal{B}(x)}f(B)\subseteq G$ .
  
  Dowód:
  
  [1.] $\leftrightarrow$ [2.] $\forall_{U\in\mathcal{O}_Y}f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_X \iff$ $\forall_{U\in\mathcal{O}_Y}X\setminus f^{-1}(U)\in\mathcal{F}_X \iff$ $\forall_{U\in\mathcal{O}_Y} f^{-1}(Y\setminus U)\in\mathcal{F}_X \iff \forall_{F\in\mathcal{F}_Y} f^{-1}(F)\in\mathcal{F}_X$
  
  [1.] $\rightarrow$ [3.] Oczywiste, bo $\mathcal{P}_Y\subseteq\mathcal{O}_Y$ .
  
  [3.] $\rightarrow$ [4.] Elementy bazy $\mathcal{B}_Y$ są skończonymi przekrojami elementów podbazy $\mathcal{P}_Y$ . Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów $\mathcal{P}_Y$ , więc z 3. są otwarte.
  
  [4.] $\rightarrow$ [5.] Weźmy dowolne $x\in X$ i $G\in\mathcal{G}(x)$ . Zauważmy, że ponieważ $\mathcal{B}_Y$ jest bazą w $Y$ , to $G=\bigcup_{i\in I}B_i$ dla pewnej rodziny $\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{B}_Y$ . Zatem $f^{-1}(G)=f^{-1}(\bigcup_{i\in I}B_i)=\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)\in\mathcal{O}_X$ . Ponadto $f(x)\in G$ , zatem $x\in f^{-1}(G)$ . $\mathcal{B}(x)$ jest bazą otoczeń $x$ , zatem istnieje $B\in\mathcal{B}(x)$ takie, że $B\subseteq f^{-1}(G)$ . Ponadto $f(B)\subseteq f(f^{-1}(G))\subseteq G$ .
  
  [5.] $\rightarrow$ [1.] Weźmy $U\in\mathcal{O}_Y$ dowolne. Dla dowolnego $x\in f^{-1}(U)$ istnieje (z otwartości $U$ i definicji systemu otoczeń) $G\in\mathcal{G}(f(x))$ takie, że $G\subseteq U$ . Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte $B\in\mathcal{B}(x)$ punktu $x$ takie, że $f(B)\subseteq G\subseteq U$ . Stąd $B\subseteq f^{-1}(U)$ , więc $x$ jest punktem wewnętrznyn $f - 1 (U)$ . Z dowolności $x$ otrzymujemy, że $f - 1 (U)$ jest zbiorem otwartym. $\square$

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)$ są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element $y\in Y$ , to funkcja stała $f:X\to Y$ zadana: $\forall_{x\in X} f(x)=y$ jest ciągła. Istotnie, $f^{-1}(U)=\left\{\begin{matrix}\emptyset, x\not\in U \\ X , x\in U\end{matrix}\right.$ , ale $\emptyset, X\in\mathcal{O}_X$ .
Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,\mathcal{O}_X)$ jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,\mathcal{O}_Y)$ i każdej funkcji $f:X\to Y$ funkcja $f$ jest ciągła.
Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,\mathcal{O}_X)$ jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,\mathcal{O}_Y)$ i każdej funkcji $f:Y\to X$ funkcja $f$ jest ciągła.
Jeśli $(X,\mathcal{O}_X)$ jest przestrzenią topologiczną, $A\subseteq X$ i na $A$ ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie $i:A\hookrightarrow X$ (tzn. funkcja zadana $f (a) = a$ dla każdego $a\in A$ ) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem $A$ , a zatem zbiór otwarty w $A$ .

[edytuj] Funkcje otwarte i domknięte

[edytuj] Definicje

Niech: $(X,\mathcal{O}_X)$ , $(Y,\mathcal{O}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy otwartą, o ile $\forall_{U\in \mathcal{O}_X}f(U)\in\mathcal{O}_Y$ .

Funkcję $f:X\to Y$ nazywamy domkniętą, o ile $\forall_{U\in \mathcal{F}_X}f(U)\in\mathcal{F}_Y$ .

