Fale/Układy fizyczne, a jego drgania o wielu stopniach swobody

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Fale
Fale
Autor: Mirosław Makowiecki
Email: miroslaw.makowiecki@gmail.com

Rozważmy układ o N stopniach swobody, której N może być nieskończone. Przy N skończonym układ ma n częstotliwości drgań normalnych, dla całego układu istnieje jednakowe przesunięcie kątowe. Dla przykładu weźmy stosunek amplitud o następujących stosunkach:

To stosunek przesunięć drgań od położenia równowagi względem drgań podstawowych piszemy:

Jeśli układ fizyczny ma dużo elementów, to odległość pomiędzy nimi powinna być bardzo mała, praktycznie można powiedzieć, że ich odległość dąży do zera przy liczbie elementów dążących do nieskończoności, wtedy układ zachowuje się jak układ ciągły. Przesunięcia od położenia równowagi zapisujemy jako funkcja położenia (x,y,z) i czasu "t", którego zapis matematyczny jest ψ(x,y,z,t), która zastępuje przemieszczenia ψa(t), ψb(t), ψc(t),,.., itd. dla osobnych elementów układu. Takie zachowanie się funkcji ψ nazywamy falami.

Drgania poprzeczne struny dyskretnej[edytuj]

Weźmy sobie ciała od 1 do N połączonych sprężynkami o znikomych masach, które spełniają prawo Hooka.

Postać drgań poprzecznych o dyskretnym rozkładzie masy

Wraz rosnącymi numerami drgań postaci drgań swobodnych rośnie częstość kołowa drgań, a także rośnie siła kierująca powodująca te drgania. Dla postaci N=2 drgań swobodnych ma jeden węzeł. Na rysunku powyżej zaznaczono układy od jednego stopnia swobody do N-tego stopnia swobody. Dla N stopni swobody mamy N-1 węzłów. Kształt sprężymy ma charakter zygzakowaty dla największej postaci drgań, dla której każdy odcinek łączący masy przecina oś równowagi.

Drgania poprzeczne struny ciągłej[edytuj]

Załóżmy, że mamy N ciężarków połączonych ze sobą sprężynkami, których liczba N jest bardzo duża, powiedźmy, że wynosi N=1000000, których każdy z ciężarków wykonują drgania ψa, ψb, ψc, itd.. , wtedy układ zachowuje się prawie jak ciągły. Zatem całkowite wychylenie od stanu równowagi w zależności od położenia ciężarków, a także od czasu, jest wyrażone:

(2.1)

Drgania podłużne i poprzeczne dla płaszczyźnie[edytuj]

Wybierzmy sobie drgania jednomiarowej struny dla drgań poprzecznych, której przemieszczenie dla naszego przypadku określamy:

(2.2)

Drgania podłużne są wykonywane wzdłuż osi zetowej, a nas interesują drgania poprzeczne, co na podstawie wzoru (2.2) możemy przepisać wzór na postać tychże drgań:

(2.3)

Polaryzacja struny ciągłej[edytuj]

Dokonajmy dalszych uproszczeń, i powiedźmy, że drania są wykonywane wzdłuż osi iksowej. Gęstość takiej struny jest równa ρ. A masa na odcinku Δx wyrażamy poprzez wzór:

(2.4)
Poprzeczne drgania struny ciągłej

Całkowita siła działająca na wycinek struny przy pomocy siły kierującej T wyrażamy przez:

(2.5)

Chcemy wyrazić siłę Fx poprzez pochodne cząstkową wychylenia od stanu równowagi względem położenia zetowego małego odcinka struny przy działających siłach na jej prawy i lewy koniec argumenty, który zapis nachylenia w tymże punkcie jest:

  • , który jest równy tangensowi nachylenia struny względem osi z dla chwili t dla wycinka struny o położeniu z. Siłę (2.5) możemy przestawić przy pomocy wzoru:

(2.6)

Zdefiniujmy funkcję f(z) zależną od z jako pochodną cząstkową wielkości ψ(z,t) względem położenia z, którego definicja:

(2.7)

Rozłóżmy funkcję (2.7) względem położenia wokół punktu z1, wykorzystując szereg Taylora, by potem wyciąć z niego wyrazy więcej niż liniowe:

(2.8)

