Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Potęga o wykładniku naturalnym

Teoria

Znamy z geometrii wzory na pole kwadratu i na objętość sześcianu. Są to odpowiednio $a^{2}$ i $a^{3}$, gdzie $a$ to długość boku bądź krawędzi. W nich wykorzystano potęgi. Potęgowanie to inaczej wielokrotne mnożenie liczby przez siebie samą.

Warto znać nazwy liczb występujących w potęgach.

Poniżej podano definicję potęgi, gdy wykładnikiem jest liczba naturalna.

DEFINICJA Potęgowanie jest to wielokrotne mnożenie tej samej liczby. Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą, a $n$ dowolną liczbą naturalną. Wtedy: $a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\,razy}$

PRZYKŁAD Oblicz $3^{4}$. $3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=9\cdot 3\cdot 3=27\cdot 3=81$

Liczba ujemna podniesiona do potęgi o wykładniku parzystym zawsze będzie dodatnia. Jednak, gdy liczbę ujemną podniesiemy do potęgi o wykładniku nieparzystym, to będzie ujemna.

PRZYKŁAD Znajdź $(-2)^{4}$. $(-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=4\cdot (-2)\cdot (-2)=(-8)\cdot (-2)=16$

UWAGA Nawiasy są bardzo ważne przy potęgowaniu liczb ujemnych. $-2^{2}$ to nie to samo co $(-2)^{2}$. Znak $-$ bez nawiasu stawiamy po obliczeniu potęgi. Innymi słowy: $-2^{2}=-(2^{2})=-4$, a $(-2)^{2}=4$.

Ponadto, $a^{1}=a$ oraz $a^{0}=1$ dla $a\neq 0$.

Poniżej przedstawiono jak obliczamy potęgi ułamków zwykłych:

PRZYKŁAD Oblicz $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$. Możemy to obliczyć za pomocą dwóch sposobów. Sposób I $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {4}{9}}$ Sposób II $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {2^{2}}{3^{2}}}={\frac {2\cdot 2}{3\cdot 3}}={\frac {4}{9}}$

Zadania

1. Oblicz:

1. $2^{5}$
2. $3^{4}$
3. $10^{3}$
4. $5^{2}$
5. $4^{3}$
6. $(-2)^{4}$
7. $(-3)^{3}$
8. $12^{2}$
9. $0^{5}$
10. $1^{100}$

2. Oblicz za pomocą kalkulatora:

1. $15^{4}$
2. $23^{3}$
3. $8^{7}$
4. $125^{2}$
5. $2^{15}$
6. $7^{6}$
7. $0{\text{,}}5^{5}$
8. $(-12)^{3}$
9. $9^{10}$
10. $3^{12}$

3. Porównaj ze sobą liczby za pomocą znaków <, =, >.

1. $(-2)^{4}$ a $2^{4}$
2. $-2^{4}$ a $(-2)^{4}$
3. $(-3)^{2}$ a $(-3)^{3}$
4. $0{\text{,}}5^{3}$ a $0{\text{,}}5^{2}$

4. Oblicz:

Dla przykładów a-e nie używaj kalkulatora.
1. $\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}$
2. $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}$
3. $\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}$
4. $\left(-{\frac {2}{5}}\right)^{2}$
5. $\left(-{\frac {3}{7}}\right)^{3}$
Dla przykładów f-j można skorzystać z kalkulatora.
6. $\left({\frac {7}{8}}\right)^{4}$
7. $\left({\frac {5}{6}}\right)^{5}$
8. $\left({\frac {9}{10}}\right)^{6}$
9. $\left(-{\frac {4}{9}}\right)^{3}$
10. $\left({\frac {11}{12}}\right)^{4}$

5. Zbigniew hoduje bakterie w pojemniku. Każdego dnia liczba bakterii zwiększa się dwukrotnie. Na początku była 1 bakteria. Ile bakterii będzie po 5 dniach?

6. Bogumił zbudował sześcienny klocek o boku długości 3 cm. Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu $a^{3}$ znajdź objętość klocka.

7. Ola wypełniła formę na ciasteczka w kształcie sześcianu. Każdy bok tej formy ma długość ${\frac {1}{2}}$ dm. Jaką objętość ma to ciasteczko?

8. Na stadionie ustawiono 3 reflektory w pierwszym rzędzie. W każdym kolejnym rzędzie liczba reflektorów jest 4 razy większa niż w poprzednim. Ile reflektorów będzie w 5. rzędzie?

9. Drzewo każdego roku rośnie dwa razy szybciej niż w poprzednim. W pierwszym roku urosło o 3 cm. Ile centymetrów przyrośnie w 6. roku?

10. Szklanka jest wypełniona sokiem do ${\frac {3}{4}}$ wysokości. Każdego dnia ktoś wypija połowę tego, co zostało. Jaka część szklanki będzie pełna po 3 dniach?

*11. Jakie jest najmniejsze całkowite $n$ takie, że $5^{n}>1000000$?

*12. Rozwiąż równanie $4^{x+1}=64^{x-1}$.

Wskazówka: Spróbuj sprowadzić potęgi do wspólnej podstawy.