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że $f$ jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

[edytuj] Własności

Niech $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y),(Z,\mathcal{O}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Jeśli $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to $(g\circ f):X\to Z$ jest przekształceniem otwartym (domkniętym).
Jeśli $f:X\to Y$ jest bijekcją, to funkcja $f$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.
Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest otwartą (domkniętą) bijekcją.
Funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza $\mathcal{B}$ przestrzeni $X$ taka, że $\forall_{U\in\mathcal{B}}f(U)\in\mathcal{O}_Y$ .

Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $X$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja $f:X\to Y$ jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.
Naturalne włożenie odcinka domkniętego $\bold{I}$ w przestrzeń $\bold{E}$ jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

[edytuj] Homeomorfizmy

[edytuj] Definicje

Niech $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni $X$ do przestrzeni $Y$ nazywamy każdą funkcję ciągłą $f:X\to Y$ , odwracalną i taką, że funkcja $f^{-1}:Y\to X$ odwrotna do $f$ jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem, to $f^{-1}:Y\to X$ jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie $X, Y$ nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z $X$ do $Y$ (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z $Y$ do $X$ ). Fakt, że przestrzenie $X, Y$ są homeomorficzne, oznaczamy symbolem $X\simeq Y$ .

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą $f:X\to Y$ będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. $f$ traktowana jako funkcja $f:X\to f(X)$ , gdzie na $f (X)$ ustalona jest topologia podprzestrzeni względem $Y$ , jest homeomorfizmem).

[edytuj] Własności

Niech $(X,\mathcal{O}_X),(Y,\mathcal{O}_Y),(Z,\mathcal{O}_Z)$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Jeśli $f:X\to Y$ i $g:Y\to Z$ są homeomorfizmami, to $(g\circ f):X\to Z$ jest homeomorfizmem.

Dowód:

Funkcja $(g\circ f)$ jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto, $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ . Ponieważ $f - 1, g - 1$ są funkcjami ciągłymi, $(g\circ f)^{-1}$ jest ciągła jako ich złożenie. $\square$
Ciągła bijekcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie: $g=f^{-1}:Y\to X$ .

[ $\rightarrow$ ] Weźmy dowolny zbiór $U\in\mathcal{O}_X$ . Ponieważ $f$ jest bijekcją oraz $g$ jest ciągłe, to $f(U)=g^{-1}(U)\in\mathcal{O}_Y$ .

[ $\leftarrow$ ] Musimy pokazać, że $g$ jest ciągłe. Weźmy $U\in\mathcal{O}_X$ . Mamy: $g^{-1}(U)=f(U)\in\mathcal{O}_Y$ z otwartości $f$ . $\square$
Jeśli $f:X\to Y$ jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to $f$ jest włożeniem.

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście $f$ jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego $U\in\mathcal{O}_X$ z otwartości $f$ mamy $f(U)\in\mathcal{O}_Y$ oraz $f(U)\subseteq f(X)$ , to $f(U)\in\mathcal{O}_{f(X)}$ . Wobec tego $f:X\to f(X)$ jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że $f:X\to f(X)$ jest homeomorfizmem. $\square$

Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

[edytuj] Przykłady

Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową $id:(\mathbb{R},\mathcal{O}_d)\to (\mathbb{R},\mathcal{O}_E)$ , gdzie $\mathcal{O}_d$ oznacza topologię dyskretną na $\mathbb{R}$ . Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak $id^{-1}=id:(\mathbb{R},\mathcal{O}_E)\to (\mathbb{R},\mathcal{O}_d)$ nie jest ciągła, gdyż np. $\{0\}\in\mathcal{O}_d$ , ale $\{0\}=id^{-1}(\{0\})\not\in\mathcal{O}_E$ .
Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte $(a;b), (c;d)\subseteq\mathbb{R}$ z topologiami standardowymi.

Dowód:

Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie $f:(a;b)\to (c;d)$ zadane $f(x)=c+(x-a)\frac{d-c}{b-a}$ dla każdego $x\in (a;b)$ . $\square$
Homeomorficzne są odcinek otwarty $(a; b)$ z topologią standardową i $\bold{E}$ .

