Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Mnożenie wielomianów

Teoria

Mnożenie dwumianu przez dwumian

Podstawową zasadą mnożenia sum algebraicznych jest prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Aby pomnożyć dwie sumy (np. dwa nawiasy), musimy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu. Zatem:

TWIERDZENIE $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

PRZYKŁAD Wykonaj mnożenie: $(x+2)(y-3)$ Mnożymy po kolei. 1. $x\cdot y=xy$ 2. $x\cdot (-3)=-3x$ 3. $2\cdot y=2y$ 4. $2\cdot (-3)=-6$ Zapisujemy wynik: $(x+2)(y-3)=xy-3x+2y-6$ Ten sam sposób przedstawiono na tej animacji:

Mnożenie dowolnych sum algebraicznych

Zasada mnożenia dwumianów obowiązuje niezależnie od liczby wyrazów w nawiasach. Jeśli w pierwszym nawiasie są 2 wyrazy, a w drugim 3, w wyniku otrzymamy początkowo $2\cdot 3=6$ składników.

PRZYKŁAD Wykonaj mnożenie: $(x-2)(x^{2}+3x-1)$ $(x-2)(x^{2}+3x-1)=\underbrace {x\cdot x^{2}+x\cdot 3x+x\cdot (-1)} _{{\text{mnożenie przez }}x}+\underbrace {(-2)\cdot x^{2}+(-2)\cdot 3x+(-2)\cdot (-1)} _{{\text{mnożenie przez }}-2}$ $=x^{3}+3x^{2}-x-2x^{2}-6x+2$

Doprowadzanie wyrażenia do prostszej postaci

Samo wymnożenie nawiasów to najczęściej dopiero połowa zadania. Aby otrzymać ostateczny wynik, należy wykonać redukcję wyrazów podobnych.

PRZYKŁAD Uprość wyrażenie $(2x+1)(x-3)-(x^{2}-4)$. 1. Mnożymy sumy algebraiczne. $(2x+1)(x-3)=2x^{2}-6x+x-3$ 2. Opuszczamy drugi nawias (pamiętając o zmianie znaków, bo przed nawiasem stoi minus) i składamy całe wyrażenie. $2x^{2}-6x+x-3-x^{2}+4$ 3. Redukujemy wyrazy podobne. $x^{2}-5x+1$

Interpretacja geometryczna

Iloczyn sum algebraicznych można przedstawić jako pole prostokąta. Jeśli boki prostokąta mają długości $(a+b)$ oraz $(c+d)$, to jego pole $P$ wynosi:

$P=(a+b)(c+d)$

Prostokąt ten można podzielić na cztery mniejsze prostokąty o polach: $ac$, $ad$, $bc$ i $bd$. Suma pól małych prostokątów jest równa polu dużego prostokąta.

Zastosowania w zadaniach tekstowych

Mnożenie sum algebraicznych jest niezbędne przy rozwiązywaniu zadań, w których zmieniamy parametry figur geometrycznych lub operujemy na nieznanych wielkościach.

PRZYKŁAD Bok kwadratu ma długość $x$. Jeden bok wydłużono o 2 cm, a drugi skrócono o 1 cm, otrzymując prostokąt. Zapisz pole tego prostokąta w postaci sumy algebraicznej. Boki nowego prostokąta to $(x+2)$ i $(x-1)$. Pole $P=(x+2)(x-1)$. $P=x^{2}+x-2[{\text{cm}}^{2}]$

Zadania

1. Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne.

1. $(x+3)(x+5)$
2. $(a-2)(a+7)$

2. Zapisz w postaci sumy algebraicznej.

1. $(2x+1)(x-4)$
2. $(3k-2)(2k-3)$

3. Wykonaj mnożenie.

1. $(x+2y)(x-y)$
2. $(3a-b)(2a+4b)$

4. Pomnóż $(x+2)(x^{2}-2x+4)$ i zredukuj wyrazy podobne.

5. Wykonaj mnożenie trzech sum algebraicznych: $(x-1)(x+1)(x+2)$

6. Wykonaj mnożenie: $(a^{2}-a+1)(a+2)$

7. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci.

1. $(3x+1)(x-2)+(x+3)(2x-1)$
2. $(2a-3)(a+4)-(2a+1)(a-2)$

8. Uprość wyrażenie $3x(x-4)-(x-5)(3x+2)$, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla $x=-2$.

9. Boki prostokąta opisane są wyrażeniami $x+3$ oraz $x+5$.

1. Zapisz pole tego prostokąta w postaci iloczynu.
2. Przekształć ten iloczyn na sumę algebraiczną.

10. W dużym prostokącie o bokach długości $a$ i $b$ zwiększono długość boku $a$ o 2, a boku $b$ o 3.

1. Sporządź rysunek pomocniczy.
2. Zapisz pole nowego prostokąta jako sumę czterech składników.

11. Dany jest kwadrat o boku $x$. Jeden jego bok wydłużono o 4 cm, a drugi skrócono o 3 cm, otrzymując prostokąt. Zapisz pole otrzymanego prostokąta w postaci sumy algebraicznej.

12. Grzegorz pomyślał o pewnej liczbie. Oznaczył ją jako $n$. Pomnożył liczbę o 2 większą od $n$ przez liczbę o 3 mniejszą od $n$. Zapisz wynik tego działania w najprostszej postaci.

13. Długość prostokątnej działki jest o 5 metrów większa od jej szerokości. Oznacz szerokość jako $x$.

1. Zapisz wymiary tej działki.
2. Gdyby szerokość działki zwiększyć o 2 m, a długość zmniejszyć o 1 m, jak wyraziłoby się jej pole? Zapisz odpowiednie wyrażenie i uprość je.

14. W kinie jest $r$ rzędów, a w każdym rzędzie jest $m$ miejsc. Planowany jest remont, po którym liczba rzędów zwiększy się o 2, a liczba miejsc w każdym rzędzie zmniejszy się o 1. Zapisz wyrażenie opisujące różnicę między nową a starą liczbą miejsc w kinie. Czy liczba miejsc na pewno wzrośnie?

15. Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(x-2)(x+2)-(x-3)(x+3)$ nie zależy od $x$.

*16. Udowodnij, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych zwiększony o większą z nich jest równy kwadratowi tej większej liczby.

*17. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$, liczba postaci $(n+2)(n+3)-(n-2)(n+7)$ jest podzielna przez 10.