Biorąc Δz=z2-z1, możemy napisać różnice funkcji f(z) w puntach z2 i z1, którego różnica jest wprost proporcjonalna do drugiej pochodnej funkcji ψ względem położenia przy stałej proporcjonalności równej Δz:

(2.9)

Wniosek wypływający z tożsamości (2.9) i wzoru (2.6) na definicję siły Fx jest taki:

(2.10)

Zastosujmy teraz drugie prawo Newtona dla wycinka drgającej struny przy definicji siły Fx (2.10), który po skróceniu przez Δz otrzymujemy tożsamość robiąc te czynności po kolei:

(2.11)

Fale stojące drgającej struny[edytuj]

Załóżmy, że struna drga z jedną częstością kołową, wtedy mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi normalnymi. Równanie wychylenia struny od położenia równowagi określamy przez:

(2.12)

Druga pochodna cząstkowa wyrażenia (2.12) względem czasu określamy jako wielkość wprost proporcjonalną do kwadratu częstotliwości kołowej drgań i do funkcji A(z):

(2.13)

A druga pochodna funkcji Ψ(z,t) (2.12) względem położenia z wycinka struny ciągłej piszemy przez wzór poniżej, która jest zależna od drugiej pochodnej zupełnej wielkości A(z) względem czasu:

(2.14)

Biorąc równanie różniczkowe falowe (2.11) i po podstawieniu do niego wzoru (2.13) i (2.14) i skróceniu przez kosinus, którego argumentami są te same określone wyrażenia, co uzasadnia takie działanie:

(2.15)

Rozwiązując równanie (2.15) dla oscylatora harmonicznego, których ogólna postać tych oscylacji jest kombinacją funkcji sinus i cosinus względem wyrażenia 2πz/λ, wtedy:

(2.16)

A także możemy napisać wniosek wynikający z (2.16), którą to możemy napisać jako druga pochodna zupełna względem położenia "z", która jest wprost proporcjonalna do funkcji A(z) i do odwrotności kwadratu długości fali kreślonej i to wszystko wziętej razem z minusem:

(2.17)

Możemy porównać obie strony wzorów (2.15) z (2.17), a właściwie jej prawe strony, a lewe strony są takie same, do siebie, w ten sposób mamy tożsamość na prędkość fali, który jest pierwiastkiem z ilorazu siły kierującej T0 i gęstości liniowej masy dla tej opisywanej tutaj struny:

(2.18)

Fale stojące[edytuj]

Całkowita funkcja falowa opisujące fale jest funkcją przedstawiona na podstawie wzorów (2.12) i (2.16), jest tutaj przedstawiona w jego pełnej postaci dla fali stojącej:

(2.19)

Warunki brzegowe[edytuj]

Rozwiązanie na funkcje stojące (2.19) nie zawiera w sobie warunków brzegowych, bo ono jest ogólnym rozwiązaniem, w taki sposób, by dla z=0 był jeden koniec strony a drugi koniec znajduje się dla z=L, wtedy drugi współczynnik zetowy stojący w nawiasie (2.19) jest równy zero dla zerowego wychylenia lewego końca, bo ten koniec jest zaczepiony, wtedy:

(2.20)

Patrząc na tożsamość (2.20) dowiadujemy się, że stała B jest zawsze równa zero, co było udowodnienia. Równanie fali stojącej (2.19) możemy zapisać, na podstawie dowodu (2.20), że stała B=0, jako:

(2.21)

Aby dla prawego końca struny wychylenie dla fali stojącej (2.20) jest równe zero, czyli dla z=L, wtedy funkcja sinus powinna być równa zero, co matematycznie:

(2.22)

Wykorzystując z własności funkcji sinus we równaniu (2.22), w ten sposób otrzymujemy, że L powinno być całkowitą wielokrotnością z liczby λ/2, co można udowodnić przeprowadzając odpowiednie obliczenia:

(2.23)

W obliczeniach (2.23) pominęliśmy przypadek k=0, ponieważ wymagało to by zerową długość struny, lub gdy długość fali drgań była nieskończona. Dla k=1 warunek brzegowy wygląda , a z warunku (2.23) i z definicji na stałą λ1 dalsze wzory na długość fali λk w zależności od k>1 zapisujemy:

(2.24)

Stosunki częstotliwości kołowych w drganiach harmonicznych[edytuj]

Drgania struny o jej nieruchomych końcach

Częstotliwości ν poszczególnych drgań możemy napisać w zależności częstotliwości podstawowej ν1 względem (2.24) w postaci wzorów:

