Energy condition

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W relatywistycznych klasycznych teoriach grawitacji, a zwłaszcza ogólnej teorii względności, stan energii jest jednym z różnych alternatywnych warunków, które można zastosować do zawartości materii teorii, gdy nie jest możliwe lub pożądane wyraźne określenie tej treści. Istnieje zatem nadzieja, że każda rozsądna teoria materii spełni ten warunek lub przynajmniej utrzyma warunek, jeśli spełnią go warunki początkowe.

Ogólnie, względność, warunki energetyczne są często używane (i wymagane) w dowodach różnych ważnych twierdzeń o czarnych dziurach, takich jak twierdzenie o braku włosów lub prawa termodynamiki czarnej dziury.


Motywacja [edytuj]

W ogólnej teorii względności i pokrewnych teoriach rozkład masy, pędu i naprężenia spowodowany materią i dowolnymi polami niegrawitacyjnymi jest opisany przez tensor energii-pędu (lub tensora materii)

T a b {displaystyle T ^ {ab}}

. Jednak równanie pola Einsteina nie jest zbyt wybredne, jeśli chodzi o to, jakie rodzaje stanów materii lub pola niegrawitacyjne są dopuszczalne w modelu czasoprzestrzeni. Jest to zarówno siła, jak i dobra ogólna teoria grawitacji powinna być maksymalnie niezależna od wszelkich założeń dotyczących fizyki nie grawitacyjnej i słabości, ponieważ bez pewnego dodatkowego kryterium równanie pola Einsteina dopuszcza domniemane rozwiązania z właściwościami, które większość fizyków uważa za niefizyczne , tj. zbyt dziwne, by przypominać cokolwiek w prawdziwym wszechświecie, nawet w przybliżeniu.

Warunki energetyczne reprezentują takie kryteria. Z grubsza rzecz biorąc, z grubsza opisują właściwości wspólne dla wszystkich (lub prawie wszystkich) stanów materii i wszystkich nie-grawitacyjnych pól, które są dobrze ugruntowane w fizyce, a jednocześnie wystarczająco silne, aby wykluczyć wiele niefizycznych „rozwiązań” równania pola Einsteina.

Matematycznie rzecz biorąc, najbardziej widoczną cechą wyróżniającą warunki energetyczne jest to, że są one zasadniczo ograniczeniami dla wartości własnych i wektorów własnych tensora materii. Bardziej subtelną, ale nie mniej ważną cechą jest to, że są one narzucane w zależności od zdarzenia, na poziomie przestrzeni stycznych. Dlatego nie mają nadziei na wykluczenie niepożądanych cech globalnych, takich jak zamknięte krzywe czasu.


Niektóre obserwowalne ilości [edytuj]

Aby zrozumieć stwierdzenia różnych warunków energetycznych, należy znać fizyczną interpretację niektórych wielkości skalarnych i wektorowych zbudowanych z dowolnych wektorów czasowych lub zerowych i tensora materii.

Po pierwsze, pole wektora jednostki czasu

X → {displaystyle {vec {X}}}

można zinterpretować jako definiujące linie świata jakiejś rodziny (być może nieincjalnych) idealnych obserwatorów. Następnie pole skalarne

ρ = T a b X a X b {displaystyle rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b}}

można interpretować jako całkowitą gęstość energii masowej (materia plus energia pola dowolnych pól nie grawitacyjnych) mierzoną przez obserwatora z naszej rodziny (przy każdym zdarzeniu na jego linii świata). Podobnie pole wektorowe ze składnikami

- T a b X b {displaystyle - {T ^ {a}} _ {b} X ^ {b}}

reprezentuje (po projekcji) pęd mierzony przez naszych obserwatorów.

Po drugie, biorąc pod uwagę dowolne pole zerowe

k →, {displaystyle {vec {k}},}

pole skalarne

ν = T a b k k b {displaystyle Nu = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b}}

można uznać za rodzaj ograniczającego przypadku gęstości energii masowej.

