Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Działania na pierwiastkach

Teoria

Iloczyn i iloraz pierwiastków

Aby pomnożyć lub podzielić pierwiastki tego samego stopnia, możemy skorzystać z podstawowych wzorów.

TWIERDZENIE

Dla nieujemnych liczb $a$ i $b$ (oraz $b\neq 0$ w przypadku dzielenia) zachodzą równości:

${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$

${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}$

PRZYKŁAD

Oblicz ${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {8}}$ .

${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {8}}={\sqrt {2\cdot 8}}={\sqrt {16}}=4$

PRZYKŁAD

Oblicz ${\frac {\sqrt[{3}]{81}}{\sqrt[{3}]{3}}}$ .

${\frac {\sqrt[{3}]{81}}{\sqrt[{3}]{3}}}={\sqrt[{3}]{\frac {81}{3}}}={\sqrt[{3}]{27}}=3$

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Często spotykamy się z liczbami pod pierwiastkiem, z których nie da się obliczyć dokładnego wyniku. Możemy jednak uprościć taki zapis, wyłączając część liczby przed pierwiastek.

Aby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, liczbę podpierwiastkową przedstawiamy jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden jest kwadratem (dla pierwiastków 2. stopnia) lub sześcianem (dla pierwiastków 3. stopnia) liczby całkowitej.

PRZYKŁAD

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka dla ${\sqrt {50}}$ .

Szukamy największego kwadratu, który dzieli 50. Jest to 25.

${\sqrt {50}}={\sqrt {25\cdot 2}}={\sqrt {25}}\cdot {\sqrt {2}}=5{\sqrt {2}}$

PRZYKŁAD

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka dla ${\sqrt[{3}]{16}}$ .

Szukamy największego sześcianu, który dzieli 16. Jest to 8.

${\sqrt[{3}]{16}}={\sqrt[{3}]{8\cdot 2}}={\sqrt[{3}]{8}}\cdot {\sqrt[{3}]{2}}=2{\sqrt[{3}]{2}}$

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Jest to operacja odwrotna do wyłączania czynnika. Aby włączyć liczbę pod pierwiastek, musimy ją podnieść do potęgi odpowiadającej stopniowi pierwiastka.

UWAGA

Wzór na włączanie czynnika pod znak pierwiastka to:

$a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt {a^{n}\cdot b}}$

dla $a\geqslant 0$ .

PRZYKŁAD

Włącz czynnik pod znak pierwiastka dla $3{\sqrt {2}}$ .

$3{\sqrt {2}}={\sqrt {3^{2}\cdot 2}}={\sqrt {9\cdot 2}}={\sqrt {18}}$

PRZYKŁAD

Włącz czynnik pod znak pierwiastka dla $2{\sqrt[{3}]{5}}$ .

$2{\sqrt[{3}]{5}}={\sqrt[{3}]{2^{3}\cdot 5}}={\sqrt[{3}]{8\cdot 5}}={\sqrt[{3}]{40}}$

Działania na liczbach niewymiernych i upraszczanie wyrażeń

Liczby niewymierne typu $2{\sqrt {3}}$ czy $5{\sqrt {2}}$ traktujemy podobnie jak niewiadome. Możemy dodawać i odejmować tylko pierwiastki z tą samą liczbą podpierwiastkową (wyrazy podobne), oraz możemy stosować prawa działań (np. rozdzielność mnożenia względem dodawania).