Matematyka dla ostatnich klas szkoły podstawowej/Przekątna kwadratu i wysokość w trójkącie równobocznym

Teoria

Za pomocą twierdzenia Pitagorasa możemy znaleźć przekątną każdego kwadratu.

TWIERDZENIE W kwadracie o boku $a$ przekątna ma długość $a{\sqrt {2}}$.

Również w podobny sposób możemy wyprowadzić wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

TWIERDZENIE W trójkącie równobocznym o boku $a$ wszystkie trzy wysokości mają długość ${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$.

Podstawiając otrzymane $h$ do wzoru na pole trójkąta otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego.

TWIERDZENIE Pole trójkąta równobocznego wynosi: $P={\frac {a\cdot h}{2}}={\frac {a\cdot {\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}{2}}={\frac {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{2}}{2}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

Zadania

1. Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego bok ma długość:

1. 6 cm
2. 10 m
3. 3,5 dm
4. $7{\sqrt {2}}$ m
5. $3{\sqrt {3}}$ cm

2. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 10 cm. Oblicz:

1. wysokość tego trójkąta,
2. pole tego trójkąta.

3. Kwadrat ma przekątną $8{\sqrt {2}}$ cm. Oblicz długość jego boku.

4. Kwadrat A ma bok 6 cm, a kwadrat B ma bok $3{\sqrt {8}}$. Który kwadrat ma dłuższą przekątną i o ile?

5. Kwadrat ma bok równy ${\sqrt {40}}$. Oblicz:

1. długość przekątnej w formie pierwiastkowej,
2. długość przekątnej przybliżoną do dwóch miejsc po przecinku.

6. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 9 cm. Oblicz pole tego trójkąta. Wynik zapisz w postaci $a{\sqrt {b}}$.

7. Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O. Oblicz długość AO, jeśli bok kwadratu wynosi 8 cm.

8. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa przekątnej kwadratu o boku $3{\sqrt {6}}$ cm. Oblicz długość boku tego trójkąta równobocznego.

E 9. Agata postanowiła przygotować kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta, ozdobioną wzorem dokładnie takim, jak przedstawiony na rysunku. Kartka ta będzie miała wymiary 15 cm × 18 cm. Do jej ozdobienia Agata chce użyć jednakowych kwadratów, których bok wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Niektóre z tych kwadratów będzie musiała przeciąć na dwie lub na cztery jednakowe części.

Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie ${\sqrt {2}}\approx 1{,}4$.

Źródło: Próbny egzamin ósmoklasisty CKE 2018, zad. 19

10. Dany jest kwadrat ABCD. Na przekątnej AC dorysowano nowy kwadrat ACEF. Znajdź wzór na pole kwadratu ACEF, jeżeli bok AB ma długość $a$ cm.

*11. Bok trójkąta równobocznego ma długość 4 cm, a przekątna pewnego kwadratu ma długość $2{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{3}}$. Uzasadnij, że pola obu tych figur są równe.

*12. Sześciokąt foremny i trójkąt równoboczny mają jednakowe obwody. Oblicz stosunek pola sześciokąta do pola trójkąta.

Wskazówka. Sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych.

Źródło: Konkurs kuratoryjny z matematyki 2024/2025, woj. lubuskie, etap wojewódzki, zad. 13