Dowód:

Odcinek $(a; b)$ jest homeomorficzny z odcinkiem $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ . Funkcja tangens $\operatorname{tg}:\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}$ jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę. $\square$
Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) $X, Y$ są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy $| X | = | Y |$ .
Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

[edytuj] Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe

[edytuj] Minimalna topologia na dziedzinie

Niech $(Y,\mathcal{O}_Y)$ będzie przestrzenią topologiczną, $X$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze $X$ pewną topologię $\mathcal{T}$ , przy której funkcja $f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na $X$ o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć $\mathcal{T}=2^X$ . Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

$\mathcal{T}=\{f^{-1}(U):U\in\mathcal{O}_Y\}$ jest najmniejszą topologią na $X$ przy której $f:X\to Y$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że $\mathcal{T}$ jest topologią na

X

. Zauważmy, że $\emptyset=f^{-1}(\emptyset),X=f^{-1}(Y)\in\mathcal{T}$ . Dalej, przypuśćmy że rodzina $\{f^{-1}(U_i)\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{T}$ (gdzie $\forall_{i\in I}U_i\in\mathcal{O}_Y$ ). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na

Y

: $\bigcup_{i\in I}f^{-1}(U_i)=f^{-1}(\bigcup_{i\in I}U_i)\in\mathcal{T}$ . Z podobnych przyczyn dla $f^{-1}(U), f^{-1}(V)\in\mathcal{T}$ (gdzie $U,V\in\mathcal{O}_Y$ mamy: $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=f^{-1}(U\cap V)\in\mathcal{T}$ . Zatem $\mathcal{T}$ jest topologią na

X

.

Jest jasne, że $f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{O})$ jest ciągła.

Zauważmy teraz, że jeśli $\mathcal{T}_1$ jest topologią na

X

taką, że $f:(X,\mathcal{T}_1)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$ jest ciągła, to z definicji ciągłości $\forall_{U\in\mathcal{O}_Y}f^{-1}(U)\in\mathcal{T}_1$ , zatem $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}_1$ . $\square$

Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech $\{(Y_i, \mathcal{O}_i)\}_{i\in I}$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych, $X$ zbiorem, zaś $\{f:X\to Y_i\}_{i\in I}$ rodziną funkcji.

Wówczas $\mathcal{P}=\bigcup_{i\in I}\{f_i^{-1}(U):U\in\mathcal{O}_i\}$ jest podbazą najmniejszej topologii $\mathcal{T}$ na $X$ takiej, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_i:(X,\mathcal{T})\to (Y_i,\mathcal{O}_i)$ jest ciągła.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że $\mathcal{P}$ jest podbazą pewnej topologii na

X

. Oznaczmy przez $\mathcal{B}$ rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny $\mathcal{P}$ . Musimy pokazać, że $\mathcal{B}$ spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że

X = f - 1 (Y i)

dla dowolnego $i\in I$ , zatem $X\in\mathcal{P}\subseteq\mathcal{B}$ . Zatem $\bigcup\mathcal{B}=X$ . Weźmy teraz dowolne dwa elementy $B_1,B_2\in\mathcal{B}$ . Z definicji $\mathcal{B}$ istnieją $P_1,P_2,\dots,P_n,P_{n+1},\dots,P_{n+m}\in\mathcal{P}$ takie, że $B_1=\bigcap_{k=1}^n P_k$ i $B_2=\bigcap_{k=n+1}^{n+m}P_k$ . Stąd $B_1\cap B_2=\bigcap_{k=1}^{n+m}P_k\in\mathcal{B}$ . Zatem $\mathcal{B}$ jest bazą pewnej topologii na

X

.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli $\mathcal{T}_1$ jest topologią na

X

taką, że dla każdego $i\in I$ funkcja $f_i:(X,\mathcal{T}_1)\to (Y,\mathcal{O})$ jest ciągła, to $\mathcal{P}\subseteq\mathcal{T}_1$ . Stąd $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}_1$ , gdyż $\mathcal{T}$ jest najmniejszą topologią na

X

zawierającą $\mathcal{P}$ . $\square$

Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór $\mathcal{P}^*=\bigcup_{i\in I}\{f^{-1}(P):P\in\bold{P}_i\}$ , gdzie $\bold{P}_i$ jest podbazą przestrzeni $(Y_i,\mathcal{O}_i)$ dla każdego $i\in I$ , jest podbazą topologii $\mathcal{T}$ .

[edytuj] Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech $(X,\mathcal{O})$ będzie przestrzenią topologiczną, $Y$ zbiorem, zaś $f:X\to Y$ funkcją.

