Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Teoria

TWIERDZENIE $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ $a^m:a^n=a^{m-n}$

Skąd się wzięły te wzory? Przyjrzyjmy się wzorowi na mnożenie potęg.

Z poprzedniej lekcji wiesz, że potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie:

$a^m=\underset{m\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}},a^n=\underset{n\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}.$

Mnożąc te dwie potęgi o tej samej podstawie, możemy po prostu połączyć wszystkie czynniki:

$a^m\cdot a^n=(\underset{m\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot \dots \cdot a}})\cdot (\underset{n\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot \dots \cdot a}})=\underset{m+n\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot \dots \cdot a}}=a^{m+n}.$

Gdy mamy dzielenie, możemy zapisać dzielenie potęg w postaci ułamka i skrócić czynniki.

$a^m:a^n=\frac{\underset{m\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot \dots \cdot a}}}{\underset{n\text{ razy}}{\underbrace{a\cdot \dots \cdot a}}}=a^{m-n}$

PRZYKŁAD $2^5\cdot 2^7=2^{7+5}=2^{12}=4096$ $3^9:3^5=3^{9-5}=3^4=81$

Zadania

1. Zapisz za pomocą jednej potęgi:

1. $2^3\cdot 2^4$
2. $3^5:3^2$
3. $x^2\cdot x^6$
4. $y^7:y^3$
5. $5^1\cdot 5^0$
6. $7^4:7^4$
7. $2^2\cdot 2^3\cdot 2^1$
8. $x^3\cdot x^2\cdot x^0$