Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Podzielność, dzielniki, wielokrotności

Teoria

Cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100

Niektóre liczby można rozpoznać jako podzielne bez wykonywania dzielenia.

• przez 2 - jeżeli ostatnia cyfra jest 0, 2, 4, 6 lub 8,
• przez 3 - jeśli suma cyfr jest podzielna przez 3,
• przez 4 - jeśli dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4,
• przez 5 - koniec musi być na 0 albo 5,
• przez 9 - jeśli suma cyfr jest podzielna przez 9,
• przez 10 - liczba musi się kończyć na jednym zerze,
• przez 100 - jeśli kończy się przynajmniej dwoma zerami.

Czy wiesz, że... Niektóre cechy podzielności można ze sobą łączyć. Na przykład, liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2, jak i przez 3. Istnieją także inne, bardziej skomplikowane cechy podzielności. Przykładem jest cecha podzielności przez 7. Weź ostatnią cyfrę liczby. Pomnóż ją przez 2. Odejmij wynik od liczby bez tej ostatniej cyfry. Jeśli otrzymany wynik jest podzielny przez 7, to cała liczba jest podzielna przez 7.

Liczby pierwsze i złożone

DEFINICJA Liczba pierwsza jest to liczba która ma tylko dwa dzielniki - 1 i siebie.

Czy wiesz, że... Największa znana liczba pierwsza to $2^{136279841}-1$ odkryta 12 października 2024 roku przez Luke'a Duranta. Liczba ta ma ponad 41 milionów cyfr i należy do tzw. liczb Mersenne’a. Została znaleziona w ramach projektu GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), który wykorzystuje moc obliczeniową osób z całego świata.

DEFINICJA Liczba złożona to liczba która ma więcej niż dwa dzielniki.

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.

Dzielniki i wielokrotności

DEFINICJA Dzielnik liczby to liczba całkowita, która dzieli inną liczbę całkowitą bez reszty. To znaczy, że jeśli masz liczbę $a$ i liczby $b$, to $b$ jest dzielnikiem $a$, jeżeli $a:b$ daje wynik całkowity.

Inaczej: dzielnik liczby to taka liczba całkowita, która dzieli inną bez reszty. Przykładowo - dla 12 dzielnikami są 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

DEFINICJA Wielokrotność liczby to liczba całkowita, którą otrzymujemy, gdy daną liczbę mnożymy przez liczbę całkowitą. Inaczej - jeśli masz liczbę $a$, to każda liczba $b$ taka, że $b=a\cdot k$ dla jakiegoś całkowitego $k$, jest wielokrotnością $a$.

To znaczy wielokrotność to wynik mnożenia danej liczby przez kolejne liczby całkowite. Dla 7 wielokrotności to 7, 14, 21, 28... itd.

NWD i NWW

DEFINICJA NWD (największy wspólny dzielnik) to największa liczba całkowita, która dzieli bez reszty dwie (lub więcej) liczby.

Największy wspólny dzielnik można obliczyć na różne sposoby. Najczęściej korzysta się z dwóch metod:

METODA I - Rozkład na czynniki pierwsze

Pierwszą metodą jest rozłożenie obu liczb na czynniki pierwsze. Następnie wybieramy te czynniki, które występują w obu rozkładach i je ze sobą mnożymy. Iloczyn wspólnych czynników to właśnie NWD.

PRZYKŁAD Znajdź NWD(140, 567). $\begin{array}{cc}140& 2\\ 70& 2\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$ $\begin{array}{cc}567& 3\\ 189& 3\\ 63& 3\\ 21& 3\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$ Mamy tylko 1 wspólny czynnik, więc $\text{NWD}(140,567)=7$

METODA II - Algorytm Euklidesa

Drugim sposobem jest algorytm Euklidesa, który działa szybciej, zwłaszcza przy dużych liczbach. Polega on na powtarzaniu dzielenia z resztą:

1. Dzielimy większą liczbę przez mniejszą.
2. Jeśli reszta wynosi 0, to mniejsza liczba jest NWD.
3. Jeśli reszta jest różna od 0, to teraz dzielimy poprzednią mniejszą liczbę przez tę resztę.
4. Powtarzamy aż do momentu, gdy reszta będzie równa 0.

PRZYKŁAD $\begin{array}{ccc}567:140& =& 4\text{ r }7\\ 140:7& =& 20\text{ r }0\end{array}$ Ostatni niezerowy dzielnik to 7, czyli $\text{NWD}(567,140)=7$.

DEFINICJA NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) to najmniejsza liczba dodatnia, która jest wielokrotnością obu liczb.