Wówczas $\mathcal{T}=\{U:f^{-1}(U)\in\mathcal{O}\}$ jest największą topologią na $Y$ taką, że $f:(X,\mathcal{O})\to (Y,\mathcal{T})$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że $\mathcal{T}$ jest topologią na

Y

Oczywiście $f:(X,\mathcal{O})\to (Y,\mathcal{T})$ jest ciągła.

Nietrudno też wykazać, że $\mathcal{T}$ jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem $V\in 2^X$ i $V\not\in\mathcal{T}$ , to $f^{-1}(V)\not\in\mathcal{O}$ . $\square$

Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.
Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli $\{(X_i,\mathcal{O}_i)\}_{i\in I}$ jest rodziną przestrzeni topologicznych, $Y$ zbiorem, zaś $\{f_i:X_i\to Y\}_{i\in I}$ rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia $\mathcal{T}$ na $Y$ przy której każda z funkcji $f_i:(X_i,\mathcal{O}_i)\to (Y,\mathcal{T})$ jest ciągła.

[edytuj] Suma rozłączna przestrzeni topologicznych

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych $\{X_i\}_{i\in I}$ . Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego $i\in I$ biorąc zamiast przestrzeni $X i$ jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami $(x,i)\in X_i\times\{i\}$ ). Koproduktem rodziny $\{X_i\}_{i\in I}$ nazywamy wówczas przestrzeń $\bigcup_{i\in I}X_i$ z najbogatszą topologią taką, że włożenia $j_i:X_i\hookrightarrow \bigcup_{i\in I} X_i$ , $j i (x) = x$ są ciągłe dla wszystkich $i\in I$ . Przestrzeń tą oznaczamy symbolem $\coprod_{i\in I} X_i$ .

Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór $U\subseteq \coprod_{i\in I}X_i$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I$ zbiór $U\cap X_i$ jest otwarty w $X i$ .

[edytuj] Topologia Tichonowa

[edytuj] Definicja

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_i\}_{i\in I}$ nazywamy zbiór $\prod_{i\in I}X_i = \{f:I\to\bigcup_{i\in I}X_i : \forall_{i\in I}f(i)\in X_i\}$ .

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na $j$ -tą współrzędną (gdzie $j\in I$ ) nazywamy funkcję $p_j: \prod_{i\in I}X_i\to X_j$ zadaną $p j (f) = f (j)$ dla każdego $f\in\prod_{i\in I}X_i$ .

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych $\{(X_i,\mathcal{O}_i)\}_{i\in I}$ nazywamy przestrzeń topologiczną $(\prod_{i\in I}X_i, \mathcal{T})$ , gdzie $\prod_{i\in I}X_i$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_i\}_{i\in I}$ , zaś $\mathcal{T}$ jest minimalną topologią na $\prod_{i\in I}X_i$ , przy której dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_j:(\prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})\to (X_j,\mathcal{O}_j)$ jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię $\mathcal{T}$ nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

[edytuj] Własności

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję $f:A\to B$ ze zbiorem par uporządkowanych $\{(a,f(a)):a\in A\}$ (to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej $\mathcal{T}$ jest zbiór $\mathcal{P}=\{p_i^{-1}(U):i\in I\land U\in\mathcal{O}_i\}$ .
Zauważmy, że dla każdych $i\in I, U\in\mathcal{O}_i$ zachodzi $p_i^{-1}(U)=\prod_{j\in I}\alpha^U_i(j)$ , gdzie $\alpha^U_i(j)=\left\{\begin{matrix}X_j && ,j\not=i \\ U && ,j=i\end{matrix}\right.$ dla każdego $j\in I$ .
Intuicyjnie, $\prod_{j\in I}\alpha^U_i(j)$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie $\{X_j\}_{j\in I}$ $i$ -go zbioru przez zbiór $U$ (otwarty w $X i$ ).
Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci $\prod_{j\in I}\alpha^U_i(j)$ . Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie $\{X_i\}_{i\in I}$ skończonej liczby przestrzeni $X_{i_1},X_{i_2},\dots,X_{i_n}$ przez ich podzbiory otwarte $U_{i_1},U_{i_2},\dots,U_{i_n}$ .
Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni $\{(X_i,\mathcal{O}_i)\}_{i\in I}$ jest skończona (przyjmijmy np. $I=\{1,2,\dots,n\}$ ), to bazą topologii produktowej jest rodzina $\mathcal{B}=\{\prod_{i=1}^n U_i:\forall_{i=1,\dots,n}U_i\in\mathcal{O}_i\}$ .
Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór $\mathcal{B}^*=\{\prod_{i=1}^n B_i:\forall_{i=1,\dots,n}B_i\in\bold{B}_i\}$ , gdzie $\bold{B}_i$ jest bazą $(X_i,\mathcal{O}_i)$ dla każdego $i=1,2,\dots,n$ .
Dla każdego $j\in I$ rzutowanie $p_j:\prod_{i\in I}X_i\to X_j$ jest odwzorowaniem otwartym.

