Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Teoria

TWIERDZENIE $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$

Skąd się wzięły te wzory? Przyjrzyjmy się wzorowi na mnożenie potęg.

Z poprzedniej lekcji wiesz, że potęgowanie to wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie:

$a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{m{\text{ razy}}},\quad a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ razy}}}.$

Mnożąc te dwie potęgi o tej samej podstawie, możemy po prostu połączyć wszystkie czynniki:

$a^{m}\cdot a^{n}=(\underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{m{\text{ razy}}})\cdot (\underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ razy}}})=\underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{m+n{\text{ razy}}}=a^{m+n}.$

Gdy mamy dzielenie, możemy zapisać dzielenie potęg w postaci ułamka i skrócić czynniki.

$a^{m}:a^{n}={\frac {\underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{m{\text{ razy}}}}{\underbrace {a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ razy}}}}}=a^{m-n}$

PRZYKŁAD $2^{5}\cdot 2^{7}=2^{7+5}=2^{12}=4096$ $3^{9}:3^{5}=3^{9-5}=3^{4}=81$

Zadania

1. Zapisz za pomocą jednej potęgi:

1. $2^{3}\cdot 2^{4}$
2. $3^{5}:3^{2}$
3. $x^{2}\cdot x^{6}$
4. $y^{7}:y^{3}$
5. $5^{1}\cdot 5^{0}$
6. $7^{4}:7^{4}$
7. $2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 2^{1}$
8. $x^{3}\cdot x^{2}\cdot x^{0}$