Wprowadzenie do elektroniki/Podstawowe połączenia

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Spis treści

1 Dzielniki
- 1.1 Dzielnik napięcia
  - 1.1.1 Przykład
- 1.2 Dzielnik prądu
2 Trójniki

[edytuj] Dzielniki

Dzielniki są prostymi układami dwu zaciskowymi, i w zależności od charakteru ich połączenia do czynienia mamy z różnym przeznaczeniem użytkowym takich układów.

[edytuj] Dzielnik napięcia

Dzięki szeregowemu połączeniu dwóch impedancji (np. rezystorów) możliwe jest uzyskanie układu tzw. dzielnika napięcia, którego zadaniem jest podanie na wyjście pewnej części napięcia wejściowego. Napięcie na rezystorze $R 2$ dane jest wzorem

$U_2 = I R_2 = U \frac{R_2}{R_1+R_2}$

Oczywiście dzielnik napięcia może być złożony z większej liczby rezystorów, i wówczas dostępna jest większa liczba napięć wyjściowych. Ogólnie napięcie na $k$ -tym z $n$ rezystorów dane jest wzorem:

$U_i = U \frac{\sum_{i=1}^k R_i}{\sum_{i=1}^n R_i}$

[edytuj] Przykład

Dzielniki napięcia znajdują zastosowanie w metrologii, są częścią woltomierzy odpowiedzialną za odpowiednie dopasowanie zakresów pomiarowych. Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji miernik, który potrafi zmierzyć napięcia z zakresu 0-10V, jest to zakres dość mały, a koniecznie chcielibyśmy móc zmierzyć także napięcia większe: 20, 50 i 100V.

W celu wykonania odpowiedniego woltomierza potrzebujemy rezystancyjnego dzielnika napięcia o 3 wyjściach, a więc złożonego z 4 rezystorów.

Dla zakresu 20V podzielnik powinien być równy $\frac{10}{20}$ , dla zakresu 50V $\frac{10}{50}$ , a dla 100V $\frac{10}{100}$ . Rezystancja woltomierza powinna być jak największa, najlepiej nieskończona, w rzeczywistych układach jest rzędu megaomów. My również przyjmiemy jakąś dużą rezystancję całego dzielnika, 100k:

R 1 + R 2 + R 3 + R 4 = R = 100 k

Dla największego zakresu podzielnik to $\frac{1}{10}$ i napięcie to będzie pobierane z "dolnego" rezystora $R 1$ , jego rezystancja wyniesie $\frac{1}{10} \cdot 100k = 10k$ .

Dla mniejszego zakresu podzielnik wynosi $\frac{1}{5}$ i napięcie pobierane jest z drugiego "od dołu" rezystora. Wartość rezystora $R 2$ nie będzie jednak w tak oczywisty sposób równa $\frac{1}{5} \cdot 100k = 20k$ ! Napięcie na tym rezystorze wyniesie $U \frac{R_1 + R_2}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$ , więc owszem, pojawi się wartość $20 k$ , ale odnosi się do sumy rezystancji $R 1 + R 2$ . Zatem $R 2 = 20 k - R 1 = 20 k - 10 k = 10 k$ .

Analogicznie rzecz się będzie miała dla ostatniego zakresu. Tutaj $R_3 + R_2 + R_1 = \frac{1}{2} \cdot 100k = 50k$ i stąd $R 3 = 50 k - 20 k = 30 k$ .

Nie znamy jeszcze rezystancji ostatniego rezystora, $R 4$ która już teraz łatwo wyznaczyć z pierwszego równania: $R 4 = 100 k - 30 k - 10 k - 10 k$ .

[edytuj] Dzielnik prądu

Dzięki równoległemu połączeniu rezystorów otrzymamy z kolei dzielnik prądu, w którym prąd rozpływa się proporcjonalnie w gałęziach. Natężenie prądu elektrycznego w jednej z gałęzi dzielnika zasilanego prądem stałym, zgodnie z I prawem Kirchhoffa, jest zawsze mniejsze od natężenia prądu wejściowego (zasilającego) i zależy tylko od stosunku wartości użytych rezystancji oraz wartości prądu wejściowego:

$I_{1}=I_{we}\cdot\frac{R_{2}}{R_1+R_2}$

Wynika to z faktu, że napięcie elektryczne zasilające dzielnik napięcia ma taką samą wartość dla obydwu elementów, czyli:

$I_{we} \cdot \frac{(R_{1} \cdot R_{2})}{(R_{1} + R_{2})} = I_{1} \cdot R_{1}$

[edytuj] Trójniki

Trójniki są układami trój zaciskowymi i stanowią najprostsze przykłady rozgałęzienia w układach, które można w szybki sposób upraszczać. Są dwa typy rozgałęzienia - typ "Y" (igrek) zwany "gwiazdą" oraz typ "Δ" (delta) zwany "trójkątem".

