Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Objętość ostrosłupów

Teoria

Wzór na objętość ostrosłupa

Za pomocą doświadczenia możemy wykazać, że jeśli mamy graniastosłup i ostrosłup o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości, to objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza od objętości graniastosłupa.

Dlatego wzór na objętość ostrosłupa to ${\frac {1}{3}}$ iloczynu pola podstawy i wysokości bryły:

WZÓR $V={\frac {1}{3}}P_{p}\cdot H$ gdzie: $V$ - objętość ostrosłupa $P_{p}$ - pole podstawy $H$ - wysokość ostrosłupa

Zadania podstawowe

Aby obliczyć objętość, musisz zidentyfikować figurę w podstawie, obliczyć jej pole, a następnie podstawić dane do wzoru.

PRZYKŁAD Oblicz objętość ostrosłupa czworokątnego, którego podstawą jest kwadrat o boku 6 cm, a wysokość ostrosłupa wynosi 10 cm. Dane: $a=6{\text{ cm}}$ (bok kwadratu) $H=10{\text{ cm}}$ Obliczamy pole podstawy $P_{p}$. Ponieważ podstawą jest kwadrat: $P_{p}=a^{2}=6^{2}=36{\text{ cm}}^{2}$ Obliczamy objętość $V$: $V={\frac {1}{3}}P_{p}\cdot H$ $V={\frac {1}{3}}\cdot 36\cdot 10$ $V=12\cdot 10=120{\text{ cm}}^{3}$ Objętość wynosi 120 cm3.

Objętość ostrosłupa w zadaniach tekstowych

Objętość ostrosłupa ma zastosowanie w zadaniach praktycznych, np. przy obliczaniu pojemności naczyń czy masy obiektów.

PRZYKŁAD Ozdobna świeca ma kształt ostrosłupa prawidłowego trójkątnego. Krawędź podstawy ma 12 cm, a wysokość świecy to 20 cm. Ile wosku (w cm3) potrzeba na wyprodukowanie takiej świecy? Podstawa to trójkąt równoboczny. Wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_{p}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ $P_{p}={\frac {12^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {144{\sqrt {3}}}{4}}=36{\sqrt {3}}{\text{ cm}}^{2}$ Obliczamy objętość: $V={\frac {1}{3}}\cdot 36{\sqrt {3}}\cdot 20$ $V=12{\sqrt {3}}\cdot 20=240{\sqrt {3}}{\text{ cm}}^{3}$ Potrzeba $240{\sqrt {3}}{\text{ cm}}^{3}$ wosku.