Po trzecie, w przypadku ogólnej teorii względności, biorąc pod uwagę dowolne, wektorowe pole czasowe

X → {displaystyle {vec {X}}}

, ponownie zinterpretowany jako opis ruchu rodziny idealnych obserwatorów, skalar Raychaudhuri jest polem skalarnym uzyskanym przez pobranie śladu tensora pływowego odpowiadającego tym obserwatorom podczas każdego zdarzenia:

E [X →] mm = R ab X a X b {displaystyle {E [{vec {X}}] ^ {m}} _ {m} = R_ {ab} X ^ {a} X ^ {b }}

Ta ilość odgrywa kluczową rolę w równaniu Raychaudhuri. Następnie z równania pola Einsteina natychmiast otrzymujemy

1 8 π E [X →] mm = 1 8 π R ab X a X b = (T ab - 1 2 T gab) X a X b, {displaystyle {frac {1} {8 pi}} { E [{vec {X}}] {{}} _ {m} = {frac {1} {8 p}} R_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} = w lewo ( T_ {ab} - {frac {1} {2}} Tg_ {ab} z prawej) X ^ {a} X ^ {b},}

gdzie

T = T m m {displaystyle T = {T ^ {m}} _ {m}}

jest śladem tensora materii.


Oświadczenie matematyczne [edytuj]

W powszechnym użyciu jest kilka alternatywnych warunków energetycznych:

Null energy condition [edytuj]

Stan energii zerowej określa, że ​​dla każdego przyszłego pola zerowego wektora wskazującego

k → {displaystyle {vec {k}}}

,

ρ = T a b k a k b ≥ 0. {displaystyle rho = T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} qq}

Każda z nich ma uśrednioną wersję, w której wyżej wymienione właściwości mają utrzymywać się średnio tylko wzdłuż linii właściwych pól wektorowych. W przeciwnym razie efekt Casimira prowadzi do wyjątków. Na przykład uśredniony stan energii zerowej określa, że ​​dla każdej linii przepływu (krzywa całkowa)

C {displaystyle C}

pola zerowego wektora

k →, {displaystyle {vec {k}},}

musimy mieć

T C T a b k k b d λ ≥ 0. {displaystyle int _ {C} T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} d lambda równ.

Słaby stan energetyczny [edytuj]

Słaby stan energetyczny oznacza, że ​​dla każdego podobnego do wektora pola

X →, {displaystyle {vec {X}},}

gęstość materii obserwowana przez odpowiednich obserwatorów jest zawsze nieujemna:

ρ = T a b X a X b ≥ 0. {displaystyle rho = T_ {ab} X ^ {a} X ^ {b} qq}

Dominujący stan energetyczny [edytuj]

Dominujący stan energetyczny stanowi, że oprócz stanu słabej energii trzymającego prawdę, dla każdego przyszłego pola przyczynowego wskazującego na przyszłość (albo czasowego, albo zerowego)

Y →, {displaystyle {vec {Y}},}

pole wektorowe

- T a b Y b {wyślij - {T ^ {a}} _ {b} Y ^ {b}}

musi być przyszłym wektorem przyczynowym. Oznacza to, że nigdy nie można zaobserwować, że energia masowa płynie szybciej niż światło.

Silny stan energetyczny [edytuj]

Silny stan energetyczny wymaga tego dla każdego podobnego do wektora pola

X → {displaystyle {vec {X}}}

, ślad tensora pływów mierzony przez odpowiednich obserwatorów jest zawsze nieujemny:

(T ab - 1 2 T gab) X a X b ≥ 0 {displaystyle po lewej (T_ {ab} - {frac {1} {2}} Tg_ {ab} po prawej) X ^ {a} X ^ {b} qq 0}

Istnieje wiele klasycznych konfiguracji materii, które naruszają stan silnej energii, przynajmniej z perspektywy matematycznej. Na przykład pole skalarne o potencjale dodatnim może naruszać ten warunek. Co więcej, obserwacje ciemnej energii / stałej kosmologicznej pokazują, że silny stan energetyczny zawodzi (choć tylko nieznacznie) dla naszego wszechświata, nawet gdy jest uśredniony w skali kosmologicznej. Ponadto jest silnie naruszane w każdym kosmologicznym procesie inflacyjnym (nawet takim, który nie jest napędzany przez pole skalarne). [1]


Doskonałe płyny [edytuj]

Implikacje dla niektórych warunków energetycznych, w przypadku doskonałego płynu.

