Elektrodynamika klasyczna/Pola skalarne i wektorowe, a równania elektrodynamiki Maxwella

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Elektrodynamika klasyczna
Elektrodynamika klasyczna
Pola skalarne i wektorowe, a równania elektrodynamiki Maxwella

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Będziemy się zajmować, gdy pola elektryczne i magnetyczne w ogólności są zmienne w czasie i na jej podstawie wprowadzimy pole skalarne zwany potencjałem skalarnym i inne pole wektorowe zwane potencjałem wektorowym, które w ogólności też zmieniają się w czasie.

Wprowadzenie do potencjałów - skalarnego i wektorowego[edytuj]

Definicja potencjału wektorowego jest taka sama jak w magnetostatyce, którego definicja jest w punkcie (10.1), ale my dla przejrzystości wykładu powtórzymy tą definicję i powiemy, że ona jest słuszna również dla pól zmiennych w czasie:

(20.1)

W magnetetostatyce taka definicją prowadziła, że spełnione jest prawo Gaussa (9.7), także również zachodzi to samo w elektrodynamice Maxwella dla drugiego prawa Maxwella (15.15). Posłużmy się trzecim prawem i dokonajmy w nim pewnych przekształceń, stosując w nim wzór na indukcję pola magnetycznego w zależności od potencjału wektorowego, i po tej czynności wszystkie wyrazy wsadźmy pod dywergencję (operator nabla):

(20.2)

Aby powyższe równanie było tożsamościowo równe zero, to w powyższym równaniu należy zastąpić wyrażenie, która jest mnożnikiem wyrażeniem -∇φ, zatem przeprowadzając te same obliczenia, co w punkcie (3.11), dostajemy, że podstawienie jest automatycznie spełnione. Zatem na podstawie tego zastąpienia i końcowego równania (20.2), otrzymujemy wtedy gradient potencjału skalarnego definiowany wedle sposobu:

(20.3)

Natężenie pole elektrycznego, używając powyższego równania (20.3), jak się przekonamy w tym równaniu jest ona zależna od gradientu potencjału skalarnego i od potencjału wektorowego zależnego od czasu.

(20.4)

Widzimy, że gdy pole magnetyczne nie zmienia się w czasie, to definicja natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny jest taki sama jak w elektrostatyce, tzn. jak w punkcie (3.5).

Znając definicję potencjału wektorowego, że jeśli potencjał skalarny i wektorowy zmieniać się będą w czasie, to wektor natężenia pola elektrycznego będzie w ogólności też się zmieniać w czasie. Gdy potencjał wektorowy zmienia się w czasie, to wektor indukcji pola magnetycznego w danym punkcje też w ogólności będzie się zmieniał w czasie. Drugie równanie Maxwella jest automatycznie spełnione, bo zachodzi na podstawie obliczeń (10.11). Wprowadzając potencjał skalarny i wektorowy w elektromagnetyzmie, to wtedy dochodzimy do wniosku, że drugie i trzecie prawo elektrodynamiki Maxwella dla próżni stają tożsamościami, zostało nam tylko dwa równania, tzn.: pierwsze i trzecie równanie. Pierwsze z nich zależy od gęstości objętościowej ładunku, a ostanie zależy od gęstości prądu płynącego w naszym przewodniku.

Cechowania w magnetostatyce i elektrodynamice Maxwella[edytuj]

Mamy już wyznaczone pole elektryczne poprzez potencjał skalarny i wektorowy, oraz pole magnetyczne przez potencjał wektorowy.

Weźmy pod lupę czwarte prawo elektrodynamiki Maxwella (15.17), podstawmy do niego definicję indukcji magnetycznej poprzez potencjał wektorowy (20.1) i definicję natężenia pola elektrycznego poprzez potencjał skalarny i wektorowy, dalej wykorzystując związek udowodniony w punkcie (17.1), ale tym razem zamiast natężenia pola elektrycznego występuje potencjał wektorowy, zatem dochodzimy do wniosku:

(20.5)

Teraz przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą jej stronę, oprócz wyrazu z gęstością prądu elektrycznego, i odpowiednie je grupować będziemy, zatem otrzymujemy:

(20.6)

Przyjmijmy cechowanie, które wiąże potencjał skalarny z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Widzimy, że w tym cechowaniu poniżej jest ona zależna od dywergencji potencjału wektorowego i od pochodnej pierwszej względem czasu potencjału skalarnego:

(20.7)

Powyższe równanie jest cechowaniem Lorentza, a gdy potencjał nie zmienia się w czasie, to otrzymujemy cechowanie Coulomba w postaci równania (10.4).

Zatem nasze czwarte prawo Maxwella po uwzględnieniu naszego cechowania Lorentza i podstawiając go do pierwszego składnika pod operatorem nabla (∇), wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe zależne tylko od potencjału wektorowego pola elektromagnetycznego:

(20.8)

Następnie krokiem jest skorzystanie z pierwszego prawa Maxwella (15.14) i zastosowanie w nim związku (20.4) na natężenie pola elektrycznego w zależności od dywergencji pola potencjału skalarnego i względem pochodnej czasowej potencjału wektorowego względem czasu, wtedy dostajemy związek:

(20.9)

Równanie na cechowanie Lorentza (20.7) zastosujmy do równania (20.9) wyznaczając z tego cechowania dywergencję potencjału wektorowego i podstawiając do niego, wtedy dostając wzór zależny tylko od potencjału skalarnego φ

(20.10)

Określając ze wzoru (17.11) wielkość , że iloczyn przenikalności elektrycznej i magnetycznej w próżni, że jest odwrotnością kwadratu wartości prędkości światła, zatem nasze te dwa uzyskane równania zależne tylko od potencjału wektorowego (20.8) i od potencjału skalarnego (20.10) są one w postaci:

(20.11)
(20.12)

Jeśli zdefiniujemy operator, który jest zależna od kwadratu operatora nabla, czyli operatora delty i od drugiej pochodnej względem czasu, którego definicję podajemy tutaj:

(20.13)

co (20.13) nazywamy dalambercjanem.

Zatem nasze równania elektrodynamiki Maxwella dla potencjału wektorowego (20.11) i skalarnego (20.12), przy zastosowaniu definicji operatora dalambercjanu (20.13), zapisujemy:

(20.14)
(20.15)

Jak widzimy, że możemy osobno wyznaczyć potencjały skalarne i potencjały wektorowe, a później za pomocą cechowania Lorentza powiązać oba te pola, tzn. potencjał skalarny φ z wektorowym , a następnie na tej podstawie wyznaczyć pola wektorowe, tzn. natężenia pola elektrycznego oraz indukcję pola magnetycznego.