Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Objętość ostrosłupów

Teoria

Wzór na objętość ostrosłupa

Za pomocą doświadczenia możemy wykazać, że jeśli mamy graniastosłup i ostrosłup o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości, to objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza od objętości graniastosłupa.

Dlatego wzór na objętość ostrosłupa to $\frac{1}{3}$ iloczynu pola podstawy i wysokości bryły:

WZÓR $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ gdzie: $V$ - objętość ostrosłupa $P_p$ - pole podstawy $H$ - wysokość ostrosłupa

Zadania podstawowe

Aby obliczyć objętość, musisz zidentyfikować figurę w podstawie, obliczyć jej pole, a następnie podstawić dane do wzoru.

PRZYKŁAD Oblicz objętość ostrosłupa czworokątnego, którego podstawą jest kwadrat o boku 6 cm, a wysokość ostrosłupa wynosi 10 cm. Dane: $a=6\text{ cm}$ (bok kwadratu) $H=10\text{ cm}$ Obliczamy pole podstawy $P_p$. Ponieważ podstawą jest kwadrat: $P_p=a^2=6^2=36{\text{ cm}}^2$ Obliczamy objętość $V$: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$ $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 10$ $V=12\cdot 10=120{\text{ cm}}^3$ Objętość wynosi 120 cm3.

Objętość ostrosłupa w zadaniach tekstowych

Objętość ostrosłupa ma zastosowanie w zadaniach praktycznych, np. przy obliczaniu pojemności naczyń czy masy obiektów.

PRZYKŁAD Ozdobna świeca ma kształt ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Krawędź podstawy ma 12 cm, a wysokość świecy to 20 cm. Ile wosku (w cm3) potrzeba na wyprodukowanie takiej świecy? Podstawa to trójkąt równoboczny. Wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $P_p=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$ Obliczamy objętość: $V=\frac{1}{3}\cdot 36\sqrt{3}\cdot 20$ $V=12\sqrt{3}\cdot 20=240\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$ Potrzeba $240\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$ wosku.