Dowód:

Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że $p_j(B)\in\mathcal{O}_i$ dla zbiorów $B$ należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że $p j (B) = X j$ lub $p j (B) = U$ dla pewnego $U\in\mathcal{O}_j$ . Dowód jest zakończony. $\square$

[edytuj] Przykłady

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.
Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż $1$ jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.
Rozważmy przestrzenie skończone: $X=(\{0,1\}, \{\emptyset,\{0\},\{0,1\}\})$ i $Y=(\{a,b\},\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\})$ . Wówczas na $X\times Y$ topologią Tichonowa jest zbiór: $\{\emptyset,X\times Y,\{(0,a)\},\{(0,b)\},\{(0,a),(0,b)\},\{(0,a),(1,a)\},\{(0,b),(1,b)\}\}$ .
Przez X^κ, gdzie κ jest liczbą kardynalną zaś X przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń (to znaczy produkt κ kopii przestrzeni X) z topologią produktową.

Niech $\kappa\geq\aleph_0$ .
- Dla $X = {0,1}$ z topologią dyskretną przestrzeń $X κ$ nazywamy kostką Cantora o ciężarze $κ$ .
- Dla $X = {0,1}$ z topologią $\{\emptyset,\{0\},\{0,1\}\}$ przestrzeń $X κ$ nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze $κ$ . Przestrzeń $X$ z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.
- Dla $X=\bold{I}$ przestrzeń $X κ$ nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze $κ$ .

[edytuj] Topologia ilorazowa

[edytuj] Definicja

Niech będą dane przestrzeń topologiczna $(X,\mathcal{O})$ i relacja równoważności $\equiv\subseteq X\times X$ .

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję $\eta:X\to X/\equiv$ zadaną: $\eta(x)=[x]_{\equiv}$ dla każdego $x\in X$ , gdzie $X/\equiv$ oznacza zbiór ilorazowy, zaś $[x]_{\equiv}\in X/\equiv$ klasę abstrakcji elementu $x\in X$ względem relacji $\equiv$ .

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym $X/\equiv$ nazywamy najbogatszą topologię $\mathcal{O}_{X/\equiv}$ na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa $\eta:X\to X/\equiv$ jest ciągła. Przestrzeń $(X/\equiv,\mathcal{O}_{X/\equiv})$ nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni $X$ względem relacji $\equiv$ .

Jeżeli $A\subseteq X$ , to istnieje najmniejsza relacja równoważności $\equiv_A\subseteq X\times X$ taka, że $x\equiv_A y$ dla każdych $x,y\in A$ . Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez $(X/A,\mathcal{O}_{X/A})$ . Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru $A$ w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję $q:X\to Y$ taką, że topologia na $Y$ jest najbogatszą topologią, przy której $q$ jest ciągła.

[edytuj] Własności

Niech będą dane przestrzeń $X$ i relacja równoważności $\equiv$ na tej przestrzeni. $\eta:X\to X/\equiv$ niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni $Y$ i funkcji ciągłej $g:X\to Y$ takiej, że $g (x) = g (y)$ o ile $x\equiv y$ , istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $g':X/\equiv \to Y$ taka, że $g'\circ \eta=g$ .

Dowód:

Przyjmijmy $g'([x]) = g (x)$ dla $[x]\in X/\equiv$ . Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy $[x]$ , gdyż z założenia $g (x) = g (y)$ dla każdego $y\in [x]$ . Funkcja $g'$ jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek $g'\circ \eta=g$ i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość $g'$ . Niech $U\subseteq Y$ będzie zbiorem otwartym. Z definicji $g'$ wynika, że $η - 1 g' - 1 (U) = g - 1 (U)$ . Zbiór $g - 1 (U)$ jest otwarty z ciągłości funkcji $g$ . Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na $X/\equiv$ wynika, że $V\subseteq X/\equiv$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $η - 1 (V)$ jest otwarty w $X$ . Wobec tego $g' - 1 (U)$ jest otwarty, zatem $g'$ jest funkcją ciągłą. $\square$
Niech $q:X\to Y$ będzie ciągłą surjekcją. Jeśli $q$ jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.

