Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Mnożenie wielomiana przez jednomian

Teoria

Prawo rozdzielności

Aby pomnożyć sumę algebraiczną przez liczbę lub jednomian, stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Zasada ta mówi, że należy pomnożyć czynnik stojący przed nawiasem przez każdy wyraz znajdujący się wewnątrz nawiasu, czyli:

TWIERDZENIE Dla dowolnych $a,b$ i $c$: $a(b+c)=ab+ac$ $a(b-c)=ab-ac$

Mnożenie przez liczbę

Mnożenie sumy przez liczbę dotyczy każdego składnika osobno.

PRZYKŁAD $3(2x+4)=3\cdot 2x+3\cdot 4=6x+12$

PRZYKŁAD $-2(3a-5b)=(-2)\cdot 3a+(-2)\cdot (-5b)=-6a+10b$

UWAGA Mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znaki wszystkich wyrazów w nawiasie na przeciwne.

Mnożenie przez jednomian

Gdy czynnikiem przed nawiasem jest jednomian (np. $2x$, $-3x^{2}$), musimy pamiętać o działaniach na potęgach ($x\cdot x=x^{2}$).

PRZYKŁAD Wykonaj mnożenie $2x(x^{2}-3x+5)$. $2x\cdot x^{2}-2x\cdot 3x+2x\cdot 5=2x^{3}-6x^{2}+10x$

Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę

Dzielenie sumy algebraicznej przez liczbę to to samo, co mnożenie tej sumy przez odwrotność tej liczby. Oznacza to, że dzielimy każdy wyraz sumy przez dany dzielnik, czyli:

${\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

PRZYKŁAD Uprość wyrażenie ${\frac {12x^{2}-6x+3}{3}}$. ${\frac {12x^{2}-6x+3}{3}}={\frac {12x^{2}}{3}}-{\frac {6x}{3}}+{\frac {3}{3}}=4x^{2}-2x+1$

Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia

Częstym błędem jest podstawianie liczb do skomplikowanego wyrażenia przed wykonaniem mnożenia. Aby ułatwić obliczenia i uniknąć błędów, należy najpierw doprowadzić wyrażenie do najprostszej postaci.

Staraj się postępować według tego schematu:

1. Wykonaj mnożenie (opuść nawiasy).
2. Zredukuj wyrazy podobne.
3. Dopiero do uproszczonego wyniku podstaw liczby.

PRZYKŁAD Oblicz wartość wyrażenia $2x(3x-4)-3(2x^{2}-2x)$ dla $x=-2{,}5.$ Krok 1. Wykonaj mnożenie $2x\cdot 3x-2x\cdot 4-3\cdot 2x^{2}-3\cdot (-2x)$ $=6x^{2}-8x-6x^{2}+6x$ Krok 2. Zredukuj wyrazy podobne $=-2x$ Krok 3. Podstaw liczby $=-2(-2{,}5)=5$

Zastosowanie w problemach matematycznych

Umiejętność sprawnego mnożenia jednomianów przez sumy pozwala dowodzić własności liczb oraz rozwiązywać bardziej złożone równania i zadania tekstowe.

PRZYKŁAD Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$, różnica $3n(n+2)-n(3n+5)$ jest równa $n$. $3n(n+2)-n(3n+5)$ $=3n^{2}+6n-3n^{2}-5n$ $=6n-5n=n$ c.n.d.