Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Pierwiastki

Teoria

DEFINICJA

Pierwiastek z liczby $x$ to taka liczba, która podniesiona do kwadratu wynosi $x$ . Pierwiastek z $x$ zapisujemy jako ${\sqrt {x}}$ .

Gdy widzimy symbol pierwiastka powinniśmy zadać sobie pytanie - jaka liczba podniesiona do kwadratu da mi tą liczbę?

Jednak nie każda liczba może być pierwiastkowana. Jeżeli liczba podpierwiastkowa jest ujemna, to pierwiastek taki nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Da się obliczyć pierwiastek liczby ujemnej, ale wyłącznie w zbiorze liczb zespolonych, który poznasz na studiach.

PRZYKŁAD

${\sqrt {144}}=12$ , ponieważ $12^{2}=144$

${\sqrt {1.69}}=1.3$ , ponieważ $1.3^{2}=1.69$

${\sqrt {0}}=0$ , ponieważ $0^{2}=0$

${\sqrt {\frac {36}{49}}}={\frac {6}{7}}$ , ponieważ $\left({\frac {6}{7}}\right)^{2}={\frac {36}{49}}$

Nie każdy pierwiastek da się zapisać za pomocą liczby całkowitej bądź ułamka. Na przykład, ${\sqrt {2}}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe (zobacz Postać dziesiętna liczby wymiernej) - to znaczy, ma niekończącą się ilość niepowtarzających się cyfr po przecinku. Jest to przykład liczby niewymiernej.

PRZYKŁAD

Wiemy, że ${\sqrt {2}}\approx 1.41421356237309504880$ . Zauważ: $1.4^{2}=1.96$

$1.41^{2}=1.9881$

$1.414^{2}=1.999396$

$1.4142^{2}=1.99996164$

Nie możemy znaleźć ${\sqrt {2}}$ dokładnie - musimy skorzystać z przybliżenia.

Oprócz pierwiastków kwadratowych wyróżniamy również inne pierwiastki.

DEFINICJA

Pierwiastek sześcienny z liczby $x$ to taka liczba, która podniesiona do potęgi trzeciej wynosi $x$ . Pierwiastek sześcienny z $x$ zapisujemy jako ${\sqrt[{3}]{x}}$ .

W tym przypadku, ujemne liczby mogą być pierwiastkowane. Zauważ, że $(-2)^{3}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$ . To oznacza, że ${\sqrt[{3}]{-8}}=-2$ (z definicji pierwiastka sześciennego). Istnieją również pierwiastki innych stopni, jednak w tym temacie skupimy się wyłącznie na kwadratowych i sześciennych.

TWIERDZENIE

Niech $x$ będzie liczbą dodatnią.

Ponieważ potęgi liczb ujemnych o wykładnikach parzystych są zawsze dodatnie, to pierwiastek $n$ -tego stopnia ${\sqrt[{n}]{-x}}$ nie istnieje gdy $n$ jest parzyste.