Dowód:

Musimy wykazać, że dowolny podzbiór $U\subseteq Y$ jest otwarty o ile $p - 1 (U)$ jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że $p - 1 (U)$ jest otwarty. Jeśli $p$ jest odwzorowaniem otwartym, to $p (p - 1 (U))$ jest również otwarty. Ale $p$ jest surjekcją, więc $p (p - 1 (U)) = U$ . Jeśli $p$ jest odwzorowaniem domkniętym, to $p(X\setminus p^{-1}(U))$ jest zbiorem domkniętym. Ale $p(X\setminus p^{-1}(U))=p(p^{-1}(Y\setminus U))=Y\setminus U$ . $\square$
Niech $q:X\to Y$ będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na $X$ określmy relację równoważności: $x\equiv y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q (x) = q (y)$ . Wówczas przestrzenie $Y$ i $X/\equiv$ są homeomorficzne.

Dowód:

Przez $\eta:X\to X/\equiv$ oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję $h:X/\equiv \to Y$ wzorem $h ([x]) = p (x)$ . Z definicji relacji $\equiv$ wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto $h$ jest surjekcją, gdyż $p$ jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość $h$ . Przypuśćmy, że $h ([x]) = h ([y])$ , to znaczy $p (x) = p (y)$ , co z kolei z definicji $\equiv$ oznacza, że $x\equiv y$ , czyli $[x] = [y]$ . Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość $h$ . Nietrudno zauważyć, że dla $U\subseteq Y$ mamy $η - 1 (h - 1 (U)) = p - 1 (U)$ . Z ciągłości $p$ zbiór ten jest otwarty, o ile $U$ jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór $h - 1 (U)$ jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że $p - 1 (h (V)) = η - 1 (V)$ dla $V\subset X/\equiv$ otrzymujemy, że $h$ jest otwarte, co kończy dowód. $\square$
Surjekcja $q:X\to Y$ jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej $Z$ i odwzorowania $h:Y\to Z$ odwzorowanie $h$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $h\circ q$ jest ciągłe.

Dowód:

[ $\rightarrow$ ] Pokażmy, że jeśli $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie $h:Y\to Z$ . Przypuśćmy, że $h\circ q$ jest ciągłe. Niech $U\subseteq Z$ będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości $h\circ q$ zbiór $(h\circ q)^{-1}(U)$ jest otwarty, ale $(h\circ q)^{-1}(U)=q^{-1}(h^{-1}(U))$ . Ponieważ $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór $h - 1 (U)$ jest otwarty. Stąd $h$ jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli $h$ jest ciągłe, to $h\circ q$ jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.

[ $\leftarrow$ ] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to $q$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość $q$ . Gdyby istniało $U\subseteq Y$ otwarte i takie, że $q - 1 (U)$ nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego $h=\operatorname{id}:Y\to Y$ otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane $h$ jest ciągłe, zaś $h\circ q=q$ nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na $Y$ nie jest maksymalną topologią, przy której $q$ jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór $A\subseteq Y$ taki, że $p - 1 (A)$ jest otwarty, zaś $A$ nie jest otwarty. Niech $Z$ będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn. $Z=(\{0,1\}, \{\emptyset,\{1\},\{0,1\}\})$ ). Zdefiniujmy $h:Y\to Z$ wzorem: $h(y)=\begin{cases}1 & \text{dla } y\in A\\ 0 & \text{dla } y\not\in A\end{cases}$ . Wówczas $h\circ q$ jest funkcją ciągłą, zaś $h$ nie jest ciągłe. $\square$

Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o $q$ nie założymy, że jest surjekcją.