(2.25)

Kątowa liczba falowa[edytuj]

Liczbę falowa nazywamy liczbę falową σ, która jest odwrotnością długości fali, a kątową liczbę falową nazywamy obiekt, która powstaje po pomnożeniu jego przez liczbę 2π, wtedy;

(2.26)
(2.27)

Równanie fali (2.20) możemy przestawić przy pomocy (2.26) lub (2.27) na kilka równoważnych sposobów:



(2.28)

Patrząc na wzór (2.28), który przestawia drgania struny z obiema końcami nieruchomymi, tzn. dla z=0 dla naszej funkcji warunek nieruchomego lewego końca jest automatycznie spełnione, a także dla z=L warunek prawego nieruchomego końca jest spełnione, gdy kątowa liczba falowa drgań spełnia warunki:

(2.29)

lub w przestawieniu liczby falowej σ:

(2.30)

Związek pomiędzy długością fali a jej częstotliwością[edytuj]

Patrząc na wzór (2.17) otrzymujemy wzór na związek dyspersyjny liczby falowej i częstotliwości ν:

(2.31)

Równość (2.31) mnożymy obustronnie przez liczbę 2π i po wykorzystaniu definicji częstotliwości kołowej i kątowej liczby falowej:

(2.32)

Struny fortepianowe i jego związek dyspersyjny[edytuj]

Związek dyspersyjny dla struny fortepianowej, czyli związku w zależności od liczby kątowej przestawiamy:

(2.33)

Związek (2.33) jest bardzo podobny do związku (2.32), tylko jest ta różnica, że jeśli struna jest idealnie giętka, to wtedy stała α jest w rzeczywistości jest równa zero, ale struna nie jest taka tak naprawdę, tzn. dla której w ogólności dla struny nie idealnie giętkiej nie zachodzą już zależności λ1=2L, λ2=1/2λ1, λ3=1/3λ1, itd. Częstości dla naszej struny nie tworzą tutaj ciągu harmonicznego ν2=2ν1, ν3=3ν1, itd., ponieważ powyższy związek dyspersyjny nie daje takiej zależności, ten ciąg otrzymujemy w granicy α dążącego do zera, tzn., wtedy gdy zachodzi związek λν=const.

Analiza Fouriera ogólnych drgań struny ciągłej[edytuj]

Ogólne wychylenie wycinka ciągłej struny przestawiamy jako sumę drgań prostych harmonicznych:

(2.34)

Analiza Fouriera struny drgań jako złożenie drgań harmonicznych[edytuj]

Każdą funkcję F(z) możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem zmiennej znając współczynniki An i Bn naszego szeregu dla naszej funkcji, której postać tego szeregu jest:


(2.35)

Następnym krokiem jest wyznaczenie współczynników Fouriera B0 i Bn, a także An, które wyznaczymy pamiętając przy tym, że zachodzi z2=z1+λ:

(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)

Funkcję F(z) możemy obustronnie przecałkować względem zmiennej w przedziale (z1,z2), wykorzystując przy tym związek (2.36) oraz (2.37), w ten sposób otrzymać związek zawierający w sobie stałą B0:

(2.40)

Wykorzystując fakty (2.38) i (2.39), a także fakty w postaci całek (2.36) i (2.37), wtedy możemy napisać całki, napisane w przedziale (z1,z2), w których funkcją podcałkową jest iloczyn funkcji F(z) i funkcji sinus lub kosinus z argumentu mk1z, całkowalną względem zmiennej "z", którego to przepisy w postaci już policzonych całek zapisujemy jako:

(2.41)
(2.42)

Współczynniki Fouriera[edytuj]

Patrząc na wzory (2.40) i (2.41) oraz (2.42), wtedy możemy napisać wzory na współczynniki szeregu Fouriera (2.35) dla funkcji F(z), tzn. wzory na współczynniki Am, Bn:

(2.43)
(2.44)
(2.45)

Fala prostokątna i jego analiza Fouriera[edytuj]