Trójkąt i gwiazda są rodzajem połączeń w układach trójfazowych. W połączeniu typu trójkąt napięcie na elementach impedancyjnych Z (Z może w tym przypadku oznaczać równie dobrze rezystancję, admitancję czy napięcie elektryczne itp.) równe jest napięciu między fazowemu, natomiast prądy płynące przez te elementy są wypadkową odpowiednich prądów fazowych. W połączeniu typu gwiazda napięcie rozłożone na elementach impedancyjnych Z (możliwości podobnie jak w przypadku delty) jest wypadkową wartością wynikającą z symetryczności (lub asymetryczności), natomiast prądy płynące przez te elementy są równe prądom fazowym.

Oba połączenia są sobie równoważne z zachowaniem pewnych proporcji. Tak więc połączenia typu "Y" bardzo łatwo można przekształcić w typ "Δ" i odwrotnie, co bardzo często ułatwia rozpatrywanie danych układów, które z pozoru wydają się nierozwiązywalne lub ciężkie do przeanalizowania. Przekształcenia te noszą nazwę transfiguracji.

W praktycznych obliczeniach transfiguracji trójnik sprowadza się do postaci niepełnego czwórnika - który uzyskuje się poprzez rozdzielenie jednej z gałęzi. Dzięki czemu można obliczyć proporcjonalny rozkład obciążeń na danych gałęziach. Umożliwia to upraszczanie układów przy postępowaniu zgodnie z prawem Thevenina.

[edytuj] Przekształcenie trójkąt-gwiazda

Istnieje możliwość zastąpienia układu połączonego w trójkąt równoważnym układem połączonym w gwiazdę. Równoważność oznacza tutaj warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji. Innymi słowy w transfigurowanych gałęziach nie powinny znajdować się źródła sterowane ani elementy dynamiczne układów - a w obwodzie powinien panować stan ustalony. Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze impedancji dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami (podkreślenie oznacza liczby zespolone):

Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami:

$\underline{Z_{AT}}=\frac{\underline{Z_{AB}}\cdot{\underline{Z_{AC}}}}{\underline{Z_{AC}}+\underline{Z_{AB}}+\underline{Z_{BC}}}$

$\underline{Z_{BT}}=\frac{\underline{Z_{BA}}\cdot{\underline{Z_{BC}}}}{\underline{Z_{AC}}+\underline{Z_{AB}}+\underline{Z_{BC}}}$

$\underline{Z_{CT}}=\frac{\underline{Z_{CA}}\cdot{\underline{Z_{CB}}}}{\underline{Z_{AC}}+\underline{Z_{AB}}+\underline{Z_{BC}}}$

Dla układu całkowicie symetrycznego w którym $Z_{ij} = \underline{Z_{AT}} = \underline{Z_{BT}} = \underline{Z_{CT}}$ zachodzi:

$\underline{Z_{i}}=\frac{1}{3} \underline{Z_{ij}}$

[edytuj] Przekształcenie gwiazda-trójkąt

Istnieje możliwość zastąpienia układu połączonego w gwiazdę równoważnym układem połączonym w trójkąt. Równoważność oznacza tutaj, podobnie jak w poprzednim przypadku, warunek niezmienności prądów i napięć w tej części obwodu, która nie podlega przekształceniu transfiguracji. Podobnie jak poprzednio również, w transfigurowanych gałęziach nie powinny znajdować się źródła sterowane ani elementy dynamiczne układów - a w obwodzie powinien panować stan ustalony. Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze impedancji dla połączenia w gwiazdę przy danych wartościach połączenia w trójkąt są wyrażone poniższymi wzorami (podkreślenie oznacza liczby zespolone):

Dla oznaczeń użytych na rysunku można udowodnić, że wartości zastępcze dla połączenia w trójkąt przy danych wartościach połączenia w gwiazdę są wyrażone poniższymi wzorami:

$\underline{Z_{AB}}=\underline{Z_{AT}}+\underline{Z_{BT}}+\frac{\underline{Z_{AT}}\cdot{\underline{Z_{BT}}}}{\underline{Z_{CT}}}$