Doskonałe płyny posiadają tensor materii formy

T a b = ρ u a u b + p h a b, {displaystyle T ^ {ab} = rho u ^ {a} u ^ {b} + ph ^ {ab},}

gdzie

u → {displaystyle {vec {u}}}

jest czterobiegową cząstką materii i gdzie

h a b ≡ g a b + u a u b {displaystyle h ^ {ab} equiv g ^ {ab} + u ^ {a} u ^ {b}}

jest tensorem rzutowania na elementy przestrzennej hiperpłaszczyzny prostopadłej do czterobiegowej w każdym zdarzeniu. (Zauważ, że te elementy hiperpłaszczyzny nie utworzą przestrzennej hiperslice, chyba że prędkość jest wolna od wirów, to znaczy, jest irrotacyjna). W odniesieniu do ramki wyrównanej z ruchem cząstek materii, składniki tensora materii przyjmują postać ukośną

T a ^ b ^ = [ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p]. {displaystyle T ^ {{hat {a}} {hat {b}}} = {rozpocznij {bmatrix} rz & 0 & 0 & 0 0 & p & 0 & 0 0 & 0 & p & 0 0 & 0 & 0 & p zakończ Szablon:Bmatrix.}

Tutaj,

ρ {displaystyle

jest gęstością energii i

p {displaystyle p}

to ciśnienie.

Warunki energetyczne można następnie przeformułować w kategoriach tych wartości własnych:

Stan energii zerowej tego wymaga

ρ + p ≥ 0. {displaystyle rho + p q 0.}

Słabe warunki energetyczne tego wymagają

ρ ≥ 0, ρ + p ≥ 0. {displaystyle rhoq 0,; rho + p q 0.}

Dominuje ten stan energii

ρ ≥ | p | . {displaystyle rhoq | p |.}

Silny stan energii tego wymaga

ρ + p ≥ 0, ρ + 3 p ≥ 0. {displaystyle rho + pq 0, Rho + 3p q 0.}

Implikacje tych warunków są pokazane na rysunku po prawej stronie. Należy pamiętać, że niektóre z tych warunków umożliwiają podciśnienie. Należy również zauważyć, że pomimo nazw silny stan energetyczny nie implikuje stanu słabej energii nawet w kontekście płynów doskonałych.

Próby fałszowania warunków energetycznych [edytuj]

Podczas gdy celem warunków energetycznych jest dostarczenie prostych kryteriów, które wykluczają wiele niefizycznych sytuacji przy jednoczesnym uznaniu jakiejkolwiek fizycznej rozsądnej sytuacji, w rzeczywistości, przynajmniej jeśli wprowadzimy skuteczne modelowanie pola pewnych efektów mechaniki kwantowej, niektóre możliwe tensory materii, które są znane być fizycznie uzasadnione, a nawet realistyczne, ponieważ zostały zweryfikowane doświadczalnie, aby faktycznie zawodzić różne warunki energetyczne. W szczególności, w efekcie Casimira, w obszarze pomiędzy dwiema płytkami przewodzącymi utrzymywanymi równolegle w bardzo małym odstępie d, występuje ujemna gęstość energii

ε = - π 2 720 ℏ d 4 {displaystyle varepsilon = {frac {- p ^ {2}} {720}} {frac {hbar} {d ^ {4}}}}

między płytami. (Należy jednak pamiętać, że efekt Casimira jest topologiczny, ponieważ znak energii próżni zależy zarówno od geometrii, jak i topologii konfiguracji. Będąc negatywnym dla równoległych płyt, energia próżni jest dodatnia dla sfery przewodzącej). , różne nierówności kwantowe sugerują, że w takich przypadkach może być spełniony odpowiedni uśredniony stan energii. W szczególności uśredniony stan energii zerowej jest spełniony w efekcie Casimira. Rzeczywiście, dla tensorów energii i pędu wynikających ze skutecznych teorii pola w czasoprzestrzeni Minkowskiego, uśredniony stan energii zerowej dotyczy codziennych pól kwantowych. Rozszerzenie tych wyników jest problemem otwartym.

Silny stan energii jest przestrzegany przez całą normalną / newtonowską materię, ale fałszywa próżnia może go naruszać. Rozważmy liniowy stan równania barotropowego

p = w ρ, {displaystyle p = w rho,}

gdzie

ρ {displaystyle

jest gęstość energii materii,

p {displaystyle p}

jest ciśnienie materii i

w {

jest stała. Wtedy wymaga tego silny stan energii

w ≥ - 1/3 {

ale dla stanu znanego jako fałszywa próżnia, mamy

w = - 1 {displaystyle w = -1}

. [2]


Notatki [edytuj]

^ Warunki energetyczne i ich implikacje kosmologiczne, Matt Visser, Carlos Barceló, arXiv: gr-qc / 0001099v1

^ Kosmologia relatywistyczna, G.F.R Ellis, R. Maartens, M.A.H. MacCallum, sekcja 6.1, Cambridge University Press, 2012

^ Przetłumacz na język polski Dominik Narkiewicz