Rysunek przestawia impuls periodycznej fali prostokątny

Rozpatrzmy teraz falę prostokątną, która jest falą periodyczną i patrząc na rysunek obok dowiadujemy się, że ona jest nieciągła dla z=0 i z=L. Wiec nie należy oczekiwać, że szereg Fouriera w pewnym przybliżeniu przestawi w miarę dokładnie falę prostokątna. Korzystając z (2.41) dowiadujemy się, że współczynniki Bm są równe zero, a współczynniki Am istnieją tylko dla nieparzystych m. Aby to wykazać policzymy kolejno współczynniki na nasze współczynniki szeregu Fouriera, zatem wyznaczmy czemu jest równy na współczynnik B0, którego definicja jest w punkcie (2.41):

(2.46)

i dalej policzymy współczynniki Bm, którego definicja jest w punkcie (2.43):






(2.47)

i dalej policzymy współczynniki Am, którego definicja jest w punkcie (2.44):





(2.48)

Jak widzimy, że współczynniki Am (2.48), B0 (2.46), Bm (2.47) są takie jak przypuszczaliśmy. Analiza Fouriera pokazuje, że impuls prostokątny możemy rozłożyć na fale harmoniczne, wykorzystując przy tym wzór na współczynnik B0 (2.46), na współczynnik Bm (2.47) i na samym końcu na współczynnik Am (2.48), wtedy zapisujemy nasz impuls w postaci szeregu Fouriera:



(2.49)
Analiza fourierowska impulsu prostokątnego

Fourierowska analiza okresowej funkcji zależnej od czasu[edytuj]

Funkcje okresowa zależna od czasu spełnia taki warunek, że dodanie do funkcji dla argumentu t1 okresu T1, otrzymujemy tą samą funkcję bez tej dokonanej operacji, co matematycznie zapisujemy:

(2.50)

Funkcję zależną od czasu możemy rozłożyć w szereg Fouriera względem czasu "t" do postaci:

(2.51)

Mając funkcję okresową F(t) możemy rozłożyć tą funkcję w szereg Fouriera mając definicję współczynników Fouriera o postaciach:

(2.52)
(2.53)
(2.54)

Drgania struny niejednorodnej[edytuj]

Zakładamy, że siła T0 działa w stanie równowagi, która jest zależna od zmiennej zetowej, którą piszemy wzorem (2.6). Obierzmy sobie funkcję f(z), którego postać jest w zależności od tej siły i pierwszej pochodnej wychylenia od stanu równowagi dla drgań poprzecznych:

(2.55)

Funkcję możemy rozłożyć w szereg Taylora (2.8) funkcję f(z) (2.55), w ten sposób otrzymujemy, że siła Fx działająca na na bardzo mały wycinek struny niejednorodnej jest:

(2.56)

Drugie prawo dynamiki Newtona dla naszego przypadku niejednorodnej struny, który piszemy wzorem poniżej, którą dzielimy przez długość małego wycinka struny Δz i przez gęstość tegoż wycinka ρ(z), wtedy:

(2.57)

Niech fala będzie opisywana wzorem zależnym od amplitudy A(z) i części periodycznej cos(ωt+φ), piszemy:

(2.58)

Dla drgań normalnych struny możemy napisać zależności jako drugą pochodną przemieszczenie względem czasu i pierwszą pochodną tego samego przemieszczenia względem położenia "z", która jak się okazuje jest wprost proporcjonalna do pierwszej pochodnej zupełnej funkcji A(z) względem położenia małego wycinka struny względem położenia, zatem te wielkości:

(2.59)
(2.60)

Mając fakty (2.59) i (2.60), co one możemy podstawić do wzoru (2.57), w ten sposób otrzymać równość różniczkową z pochodnymi zupełnymi zależnych od współrzędnej zetowej:

(2.61)

Drgania układu dyskretnego o N stopniach swobody[edytuj]

Struna o dyskretnym rozkładzie masy w położeniu równowagi

Rozpatrzmy układ w stanie równowagi składający się z N kulek o masach M połączonych sprężynkami napiętej w taki sposób, w których każda taka sprężynka działa na każdą kulkę z osobną z siłą T0, układ składający się z sprężynek o pewnej stałej sprężystości i kulek o masach M ma długość L=(N+1)a.