[edytuj] Przykłady

Przestrzeń $\mathbf{I}/\{0,1\}$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf{S}^{1}$ .
Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ $\mathbf{S}^1\subseteq \mathbb{R}^2$ , zaś $\mathbb{R}^2$ jest w naturalny sposób homeomorficzne z $\mathbb{C}$ , możemy utożsamiać $\mathbf{S}^1$ ze zbiorem $\{z\in\mathbb{C};|z|=1\}$ . Rozważmy odwzorowanie ciągłe $\operatorname{exp}:\mathbf{I}\to\mathbf{S}^{1}\subseteq\mathbb{C}$ zadane wzorem $\operatorname{exp}(t)=e^{2\pi i t}=\cos (2\pi t)+i\sin (2\pi t)$ . Ponieważ $\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(1)=1$ , indukuje ono odwzorowanie ciągłe $\operatorname{exp}':\mathbf{I}/\{0,1\}\to\mathbf{S}^1$ . Nietrudno sprawdzić, że $\operatorname{exp}'$ jest bijekcją. Weźmy zbiór $U\subseteq\mathbf{I}/\{0,1\}$ otwarty w topologii ilorazowej na $\mathbf{I}/\{0,1\}$ . Mamy: $\operatorname{exp}'(U)=\operatorname{exp}(\eta^{-1}(U))$ , gdzie $\eta:\mathbf{I}\to\mathbf{I}/\{0,1\}$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu $s\in \operatorname{exp}'(U)$ istnieje jego otoczenie otwarte $U_{s}\subseteq \operatorname{exp}'(U)$ . Będzie to oznaczało, że zbiór $\operatorname{exp}'(U)$ jest otwarty, co wobec dowolności $U$ wykaże otwartość odwzorowania $\operatorname{exp}'$ . Niech zatem $s\in\operatorname{exp}'(U)$ oraz $[t]=\operatorname{exp}'^{-1}(s)\in U$ . Ponieważ $η$ jest ciągłe, $η - 1 (U)$ jest otwarte w $\mathbf{I}$ . Jeśli zatem $[t]\not=[1]$ , to $t\in\eta^{-1}(U)$ i istnieje $ε$ takie, że $V_{[t]}=(t-\epsilon;t+\epsilon)\subseteq \eta^{-1}(U)$ . Jeśli zaś $[t] = [1]$ , to $0,1\in\eta^{-1}(U)$ oraz istnieje $ε$ takie, że $V_{[t]}=[0;\epsilon)\cup (1-\epsilon;1]\subseteq \eta^{-1}(U)$ . W obu wypadkach nietrudno pokazać, że $U_s=\operatorname{exp}(V_{[t]})\subseteq \operatorname{exp}(\eta^{-1}(U))= \operatorname{exp}'(U)$ jest otwarte w $\mathbf{S}^1$ .
Przestrzeń $\mathbf{I}^n/\operatorname{Fr}\mathbf{I}^n$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf{S}^n$ . Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.
Rozważmy przestrzeń oraz najmniejsze relacje równoważności takie, że:
- $(0,t) \equiv_1 (1,t)$ oraz $(t,0)\equiv_1 (t,1)$ ,
- $(0,t) \equiv_2 (1,1-t)$ oraz $(t,0)\equiv_2 (t,1)$ ,
- $(0,t) \equiv_3 (1,1-t)$ dla każdego $t\in\mathbf{I}$ .
Przestrzeń $X/\equiv_1$ nazywamy torusem 2-wymiarowym, $X/\equiv_2$ butelką Kleina, zaś $X/\equiv_3$ wstęgą Mōbiusa.
Niech będzie dana przestrzeń topologiczna $X$ . Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń $X\times\mathbf{I}/X\times\{1\}$ , zaś zawieszeniem $X$ nazywamy przestrzeń $X\times\mathbf{I}/\equiv$ , gdzie $\equiv$ jest najmniejszą relacją równoważności na $X\times\mathbf{I}$ taką, że $(x,1)\equiv (x',1)$ oraz $(x,0)\equiv (x',0)$ dla każdych $x,x'\in X$ .
W przestrzeni $X=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ rozważmy relację $\equiv$ taką, że $(t_1,\ldots,t_n)\equiv (s_1,\ldots,s_n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $\lambda\in\mathbb{R}$ takie, że $s i = λ t i$ dla każdego $i=1,\ldots,n$ . Przestrzeń $X/\equiv$ nazywamy $n - 1$ -wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy $\mathbb{R}\mathbf{P}^{n-1}$ .