Najmniejszą wspólną wielokrotność także możemy uzyskać wieloma sposobami. Przedstawimy tu dwa z nich.

METODA I - Rozkład na czynniki pierwsze

Na początku rozkładamy oba liczby na czynniki pierwsze. Następnie, w drugim rozkładzie ignorujemy liczby które występują w pierwszym. NWW to iloczyn pozostałych czynników.

PRZYKŁAD Znajdź NWW(210, 495). $\begin{array}{cc}210& 2\\ 105& 3\\ 35& 5\\ 7& 7\\ 1& \end{array}$ $\begin{array}{cc}495& 3\\ 165& 3\\ 55& 5\\ 11& 11\\ 1& \end{array}$ $\text{NWW}(210,495)=210\cdot 3\cdot 11=6930$

METODA II - Zależność z NWD

UWAGA Metoda ta jest poza podstawą programową w szkole podstawowej.

Drugą, często prostszą metodą jest wykorzystanie związku między NWD a NWW: $\text{NWW}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\text{NWD}(a,b)}$. Wystarczy więc znać NWD, a reszta to tylko jedno dzielenie.

PRZYKŁAD Znajdź NWW(210, 495). Dla liczb 210 i 495 mamy $\text{NWD}(210,495)=15$. Podstawiamy: $\text{NWW}(210,495)=\frac{210\cdot 495}{15}=6930$.

Zadania

E 1. Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty wchodzący otrzymywał ciastko.

To znaczy, że sok otrzymali wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd. A ciastko otrzymali wchodzący: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób.

Oblicz, ilu uczestników tego festynu otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Źródło: Próbny egzamin ósmoklasisty 2024, zad. 16

2. Sprawdź, czy liczba 234 jest podzielna przez 2, 3 i 9.

3. Liczba 5_8 (gdzie _ to jedna cyfra) jest podzielna przez 4. Podaj wszystkie możliwe cyfry, które można wstawić w miejsce _.

4. Liczba $n$ jest podzielna przez 6. Podaj wszystkie możliwe reszty przy dzieleniu tej liczby przez 2 i przez 3.

5. Wykaż, że suma cyfr liczby 738 jest podzielna przez 3 i wyjaśnij, co to oznacza dla podzielności całej liczby przez 3.

6. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną większą od 50, która jest podzielna przez 2, 3 i 5 jednocześnie.

7. Znajdź:

1. NWD(580, 270)
2. NWW(36, 84)
3. NWD(1 260, 1 512)
4. NWW(48, 180)
5. NWD(1 470, 1 176) i NWW tych samych liczb

8. Ania i Bartek mają do podziału zestawy kredek. Ania ma 84 kredki, a Bartek 126. Chcą je podzielić na równe komplety tak, aby w każdym komplecie było tyle samo kredek i nic nie zostało.

1. Ile kredek będzie w jednym komplecie?
2. Ile kompletów otrzyma Ania, a ile Bartek?

9. Dwie maszyny w fabryce uruchamiane są w cyklach: pierwsza co 20 minut, druga co 30 minut. Pierwsze uruchomienie obu maszyn nastąpiło o 8:00. Po ilu minutach obie maszyny znów uruchomią się w tym samym momencie?

10. Trzech przyjaciół - Kuba, Lena i Marek - mają kolekcje znaczków. Kuba ma 180 znaczków, Lena 150, a Marek 210. Chcą ułożyć swoje znaczki w równe stosy tak, aby każdy stos zawierał tyle samo znaczków i każdy przyjaciel wykorzystał wszystkie swoje znaczki.

1. Ile znaczków będzie w jednym stosie, jeśli chcą mieć maksymalną liczbę takich samych stosów?
2. Ile stosów ułoży każdy z przyjaciół?
3. Po ilu stosach wszyscy razem mają taką samą liczbę stosów?

*11. W szkolnej olimpiadzie matematycznej biorą udział 3 drużyny: Miłośnicy Algebry, Pasjonaci Geometrii i Fani Kombinatoryki. Drużyna Miłośników Algebry liczy 84 zawodników; Pasjonaci Geometrii - 126; Fani Kombinatoryki - 210. Organizator chce ułożyć zawodników w równe grupy tak, aby każda grupa zawierała tyle samo zawodników i każda drużyna była podzielona na całkowitą liczbę grup, bez pozostawiania zawodników na boku. Aby zorganizować wspólną ceremonię otwarcia, organizator planuje, by każda drużyna miała tę samą liczbę grup. Ile grup musi wtedy powstać dla każdej drużyny?