Równanie ruchu struny dyskretnej[edytuj]

Konfiguracja ogólna układu dyskretnego dla przypadku drgań poprzecznych

Wzór na siłę działająca na układ dyskretnym piszemy podobnie jak według wzoru (2.6), tylko tam zamiast pochodnej występują różnice, zatem równanie ruchu w naszym przypadku piszemy:

(2.62)

Obierzmy sobie ogólną postać wychylenia n-tej cząstki od położenia równowagi w postaci:

(2.63)

Druga pochodna zupełna wyrażenia (2.63) względem czasu, która jest wprost proporcjonalna do amplitudy An i do kwadratu częstotliwości kołowej, i dalej mówiąc od funkcji kosinus, to wszystko wziętej z minusem, piszemy w postaci:

(2.64)

Równanie (2.62) możemy w taki sposób napisać po wykorzystaniu (2.63) i (2.64), które to piszemy w zależności częstotliwości kołowej drgań, a także od amplitud zależnych od n, n+1 i n-1, który to końcowy rozważany wzór piszemy w postaci:

(2.65)

Rozpatrzmy tak jak w przypadku struny ciągłej, którego to dla struny na obu jego końcach naszej struny nie ma wychylenia od stanu równowagi, zatem amplitudę An możemy napisać w postaci:

(2.66)

Zatem dzięki definicji amplitudy An według (2.66) wówczas możemy napisać następujące wzory na amplitudy An+1 i An-1, co na samym końcu możemy policzyć różnicę amplitud dla n+1 i n-1, wtedy według wspomnianego wzoru możemy napisać trzy dalsze wzory:

(2.67)
(2.68)
(2.69)

Możemy wykorzystać końcowy związek (2.69) do (2.65), w ten sposób otrzymać wzór w ogólności dla niezerowego w An, który jest zależny od częstotliwości kołowej drgań i innych parametrów:

(2.70)

We związku (2.70) możemy wyznaczyć kwadrat częstotliwości kołowej i w ten sposób otrzymać zależność od kątowej liczby falowej "k" lub też w zależności do liczby falowej λ:

(2.71)

Ogólna postać drgań i warunki brzegowe[edytuj]

Postać drgań harmonicznych o pięciu ciężarkach
Związek dyspersyjny dla struny o dyskretnym rozkładzie masy. Pięć zaznaczonych punktów na wykresie odpowiada pięciu częstotliwościom struny z pięcioma z ciężarkami.

Ogólną postać drgań An możemy przestawić jako kombinację funkcji sinus i kosinus z argumentu kna:

(2.72)

Na lewym końcu wychylenie z położenia równowagi jest zerowe i wykorzystując fakt (2.72) dowiadujemy się, że B=0, w ten sposób otrzymujemy równość:

(2.73)

Aby prawy koniec struny dyskretnej miał wychylenie dyskretne zerowe, to powinien zachodzić związek:

(2.74)

Na rysunku obok zaznaczono zależność częstotliwości ω(k) od kątowej liczby falowej, którą tą zależność piszemy na podstawie (2.71) w postaci:

(2.75)

Przejścia układu dyskretnego do granicy fal długich[edytuj]

Weźmy sobie fale o długości fali o wiele mniejszych niż zetowa odległość pomiędzy ciężarkami, tzn. a<<λ, co jest równoważne 2πa/λ<<1, wtedy możemy rozłożyć funkcję sinus w szereg Taylora w postaci:

(2.76)

Do wzoru (2.75) możemy wykorzystać rozwinięcie funkcji sin (2.76), by w ten sposób napisać:

(2.77)

Drgania podłużne układu mas połączonych ze sobą sprężynkami[edytuj]

Drgania podłużne N ciężarków połączonych N+1 sprężynkami

Równanie ruchu dla masy ściśle określonej zapisujemy względem wychylenia od stanu równowagi poszczególnych sprężynek ψn, którego to przepis:

(2.78)

równanie tego typu (2.78) było już rozwiązywane, zatem podajmy związek dyspersyjny łączący częstotliwość kołową z kątową liczbą falową, którego postać:

(2.79)

Wychylenia poszczególnych mas dla drgań podłużnych możemy zapisać pod postacią funkcji:

(2.80)

Układ LC wzajemnie sprzężonych ze sobą cewek i kondensatorów[edytuj]

Układ wzajemnie sprzężonych cewek i kondensatorów

Patrząc na rysunek b) obok możemy napisać drugie prawo Kirchhoffa w postaci:

(2.81)

Równanie (2.81) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i wykorzystywać będziemy pierwsze prawo Kirchhoffa:

(2.82)

Co (2.82) możemy zapisać równoważnie w postaci:

(2.83)

Równanie (2.83) jest równaniem, którego typ poznaliśmy wcześniej, którego związek dyspersyjny częstotliwości kołowej względem kątowej liczby falowej określamy:

(2.84)

Równanie na natężenie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie LC w poszczególnym oczku w cewce określamy przez:

(2.85)

Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek[edytuj]

Równanie ruchu n-tej masy dla układu sprzężonych ze sobą wahadeł matematycznych za pomocą sprężynek opisujemy:

(2.86)
Wahadła matematyczne sprzężone ze sobą za pomocą sprężynek

Równanie (2.86) jest równaniem, którego typ jest już znany, czyli stąd możemy wyliczyć częstotliwość kołową drgań w zależności od liczby falowej:

(2.87)

Jeśli w prowadzimy częstotliwość drgań wahadła matematycznego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (1.6), i je oznaczymy przez , wtedy nasz związek dyspersyjny (2.87) piszemy w postaci:

(2.88)

Widzimy, że związek (2.88) zależy od częstotliwości kołowej drgań podstawowych wahadła matematycznego ω0, a także zależy od stałej sprężystości, masy kulek, a także od kątowej liczby falowej "k". Jeśli przyjmować będziemy , wtedy związek dyspersyjny (2.88), przy założeniu ka<<1, zapisujemy w postaci przybliżonej:

(2.89)

Związek dyspersyjny dla plazmy[edytuj]

Wyprowadzimy tutaj związek dyspersyjny dotyczącej plazmy, który możemy przestawić jak się przekonamy od częstotliwości podstawowej ωp, a także od długości światła. Wiemy, że kwadrat częstotliwości kołowej przestawiamy w postaci wzoru:

(2.90)

Widzimy, że pozostało na wyliczyć kwadrat częstotliwości podstawowej, tj. , który wyprowadzimy w dalszych rozważaniach. Elektryczna obojętna plazma składa się z większości cząsteczek obojętnych i pewnej liczby cząsteczek zjonizowanych. Jonosfera ziemi składa się się z dużej ilości cząsteczek obojętnych N2 i O2. Proces jonizacji tego gazu powodowany jest poprzez pochłoniecie promieniowania pochodzącego od słońca. Największą gęstość jonów zjonizowanych występuje przy odległości 200km do 400km nad powierzchnią ziemi. Przy niższych wysokościach proces jonizacji nie zachodzi ze względu na pochłonięcie promieniowania przez wyższe warstwy atmosfery, i dlatego na tej wysokości gęstość jonów i elektronów maleje do zera. Plazma jest elektrycznie obojętna i nie stanowi źródła pola elektrycznego, ale istnieją w niej warstwy zjonizowane na wskutek działania pola elektrycznego zewnętrznego, że dodatnie jony są przyspieszane w jedną stronę, a elektrony w drugą stronę. W skutek nadmiaru ładunku zostaje zlikwidowane do zera ładunek w wyniku ich przyciągania do siebie, czyli jony i elektrony. A bezwładność odciąga je od stanu równowagi powodując nowy nadmiar ładunku, a także niedobór ładunków. Całkowite natężenie pola elektrycznego wyznaczamy z prawa Gausa, pamiętając przy okazji ze pole na zewnątrz takiego układu jest równe zero, przestawiamy je w zależności od powierzchni rozważanych okładek A:

Oscylacje plazmy pomiędzy okładkami
(2.91)

Całkowity ładunek znajdujących się w grubości x plazmy przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i grubości warstwy przy pomocy wzoru:

(2.92)

Równanie ruchu plazmy możemy przestawić w zależności od pola działającego ze strony pola w wewnątrz tej plazmy według mechaniki klasycznej:

(2.93)

Wzór na natężenie pola iksowego elektrycznego Ex (2.91) i wzór na łądunek znajdujących się w plazmie (2.92) podstawiamy do wzoru (2.93) opisującą drugą zasadę dynamiki Newtona:

(2.94)

Końcowe równanie (2.93) jest równaniem oscylatora harmonicznego, w której kwadrat częstotliwości kołowej drgań, która jest jednocześnie kwadratem częstotliwości podstawowej ωp, który to przestawiamy w zależności od koncentracji jonów i ich masy, jest:

(2.95)

Następny rozdział: Drgania wymuszone układów harmonicznych Poprzedni rozdział: Układy fizyczne, a jego drgania swobodne

Podręcznik: Fale